MECHANICS OF MATERIALS

Transcripción

1 Third E CHAPTER 4 Fleión ECHANCS OF ATERALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Pura Leture Notes: J. Walt Oler Teas Teh Universit

2 Third E Fleión Pura Fleión Pura: Elementos prismatios sujetos a pares de fuerzas iguales en sentidos ontrarios atuando en el mismo plano longitudinal 4-

3 Otros tipos de argas Cargas eentrias: Carga aial que no pasa a traves de la seion entroidal produe fuerzas internas equivalentes a una fuerza aial un par. Carga transversal: Carga transversal onentrada o distribuida produe fuerzas internas equivalentes a una fuerza ortante un par. Prinipio de superposiión: El esfuerzo normal debido a fleión pura se puede ombinar on el esfuerzo normal debido a arga aial esfuerzo ortante produto de una arga ortante para enontrar el estado ompleto de esfuerzos. 4-3

4 Elemento Simétrios en Fleión pura Las fuerzas internas en ualquier seión transversal son equivalentes a un par. El momento de la pareja es la seión del momento de fleión. Desde la estátia, un par onsta de dos fuerzas iguales opuestas. La suma de las omponentes de las fuerzas en ualquier direión es ero. El momento es el mismo alrededor de un eje perpendiular al plano del par ero alrededor de ualquier eje ontenido en el plano. Estos requisitos podrán ser apliados a las antidades de los omponentes los momentos de las fuerzas internas elementales estátiamente indeterminadas. F z da 0 z da 0 da 4-4

5 Deformaiones por Fleión Barra on un plano de simetria en fleion pura El elemento permanee simétrio Se dobla uniformemente para formar un aro irular El plano de seión transversal pasa a través del entro del aro permanee plana La longitud de la parte superior disminue la longitud de la parte inferior inrementa una superfiie neutra debe eistir esta es paralela a las superfiies superior e inferior para el ual la longitud no ambia Esfuerzos tensiones son negativas (ompresión) por enima del plano neutro positivo (tensión) por debajo de este 4-5

6 Tensión debido a fleion Considere un segmento de viga de longitud L. Después de la deformaión, la longitud de la superfiie neutra permanee L. En otras seiones, L ( ρ ) θ δ L L ( ρ ) θ ρθ θ ε ε ε m δ θ L ρθ ρ ρ ε or m ρ ε m (strain varies linearl) 4-6

7 Esfuerzos debido a Fleión Para un material elástio lineal, Eε Eεm m (stress varies linearl) Por equilibrio estátio, F 0 0 m da da m da Primer momento on respeto al plano neutro es ero. Por lo tanto, la superfiie neutra debe pasar a través de la seión de entroide. Por equilibrio estátio, m m Substituting da S da m m m da 4-7

8 Porpiedades de la seión La máima tensión normal debido a la fleión m S setion moment of inertia S setion modulus Una seión de la viga on un módulo de seión más grande tendrá una tensión máima más baja Considere una seión transversal de la viga retangular, S 1 1 h bh bh Ah Entre dos vigas on la misma área de seión transversal, el haz on la maor profundidad será más efiaz en la resistenia a la fleión. Vigas de aero estruturales están diseñados para tener un gran módulo de seión. 4-8

9 Propiedades de las formas Estandar Amerianas 4-9

10 Deformaiones en la seión transversal La deformaión por fleión de un momento se uantifia por la urvatura de la superfiie neutra 1 εm m ρ E E 1 E Aunque los planos de seión transversal permaneen plana uando es sometido a momentos de fleión, en el plano deformaiones son distintos de ero, ν ν ε νε εz νε ρ ρ Epansión por enima de la superfiie neutra ontraión por debajo de ella ausa una urvatura en el plano, 1 ν antilasti urvature ρ ρ 4 -

11 Ejemplo Problema 4. Una pieza de la máquina de hierro fundido reibe la aión de un 3 kn-m par. Sabiendo E 165 GPa despreiando los efetos de los filetes, determine (a) la tensión máima tensiones de ompresión, (b) el radio de urvatura. SOLUCON: Basado en la geometría de seión transversal, alular la ubiaión de la seión de entroide el momento de ineria. A Y ( + Ad ) A Apliar la fórmula de fleión elástia para enontrar la traión máima esfuerzos de ompresión. m Calular la urvatura 1 ρ E 4-11

12 Ejemplo Problema 4. SOLUCON: Basado en la geometría de seión transversal, alular la ubiaión de la seión de entroide el momento de ineria. 1 Area, mm A 3000, mm 50 0 A, mm 90 4 A Y A A mm 3 ( Ad ) ( 1 bh + Ad ) ( ) + ( ) mm m

