G(s) I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II. y(t) x(t) y(t) = Y sen(ωt + φ) x(t) = X sen(ωt) PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO

Transcripción

1 I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-30 CONTROL DE PROCESOS II I. RESPUESTA FRECUENCIAL La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema, en estado estacionario, ante una entrada sinusoidal. Sistemas lineales sometidos a este tipo de entrada presentan una salida sinusoidal también pero con diferente amplitud y ángulo de fase. Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en frecuencia se encuentran la facilidad de reproducir señales de prueba que permiten una identificación frecuencial, la existencia de criterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto y finalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de carácter frecuencial. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una relación entre la respuesta frecuencial y la temporal. Tal como se mencionó anteriormente, la respuesta frecuencial se obtiene al dar como entrada a un sistema una función sinusoidal (x(t)), tal como se observa en la figura. y obtener como salida (y(t)) también una función sinusoidal, tal como se observa en la figura. x(t) x(t) X sen(t) G(s) y(t) y(t) Y sen(t+φ) FIGURA. SISTEMA PERTURBADO CON UNA ENTRADA SINUSOIDAL x(t) X sen(t) y(t) Y sen(t + φ) FIGURA. REPRESENTACIÓN DE LA ENTRADA Y LA SALIDA PARA EL SISTEMA ANTERIOR Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencial haciendo uso de la función de transferencia del sistema G(s), sustituyendo PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

2 I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-30 CONTROL DE PROCESOS II s j en la función de transferencia G(s) tal como se muestra a continuación: G(j) M.e (jφ) M φ donde, M...Relación de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada φ...desfase entre las señales de la misma forma G(j) se expresa como un vector con modulo y ángulo G(j) G(j) e (jφ) Im(G( j)) ; φ tag Re(G( j)) A partir de lo anterior y basándose en que G(j) es una relación entre la entrada y la salida se tiene, ( j) ( j) y G ( j) por lo que, x El modulo de G(j) es: Y(j) G(j ) relación entre amplitudes de las señales de salida y entrada X(j) y la fase de G(j) es: G(j ) y(j) x(j) De allí que, si se conoce G(s) es posible obtener la respuesta frecuencial del sistema...- OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros y polos que en forma general, puede ser escrita como: G(s) K m i n j (s + z ) (s + p ) j i PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

3 I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-30 CONTROL DE PROCESOS II donde, K... ganancia del sistema z... ceros del sistema p... polos del sistema m... el número de ceros n... el número de polos A manera de ejemplo, para una función de transferencia específica, su respuesta frecuencial se puede obtener como sigue: Para K(s + z) G(s) la respuesta frecuencial se obtiene sustituyendo s j s(s + p) K(j + z) G(j ) a partir de la cual se obtiene que el modulo de G(j) j(j + p) K j + z G(j ) y la fase φ j j + p ( z p ) j + z ( j + j p ) G (j) + El módulo y la fase se evalúan para diferentes obteniéndose así la respuesta frecuencial del sistema. La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las cuales se pueden nombrar las siguientes: Los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares. A continuación se describirán cada una de estas representaciones PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 3 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

