Análisis en Frecuencia

Transcripción

1 Análisis en Frecuencia Jaime Rohten

2 Análisis en Frecuencia Una ventaja del enfoque de la respuesta en frecuencia es su aplicabilidad experimental, puesto que las pruebas en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de generadores de señales sinusoidales y un equipo de medición. Como resultado, se puede obtener la F. de T. y/o M. de T. de sistemas en forma experimental independiente de la complejidad del sistema. Además, este enfoque suele ser una poderosa herramienta en la etapa de diseño de sistemas

3 Análisis en Frecuencia Hasta ahora todo el análisis se ha referido a S.L.I. en que la entrada no es una señal periódica. Ahora quedan interrogantes tales como, qué señal aparece en la salida si se utiliza una entrada sinusoidal?. Por ejemplo, en el caso de tener un sistema con una F.de T. dada por h(s) = 1/(s + a), para una entrada sinusoidal u(t) = Asin(ωt) se tiene que la salida es, Por lo que la respuesta en el tiempo es, y s L u t 1 h s A s 2 2 s a s a yt L A 2 2 L A A s s a a s a a s at a A e A cos t sint a a at 1 A e A sin t tan a a a Transiente Estacionaria - 3 -

4 Análisis en Frecuencia Se aprecia que la parte estacionaria de la salida es también una señal sinusoidal, pero de amplitud y fase modificadas de acuerdo a la F. de T. del S.L.I.. Es decir, bastaría conocer la F. de T. del sistema para predecir correctamente la amplitud y fase de la salida. Por otro lado, es sabido que una señal periódica arbitraria puede ser descompuesta en una sumatoria de señales sinusoidales; por lo tanto, la salida de un S.L.I. a estas entradas será la sumatoria de la respuesta a cada sinusoidal, lo que puede ser abordado con el análisis en frecuencia. La salida del sistema mostrado en la Fig se puede escribir como, y t h t * u t h u t d Fig Sistema S.L.I

5 Análisis en Frecuencia donde h(t) es la respuesta impulso del S.L.I.. Considerando la entrada como u(t) = e jωt, que corresponde a la base de generación de señales periódicas, en particular sinusoidales, se tiene que, j t y t h e d h e j t e j d e j t h e j d donde el término integral corresponde a la T.F. de la respuesta a impulso del sistema; es decir, luego, la señal de salida queda como, j h h e d j t y t h e donde se ve claramente que la señal periódica de entrada, e jωt, se ve reflejada en la salida como una señal de igual frecuencia a la señal de entrada, pero atenuada /amplificada y adelantada/retrasada en el factor h(ω). Nótese que h(ω) es una propiedad del sistema y es un número complejo, el cual se puede representar en un plano complejo o en módulo y ángulo. Recordar que para obtener la T.F. de una señal se puede reemplazar s por jω en su T.L. bilateral

6 Diagrama de Bode El Diagrama de Bode es la gráfica de la T.F. de un sistema como se aprecia de la definición siguiente. Def.: El Diagrama de Bode (D. de B.) es el gráfico del módulo, en db, y la fase, en grados, de una F. de T. con s = jω en función de la frecuencia en base logarítmica. Una ventaja de utilizar el D. de B. en el análisis de sistemas lineales, es que la multiplicación entre F. de T. se transforma en adición de magnitudes y fases, de los Bode respectivos. Esto debido a que se consideran dbs

7 Diagrama de Bode Ejemplo 35 1 Dibujar el D. de B. para la F. de T. hs s 1 En este caso h, por lo que 1 h, y arg h 90º j Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log h(ω) =20 log (1/ω)=-20 log (ω) - 7 -

8 Diagrama de Bode Ejemplo 36 Dibujar el D. de B. para la F. de T. 1 En este caso h, j a h s por lo que 1 s a Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log h(ω) 1 1 h, y arg h tan 2 2 a 1 20log 20log a 10log a 2 2 a a - 8 -

9 Diagrama de Bode Sistemas de Primer Orden En el caso de tener un sistema con una F.de T. dada por h(s) = 1/(s + a), para una entrada sinusoidal u(t) = Asin(ωt) se encontró que la salida es, at 1 yt A e A sin t tan a a a Transiente Estacionaria Analizando el módulo y la fase de la respuesta estacionaria del sistema se tiene que, i. Si la señal de entrada es de baja frecuencia, ω << a, la salida se atenúa en -20log{a}dB y se retrasa en 0. ii. Si la señal de entrada es de alta frecuencia, ω >> a, la salida se atenúa en -20log{ω}dB y se retrasa en 90. iii. si la señal de entrada es de frecuencia ω = a, la salida se atenúa en 20log{1/(a 2)}dB que es igual a -20log{a} - 10log{2} db = -20log{a} 3.01 db y se retrasa en