13 Ejemplo Problema 4. Apliar la fórmula de fleión elástia para enontrar la traión máima esfuerzos de ompresión. m A B A 3 kn m 0.0m mm 3 kn m 0.038m mm B A B Pa 131.3Pa Calular la urvatura 1 ρ E 3 kn m 165 ( GPa 9 4 )( m ) ρ ρ 47.7 m m 4-13

14 Ejemplo Problema

15 Ejemplo Problema

16 Ejemplo Problema

17 Ejemplo Problema

18 Ejemplo Problema

19 Ejemplo Problema

20 Ejemplo Problema

21 Ejemplo Problema

22 Ejemplo Problema

23 Ejemplo Problema

24 Ejemplo Problema

25 Ejemplo Problema

26 Fleión de los miembros elaborado on diversos materiales 1 n Considere una viga de material ompuesto formado a partir de dos materiales on E 1 E. Tensión normal varía linealmente. ε ρ Pieewise linear normal stress variation. E E E ε 1 E ε 1 1 ρ ρ Eje neutro no pasa por la seión entro de gravedad de la seión ompuesta. Las fuerzas elementales de la seión son df E E da 1 da df da 1 da ρ ρ 1 Definir una seión transformada de tal manera que ( ne1 ) E1 E df ( ) da nda n ρ ρ E 1 4-6

27 Ejemplo 4.03 SOLUTON: Transformar la barra a una seión transversal equivalente heha de latón Evaluar las propiedades transversales de la seión transformada La barra está heho de piezas unidas de aero (s 9 6 psi) latón (Eb 156 psi). Determinar la tensión máima en el aero latón uando se aplia un momento de 40 kip*in. Calular la tensión máima en la seión transformada. Esta es la máima tensión orreta para las piezas de latón de la barra. Determinar la tensión máima en la parte de aero de la barra multipliando la tensión máima para la seión transformada por la relaión de los módulos de elastiidad. 4-7

28 Ejemplo 4.03 SOLUCON: Transformar la barra a una seión transversal equivalente heha de latón. E n E b T s b psi psi 0.4 in in in.5 in Evaluar las propiedades de la seión transversal transformados b h.5 in. 3in 1 T 5.063in Calular las tensiones máimas m ( 40 kip in)( 1.5in) 5.063in 4 ( )( ) ksi ( b ) ma m ( b ) ma ( ) n ksi ( ).9 ksi s ma m s ma ksi 4-8

29 Vigas de hormigón armado Vigas de hormigón sometidas a momentos de fleión se ven reforzadas por varillas de aero. Las varillas de aero llevan toda la arga de traión por debajo de la superfiie neutra. La parte superior de la viga de hormigón lleva la arga de ompresión. En la seión transformada, el área de la seión transversal del aero, As, se sustitue por el área equivalente na s donde n E s /E. Para determinar la ubiaión del eje neutro, ( b) n A ( d ) 0 s 1 b + n A n A d s s La tensión normal en el hormigón el aero s n 0 4-9

30 Ejemplo Problema 4.4 SOLUCON: Transformar a una seión heha de hormigón. Evaluar las propiedades geométrias de la seión transformada. Calular las tensiones máimas en el hormigón el aero. Una losa de piso de onreto reforzado on varillas de aero 5/8 pulgadas de diámetro. El módulo de elastiidad es 96psi para el aero 3.66psi para el hormigón. Con una arga de fleión apliada de 40 kip*in el anho de 1 pie de la losa, determinar la tensión máima en el hormigón el aero. 4-30

31 Sample Problem 4.4 SOLUCON: Transformar a una seión heha de hormigón. E n E na s s 8.06 π ( 5 in) 4.95in 8 psi 8.06 psi Evaluar las propiedades geométrias de la seión transformada ( 4 ) in 3 4 ( 1in)( 1.45in) + ( 4.95in )(.55in) in Calular las tensiones máimas. s 1 n 40kip in 1.45in in 40kip in.55in in s 1.306ksi 18.5ksi 4-31

32 Conentraiones de Esfuerzos Pueden ourrir onentraiones de esfuerzos: en la proimidad de los puntos donde se aplian las argas en las proimidades de ambios abruptos en seión transversal m K 4-3

33 Deformaiones Plastias Para ualquier miembro sometido a fleión pura ε ε m tensión varía linealmente a través de la seión Si el miembro está heho de un material elástio lineal, el eje neutro pasa a través de la seión entroide Para un material on una urva de tensión-deformaión no lineal, la ubiaión eje neutro se enuentra si se satisfae: F da 0 da Para un miembro on planos vertial horizontal de simetría un material on la misma resistenia a la traión a la ompresión relaión tensión-deformaión, el eje neutro se enuentra en la seión de entroide la relaión tensión-deformaión se puede utilizar para mapear la distribuión de la deformaión del estrés distribuión. 4-33

