Ley de reflexión para espejos planos en movimiento relativista

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1 ENSEÑANZA REVISTA MEXICANA DE FÍSICA 53 (2) DICIEMBRE 2007 Ley de reflexión para espejos planos en movimiento relativista A. Ortiz-Aevedo, O. Mata-Méndez y J. Avendaño Departamento de Físia, Esuela Superior de Físia y Matemátias, Instituto Politénio Naional, Zaateno, Méxio D.F., Méxio. Reibido el 6 de julio de 2006; aeptado el 7 de junio de 2007 En este artíulo estudiamos la reflexión de la luz sobre espejos planos móviles. Suponemos que el espejo es un refletor perfeto que está inlinado on respeto a la direión de movimiento. Presentamos resultados analítios que permiten determinar el ángulo de reflexión, la freuenia reflejada y la presión de radiaión en funión del ángulo de inidenia, la freuenia inidente, la veloidad del espejo y la orientaión del espejo respeto a la direión de movimiento. Se muestra que existe un ángulo de inidenia rítio para el ual la reflexión es rasante (el rayo luminoso reflejado es paralelo a la superfiie del espejo). Analizamos numériamente la influenia del ángulo de inidenia, la veloidad y la orientaión del espejo en el ángulo de reflexión, en la freuenia reflejada y en la presión de radiaión. Obtenemos una expresión analítia para la determinaión de la veloidad del espejo en términos de parámetros que pueden medirse experimentalmente. Desriptores: Óptia; relatividad. In this paper, we study the refletion of light on uniformly moving mirrors. The mirrors are assumed to be perfetly refleting and oblique with respet to the diretion of the movement. Analytial expressions for the angle of refletion, for the refleted frequeny and for radiation pressure are given. In the partiular ase that the mirror moves away from the luminous ray a ritial angle of inidene exists for whih the refleted luminous ray is parallel to the surfae of the mirror. We analyze numerially the influene or the angle of inidene, the speed and the orientation of the mirror in the refletion angle, refleted frequeny and in the radiation pressure. Finally we obtain an analyti expression for the determination of the speed of the mirror in terms of parameters that an be measured experimentally. Keywords: Optis; relativity. PACS: i; p 1. Introduión En los últimos años ha habido muho interés en el estudio de la reflexión de la luz por superfiies móviles. Así, se ha onsiderado la interaión del haz de un láser on ilindros y onos rotando [1]. En astrofísia se ha tratado la refraión y la reflexión de la luz por una interfase que separa dos medios que se mueven a veloidades relativistas [2]. Ha sido posible determinar on buena preisión la veloidad de un espejo móvil de baja veloidad a partir del análisis del efeto Doppler [3]. Se ha estudiado el interferómetro de Mihelson-Morley en movimiento [4]. También se ha analizado la difraión que ourre uando una superfiie rugosa perfetamente refletora se desplaza a veloidades relativistas [5-6]. Solamente algunos poos libros de texto inursionan en la óptia relativista, entre éstos es de menionar que en el libro de MCrea [7] se ha dediado un apitulo entero a esta rama de la óptia, aunque solamente se analiza un poo el aso de un espejo perpendiular a la direión del movimiento. Otro es el libro de óptia de A. Sommerfeld [8], en el ual se estudian brevemente espejos planos relativistas perpendiulares y paralelos a la direión de la veloidad. En este artíulo estudiamos la interaión de la luz on un espejo plano que está inlinado on respeto a la direión de