10 Diagrama de Bode Sistemas de Primer Orden El análisis anterior también puede derivarse del D. de B. del sistema, que se encuentra en la Fig. del ejemplo 36, para a = 10 (nótese que a es el polo del sistema). Es decir, teniendo el D. de B. de un sistema se puede predecir la atenuación/amplificación y/o el retraso/adelanto que se producirá a la salida de un S.L.I. para una entrada sinusoidal en S.S.. Asimismo, dado que una señal periódica es la suma de un conjunto de sinusoidales, con la ayuda del D. de B. se podrá predecir la salida para señales periódicas generales. Nótese también que el sistema tiene una magnitud que cae 20 db por década a partir de frecuencias superiores a a, lo que es idéntico al caso de la F. de T. dada por h(s) = 1/s. Esto se fundamenta en que la F. de T. dada por h(s) = 1/(s + a) tiene una T.F. dada por h(ω) = 1/(jω + a), por lo que para valores muy grandes de ω, el número complejo jω + a tiende a jω por lo que h(ω) tiende más bien a 1/jω, que corresponde a la T.F. de la F. de T. dada por h(s) = 1/s

11 Diagrama de Bode Ejemplo 37 1 Dibujar el D. de B. para la F. de T. hs ss a 1 En este caso h, 1 por lo que h, y arg h 90º tan j j a 2 2 a Así el diagrama de bode esta determinado por 20 log h(ω) 1 20log 20log 10log a 2 2 a a El(la) módulo(fase) del D. de B. resultante es sin duda la suma de los(las) módulos(fases) ilustrados en las figuras de los ejemplos 36 y 35. El ejemplo anterior deja en evidencia que el D. de B de una F. de T. puede dibujarse por parte. Es decir, para cada polo y luego para cada cero, el D. de B. resultante es simplemente la suma de cada uno de ellos

12 Diagrama de Bode Sistemas de Segundo Orden El desafío es dibujar el D. de B. de un sistema de segundo orden, cuyo polinomio característico no puede reducirse al producto de dos raíces reales. En este caso la F. de T. a considerar es, hs k s s 2 n n n Si ξ >1, el factor cuadrático se puede expresar como el producto de dos factores de primer orden con polos reales y se utilizan las reglas de construcción anteriores. Si este parámetro toma valores 0 < ξ < 1, el factor cuadrático no se puede reducir y se procede como explicado a continuación. Al dividir la expresión por 2ω n, se obtiene, h s k s n s n

13 Diagrama de Bode Sistemas de Segundo Orden Por lo que su F.de T. es, h k 1 k 1 El módulo del D. de B. resulta ser, j 2 2 j j n n n n 1 1 h k k j 2 2 j j n n n n y la fase del D. de B es, arg h n j tan 1 n El D. de B. para varias combinaciones de parámetros se muestran en la Fig. 6.19, todos los cuales tienen una ganancia fija para bajas frecuencias y caen en 40 db por década para altas frecuencias, siendo esta frecuencia umbral a en el sistema de primer orden (su polo) y ω n en el sistema de segundo orden (su frecuencia natural de oscilación)

14 Diagrama de Bode Sistemas de Segundo Orden Fig D. de B. de un sistema de segundo orden estándar

15 Diagrama de Bode En los D. de B. anteriores es posible apreciar que los comportamientos asintóticos son fáciles de distinguir. Por ejemplo, sistemas de primer orden caen en 20 db y los de segundo en 40 db, después de la frecuencia característica de éstos. Este comportamiento asintótico se puede generalizar como descrito a continuación, lo que permite construir un D. de B. aproximado en forma rápida, que es conocido como el D. de B. Asintótico. Diagrama de Bode Asintótico En general una década antes y una después de la frecuencia del polo se pueden utilizar los valores asintóticos. A continuación, se enuncian las reglas para la construcción del D. de B. asintótico para sistemas mínimos de fase. Para la introducción de reglas de construcción se definen los sistemas tipo N. Def.: Se definen los sistemas Tipo N como aquellos que tienen un polo de orden N en el origen y sistemas de Tipo -N a aquellos que tienen un cero de orden N en el origen

16 Diagrama de Bode A. Parte inicial del D. de B. Sistema Tipo 0. h s 1 s a - el módulo es 20log{h(0)} db que es una recta horizontal, - la fase es 0 que es una recta horizontal. Sistema Tipo N. h s 1 N s - el módulo es 20N db/dec que es una recta con pendiente negativa, - la fase es 90 N que es una recta horizontal. h s s Sistema Tipo -N. N - el módulo es 20N db/dec que es una recta con pendiente positiva, - la fase es 90 N que es una recta horizontal