34 Deformaiones Plastias Cuando la tensión máima es igual a la resistenia a la rotura del material, se produe el fraaso el momento orrespondiente U se onoe omo el último momento de fleión. El módulo de rotura en fleión,r B, se enuentra a partir de un valor determinado eperimentalmente de U una distribuión de la tensión lineal fitiia. R B U R B puede ser utilizado para determinar U de ualquier miembro de heho del mismo material on la misma forma pero diferentes dimensiones de la seión transversal. 4-34

35 Los miembros de un material elastoplástio Viga retangular heha de un material elastoplástio m Y Y m Y Y maimum elastimoment Si el momento se inrementa más allá del momento máimo elástio, zonas plástias se desarrollan alrededor de un núleo elástio. Y Y Y 3 elastiore half - thikness En el límite omo el momento se inrementa aún más, el espesor de núleo elástia tiende a ero, lo que orresponde a una deformaión plástia totalmente. k p 3 p Y Y plasti moment shape fator (depends onl on ross setion shape) 4-35

36 Deformaiones Plástias de los Elementos on un Solo plano de simetría Deformaión plástia total de una viga on sólo un plano vertial de simetría. El eje neutral no se puede suponer que pasa a través de la seión de entroide. Resultantes R 1 R de las fuerzas de ompresión traión elementales forman un par. 1 1 Y A Y A R R El eje neutro de la seión se divide en áreas iguales. El momento plástio para el elemento, p ( 1 A )d Y 4-36

37 Esfuerzos Residuales Zonas plástias se desarrollan en un miembro de un material elastoplástio si el momento de fleión es lo sufiientemente grande. Dado que la relaión entre el estrés normal la tensión es lineal se aplia en todos los puntos durante la fase de desarga, puede ser manejado suponiendo que el elemento es totalmente elástio. Las tensiones residuales se obtienen apliando el prinipio de superposiión para ombinar las tensiones debido a la arga on un momento (deformaión elastoplástio) de desarga on un - momento (deformaión elástia). El valor final de la tensión en un punto no será, en general, ero. 4-37

38 Ejemplo 4.05, 4.06 Un miembro de seión transversal retangular uniforme se somete a un momento de fleión 36,8 kn-m. El miembro está heho de un material elastoplástio on un límite elástio de 40 Pa un módulo de elastiidad de 00 GPa. Determine (a) el grosor del núleo elástio, (b) el radio de urvatura de la superfiie neutra. Después de la arga se ha reduido de nuevo a ero, determine ( ) La distribuión de tensiones residuales, (d) radio de urvatura. 4-38

39 Eample 4.05, 4.06 Espesor del núleo elástio: kN m Y Y Y ( 8.8kN m) Y mm Y Y 80mm omento máimo elástio: Y 3 b ( 50 m)( 60 m) m Y 8.8 kn m ( m )( 40Pa) Radio de urvatura: ε ε Y Y ρ E Y 1. Y ρ ε Y Y m 3 Pa Pa ρ 33.3m 4-39

40 Ejemplo 4.05, kn-m Y 40mm Y 40Pa kn-m m 36.8kN m 6 m Pa < Y 3 0 At the edge of ε E ρ Y ε the elasti ore, Pa 9 00 Pa 40 m ρ 5m 4-40

41 Eéntrio arga aial en un plano de simetría El esfuerzo debido a la arga eéntria enontrada mediante la superposiión de la tensión uniforme debido a una arga entrada distribuión de la tensión lineal por un momento de fleión pura Carga eéntria F P Pd ( ) + ( ) entri bending P A La validez requiere: tensiones por debajo del límite proporional, deformaiones tienen un efeto insignifiante en la geometría, esfuerzos no evaluado era de los puntos de apliaión de la arga. 4-41

42 Ejemplo 4.07 SOLUCON: Enuentra la arga entrada equivalente momento de fleión Una adena de enlae abierto se obtiene doblando barras de aero de bajo arbono en la forma que se muestra. Para 160 libras de arga, determine (a) la tensión máima tensiones de ompresión, (b) la distania entre la seión entroide eje neutro Superponer la tensión uniforme debido a la arga entrada la tensión lineal debido al momento de fleión. Evaluar la resistenia a la traión máima tensiones de ompresión en los bordes interior eterior, respetivamente, de la distribuión de la tensión superpuesta. Enontrar el eje neutro mediante la determinaión de la ubiaión donde la tensión normal es ero. 4-4

