Teorema de Cauchy. Derivar el Teorema de Cauchy mediante la observación de varias transformaciones de contorno. Problema. o pts.

Transcripción

1 Teorema de Cauchy Problema Derivar el Teorema de Cauchy mediante la observación de varias transformaciones de contorno. Parámetros pts o step o pts o step o pts Solución Se definen los rangos para el controno a transformar a o o step o b o o step o c o o step o d o o step o a o b o c o d o El contorno arbitrario a transformar es: () s = s j 3 3 Capítulo VI - Nyquist de Sistemas de Control

2 Caso fs () = s f j En f(s) hay un cero en s = Caso fs () s = f s j j En f(s) hay un cero en s = y un polo en s = - Capítulo VI - Nyquist de Sistemas de Control

3 Caso 3 fs () = f s j En f(s) hay un polo en s = -.5 Caso 4 fs () s = f s.5 j j.5 En f(s) hay un cero en s = y un polo en s = -.5 Discusión Si un contorno encierra Z ceros y P polos de f(s) y no pasa a través de ningún polo y/o cero de f(s) a medida que se viaja en sentido horario, entonces, el contorno transformado encierra al origen (, ) en el plano f(s) un número N = Z - P en sentido horario. Capítulo VI - Nyquist 3 de Sistemas de Control

4 En el último caso se tiene: fs () s = f s.5 j.5 j En f(s) hay un cero en s = y un polo en s = -.5 Dado que f(s) = + g(s), el contorno trasnformado en el plano g es: s gs () = fs () = g s.5 j.5 j En g(s) hay un polo en s = -.5 Teorema de Cauchy Si un contorno encierra Z ceros y P polos de + g(s) y no pasa a través de ningún polo y/o cero de + g(s) a medida que se viaja en sentido horario sobre, entonces, el contorno transformado encierra al punto (-, ) en el plano g(s) un número N = Z - P en sentido horario. Capítulo VI - Nyquist 4 de Sistemas de Control

5 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Problema Ilustrar el Criterio de Nyquist para determinar la estabilidad de sistemas lineales continuos tipo SISO. Parámetros pts 5 o step o pts r o r step r o pts Solución Se definen los rangos para el controno a transformar r a r b r o r c r o r step r o r d r o r o r step a o b o o step c step o d o El Contorno de Nyquist es: () s s Este contorno encierra todo el semiplano derecho; es decir a todos los polos y ceros inestables. Nótese que si P (Z) son los polos (ceros) inestables, entonces, Cauchy indica que el contorno transformado en el plano g(s) encierra N = Z - P veces al punto (-, ). Capítulo VI - Nyquist 5 de Sistemas de Control

6 Caso gs () s.5 En g(s) hay un polo en s = -.5 P = N = por lo tanto Z = Caso gs () ( s ) 3.5 En g(s) hay un polo múltiple en s = -.5 P = N = por lo tanto Z = Capítulo VI - Nyquist 6 de Sistemas de Control

7 Caso 3 gs () exp(.9s) s.5 En g(s) hay un polo en s = -.5 P = N = por lo tanto Z = Caso 4 gs () s.5 ( s.5) ( s.7).5.5 En g(s) hay un cero en s = -.5, un polo en s =.5 y un polo en s =.7 P = N = por lo tanto Z = Criterio de Nyquist Un sistema realimentado es estable si y sólo si el contorno en el plano gr(s) encierra el punto (-/k, ) en sentido antihorario un número de veces igual al número de polos inestables de gr(s). Capítulo VI - Nyquist 7 de Sistemas de Control

8 M.G. y M.F. en Nyquist y Bode Continuos Problema Sistema de levitación magnética. Parámetros R L 5 3 g 9.8 d.5 l.3 m.5 k i 3 3 a. K 4.5 l.5 Modelo. d dt i = e R L L i d dt x = v d dt v Condiciones Iniciales y Entradas. k i i = g m l x a K m l x d m v x o 5 l y(t) m d k a x(t) R i(t) L + e(t) - la corriente if para tener la bola a 3 cm desde el piso en t = es, 3 x f i f k k i gm l gm x f gm a Kx f l Kl l Kl x f Kl a Kx f Kx f a i Variables de Estado por lo que la tensión ef a aplicar es, d x = i a x = x x 3 = t x = v e f i f R e f 3.44 las c.i. son entonces, i i f x x f v Modelo Lineal i o i x o x v o v e o e f d A k i m R L i l x a k i i m l x a K m d m L b c ( ) Funciones de Transferencia en L.A. h xe ( s) c( sidentity( 3) A) b simplify float ( s. ) 5. 7 s 3. 8 s Capítulo VI - Nyquist 8 de Sistemas de Control