17 Diagrama de Bode B. Modificación en polos y ceros a medida que ω aumenta Un polo de orden r. h s 1 s a 2 - el módulo baja en 20r db/dec a partir de ω = a, - la fase baja en 90 r a partir de ω = a. Un cero de orden r. 3 h s s a - el módulo sube en 20r db/dec a partir de ω = a, - la fase sube en 90 r a partir de ω = a. C. Polos y Ceros Complejos Un polo complejo. h s k 2 2 s n s n - el módulo baja en 40 db/dec a partir de ω = ω n, - la fase baja en 180 a partir de ω = ω n. Un cero complejo h s s 2 s 1 - el módulo sube en 40 db/dec a partir de ω = ω n, - la fase sube en 180 a partir de ω = ω n. n n

18 Diagrama de Bode D. Corrección de Magnitud El D. de B. asintótico hasta aquí descrito resulta en rectas bien definidas. Sin embargo, se sabe que las curvas son suaves. Una forma de corregirlo es mejorando la aproximación en las frecuencias de los polos y/o ceros. En efecto, si hay un polo(cero) de orden r en una frecuencia ω p, en esta frecuencia se agregan -3r(3r) db a la curva de magnitud

19 Ejemplo 38 Dibujar el D. de B. asintótico Diagrama de Bode h s 1 s 10 Dibujar el D. de B. asintótico s 1 hs k, con k 10, n 1000, 0. 2 s 10 s 2 s 2 n 2 2 n n

20 Sistemas con Retardo Diagrama de Bode El retardo tiene el comportamiento equivalente a un sistema de fase no-mínima, aportando un retraso excesivo a altas frecuencias. La T.L. de un retardo t d es, por lo que la T.F. es, Por lo tanto, el módulo es unitario y la fase, td s e d d td j jtd e e cos t j sin t sin t argcos t j sint tan t 1 d d d d cos td Por consiguiente, el retardo en un sistema sólo altera la característica de fase de su D. de B

21 Diagrama de Bode Sistemas de Fase No-Mínima Los sistemas de fase no mínima son los que tienen ceros y/o polos en el S.P.D.. Para estos casos el D. de B. también representa una alternativa de análisis en el dominio de la frecuencia. Lamentablemente, se encuentra que distintos sistemas tienen igual módulo en el D. de B. y por lo tanto esta información es insuficiente para su análisis y por lo tanto debe utilizarse la información contenida en la fase. La evaluación de la fase de sistemas de fase no-mínima por medio de softwares tradicionales debe realizarse cuidadosamente, puesto que pueden utilizar funciones trigonométricas con argumentos principales, lo que puede incurrir en errores. Por ejemplo, la evaluación de la fase de 1 - j y de -1 + j es tan -1 {-1/1} y tan -1 {1/-1}, respectivamente, y resuelta ser en ambos casos -45 si se utiliza la función tan -1 {} sólo con argumento principal. Sin embargo, -1 + j se encuentra en el segundo cuadrante y por lo tanto su fase es -225 ó 135, según la convención de medición de ángulos, pero no es -45 (en este curso se prefiere 135 ). En general, se miden en sentido antihorario(horario) los ángulos en el primer(tercer) y segundo(cuarto) cuadrante

22 Ejemplo 39 Diagrama de Bode 1 1 s10 s10 Dibujar el D. de B. de h s y h s 1 2 h 1 1 j10 j10 y h h y h ,y sus módulos son Sin embargo, al tomar la fase de cada uno se tiene que argh1 0 tan tan argh2 0 tan tan En particular, como jω - 10 está en el segundo cuadrante, el ángulo está entre 90 (para ω ) y 180 (para ω 0), por lo que el ángulo de 1/( jω - 10) estará entre -90 (para ω ) y -180 (para ω 0), lo que queda representado por arg{h2(ω)} = tan -1 (ω/10)

23 Sistemas de Fase No-Mínima Diagrama de Bode Fig D. de B. de sistemas no-mínimos de fase; a) 1/(s + 10), b) 1/(s - 10)

24 Criterio de Nyquist

25 Criterio de Nyquist Contenido del Capitulo I. Introducción II. III. III. IV. Teorema de Cauchy. Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos. Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos. Estabilidad Relativa