movimiento. Supondremos que el espejo es un refletor perfeto y que se mueve a veloidades relativistas on respeto a un observador inerial. Determinamos la relaión general entre el ángulo de inidenia y el ángulo de reflexión para ualquier veloidad y orientaión del espejo. Analizamos el ambio de freuenia que experimenta la luz reflejada, así omo la presión que ejere la luz sobre el espejo en movimiento. Como una apliaión, en la última seión proponemos un método para determinar la veloidad de un espejo relativista. Consideramos que tanto la presentaión omo la disusión de los resultados del presente artíulo pueden ser de utilidad en ursos de nivel universitario que traten el tema de la relatividad espeial. Hemos desarrollado la teoría a partir de las transformaiones de Lorentz y no sobre la forma ovariante de las mismas. Aunque esta última presentaión es más elegante y onisa, reemos onveniente mantener la exposiión tradiional de la relatividad espeial para haerla aesible en ursos de nivel introdutorio. 2. Espejo en movimiento Consideremos, a la manera usual, un sistema inerial S que se mueve on la veloidad V a lo largo del eje Ox de un sistema inerial S, donde supondremos que los ejes Ox y O x oiniden, y los ejes Oy y Oz son paralelos a los ejes O y y O z, respetivamente. El uadrimomento P asoiado a una onda eletromagnétia de freuenia angular ω y vetor de onda k (k = ω/) está dado por P = ( ) ω, k. (1) De las transformaiones de Lorentz se deduen las onoidas leyes de transformaión para ω y k:

2 LEY DE REFLEXIO N PARA ESPEJOS PLANOS EN MOVIMIENTO RELATIVISTA 135 F IGURA 1. Espejo plano que se desplaza on veloidad onstante V a lo largo del eje Ox. El espejo es perpendiular a la figura y su inlinaio n on respeto al eje Ox esta dada por el a ngulo φ. Los a ngulos de inidenia θi y de reflexio n θr se determinan on respeto a la normal del espejo n. ω = γ(ω 0 + β kx0 ), (2) kx = γ(kx0 + β k 0 ), (3) ky = ky0, (4) kz0, (5) kz = p donde β = V / y γ = 1/ 1 β 2. Consideremos un espejo plano perfetamente refletor en reposo en el origen de oordenadas de S 0 y paralelo al eje O0 z 0. Luego, omo el espejo es perpendiular al plano O0 x0 y 0, para fijar su posiio n en S 0 es sufiiente dar el a ngulo φ0 que hae la normal unitaria n 0 de la superfiie refletora del espejo on el eje O0 x0. El a ngulo φ0 se medira en sentido ontrario al movimiento de las maneillas de un reloj, siendo su intervalo 0 φ0 < 2π. La posiio n angular del espejo plano en S se determina de forma pareida, siendo φ el a ngulo que hae la normal unitaria n de la superfiie refletora del espejo on el eje Ox, omo se ilustra en la Fig. 1. Es inmediato darse uenta de las transformaiones de Lorentz que φ y φ0 se relaionan ası : tan φ = 1 tan φ0, γ (6) luego, a bajas veloidades tenemos φ φ0, omo debe ser, mientras que a altas veloidades el omportamiento es ma s ompliado. Ası, si el espejo no es paralelo a la direio n de movimiento (φ0 6= 90, φ0 6= 270 ), en el lı mite ultrarelativista (β 1) la normal del espejo en movimiento tiende a orientarse on el eje Ox (φ 0 o φ 180 ). En la Fig. 2 se varı a el a ngulo φ omo funio n de veloidad relativa β para dos inlinaiones del espejo en reposo en el sistema S 0 (φ0 = 300, 120 ). Es importante resaltar que en la Fig. 2 puntos distintos orresponden a espejos distintos (i.e., movie ndose a veloidades distintas). F IGURA 2. A ngulo de inlinaio n del espejo mo vil φ, en funio n de la veloidad relativa β para dos inlinaiones del espejo en reposo (φ0 = 30 y φ0 = 120 ). Es importante dejar laro o mo se medira n los a