4 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II II. Diagramas de Bode El diagrama de bode se utiliza para representar la respuesta frecuencial de un sistema utilizando dos gráficos. El primero, es la representación del logaritmo de la magnitud versus la frecuencia () y el segundo representa el ángulo de fase (φ) versus la frecuencia (). La magnitud logarítmica de G(j) se representa como una amplitud logarítmica y se calcula como el 0 log G(j), siendo la unidad de dicha amplitud los decibeles (db). La principal ventaja de realizar un diagrama logarítmico es que el carácter multiplicatorio de los módulos de la función de transferencia se convierte en aditivo. Además, la construcción del diagrama puede realizarse a través de aproximaciones asintóticas, las cuales se explicaran a continuación. Si se considera el siguiente ejemplo, se puede observar el carácter aditivo de la magnitud logarítmica. (s + z).(s + z ) Para G(s) la respuesta frecuencial se obtiene sustituyendo s j s.(s + p ).(s + p ) G(j ) (j + z) (j + z ) j (j + p ) (j + p ) j + z j + z donde el módulo G(j ) se representará como una amplitud j j + p j + p logarítmica igual a: 0 log G(j) 0 log (j+z ) + 0 log (j+z ) - 0 log j -0 log (j+p ) -0 log (j+p ) y la fase: φ φ + φ - φ 3 - φ 4 - φ 5 A partir de allí, se puede observar que si se conoce el Diagrama de Bode de los diferentes factores que representan una función de transferencia será posible obtener el diagrama de Bode de una función compuesta de una forma muy sencilla. Para ello se estudiarán a continuación los diagramas de bode para los diferentes factores que conforman una función de transferencia, los cuales son: PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 4 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

5 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Ganancia K Factores integral o derivativo (j) + Factores de primer orden (+τj) + Factores cuadráticos [ + ξ(j/ n )+ (j/ n ) ] +.. GANANCIA K G(s) K G(j) K de allí que la amplitud logarítmica de G(j) sea 0 log K constante. Si K > 0.log K es positivo Si K < 0.log K es negativo Im La fase se calcula como: tag 0 para todo. Re En la figura. se muestra la representación del diagrama de bode para este factor, la cual se realiza en escala semilogarítmica. 0 log G(j) 0 log K φ FIGURA.. DIAGRAMA DE BODE PARA UNA GANANCIA K Como se puede observar, la ganancia tiene el efecto de subir o bajar la gráfica de ganancia logarítmica, sin afectar el ángulo de fase. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 5 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

6 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II.. FACTORES INTEGRAL O DERIVATIVO G(s) (s) + Se desarrollará el Diagrama de Bode para el caso de un polo y luego se extenderá la aplicación a un cero: s G () s G ( j) j j A partir de allí, la amplitud logarítmica será: 0 log G(j) 0log 0log () 0log 0log Al escoger una escala logarítmica para se tiene que la gráfica del módulo se convierte en una recta cuya pendiente puede ser calculada de la siguiente forma: Para las frecuencias y, entre las cuales existe una década, se evalúa la amplitud logarítmica obteniéndose lo siguiente: 0 0 log G(j ) -0 log 0 log G(j ) -0 log Realizando la diferencia, 0 log G( ) - 0 log G( ) 0 log - 0 log 0 log ( / ) 0 log ( /0 ) 0 log (/0) 0 log 0 log 0-0 db Esto implica que la gráfica cae 0 db por década, tal como se observa en la figura.. Además, para el valor de la ganancia logarítmica es cero. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 6 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

7 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 0 db (0 ) FIGURA. CAÍDA DE LA AMPLITUD LOGARÍTMICA Finalmente, el ángulo de fase se calcula a partir de la parte real (Re) e imaginaria (Im) del vector, de allí que: φ tag ( Im /Re ) La parte imaginaria Im -/ para todo y la parte real Re 0, por lo que la fase será 90º para todo. En la figura.3 se puede observar el diagrama de Bode para el caso de un polo y un cero en el origen. 0 ; 0 log() POLO CERO FIGURA.3 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO Y UN CERO EN EL ORIGEN PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 7 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

8 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Cabe destacar que, si se tienen polos múltiples G(s) s + n, por lo que la ganancia logarítmica y la fase serán: 0log ( ) ± n j ± 0 n log φ + n (90 ) De allí que se tendrá una gráfica de ganancia logarítmica cuya pendiente será ± n (0 db/ década) y una gráfica de fase cuyo valor será ( ± n 90º ).3. FACTORES DE PRIMER ORDEN G(s) (τs+) + Al igual que en el caso anterior, primero se desarrollará el Diagrama de Bode para el polo y luego para el cero. G(s) τs + ( τj) ( + τj) ( τj) ( τj) G( j ) ( + τ ) Separando en parte Real y parte Imaginaria se tiene: + τ τ + τ ( j ) j G A partir de allí el módulo de G(j) será: G ( j ) + τ ( + τ ) + τ y la amplitud logarítmica será: ( j ) - 0 log + τ 0 log G Para graficar se utilizarán las siguientes aproximaciones: Para << / τ 0 log G(j) - 0 log() 0 db Para >> / τ 0 log G(j) - 0 log(τ) pendiente 0 db/ década Para /τ 0 log G(j) -0 log τ - 3 db. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 8 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