26 Introducción Estabilidad es lo mínimo que se puede esperar al diseñar un sistema de control. Este concepto tiene acepciones simples en sistemas lineales lo que permite su utilización tanto para su análisis y diseño. En este capítulo se introducen los conceptos de estabilidad absoluta y estabilidad relativa para el diseño de controladores. El Criterio de Nyquist se deriva del cálculo complejo y su importancia radica al proveer definiciones de margen de fase y margen de ganancia en sistemas de cualesquier orden. Es más, su extensión natural a sistemas discretos es también estudiada

27 Introducción La estabilidad puede analizarse al considerar los tipos y grados de ésta. Tipos: Estable (entrada acotada/salida acotada y entrada cero estabilidad asintótica) Marginalmente estable. Inestable. Grados: Estabilidad absoluta. Estabilidad relativa. Para el análisis de la estabilidad se tienen las siguientes herramientas, Criterio de Routh-Hurwitz Criterio de Nyquist Diagrama de Bode Diagrama de Nichols

28 A. Definiciones Introducción Se dice que un sistema es estable entrada-acotada/salida-acotada, si para condiciones iniciales nulas (respuesta a estado cero), su salida es acotada para una entrada acotada; es decir, u(t) tal que u(t) M y(t) N < t. Si la respuesta a entrada nula, sujeta a condiciones iniciales finitas, alcanza el cero cuando t tiende a infinito, se dice que el sistema es estable a entrada cero (o asintóticamente estable); es decir, y(t) M < t t o y lím yt 0 t Afortunadamente, en sistemas lineales e invariantes en el tiempo, ambas definiciones necesitan del mismo requisito, éste es que todas los valores propios de la representación en variables de estado del sistema tengan parte real negativa. Por esta razón los sistemas que cumplen con esta condición son conocidos simplemente como estables. Sin embargo, para que un sistema sea estable entrada/salida sólo es necesario que los polos de su F. de T. estén en el S.P.I

29 Introducción Un sistema es marginalmente estable si no hay raíces del polinomio característico en el S.P.D. y a lo más hay raíces simples sobre el eje imaginario. Un sistema es inestable si por lo menos hay una raíz simple de la ecuación característica del sistema en el S.P.D., o una raíz doble sobre el eje imaginario. Fig L.G.R. de sistemas críticamente estables e inestables

30 Introducción B. Usos y Limitaciones del Criterio de Routh-Hourwitz Cuál es el rango de k para que un sistema cuya F. de T. en L.D. es sea estable en L.C.? Para responder se obtiene la ecuación característica, k 1 s 2 l s l s 1 0 s 3s 2s k 0 s s k 1 s 2 al aplicar Routh-Hurwitz se obtiene que a 2 a 1 > a 0 por lo que 3 2 > k ó k < 6, por lo que la ganancia crítica es k c = 6 y el rango entonces es, 0 < k < 6. Otra interrogante interesante es: si k = 2, en cuánto se puede aumentar la ganancia en L.D. antes de obtener un sistema inestable?. Como k = 2 y k c = 6 la ganancia k se puede aumentar en un k c /k = 6/2 = 3 p.u. = 300%. Esta cantidad se conoce como el Margen de Ganancia. En general se puede definir un margen de estabilidad como el cuociente entre el valor estable máximo al valor actual. Por lo que para la s s ganancia se tiene que, MargendeGanancia = M.G. = Ganancia estable máxima Ganancia Actual

31 Introducción Este concepto tiene las siguientes limitaciones, (a) no se puede aplicar siempre (no todos los sistemas se hacen inestables cuando k ) y (b) dos sistemas con igual M.G. pueden tener comportamientos totalmente diferentes. Además, qué sucede si la planta incluye retraso?. En este caso se podría tener, l s n s d s e Ts por lo que la ecuación característica es, 0 d s n s e Ts la cual no corresponde a un polinomio y por tanto no se pueden definir los coeficientes a n-1,,a 1,a 0 sin utilizar una simplificación. Para estos casos se tiene el Criterio de Nyquist que se puede enunciar para sistemas continuos y discretos, y que está basado en la teoría de números complejos

32 Teorema de Cauchy Sea la F. de T. en L.D.: l(ψ) (donde ψ puede ser s o z), entonces, la ecuación característica es 1 + l(ψ) = f(ψ). Si ψ = σ + jω, entonces, f(σ + jω) = u + jv. Es decir, la función transformada f(σ + jω) puede ser también un número complejo. La transformación también puede ser representada gráficamente como se ilustra en el ejemplo siguiente. Un contorno arbitrario es escogido para mapearlo al plano f(ψ). La elección del contorno arbitrario será fundamental a la hora de proyectar esta teoría al control automático, muy en particular al análisis de la estabilidad de sistemas. Por lo pronto, es necesario revisar algunos aspectos adicionales de la teoría de transformaciones.,