ngulos de inidenia y de reflexio n, tanto en el sistema S omo en el S 0. Para esto, fijemos un sistema artesiano bidimensional O0 X 0 Y 0 en el espejo en reposo en S 0, siendo el eje O0 Y 0 paralelo al vetor unitario n 0, y de igual forma fijemos, para ada instante de tiempo t, un sistema artesiano bidimensional O0 XY en el espejo mo vil, siendo el eje O0 Y paralelo al vetor unitario n (ver la Fig. 1). Con respeto al rayo inidente visto desde S 0, sea θi0 el a ngulo entre el rayo inidente y la normal n 0, este a ngulo lo onsideraremos positivo uando este en el segundo uadrante y negativo en el primer uadrante del sistema O0 X 0 Y 0. Si θr0 es el a ngulo entre el rayo reflejado y la normal n 0, sera positivo uando este en el primer uadrante y negativo en el segundo uadrante del sistema O0 X 0 Y 0. Las mismas definiiones se presentan desde el punto de vista del sistema inerial S donde los a ngulos de inidenia θi y de reflexio n θr se determinan on respeto al sistema artesiano O0 XY (ver Fig. 1). Podemos observar que uando 0 φ0 < π/2 y 3π/2 < φ0 < 2π el rayo inidente se dirige haia la parte negativa del eje Ox, mientras que uando π/2 < φ0 < 3π/2 el rayo inidente se dirige haia la parte positiva del eje Ox. 3. Una propiedad relativista de los espejos Demostremos una propiedad muy interesante que verifian los espejos planos on movimiento relativista. Como sabemos, del heho que en el sistema S 0 (espejo en reposo) se verifian las leyes usuales de la o ptia geome tria, es deir, el Rev. Mex. Fı s. 53 (2) (2007)

3 136 A. ORTIZ-ACEVEDO, O. MATA-MÉNDEZ Y J. AVENDAÑO ángulo de inidenia es igual al ángulo de reflexión (θ i = θ r) y la freuenia del rayo inidente es igual a la freuenia del rayo reflejado (ω i = ω r), se dedue inmediatamente que k es paralelo a la normal ˆn. A ontinuaión mostramos que esto también se umple para el espejo móvil, es deir, que k y ˆn son paralelos desde el punto de vista del observador S. Para el observador en S, los vetores de propagaión de los rayos inidentes y reflejados están dados por (ver Fig. 1): k i = k [os(φ + θ i + π)ê x + sen(φ + θ i + π)ê y], (7) k r = k [os(φ θ i)ê x + sen(φ θ i)ê y], (8) donde, k = k i = k r (por ser el sistema en reposo S ). De aquí se dedue que el ambio del vetor de onda en el sistema en reposo S debido a la reflexión es: k = k r k i=2k os φ os θ iê x+2k sen φ os θ iê y. (9) De forma pareida para el observador en S se tiene: ki = k i [os(φ + θ i + π)ê x + sen(φ + θ i + π)ê y ], (10) kr = k r [os(φ θ r )ê x + sen(φ θ r )ê y ], (11) siendo el ambio del vetor de onda debido a la reflexión: k = k r k i = [k r os(φ θ r ) + k i os(φ + θ i )] ê x + [k r sen(φ θ r ) + k i sen(φ + θ i )] ê y, (12) donde, para el observador S se tiene en general que θ i θ r y ω i ω r. De las Es. (3) y (4), y del heho que k = k i = k r, se tiene que: y k x = γ k x k y = k y, (13) luego, utilizando la E. (9) en estas últimas relaiones tenemos que k puede expresarse así: k = 2k os θ i (γ os φ, sen φ, 0), (14) si ahora onsideramos el produto vetorial de k on la normal al espejo dada por ˆn = (os φ, sen φ, 0), tendremos: 2k os θ i (γ os φ, sen φ, 0) (os φ, sen φ, 0) = 2k os θ i(γ os φ sen φ os φ sen φ )ê z, (15) y al tomar en uenta la E. (6) se muestra que este vetor es nulo. Con esto hemos probado la siguiente propiedad válida para un espejo móvil: luego, k y ˆn son paralelos. k ˆn = 0, (16) Expresemos la E. (16) de otra forma. Con respeto al sistema de oordenadas bidimensional O XY del espejo móvil, tenemos ki = (k i sen θ i, k i os θ i ), (17) kr = (k r sen θ r, k r os θ r ). (18) De estas euaiones y onsiderando que la normal unitaria a este espejo está dada por ˆn = (0, 1), se obtiene inmediatamente la expresión siguiente: k i sen θ i = k r senθ r. (19) Esto signifia que a pesar de que el espejo se está moviendo, la omponente tangenial al espejo del momento lineal total del fotón debe onservarse. 