Lugar Geométrico de las Raíces Herramienta para diseño de sistemas de control

Transcripción

1 Herramienta para diseño de sistemas de Elizabeth Villota Cerna Curso: Ingeniería de Control (MT221) Facultad de Ingeniería Mecánica UNIFIM Mayo Control por realimentación, dónde? buques (nano) satélites procesamiento de materiales automóviles redes de generación y transmisión de potencia robótica metal organic chemical vapor deposition (MOCVD) reactor bioingeniería European Power Networ SonyAIBOEntertainment Robot 2 1

2 Sistema básico de por realimentación Ejemplo: conducir un vehículo a una velocidad dada Actuador Pedal gas Carro Sensor Velocímetro Presionar Controlador Conductor Velocidad Referencia Disturbios están en todas partes! Objetivo: Sistema en lazo cerrado estable y desempeño robusto aún en la presencia de disturbios/incertezas. ESTABILIDAD disturbios limitados dan errores limitados DESEMPEÑO buena atenuación de disturbios, respuesta rápida 3 Paradigma del por realimentación disturbios Carro Controlador ley de ruido Referencia 5 2

3 Herramientas del por realimentación LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES, herramienta para análisis y síntesis de sistemas de! disturbios Modelado Carro Análisis (estabilidad y desempeño) ruido Controlador ley de Síntesis MATLAB! referencia 7 Modelado Modelo: representación matemática de un sistema físico, biológico o de información. Los modelos ayudan a entender el sistema y hacer predicciones acerca de su comportamiento. de velocidad Modelo en el dominio del tiempo: Representación espacio de estados sistema no lineal Modelo en el dominio de la frecuencia: Representación función de transferencia (característica entrada/salida) sistema lineal transformada de Laplace interpretaciones gráficas 8 3

4 Modelado Función de transferencia Considerando un sistema de entrada/salida lineal invariante en el tiempo (SLIT): donde es la entrada, la salida. Condiciones iniciales cero. transformada de Laplace Polos: raices del polinomio = ecuación característica Ceros: raices del polinomio Ganancia: 9 Análisis: estabilidad y desempeño Sea el SLIT: Resolviendo la EDO: ESTABILIDAD El SLIT es estable si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real negativa. SLIT 2do orden respuesta decrece en el tiempo con Re{λ(A)}<0 Autovalores del sistema: 10 4

5 Análisis: estabilidad y desempeño DESEMPEÑO (SLIT 2do orden) Autovalores del sistema: respuesta a un escalón diagramas de Bode transiente estado estable ω o autovalores sistema λ(a) 11 Análisis: estabilidad y desempeño DESEMPEÑO (SLIT 2do orden) transiente estado estable respuesta a un escalón ω o autovalores sistema λ(a) propiedades de la respuesta a un escalón para un sistema de 2do orden con 12 5

6 Sistema de por realimentación SEGUIMIENTO DE REFERENCIA Lazo abierto: Lazo cerrado: Controlador + referencia Si y, entonces: =0 ecuación característica polos sistema ado = raíces de la ecuación característica 13 (LGR) HERRAMIENTA PARA ANÁLISIS DE DESEMPEÑO Y ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL Sea Controlador + referencia entonces polos sistema ado dependen de LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES: gráfico que muestra el desplazamiento en el plano complejo de las raíces de la ecuación característica al ir variando el parámetro s 4 s 3 s 2 s

7 INTERPRETACIÓN + referencia Sea entonces Los polos del sistema ado son: 0= tabla de polos del sistema ado para diversos valores de LGR 15 PROPIEDADES Las raíces de la ecuación característica del sistema ado deben satisfacer: REGLAS PARA GRAFICAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 1. Número de ramas (n r ) n r es igual al número total de polos del sistema en lazo abierto. 2. Puntos de inicio ( 0) Las ramas del LGR comienzan en los polos del sistema en lazo abierto. Dem: 16 7

8 REGLAS PARA GRAFICAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 3. Puntos finales ( ) Las ramas del LGR terminan en los ceros del sistema en lazo abierto. Dem: Las n p n c ramas restantes terminan en el infinito. 4. Comportamiento a lo largo del eje real Un punto en el eje real es un punto del LGR si la suma de polos y ceros que se encuentra a la derecha del punto es impar. 5. Determinación de la ganancia La ganancia en un punto arbitrario s 1 se calcula como 17 EJEMPLO + referencia Sea Usando las reglas antes descritas: R1. n r = 2 R2. Polos representados con x R3. Ceros representados con o R4. LGR en el eje real mostrado en linea roja. R5. El valor de en s=1: LGR 18 8

9 REGLAS ADICIONALES PARA GRAFICAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 6. Simetría del LGR El LGR siempre es simétrico respecto al eje real. 7. Asíntotas del LGR Para grandes valores de s, el LGR es asintótico a lineas rectas con ángulos: 8. Intersección de las asíntotas con el eje real Los puntos de intersección de asíntotas son: 19 REGLAS ADICIONALES PARA GRAFICAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 9. Ángulos de partida/llegada de polos/ceros complejos Estos ángulos se calculan considerando un punto s s muy cerca al polo o cero, y que satisface la condición de fase. 10. Puntos de salida/llegada sobre el eje real Un punto de salida/llegada del (al) eje real sucede en un máximo (mínimo) relativo de la ganancia. Se calcula resolviendo: 20 9

10 EJEMPLO + referencia Sea Usando las reglas antes descritas: R1. n r = 3 R4. LGR en el eje real mostrado en linea roja. R5. El valor de en s=jω: R7. LGR R8. R Diseño de basado en LGR Sistema de 2 do orden Aproximación a un sistema de 2 do orden usando los polos dominantes si,, los polos son, con y. Requerimientos de desempeño: Respuesta rápida (tiempo de asentamiento) Respuesta amortiguada (sobreimpulso) par de polos dominantes en los polos en lazo cerrado respuesta en el tiempo sistema 2 do orden propiedades respuesta al escalón sistema 2 do orden 22 10

11 MATLAB para diseño de basado en LGR >>rltool >> gh = zp([ 6], [0 4 8],1); 23 Síntesis de P usando LGR SUSPENSIÓN DE UN VEHÍCULO LGR ξ ω o Lazo cerrado + modelo físico del sistema de suspensión de un vehículo dos grados de libertad λ( ) respuesta en el tiempo a un cambio en la referencia y luego en la perturbación (camino) Sistema ado presenta oscilaciones. Para altos valores sistema inestable. Ante una perturbación (camino) el sistema oscila inaceptablemente! 24 11

12 Síntesis de PI usando LGR SUSPENSIÓN DE UN VEHÍCULO Lazo cerrado + modelo físico del sistema de suspensión de un vehículo dos grados de libertad LGR ξ ω o respuesta en el tiempo a un cambio en la referencia y luego en la perturbación (camino) Sistema ado sigue presentando oscilaciones. Para pequeños valores se puede obtener respuesta proximada de primer orden. Seguimiento de referencias lento, comportamiento ante perturbaciones inaceptable! 25 Otras aplicaciones del LGR SENSIBILIDAD PARAMÉTRICA Modelo Whipple de inclinación de una bicicleta Representación espacio de estados para análisis de estabilidad LGR 26 12

13 LGR puede ser usado para determinar la estabilidad de un sistema de. LGR puede ser usado para diseñar un sistema de con desempeño deseado (factor de amortiguamiento y frecuencia natural determinados). Al seleccionar un punto en el LGR, la ganancia de puede ser calculada. Controladores más elaborados (PI, PD, PID, leadlag) pueden ser diseñados con LGR. LGR permite realizar análisis de sensibilidad paramétrica