33 Teorema de Cauchy Ejemplo 29 Para f(ψ)=2ψ+1 que tiene un cero en ψ = 1/2, determine su contorno transformado. El contorno en ψ a transformar está en la Fig. 6.2(a). R.: f(σ +jω) = 2(σ + jω) + 1= 2σ+1+2 jω, por lo que u =2σ+1, v=2ω. Ahora se procede a transformar cada segmento del contorno en ψ,, A : B 1, : 1 1 B : C 1 1, 1 u 3, v : 2 2 u 3 1,v 2 C : D 1, 11 D : A 11, 1 u 1,v 2 2 u 1 3,v 2 Fig Transformación de contorno; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado

34 Teorema de Cauchy A. Transformación o Mapeo de Contornos Def.: La curva cerrada A:B:C:D se conoce como contorno, normalmente se les asigna un nombre (letra griega) tal como Γ, y un sentido de recorrido que puede ser horario (+) o antihorario ( )., Def.: Los (el) puntos (área) al lado derecho del sentido de recorrido de un contorno se dicen (dice) encerrados (encerrada). Def.: El cambio del plano ψ = σ + jω al plano f(ψ) = u + jv del contorno Γ se conoce como transformación de contorno, también se conoce como mapeo de contorno. Def.: El número de encierros es la cantidad de veces que un punto está encerrado por un contorno en sentido horario. Este valor será negativo si el contorno se mueve en sentido antihorario. El valor se designa por N.. Nota: Para determinar el número de encierros se puede utilizar un vector auxiliar. El vector nace en el punto en cuestión y termina en un punto (ψ 1 ) de prueba sobre el contorno. Al mover ψ 1 en el sentido de recorrido del contorno, la flecha habrá recorrido 2πN grados, para llegar nuevamente al punto de partida

35 Teorema de Cauchy B. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy A continuación se revisan algunos ejemplos de mapeo de contornos haciendo hincapié en la presencia e incidencia de polos y ceros de f(ψ) en el resultado. Además, se comenta sobre la ubicación de éstos respecto del contorno a transformar. Para efectos de simplificación, el contorno a mapear es siempre el mismo. La función f (ψ)=2ψ+1 tiene un cero en ψ = -1/2. El plano f(ψ) encierra en sentido horario una vez el origen. Fig Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado

36 Teorema de Cauchy B. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy La función : f(ψ)= ψ/(ψ+2) tiene un cero en ψ = 0 y un polo en ψ = -2. El plano f(ψ) encierra en sentido horario una vez el origen. Fig Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado La función : f(ψ)= 1/(2ψ+1) tiene un polo en ψ = -1/2. El plano f(ψ) encierra en sentido anti-horario una vez el origen. Fig Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado

37 Teorema de Cauchy B. Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy La función : f(ψ)= ψ/(ψ+1/2) tiene un cero en ψ = 0 y un polo en ψ = -1/2. El plano f(ψ) no encierra el origen. Fig Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado Teorema: (Teorema de Cauchy) Si un contorno Γ en el plano ψ encierra η z ceros y η p polos de f(ψ)y no pasa a través de ningún polo y/o cero de f(ψ) a medida que se viaja en sentido horario sobre Γ, entonces, el contorno transformado f(ψ) encierra al origen del plano f(ψ), un número N = η z η p de veces

38 Teorema de Cauchy Nota 1: La ecuación característica es 1 + l(ψ) = 0, si l(ψ) se puede escribir como n(ψ)/d(ψ) = l(ψ), entonces los ceros de l(ψ) son las raíces de n(ψ) y los polos de l(ψ) son las raíces de d(ψ). Nota 2: La ecuación característica se puede escribir como equivalentemente f d n d 0 sistema en L.C. y los polos de l(ψ) son también los polos de f(ψ) n 1 f 0 d, por lo tanto, los ceros de f(ψ) son los polos del o Nota 3: Dado que f(ψ) = 1 + l(ψ), entonces, el origen de f(ψ) es equivalente a l(ψ) = 1 en el plano l(ψ). Por lo tanto, el Teorema de Cauchy se escribe como,

39 Teorema de Cauchy Teorema: (Teorema de Cauchy) Si un contorno Γ en el plano ψ encierra η z ceros y η p polos de 1 + l(ψ) y no pasa a través de ningún polo y/o cero de 1 + l(ψ) a medida que viaja en sentido horario sobre Γ, entonces, el contorno transformado l(ψ) encierra al punto ( 1, 0) del plano l(ψ), un número N = η z η p de veces. Cerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún polo de 1 + l(ψ) es factible puesto que es equivalente a cerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún polo de l(ψ), la cual es una función conocida. Sin embargo, no es posible cerciorarse que el contorno no pasa a través de ningún cero de 1 + l(ψ) y por lo tanto se debe asumir que no lo hace. Afortunadamente, los resultados de aplicar el Teorema de Cauchy permiten verificar esta premisa