4. Las leyes relativistas de los espejos planos En lo que sigue estaremos interesados en determinar las leyes que rigen a los espejos planos desde el punto vista del observador en S. Dada la inlinaión del espejo φ on respeto a la direión del movimiento, el ángulo de inidenia θ i y la freuenia inidente ω i, deseamos determinar el ángulo de reflexión ω r, la freuenia reflejada θ r y la presión de radiaión El ángulo de reflexión La E. (19) se puede esribir omo sigue: ω r ω i = sen θ i sen θ r. (20) Como hemos visto, este resultado es onseuenia úniamente de las Es.(3)-(5), es deir, se obtiene a partir de las transformaiones relativistas del vetor de onda. Luego, todavía tenemos a nuestra disposiión la E. (2), on la ual podremos obtener otra relaión independiente para ω r /ω i. Para esto, onsideremos la transformaión inversa de la E. (2): ω = γ(ω β k x ), (21) luego, para los rayos inidente y reflejado se tiene ω i=γ(ω i β k ix ) = γ(ω i +βω i os(φ+θ i )), (22) ω r = γ(ω r β k rx ) = γ(ω r β ω r os(φ θ r )), (23) y dado que ω i = ω r, se obtiene la expresión busada: ω r ω i = 1 + β os(φ + θ i) 1 β os(φ θ r ). (24) Al igualar las Es. (20) y (24) obtenemos sen θ i 1 + β os(φ + θ i ) = sen θ r 1 β os(φ θ r ), (25)

4 LEY DE REFLEXIÓN PARA ESPEJOS PLANOS EN MOVIMIENTO RELATIVISTA 137 o de manera equivalente se siguen las expresiones sen θ i sen θ r sen (θ i + θ r ) = β n, sen θ i sen θ r = 1 + β n os θ i 1 β n os θ r, donde β n β ˆn = β os φ; (26) resultado que representa la ley de la reflexión para un espejo plano en movimiento relativista. Como se observa esta ley depende del parámetro de veloidad β = V/ y de la inlinaión del espejo φ (ambos parámetros ontenidos en la variable β n, que es la omponente de la veloidad relativa a lo largo de la normal del espejo). Ésta es una euaión trasendental que nos relaiona el ángulo de inidenia θ i y el ángulo de reflexión θ r, ambos medidos desde el sistema S. Aunque la E. (25) o E. (26), tal y omo están dadas, nos proporionan la ley de la reflexión, es onveniente para failitar su análisis obtener el ángulo de reflexión θ r omo funión explíita de θ i, β = V/ y φ. Después de un poo de álgebra la soluión de la E. (26) resulta os θ r = β sen2 θ i os φ ± (1 + β os θ i os φ) 2 (os θ i + β os φ) 2 (os θ i + β os φ) 2 + sen 2 θ i, (27) para seleionar el signo onveniente del radial onsideremos el límite V 0, en este límite debe verifiarse que θ i = θ r, de lo ual se sigue que el signo positivo es el adeuado. Luego, tenemos os θ r = 2β n + (1 + βn) 2 os θ i 1 + 2β n os θ i + βn 2 ; (28) éste es el resultado busado. De la E. (28) podemos ver que existe asimetría respeto a los ángulos de inidenia y de reflexión, esto es, si el haz reflejado llegase a ser el inidente, éste no se reflejará a un ángulo θ i sino a un ángulo χ dado por os χ = 2β n + (1 + βn) 2 os θ r 1 + 2β n os θ r + βn 2. (29) Cuando las veloidades del espejo y del haz luminoso tienen sentido ontrario, de la E. (28) se tiene que os θ r > os θ i, lo ual implia que θ r < θ i. Mientras que uando estas veloidades tienen el mismo sentido, tenemos os θ r < os θ i, lo ual implia que θ r > θ i. Este omportamiento se hae más patente onforme la veloidad del espejo aumenta. Inluso, en