9 Error en S.S. Entrada Escalón - Sistema en L.C. de Voltaje - Controlador k c, con k a =, y k st =. e esc_ss e esc_ss.4 k c Re e esc_ss h xe ( ) k c k a k st MF.88 ljw g.475i w g MG db log( MG) MG db 6.63 arg l jw g t r t w r g Retardo Crítico h c () s k c w w Given ljw w o Find w w ls () h xe ()h s c () s = arg l j w w o w o w g w p 8 MF 8 arg l jw g MF 8.39 MG = MG ljw p MG ljw p 6.75i 7 Nyquist Rango para el Nyquist pts 5 o r o o step r pts o r step k r pts a r step r o a o r b b step 3 3 Capítulo VI - Nyquist 9 de Sistemas de Control

10 Bode n max 5 Mn ( ) log l( j w( n) ) n n max Pn ( ) w max w wn ( ) w min nratio max ratio log w min n max 8 if arg( l( jw( n) )) arg( l( jw( n) )) arg( l( jw( n) )) w min w g w p w g w p MG db 9 Magnitud Fase 8MF Simulación Sistema en L.C. de Posición - Controlador k c. A r A bk c c b r Dt ( x) A r x x x 3 T bk c b r x d () t delta i, x, xd c r c CI ( ) T t f 8 l f 5 Z c rkfixed CI t f l f D 3 ll l f t f t t l f f e() t k c x d () t Z ctlf t f 3 delta e x d () t x o ( t ) 6 4 e esc_ss Capítulo VI - Nyquist de Sistemas de Control

11 Error en S.S. Entrada Rampa - Sistema en L.C. de Voltaje - Controlador k c /s, con k a =, y k st =. e ram_ss.4 k c Re e ram_ss k a h xe ( ) A c b c k c c c d c simplify h c () s c c s A c b c float6 s ls () h xe ()h s c () s MF w w Given.456 ljw g.89i MG db log( MG) MG db 6.75 arg l j w g t r t w r.45 g Nyquist Retardo Crítico.49 ljw p 3.4i 7 Rango para el Nyquist pts 5 o r o o step r pts o r step k r pts a r step r o a o r b b step ljw w o Find w w = arg l j w w o w o w g w p 8 MF 8 arg l jw g MF 6.88 MG = MG ljw p MG Capítulo VI - Nyquist de Sistemas de Control

12 Bode n max 5 n n max w min w max ratio log w max w min n max wn ( ) w min nratio Mn ( ) log l( j w( n) ) Pn ( ) 8 if arg( l( jw( n) )) arg( l( jw( n) )) arg( l( jw( n) )) w g w p w g w p MG db 9 8MF Magnitud Fase Simulación Sistema en L.C. de Posición - Controlador k c /s. A r stack augment A bd c c bc c x d () t x o ( t ) Dt ( x) A r x x x x 3 4 T augmenta c b c c b r x d () t delta i, x, xd CI ( ) T b r stack bd c b c 3 c r augment c c c Z c rkfixed CI t f l f D e() t c c Z ctlf t f 5 delta e Capítulo VI - Nyquist de Sistemas de Control

13 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos Problema Ilustrar el Criterio de Nyquist para determinar la estabilidad de sistemas lineales continuos tipo SISO. Parámetros pts 5 step pts T e exp( ) Solución Se definen los rangos para el controno a transformar step a T T step b T T T T c step 3 T T T T d 3 3 step T T T T El Contorno de Nyquist es: ( z) z Este contorno encierra porción del plano complejo donde las raíces estables pueden estar. Nótese que este sistema tiene n polos y que + kg(z) tiene a su vez n ceros. Si P (Z) son los polos (ceros) fuera del círculo unitario, entonces dentro del círculo hay n - P (n - Z) polos (ceros). Cauchy indica que el contorno transformado en el plano g(z) encierra N = (n - Z) - (n - P) = P - Z al punto (-/k, ). Capítulo VI - Nyquist 3 de Sistemas de Control