40 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Notar que para esta parte del análisis se considera a la variable ψ = s, para limitar el tratamiento a sistemas continuos. Por otro lado, si la función 1 + l(s) tiene ceros (es decir, η z 0) en el S.P.D., entonces, el sistema es inestable. Por esto se usa un contorno Γ que encierra todo el S.P.D. (contorno de Nyquist ó Γ, Fig. 6.7) y se inspecciona el valor resultante de η z a partir del Teorema de Cauchy. Entonces, si 1 + l(s) tiene Z ceros y P polos inestables (en el S.P.D.), el Teorema de Cauchy afirma que el contorno transformado l(s) encierra al punto (-1, 0) un número N = Z P de veces. Finalmente se puede enunciar el Criterio de Nyquist de manera de tener un sistema estable como sigue, Fig Contorno de Nyquist para Sistemas Continuos

41 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Criterio de Nyquist: Un sistema realimentado continuo es estable si y sólo si el contorno en el plano l(s) no encierra el punto (-1, 0) cuando el número de polos de l(s) en el S.P.D. del plano s es cero. Este criterio se puede enunciar para el caso de que l(s) tiene P polos inestables (en el S.P.D.) como, Criterio de Nyquist: Un sistema realimentado continuo es estable si y sólo si el contorno en el plano l(s) encierra el punto (-1, 0) en sentido anti-horario un número de veces o bien N = -P igual al número de polos de l(s) con parte real positiva

42 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Ejemplo 30 Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D realimentado. gr s 1 s 1 si se utiliza en un esquema Hay P = 0 polos inestables, por lo que N = 0 para tener un sistema estable. El contorno Γ transformado es, Fig Nyquist ejemplo

43 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Algunos aspectos generales a considerar para optimizar el tiempo dedicado a generar el bosquejo del Nyquist de una función l(s) son, A. Funciones con k Variable Dado que f(s) = 1 + l(s) y en general puede ser f(s) = 1 + kgr(s), el origen de f(s) es el punto 1/k de gr(s). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el caso general 1 + kgr(s), con el punto dado por (-1/k, 0). B. Funciones en L.D. estrictamente propias Funciones estrictamente propias son aquellas en que el denominador tiene un orden mayor que el numerador. En este caso el tramo BC del Contorno de Nyquist siempre se mapea al origen y no aporta información respecto de la estabilidad del sistema. En estos casos sólo se ocupará el tramo con jω con ω:

44 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos C. Simetría respecto al eje real Para gr s es simétrica. sz s p i j sólo basta obtener la transformación para ω:0 dado que para ω:0 - D. Funciones con polos en s=0 En este caso se re-define el contorno de Nyquist de manera de evitar los polos en el origen. En general, si se tienen polos sobre el contorno a transformar se debe redefinir el contorno como en el ejemplo siguiente

45 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Ejemplo 31 Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D realimentado. gr s s 1 s1 si se utiliza en un esquema El contorno de Nyquist se redefine como se ilustra en la Fig. 6.9 dado que gr(s) tiene un polo en el origen. Luego, 1 AB : gr j j 0 j j 1 j 1 BC : gr re 0e 0e j j re re 1 j j j0 1 1 OA : gr re e e e re re 1 r j j j j0 2 j j El tramo AB puede ser revisado en detalle y se tiene que: Fig Criterio de Nyquist contorno modificado

46 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Ejemplo j AB : gr j j Por lo que 2 1 j AB : gr j j 0 lim Re g j El resultado se muestra en la Fig Como el contorno transformado no encierra el (-1,0), el sistema es estable. Fig Nyquist Ejemplo

47 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos E. Sistema con Retardo No hay un tratamiento especial. Desafortunadamente, el tratamiento de estos casos no es fácil de realizar manualmente

48 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Ejemplo 32 Estudie la estabilidad de la F.de T. en L.D. realimentado. 1 s 1 09 e l s. s Si se utiliza en un esquema El contorno transformado se muestra en la Fig La F. de T. en L.D. es estrictamente propia y además simétrica respecto del eje real, por lo tanto, sólo se grafica s = jω, con 0 ω. De la Fig se puede apreciar que si - < -1/k < -0.5 ó 1 < -1/k <, entonces el sistema es estable. El rango para k resulta ser -1 < k < 2. Fig Nyquist Ejemplo