el último aso, al aumentar la veloidad el oseno del ángulo de reflexión podría llegar a ser negativo de auerdo a la E. (28), lo ual físiamente signifiaría que el ángulo de reflexión sería mayor de 90 (el haz de luz estaría atravesando el espejo), lo ual no es posible debido a nuestra suposiión iniial de un espejo refletor perfeto. Es deir, la E. (28) fue obtenida bajo la suposiión heurístia de que siempre existe el rayo reflejado. Esto implia que existe un ángulo rítio θi determinado por la ondiión os θ r = 0 (θ r = 90 ). De la E. (28) se sigue que θi está dado por espejo móvil son φ = 0, 35, 90, 140 y 180. Podemos observar el ángulo ritio de inidenia (línea punteada) uando φ = 140 y φ = 180. En la Fig. 4 onsideramos a θ r omo funión de β uando el ángulo de inidenia θ i = 30 0 se mantiene fijo. Cada urva orresponde a una inlinaión fija del espejo móvil. En la Fig. 5, onsideramos a θ r omo funión de φ para un ángulo de inidenia θ i igual a 30 y β = 0.1, 0.5, 0.7 y Podemos notar de manera inmediata la presenia de dos nodos, para φ = 90 y 270 (espejo os θi = 2β n 1 + βn 2. (30) Es importante menionar que no nos es posible onoer lo que ourre uando se rebasa el ángulo de inidenia rítio debido a que en la teoría hemos supuesto que siempre existe un rayo inidente y uno reflejado. En la Fig. 3, grafiamos el ángulo de reflexión θ r omo funión del ángulo de inidenia θ i, uando la veloidad relativa del espejo es grande (β = 0.8) y las inlinaiones del FIGURA 3. El ángulo de reflexión θ r omo funión del ángulo de inidenia θ i, para la veloidad relativa β = 0.8 y las inlinaiones del espejo φ = 0, 35, 90, 140, 180. Las líneas vertiales punteadas determinan el ángulo rítio para la reflexión rasante.

5 138 A. ORTIZ-ACEVEDO, O. MATA-ME NDEZ Y J. AVENDAN O F IGURA 4. El a ngulo de reflexio n θr omo funio n de la veloidad relativa β, uando θi = 30 y las inlinaiones del espejo φ = 0, 35, 90, 140, 180, 210, 300. Las lı neas vertiales punteadas sen alan la veloidad a la ual el a ngulo θi = 30 llega a ser el a ngulo rı tio para la orrespondiente inlinaio n del espejo. paralelo a la direio n del movimiento). En estos nodos el a ngulo de inidenia es igual al de reflexio n para ualquier veloidad dada La freuenia reflejada Podemos obtener la freuenia relativa reflejada F = ωr /ωi usando la E. (20) y la E. (28). Sin embargo, es onveniente tener una expresio n explı ita para la freuenia reflejada. Para obtener e sta, resribimos la E. (20) usando la segunda expresio n de la E. (26) y la definiio n de freuenia relativa omo 1 + βn os θi F = ; (31) 1 βn os θr sustituyendo ahora el os θr dado por la E. (28) obtenemos la expresio n deseada 1 + βn os θi + βn2 ωr =. ωi 1 βn2 (32) En la Fig. 6 hemos grafiado la freuenia relativa ωr /ωi omo funio n del a ngulo de inidenia θi, uando β = 0.8 y la inlinaio n del espejo mo vil es φ = 0, 35, 90, 140 y 180. Cuando φ = 0 y φ = 35 observamos que la freuenia reflejada disminuye al aumentar el a ngulo de inidenia. Para φ = 90 no hay ambio de freuenia. Cuando φ = 0 y F IGURA 5. El a ngulo de reflexio n θr omo funio n del la inlinaio n del espejo φ, para θi = 30 y β = 0.1, 0.5, 0.7, Las lı neas vertiales punteadas sen alan la inlinaio n del espejo a la ual el a ngulo θi = 30 llega a ser el a ngulo rı tio para la orrespondiente veloidad que sen alan las flehas. φ = 180 la freuenia reflejada es menor que la inidente, sin embargo, aumenta haia la inidente onforme el rayo inidente se aleja de la normal del espejo hasta llegar al a ngulo rı tio (lı neas vertiales). En la Fig. 7 grafiamos