9 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Para los dos extremos, se tiene lo que se conoce como aproximación asintótica del diagrama de amplitud logarítmica, la cual se observa en la figura.4. La frecuencia en la cual se encuentran las dos asíntotas se conoce como frecuencia de corte ( / τ) o frecuencia de transición de ganancias. El ángulo de fase se calcula como φ arctg (-τ), el cual también se gráfica utilizando las siguientes aproximaciones: Para << / τ Re + ; Im - 0 φ 0 Para / τ φ - 45 Para >>/ τ Re (0 + ) ; Im 0 - φ -90º (La parte Im tiende a cero más lento que la parte Re ). A partir de lo anterior el Diagrama de Bode para este factor se muestra a continuación: FIGURA.4 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO EN EL EJE REAL En caso de que sea un cero las gráficas son simétricas respecto al eje de frecuencias. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 9 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

10 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II.4. FACTORES CUADRÁTICOS n n s s G(s) ± + ξ + Para el caso de un polo conjugado se tiene: n n s s G(s) + ξ +, el cual al multiplicarse por el conjugado queda, ξ ξ ξ + j j j ) G(j n n n n n n separando las partes Real e Imaginaria se tiene: n n n n j ) G(j ξ + ξ a partir de allí el módulo se calcula como: ( ) n n n n n n j G ξ + ξ + ξ + quedando la amplitud logarítmica como: n n 0 log G 0 log ξ + PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO 0

11 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II ξ + n n 0 log G log 0 PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO de la misma forma que en el caso anterior, se aproxima en los extremos obteniéndose lo siguiente: Para << n 0 log G(j) -0 log 0 db Para >> n 0 log G(j) -40 log / n (recta de pendiente - 40 db/dc ) Para n 0 log G(j) -0 log ζ Las asíntotas se cruzan en n, tienen un error respecto a la curva real que depende del valor de ξ, el cual aumenta a medida que ξ disminuye. El ángulo de fase se calcula como: ξ φ n n tg aproximando igualmente en los extremos se tiene que para: Para << n La parte Re La parte Im 0 φ 0 Para >> n Re 4 n n - 0; Im 4 n n - 0 por ello φ -80 º (más rápido) Para n Re 0 ; Im número negativo finito φ - 90

12 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II A partir de lo anterior se puede graficar el diagrama de bode para la variación de ξ, tal como se muestra a continuación: z FIGURA.5 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO CONJUGADO El pico que se observa en el Diagrama de Bode anterior se conoce como Pico de Resonancia (Mr) y ocurre a una frecuencia conocida como Frecuencia de Resonancia ( r ), ambos valores pueden ser calculados utilizando las siguientes expresiones: M r G(j r ) ξ r n ξ ξ Cabe mencionar que, para ξ > 0,707, la gráfica de amplitud logarítmica no presenta pico. En ese caso, la única corrección posible al diagrama asintótico, se realiza calculando el valor que cae el diagrama real en n. Para que un sistema sea considerado como aceptable en su respuesta el pico de resonancia debe ser menor que,5. Finalmente, el cálculo exacto de la fase puede hacerse a partir de la siguiente expresión: PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