49 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos Ejemplo 33 Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D realimentado. gr s 1 s 1 3 Dado que P=0 entonces N=0 para tener un sistema estable. Se tiene que, j si se utiliza en un esquema 1 gr j, Cuyo Nyquist se muestra en la Figura 6.12 j Im gr j 0, , 3 0 1; gr j 3 gr j 1 8 Por lo tanto el sistema es estable si 1 1 k 8 Fig Nyquist Ejemplo

50 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos Notar que para esta parte del análisis se considera a la variable ψ = z, para indicar explícitamente el tratamiento de sistemas discretos. Por otro lado, si la función 1 + l(z) tiene ceros (es decir, η z 0) en el exterior del círculo unitario, entonces, el sistema es inestable. Por esto se debiera usar un contorno Γ que encierre perfectamente el exterior del círculo de radio unitario. Sin embargo, se puede replantear mediante la utilización de un contorno que encierre perfectamente el interior del círculo de radio unitario (contorno de Nyquist ó Γ para sistemas discretos, Fig. 6.13). Dado que 1 + l(z) tiene n polos y n ceros (para l(z) propias o estrictamente propias), y si P son los polos inestables y Z los ceros inestables, entonces al interior de círculo (área encerrada por el contorno a transformar) hay n - Z ceros y n - P polos. Por lo tanto, el Teorema de Cauchy afirma que el contorno transformado l(s) encierra al punto (-1, 0) un número N = n - Z - (n - P) = P - Z de veces. Finalmente se puede enunciar el Criterio de Nyquist de manera de tener un sistema estable,

51 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos Criterio de Nyquist: Un sistema realimentado discreto es estable si y sólo si el contorno en el plano l(z) no encierra el punto (-1, 0) cuando el número de polos de l(z) en el exterior del círculo unitario del plano z es cero. Este criterio se puede enunciar para el caso de que l(z) tiene P polos inestables (en el exterior del círculo unitario) como, Criterio de Nyquist: Un sistema realimentado discreto es estable si y sólo si el contorno en el plano l(z) encierra el punto (-1, 0) en sentido horario un número de veces N = P igual al número de polos de l(z) con módulo mayor que uno. Similarmente al caso continuo, algunos aspectos generales a considerar para optimizar el tiempo dedicado a generar el bosquejo del Nyquist de una función l(z) son,

52 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos A. Funciones con k variable. Dado que f(z) = 1 + l(z) y en general puede ser f(z) = 1 + kgr(z), el origen de f(z) es el punto -1/k de gr(z). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el caso general 1 + kgr(z), con el punto dado por (-1/k, 0). B. Simetría respecto al eje real Para gr z z z dado que para Ω: -π/t 2-π/T es simétrica. i z p j sólo basta obtener la transformación para el contorno entre Ω:0 -π/t, 6.13 Contorno de Nyquist para Sistemas Discretos

53 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos C. Funciones con polos z=1 En este caso se re-define el contorno de Nyquist de manera de evitar los polos en z = 1. En general, si se tienen polos sobre el contorno a transformar se debe redefinir el contorno. D. Sistema con retardo A diferencia de sistemas continuos, los retardos son equivalentes a polos en el origen (z = 0) y por lo tanto, no hay un tratamiento especial. Más aún, las soluciones para analíticamente k pueden obtenerse

54 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos Ejemplo 34 Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D (a) realimentado. l z 1 z 15. si se utiliza en un esquema Dado que P=1.El Nyquist de este sistema se muestra en la figura 6.14 y se puede observar que el contorno transformado rodea (-1,0) una vez en sentido horario, por lo tanto N=1 y el Teorema de Cauchy indica entonces que Z=P-N=0; es decir, 1+l(z) tiene 0 ceros en el exterior del círculo unitario, y por lo tanto el sistema es estable. Fig Nyquist Ejemplo

55 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos Ejemplo 35 Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D realimentado. l 15 z. k z z 15. si se utiliza en un esquema Dado que P=1. El Nyquist de este sistema para k=1 se muestra en la figura 6.15 y se puede observar que el contorno transformado rodea (-1,0) una vez en sentido antihorario, por lo tanto N=- 1 y el teorema de cauchy indica entonces que Z=P-N=2; es decir, 1 + l(z) tiene 2 ceros en el exterior del círculo unitario, y por lo tanto el sistema es inestable. Como P=1, N debiera ser 1 para tener Z=0, entonces los puntos encerrados una vez en sentido horario corresponderían a ubicaciones para (-1/k,0) estables. La fig indica que esto se cumple para -3 < -1/k < -1.5 o bien para 1/3 < k < 2/ Fig Nyquist Ejemplo 35