la freuenia relativa ωr /ωi omo funio n de la veloidad relativa β, uando θi = 30 y φ = 0, 35, 90, 90 y 180. Como es de esperarse, para todas las urvas ωi = ωr uando la veloidad del espejo es nula. Tenemos que uando φ < 90 la freuenia reflejada aumenta on la veloidad, siendo este aumento onsiderablemente grande para φ = 00, por ejemplo, resulta ωr = ωi uando β = Esta u ltima situaio n orresponde al ma ximo de energı a dado a los fotones debido a la olisio n, tal y omo se presenta on bolas de billar olisionando ontra una pared mo vil. Para φ = 90, reobramos ωi = ωr. Una situaio n diferente se tiene uando φ = 180 y φ = 180, la freuenia reflejada es menor que la inidente tenie ndose que los fotones pierden energı a por la olisio n, y onforme la veloidad aumenta se alanza la reflexio n rasante (lı neas vertiales). Rev. Mex. Fı s. 53 (2) (2007)

6 LEY DE REFLEXIÓN PARA ESPEJOS PLANOS EN MOVIMIENTO RELATIVISTA 139 FIGURA 6. La freuenia relativa de reflexión ω r /ω i omo funión del ángulo de inidenia θ i, uando β = 0.8 y φ = 0, 35, 90, 140, 180. Las líneas vertiales punteadas señalan el ángulo rítio uando el espejo se aleja del rayo inidente a veloidad β = 0.8 para las inlinaiones del espejo φ = 140 y φ = 180. En la Fig. 8 grafiamos ω r /ω i omo funión de la inlinaión del espejo φ, para diversas veloidades relativas β = 0.1, 0.5, 0.7 y 0.95, uando el ángulo de inidenia es θ i = Observamos de la figura los dos nodos que se presentan uando el espejo es paralelo a la direión de movimiento (φ = 90 y 270 ). Entre los nodos la freuenia relativa es menor a la unidad, lo que signifia una perdida de energía de los fotones. En ambio fuera de la región entre los nodos ourre lo ontrario, la freuenia aumenta tal y omo ourriría uando una bola de billar hoa on una pared rígida uyas veloidades son de sentido ontrario La presión de radiaión Para ompletar nuestro estudio de los espejos relativistas, es onveniente además de haber obtenido la ley de reflexión y el ambio de freuenia por la reflexión, determinar la presión de radiaión relativista que siente el espejo móvil. Para esto, onsideremos la E. (12), la definiión de la freuenia normalizada F = ω r /ω i, la euaión p = k y la expresión k = ω, resultando que el ambio de momento lineal sufrido por un fotón que olisiona on el espejo está dado por FIGURA 7. La freuenia relativa ω r /ω i omo funión de la veloidad relativa β, uando θ i = 30 y φ = 0, 35, 90, φ = 140, 180. Las líneas vertiales punteadas señalan la veloidad a la ual el ángulo θ i = 30 se onvierte en el ángulo rítio para la orrespondiente inlinaión del espejo. ω i p = [F os(φ θ r ) + os(φ + θ i )] ê x + [F sen(φ θ r ) + sen(φ + θ i )] ê y. (33) Para la determinaión de la presión debemos onsiderar la omponente normal al espejo de p, la ual se expresa así: p = p ˆn = F os(φ θ r ) os φ ω i ω i + os(φ + θ i ) os φ + F sen(φ θ r ) sen φ + sen(φ + θ i ) sen φ, (34) on ˆn = os φ ê x + sen φ ê y (vetor unitario normal al espejo) y donde hemos heho uso de que p es normal al espejo [E. (16)]. Al simplifiar esta última expresión tenemos p = ω i [F os θ r + os θ i ]. (35) Ahora, supongamos que el observador S determina que sobre el espejo móvil iniden (on el ángulo de inidenia θ i ) N i fotones por unidad de tiempo y de área, luego, de la E. (35) se obtiene que el ambio de momento lineal normal total por unidad de tiempo y de área es