13 II. DIAGRAMAS DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II φ( r ) sen - ξ ξ.5. RETARDO DE TRANSPORTE El Retardo de transporte se puede representar a través de la siguiente función de transferencia, G(s) e Ts Sustituyendo s j se tiene que, G(j) e -jt T. tiempo de retardo G(j) cos(t) j sen(t) 0.log G 0 db G(j ) - T (radianes) G(j ) - 57,3 T (grados) A partir de allí el diagrama de bode para dicho factor se muestra en la siguiente figura: 0 log G(jw) w φ w -57,3 wt FIGURA.6 DIAGRAMA DE BODE PARA UN SISTEMA CON RETARDO Una vez conocidos los diagramas de Bode para cada uno de los factores, se puede obtener el diagrama de bode para un sistema conformado por varios factores PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 3 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

14 III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PERTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PS-30 CONTROL DE PROCESOS II III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PARTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Para realizar el diagrama de bode se deben seguir los siguientes pasos: Rescriba la función de transferencia como un producto de los factores básicos analizados anteriormente. Identifique las frecuencias de corte de cada uno de los factores Dibuje las curvas asintóticas Ejemplo 3. (s) s 8 G ( s + ) ( s + )( s + s + 6) Reordenando ( s + ) 8 G(s) s + s + s + 6 s 6 6 G(s) s. s ( s + ) s 6 + s + 8 A partir de allí se identifican los siguientes factores: - Ganancia /4 - Polo origen - Cero eje real (s +) - Polo eje real ( /s + ) - Polo de do Orden ( s /6 +s/8 +) n 6 n 4 PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 4 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

15 III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PERTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PS-30 CONTROL DE PROCESOS II ξ / n /8 ξ /4 /8 ξ /4 Cada uno de dichos factores se puede observar en el siguiente diagrama de bode, el cual muestra el diagrama asintótico y el real. FIGURA 3. DIAGRAMA DE BODE PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 5 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

16 IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SU DIAGRAMA DE BODE La identificación se realiza reconociendo en el diagrama de bode del sistema cada uno de los factores que lo conforman. A continuación se mostrarán dos ejemplos que muestran el procedimiento a seguir. EJEMPLO 4. Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra a continuación, se solicita que identifique la función de transferencia que lo representa. FIGURA 4. DIAGRAMA DE BODE A partir de dicho diagrama se pueden realizar las siguientes observaciones:. A baja frecuencia la pendiente es de 0 db/dc lo que implica un Polo en el Origen, pudiendo confirmarse dicha suposición pues la fase φ para baja frecuencia comienza en PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 6 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

17 IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 90º. Adicionalmente se observa que existe una ganancia menor que uno pues para 0, la amplitud logarítmica es aproximadamente 8 db, cuando debería ser de 0 db si la ganancia fuese uno. De allí se calcula 0 log K - db K 0,5. La pendiente cae a 0 db/dc lo que indica la aparición de un cero en el eje real, se dibuja la recta de 0 db/dc a baja frecuencia y en donde la difrencia entre la asíntota sea aproximadamente 3 db (aproximadamente en ) se dibuja la recta de o db/dc. De allí que el cero será (s+) 3. Para frecuencias altas, la pendiente tiende a - 60 db/dc y la fase tiende a 70º lo que implica la aparición de tres polos. Un polo en el eje real y un par de polos conjugados que se reconocen debido al pico de resonancia el cual ocurre a una frecuencia r 3,5. 4. Para identificar las frecuencias de corte se sigue el siguiente procedimiento: - Se traza la pendiente de 60 db/dc que a alta frecuencia se pega a la recta real. - Se traslada una pendiente de 0 db/dc hasta que corte la recta de (- 60db/dc) a una frecuencia ligeramente mayor r, de esta forma se propone estima n 4 - Como r n ( ξ ) ξ 3,5 ξ 0,343 4 Para dicho ξ la amplitud logarítmica del pico de resonancia será: 0 log Mr 0 log 3,8 db ξ ξ el cual coincide aproximadamente con el observado. 5. Para identificar el otro polo se observa en que punto la recta de 0 db/dc, mencionada en el punto anterior, corta a la recta de pendiente 0 db/dc, el cual resulta ser. Por lo anterior se concluye que la función de transferencia del sistema sería: PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 7 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