43 Ejemplo 4.07 Tensión normal debido a una arga entrada A π π ( 0.5in) in P A 815psi 160lb in Carga entrada Equivalente momento de fleión P 160lb Pd 4lb in ( 160lb)( 0.6in) Tensión normal debido al momento de fleión π π ( 0.5) m psi 4 3 in 4 ( 4lb in)( 0.5in) in

44 Ejemplo 4.07 Traión máima tensiones de ompresión + t m m t 960psi 7660psi Ubiaión del eje neutro 0 0 P A P A in ( 815psi) in 5lb in

45 Ejemplo Problema 4.8 Las tensiones admisibles maores para el enlae de hierro fundido son 30 Pa en tensión Pa a ompresión. Determine la fuerza más grande P que se puede apliar al enlae. SOLUCON: Para Ejemplo Problema.4, A 3 3 Y 0.038m 868 m 9 m 4 Determinar una arga entrada equivalente momento de fleión. Superponer el estrés debido a una arga entrada la tensión debido a la fleión. Evaluar las argas rítias de la traión permisible esfuerzos de ompresión. La maor arga admisible es la más pequeña de las dos argas rítias. 4-45

46 Ejemplo Problema4.8 Determine an equivalent entri and bending loads. d m P entri load Pd 0.08P bending moment Superpose stresses due to entri and bending loads A P ( 0.08P)( 0.0) P Evaluar las argas rítias de tensiones admisibles. A B A B P A P A P 1559 P A 3 P 3 30Pa Pa ( 0.08P)( 0.0) 868 P 79.6kN P 79.6kN P La maor arga admisible P 77.0 kn 4-46

47 Fleión asimétria Análisis de fleión pura se ha limitado a los miembros sometidos a los pares de fleión que atúan en un plano de simetría. Los miembros siguen siendo simétria urvos en el plano de simetría. El eje neutro de la seión transversal oinide on el eje del par. Pasa a onsiderar las situaiones en las que los pares de fleión no atúan en un plano de simetría. No se puede asumir que el elemento se doblará en el plano de los pares. En general, el eje neutro de la seión no oinidirá on el eje del par. 4-47

48 Fleión Asimétria 0 F da or 0 da da eje neutro pasa a través del entroide m Se desea determinar las ondiiones en que el eje neutro de una seión transversal de forma arbitraria oinide on el eje de la pareja omo se muestra. La fuerza resultante el momento de la distribuión de las fuerzas elementales en la seión deben satisfaer F 0 z applied ouple or define la distribuión de esfuerzos 0 z da z m da or 0 zda produt of inertia z m z z da moment inertia par vetor debe ser dirigida a lo largo de un eje entroidal diretor m of 4-48

49 Fleión Asimétria La superposiión se aplia para determinar las tensiones en el aso más general de fleión asimétria. Resolver el vetor de par en omponentes a lo largo de los ejes prinipales entroidales. osθ sinθ z Superponer la omponente de distribuión de esfuerzos z + z A lo largo del eje neutro, ( osθ ) ( sinθ ) 0 tanφ z z z z + tanθ z

50 Ejemplo 4.08 SOLUCON: Resolver el vetor de par en omponentes a lo largo de los ejes prinipales entroidales alular las tensiones máimas orrespondientes. Un par 1600 lb-in se aplia a una viga de madera retangular en un plano que forma un ángulo de 30 grados. on la vertial. Determinar: (a) la tensión máima en la viga, (b) el ángulo que forma el eje neutro on el plano horizontal. osθ sinθ z Combinar los esfuerzos de las distribuiones de tensiones en omponentes. z + z Determinar el angulo de eje neutro. tanφ z tanθ z 4-50

51 Ejemplo 4.08 Resolve the ouple vetor into omponents and alulate the orresponding maimum stresses. ( 1600lb in) ( 1600lb in) ( 1.5in)( 3.5in) ( 3.5in)( 1.5in) os lb in sin lb in The largest tensile stress due to 1 ( 1386lb in)( 1.75in) 5.359in The largest tensile stress due to z z z z z 3 3 ( 800lb in)( 0.75in) in 5.359in in z 4 ours along 45.6psi z ours along 609.5psi AB AD El esfuerzo de traión más grande debido a la arga ombinada se produe en A ma 1 + ma 6 psi 4-51

52 Ejemplo 4.08 Determinar el angulo del eje neutro. tanφ z tanθ o 7.4 φ 5.359in in 4 4 tan30 4-5

53 Caso General de una Carga Aial Eéntria Considere un elemento reto sujeto a fuerzas eéntrias iguales opuestas. La fuerza eéntria es equivalente al sistema de una fuerza de entrado dos parejas. P entri fore Pa z Pb Por el prinipio de superposiión, la distribuión de la tensión ombinada es P A z z + Si el eje neutro se enuentra en la seión, se puede enontrar desde z z z P A z 4-53