7 140 A. ORTIZ-ACEVEDO, O. MATA-MÉNDEZ Y J. AVENDAÑO FIGURA 8. La freuenia relativa ω r/ω i omo funión de la inlinaión del espejo φ, para θ i = 30 y β = 0.1, 0.5, 0.7, Las líneas vertiales punteadas señalan la inlinaión del espejo a la ual el ángulo θ i = 30 se onvierte en el ángulo rítio para la orrespondiente veloidad. N i p = N i ω i [F os θ r + os θ i ] ; (36) así, la presión de radiaión está dada por P = N i ω i [F os θ r + os θ i ], (37) aunque éste es el resultado busado, es onveniente expresarlo de otra forma. Para esto, apliquémoslo a un espejo que está en reposo en S, on su normal apuntando en la direión del movimiento (φ = 0 0 ), de la E. (37) se tiene P = N i ω i 2 os θ i, (38) ya que F = 1 y θ i = θ r, y omo esta presión debe de oinidir on el resultado onoido para espejos en reposo en S dada por P = 2 I i os2 θ i, (39) donde I i es la intensidad del haz inidente, el termino I i / orresponde a la presión que ejere el haz uando inide normalmente sobre el espejo [9], el os 2 θ i es debido a que el haz ae obliuamente y el 2 se sigue del heho que el espejo es perfetamente refletor (ver problema 3.26 de Ref. 9). De estas dos últimas euaiones se dedue que: I ef os θ i = N i ω i, (40) FIGURA 9. La presión de radiaión normalizada a la intensidad inidente I i/ omo funión del ángulo de inidenia θ i, uando β = 0.8 y φ = 0, 35, 90, 140, 180. Las líneas vertiales punteadas señalan el ángulo rítio. on lo ual tenemos: P = I i os θ i [F os θ r + os θ i ], (41) ésta es la expresión de la presión de radiaión relativista deseada. En la Fig. 9 grafiamos la presión de radiaión normalizada a la intensidad inidente I i/ omo funión del ángulo de inidenia θ i, uando el espejo se desplaza a alta veloidad (β = 0.8) y para diferentes inlinaiones del espejo respeto a la direión de su movimiento dadas por φ = 0, 35, 90, 140 y 180. En general y omo era de esperarse se observa una aída de la presión on el ángulo de inidenia, la ual tiende a ero, esto se debe al os θ i que interviene fuera del paréntesis de la E. (41). Cuando φ = 140 y 180 la presión de radiaión normalizada a sido grafiada hasta el ángulo en que se establee la reflexión rasante (líneas vertiales punteadas). 5. Determinaión de la veloidad del espejo Como hemos menionado en la introduión, en la Ref. 1 se ha onsiderado la interaión de un haz de un láser on ilindros y onos rotando, determinándose la relaión entre el espetro reflejado y los parámetros de los objetos rotando. A

8 LEY DE REFLEXIÓN PARA ESPEJOS PLANOS EN MOVIMIENTO RELATIVISTA 141 veloidad del espejo. Para esto, hemos determinado para diversas veloidades el ángulo de reflexión a partir de resultados similares a los dados en la Fig. 2, y, luego, empleando la E. (42) hemos podido determinar la veloidad en todos los asos tratados. Para ilustrar estos resultados, en la Fig. 10 hemos grafiado el parámetro β n = β os φ ontra el ángulo de inidenia, uando β = 0.7 para diferentes ángulos de inlinaión del espejo respeto a la direión de su movimiento. Las retas paralelas al eje de las absisas nos indian que se ha obtenido la misma veloidad independientemente del ángulo de inidenia, la ual orresponde efetivamente a β = 0.7. También hemos determinado la veloidad del espejo a partir de la E. (32), el resultado es el siguiente: β = os θ i + [ os 2 θ i + F 2 1 ] 1/2, (43) os φ(f + 1) FIGURA 10. El parámetro β n = β os φ omo funión del ángulo de inidenia θ i, uando β = 0.7 y φ = 0, 36, 68, 135, 159, 180. la luz de los resultados del presente artíulo, podemos onsiderar que el método utilizado en la Ref. 1 es sólo aproximado, ya que omo el interferómetro es un aparato extremadamente sensible, los efetos relativistas aún para bajas veloidades influyen de manera onsiderable en