18 IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II G(s) s ( + ) K s s ( s + ) + s EJEMPLO 4.: Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra a continuación, se solicita que identifique la función de transferencia que lo representa FIGURA.4 DIAGRAMA DE BODE Identificación. Pendiente 0 db/dc a baja frecuencia implica un polo en el origen y se verifica con la fase que comienza en -90. En 0, 0 log G 0 db lo cual implica que la ganancia es igual a uno. 3. A alta frecuencia la pendiente tiende a 60db/dc y la fasa a 70, lo cual confirma la aparición de dos polos más. Debido a que no hay presencia de ningún pico se podría pensar en un polo doble cuya frecuencia de transición fuese el cruce de la recta de 0db/dc con la PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 8 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

19 IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-30 CONTROL DE PROCESOS II recta de 60db/dc, aproximadamente 3 pero al observar la diferencia entre el diagrama asintótico supuesto y real, la caída en amplitud logarítmica en 3 sería de aproximadamente 0 db, lo cual discrepa de lo supuesto, pues si se tienen polos dobles la diferencia en la frecuencia de cruce debería ser de 6 db. Por ello se suponen que existen dos polos reales y diferentes. Se añade una recta de 40 db/dc y donde cruce con a las otras frecuencias se obtendrán los polos. 4. Se supone que existen dos polos reales y diferentes. Se añade una recta de 40 db/dc que pase por el punto donde la diferencia entre la curva real y la recta de 0 db/dc a baja frecuencia sea de 3db. Donde dicha recta cruce con las otras aproximaciones asintótias, se obtendrán los polos. polo c ~... (s+) polo c ~ 9... (/9s+) A partir de lo anterior se identifica la función de transferencia como: G(s) s ( s + )( 9s + ) PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 9 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO

20 V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-30 CONTROL DE PROCESOS II V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, EL TIPO DE SISTEMA Y EL ERROR A LAZO CERRADO Considerando un sistema de control de retroalimentación simple, es posible utilizar la respuesta frecuencial a lazo abierto para conocer el error a lazo cerrado. En forma muy general la función de transferencia de lazo directo G(s)H(s) puede ser escrita como sigue: K G(s)H(s) ( T s + )( T s + ) K ( T s + ) m n s ( T s + ) K( T s + ) a n Es importante recordar que el error de un sistema depende del tipo del sistema y de la entrada a la cual se vea sometido. A partir de allí, se puede calcular el error del sistema en función de los coeficientes de error estático (Kp, Kv y Ka). Donde los valores de Kp, Kv y Ka son calculadas a partir de las siguientes expresiones: Kp lim s 0 G(s)H(s) Kv lim s 0 s G(s)H(s) Ka lim s 0 s G(s)H(s) En base a lo anterior, se analizará el uso de la respuesta frecuencial del lazo directo para conocer el error del sistema a lazo cerrado. 5. SISTEMAS TIPO CERO Para un sistema tipo 0 cuando la frecuencia tiende a cero, G(j)H(j) tiende a Kp. Por lo tanto, a partir de la gráfica de ganancia logarítmica se puede obtener Kp, pues a baja frecuencia la amplitud logarítmica de 0 log G(j)H(j) 0 log Kp. En la figura 5. se puede apreciar lo enunciado anteriormente. 0 lg Kp 0 lg G(jw)H(jw) Fig. 5. Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo cero 0

21 V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 5. SISTEMAS TIPO UNO Para un sistema de tipo para <<, G(j)H(j) se puede aproximar a Kv G (j)h(j), lo cual se representa como una recta de pendiente -0 db/dec a baja j frecuencia, tal como se observa en la figura 5.. Si además, se evalúa esta aproximación para se tiene: 0log Kv j 0log Kv en forma gráfica esto se logra extendiendo la recta de 0db/dec y leyendo en la gráfica el Kv valor de la ganancia logarítmica para, se obtiene Kv, además j Kv Fig. 5. Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo uno 5.3 SISTEMAS TIPO DOS Para sistemas de tipo se tiene que, para << el módulo de G(j)H(j) tiende a G ( j ) H( j) Ka ( j) Utilizando un procedimiento similar al anterior, se evalúa