14 Caso gz ( ) z.5 En g(z) hay un polo en z =.5 P = N = por lo tanto Z = Caso gz ( ).5 z( z.5) En g(z) hay un polo en z = z =.5 P = N = - por lo tanto Z = Capítulo VI - Nyquist 4 de Sistemas de Control

15 Caso 3 gz ( ).4 z ( z.5) En g(z) hay un polo en z =.5 z = doble P = N = por lo tanto Z = Caso 4 gz ( ) z. z( z.) ( z.3) En g(z) hay un cero en z = -., un polo en z =, en z =. y en z =.3 P = N = - por lo tanto Z = Criterio de Nyquist Un sistema realimentado es estable si y sólo si el contorno en el plano gr(z) encierra el punto (-/k, ) en sentido horario un número de veces igual al número de polos inestables de gr(z). Capítulo VI - Nyquist 5 de Sistemas de Control

16 M.F. y M.G. en el Nyquist de un Sistema Discreto Problema El estanque es controlado con un sistema discreto que tiene sólo una ganancia. y u Estanque Parámetros. Variable de Estado f e Modelo Continuo Modelo Discreto de la Planta Controlador Discreto F. de T. en L.D. lz ( ) c k zidentity( ) A k b k c ck ( 4) zidentity( ) A ck b ck d ck Nyquist. Rango para el Nyquist pts 5 step pts f s A e.5 x = h d dt ht () = vt () f A s () t A t b t e e A t c e A t e T T T.5 A k b k c A k e k e A e A ck b ck El Nyquist es c ck k c k c d ck 5 y d (kt) + - e(kt) h c (z) controlador x y c z - v(kt) y s (kt) cos sin T T step 3 T T S/H S v(t) Válvula h a(s) h 3 3 step d T T T f e (t) h st(s) + Sensor/Transmisor l f s (t) Estánque - As l f s x T h(t) MG MF Given arg l exp j T p g o o = l exp j T = o Find MG l exp j p T MG.5 MF 8 arg l exp j g T MF MG db log( MG) MG db l exp j p T 4.54i l exp j g T 8.83i g.6 arg l exp j g T N r N r.4 g T Capítulo VI - Nyquist 6 de Sistemas de Control

17 Bode n max 5 n n max min max T max ratio log ( n) min n min nratio P ( n) arglexpj( n) T max 8 Mn ( ) log lexpj( n) T Pn ( ) if P ( n) P ( n) P ( n) 4 g p g p 9 8MF Magnitud Fase 8 MG db Capítulo VI - Nyquist 7 de Sistemas de Control

18 Problema Modelo Discreto de la Planta F. de T. en L.D. El estanque es controlado con un sistema discreto que tiene sólo una ganancia. Ahora la válvula tiene un retardo igual al tiempo de muestreo. T Controlador T Discreto A A k e b k e k c k lz ( ) c k zidentity( ) A k b k c ck ( 4) zidentity( ) A ck b ck d ck c T T El Nyquist es MG Given arg l exp jt MG l exp j p T MG.545 = p Find MG db log( MG) MG db l exp j p T MF Given.9i 7 l exp jt 8 = g Find MF 8 arg l exp j g T MF l exp j g T A ck b ck c ck k c k c d ck.535i step 3 T T 3 3 step Nyquist. Rango para el Nyquist pts 5 step pts d T T T 5 x cos y arg l exp j g T N r N r.4 g T sin T Capítulo VI - Nyquist 8 de Sistemas de Control

19 Bode n max 5 n n max min max T max ratio log ( n) min n min nratio P ( n) arglexpj( n) T max 8 Mn ( ) log lexpj( n) T Pn ( ) if P ( n) P ( n) P ( n) 4 g p g p 9 8MF Magnitud MG db Fase Capítulo VI - Nyquist 9 de Sistemas de Control

20 Margen de Fase Exacto y Aproximado Problema Parámetros Solución Mostrar gráficamente la curva exacta y aproximada de Margen de Fase de un sistema de segundo orden. pts r step pts Se definen ambas funciones r step MF ex MF ap atan valor exacto valor aproximado SP exp Factor de Amortiguamiento Sobrepaso [%] Margen de Fase ( ) Margen de Fase ( ) Nótese que el Sobrepaso [%] más el Margen de Fase [ ] suman aprox. 7, para sobrepasos de hasta un 5%. Capítulo VI - Nyquist de Sistemas de Control