56 Estabilidad Relativa Al diseñar controladores se pueden utilizar los índices numéricos tales como sobrepaso y tiempo de asentamiento. Sin embargo, en sistemas de orden mayor no es posible encontrar una relación directa entre los parámetros de diseño y estos índices. Por otro lado, falta explorar el concepto de estabilidad relativa. Es decir, determinar cuantitativamente cuán estable es un sistema. Este tratamiento se puede realizar para sistemas continuos y discretos indistintamente. La idea es evaluar cuantitativamente cuan cerca/alejado está el contorno transformado de ser inestable. Es decir, cuán alejada está la curva del punto ( 1, 0). Para esto se cuantifica la ubicación de los puntos α y β del Nyquist, Fig El punto α es donde la curva corta el eje real, y β es donde la curva corta al círculo unitario. Con estas indicaciones se definen los índices de estabilidad

57 Estabilidad Relativa Def: Se define margen de ganancia (punto α) a la cantidad de ganancia en decibeles (db) que se puede añadir al lazo antes de que el sistema en L.C. se torne inestable. Así el margen de ganancia (M.G.)=, donde ω p es la frecuencia angular de cruce de fase definida por la ecuación, arg l(j ω p )=180º, una representación gráfica se muestra en la figura 6.16 para un Nyquist de un sistema continuo arbitrario. Para un sistema discreto se puede establecer que el margen de ganancia (M.G.)= 1 20 log p log l e j j 10 pt l e definida por la ecuación, arg l(e j Ωp T )=180º. T 20log 10 20log10 l j p 1 l j p donde Ω p es la frecuencia angular de cruce de fase

58 Estabilidad Relativa Def: Se define el margen de fase (punto β) como el ángulo en grados que el contorno transformado se debe rotar alrededor del origen para que el sistema en L.C. se torne inestable. Así el margen de fase queda como M.F. =arg l(ω g )= 180º, donde ω g es la frecuencia angular de cruce de ganancia definida por la ecuación l(jω g ) = 1 una representación gráfica se muestra en la Fig. 6.1x para un Nyquist de un sistema continuo arbitrario. Para un sistema discreto se puede establecer que el margen de fase queda como M.F.= arg l(e jωpt )+180º, donde Ω p es la frecuencia angular de cruce de ganancia definida por la ecuación l(e jωpt ) =

59 Estabilidad Relativa Es importante destacar que las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con F. de T. en L.D. de fase mínima (es decir, en sistemas con l(s) ó l(z) sin ceros ni polos inestables y estrictamente propias. Fig MF y MG de un Nyquist

60 Estabilidad Relativa Es importante destacar que las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con F. de T. en L.D. de fase mínima (es decir, en sistemas con l(s) ó l(z) sin ceros ni polos inestables y estrictamente propias. Fig MF y MG de un Nyquist

61 Estabilidad Relativa Relación entre el Margen de Fase y un Sistema de Segundo Orden Continuo. Un sistema de Segundo Orden que da origen a una F. de T en L.C como la estandar es, l s 2 n s s 2 el cual tiene un M.G. infinito, pero un M.F. finito. Para encontrar la frecuencia de cruce de ganancia se utiliza la definición, 2 n l j 1, g j j 2 de donde, 2 n g g n n g g n n g g n g n g n , 4, 4 0 x n x n

62 Estabilidad Relativa Finalmente, Con este resultado se obtiene el M.F. como, g M.F. 180º arg l j 180º 90º tg g n º tg tg g g Este último resultado muestra que el M.F. es sólo función del factor de amortiguamiento. Es más, al observar la gráfica del ξ vs M.F. (Fig. 6.17) se encuentra prácticamente una relación lineal dada por ξ 0.01 M.F., para valores de M.F. de hasta 60. Este resultado es de suma importancia puesto que en sistemas de orden superior no es posible especificar un factor de amortiguamiento; sin embargo, y gracias a esta relación se puede especificar un M.F. con resultados similares

63 Estabilidad Relativa En sistemas de segundo orden se recomienda un ξ de aproximadamente 0.3 lo que a su vez implica un M.F. de 30. Este resultado se puede extender a sistemas de orden mayor, puesto que el concepto es igualmente válido. En general, sistemas de orden mayor a 2 pueden ser diseñados para obtener un margen de fase de 30º a 60º y con un margen de ganancia superior a 6 db. Fig El factor de amortiguamiento ξ en función del margen de fase M.F. para un sistema continuo

64 Análisis en Frecuencia Jaime Rohten