los resultados. Así, si se requiere determinar on alta preisión los parámetros de los onos o ilindros mediante interferometría, y más aún si el objeto tiene una veloidad apreiable, es neesario onsiderar los resultados de este artíulo. Un estudio más ompleto en esta direión está en urso, pero, a manera de ilustraión, determinaremos la veloidad de un espejo plano que se mueve a veloidades relativistas. Hay tres proedimientos para obtener la veloidad, en el primero podemos despejar a β de la E. (28), en el segundo de la E. (32), y en el terero de la E. (30). Al despejar a β de la E. (28), resulta después de un poo de álgebra la siguiente expresión: β = 1 sen [(θ r θ i )/2] os φ sen [(θ r + θ i )/2], (42) on la ondiión que el espejo no es paralelo a la direión de movimiento (i.e., φ 90, φ ). Esta expresión nos permite obtener la veloidad relativista del objeto si hemos determinado el ángulo de inlinaión del espejo φ, el ángulo de inidenia θ i y el ángulo de reflexión θ r. Como se observa, esta euaión es muy simple, lo ual nos ha sorprendido ya que esperábamos un resultado más ompliado. Hemos realizado muhas simulaiones numérias y hemos onstatado que la E. (42) efetivamente proporiona la esta euaión en prinipio nos permite obtener la veloidad si se ha determinado el ángulo de inidenia θ i y la freuenia relativa F. Hemos realizado las mismas pruebas que on la E. (42), para esto hemos obtenido la freuenia relativa para distintos ángulos de inidenia, diversas veloidades y distintos ángulo de inlinaión del espejo respeto a la direión de su movimiento, y hemos reobrado la veloidad a partir de la E. (43). Como hemos menionado antes, la E. (30) nos proporiona una manera más para determinar la veloidad del espejo móvil en el aso partiular que el espejo se aleja del rayo inidente. En este aso podemos modifiar experimentalmente el ángulo de inidenia hasta alanzar el ángulo de inidenia rítio, i.e., uando se produe la reflexión rasante, y a partir de este valor rítio determinar la veloidad del espejo mediante la expresión obtenida de la E. (30). 6. Conlusiones β = 1 sen θ i os φ os θ i (44) En este artíulo hemos estudiado las leyes de la reflexión óptia para espejos planos que se mueven a veloidades relativistas. Se enontró que el ángulo de reflexión no es igual al ángulo de inidenia. Se estudió también la freuenia del rayo reflejado en funión de varios parámetros omo: el ángulo inidente, la inlinaión del espejo móvil respeto a la direión del movimiento, la veloidad del espejo. De la misma manera se estudió la presión de radiaión sobre el espejo móvil en funión de los mismos parámetros. Como apliaión de los resultados obtenidos hemos propuesto un método para determinar la veloidad relativista del espejo plano, habiéndose onoido previamente la inlinaión del espejo, el ángulo de inidenia y el ángulo de reflexión.

9 142 A. ORTIZ-ACEVEDO, O. MATA-MÉNDEZ Y J. AVENDAÑO Agradeimientos Los autores agradeen el apoyo de COFAA-IPN (Méxio). 1. I. Bankman, J. Opt. So. Am. A 17 (2000) G. Cavalleri y E. Tonni, Phys. Rev. E 57 (1998) T. James Belih, Ryan P. Lahm, Rihard W. Peterson y Chad D. Whipple, Am. J. Phys. 65 (1997) R.A. Shumaher, Am. J. Phys. 62 (1994) M.K. Abdelazeez, Lester C. Peah y Suresh R. Borkar, IEEE Trans. on Antennas and Propag.AP-27 (1979) J. Cooper, IEEE Trans. on Antennas and Prop. AP-28 (1980) W.H. MCrea, Físia relativista (U.T.E.H.A.- Méxio, 1965) Cap.5, Se A. Sommerfeld, Optis (Aademi Press, NY, 1964) Cap.2, Se E. Heht, Óptia (Addison Wesley Iberoameriana, Terera Ediión, Madrid, 2000) Cap. 3, Se