22 V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 0log Ka ( j) 0log Ka y además, la frecuencia para la cual dicha corta 0 db ( 0db a ) puede ser utilizada para calcular Ka como sigue: Ka 0log Ka a ( j ) a 0db -0 lg Ka db a a Ka Fig. 5.3 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo dos

23 VII. DIAGRAMAS POLARES PS-30 CONTROL DE PROCESOS II VI. RESPUESTA FRECUENCIAL PARA SISTEMAS A LAZO CERRADO Para un sistema a lazo cerrado de retroalimentación simple se tiene que M(s) se define como la Función de Transferencia a lazo cerrado, la cual sería: C(s) G(s) M(s) y la respuesta frecuencial a lazo cerrado sería R(s) + G(s)H(s) G(j) M(j ) M(j) < M(j), es decir se tendrá también un módulo y un + G(j)H(j) ángulo que podrán ser representados a través de un diagrama de bode. En la siguiente figura se muestra un diagrama de bode para un sistema típico de control. 0 log M(jw) K 0 db WB -3db Fig. 6. Diagrama de Bode de un sistema a lazo cerrado W B se conoce como ancho de banda (BW). El valor de 3db proviene del estudio de amplificadores. A esa frecuencia W B la salida ha decaído a la mitad de su valor a baja frecuencia. El ancho de banda de un sistema de control es una indicación de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo. Un ancho de banda grande corresponde a una mayor rapidez de la respuesta, pero dado que el ruido ocurre a altas frecuencias el Ancho de Banda no debe ser muy grande. 3

24 VII. DIAGRAMAS POLARES PS-30 CONTROL DE PROCESOS II VII. DIAGRAMAS POLARES El diagrama polar de G(j) es una representación de la respuesta frecuencial de un sistema, el cual esta formado por una gráfica de la magnitud de G(j) contra el ángulo de fase para variaciones de de 0 a infinito. Para la obtención de un diagrama polar se mostrará a continuación el procedimiento a seguir para diferentes casos. 7. FACTORE INTEGRALES Y DERIVATIVOS G(S) (S) + G(j) (j) + Se realizará el desarrollo para el caso de un polo. G(j) j j G (j) Re 0 Im De allí se puede observar que G/S w w0 w w0 GS 0 G(j) G(j) 0 7. DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES INTEGRALES Y DERIVATIVOS Además, el diagrama será un recorrido por el eje imaginario negativo por lo que la fase será siempre - 90 G(j ) φ arctg 90 0 En la figura 7. se puede apreciar el Diagrama Polar para un polo y para un cero. Cabe resaltar que al conocer el Diagrama de Bode para éste término, puede servir de apoyo para la obtención del Diagrama Polar 4

25 VII. DIAGRAMAS POLARES PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 7. FACTORES DE PRIMER ORDEN G(S) (S+) + Para el caso de un polo se tiene: G(s) + τs G (j) + τj multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado se obtiene: G(j ) G(j ) + τ τj τj + τ ( + τj)( τj) τ + τ Para graficar se evalúan para distintas : j w w0 w/ τ G τs+ G / (τs+) 7.. DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES DE PRIMER 0 Re, Im 0 G(j), φ 0 ORDEN / τ Re /, Im -/ G(j), φ 45 Re 0, Im 0 G(j) 0, φ 90 En la figura 7.. se puede apreciar el Diagrama Polar para un polo y para un cero. Igualmente se puede observar la similitud entre dicho diagrama y el correspondiente Diagrama de bode Por convención el ángulo es positivo si se mide contrario a las agujas del reloj. 5

26 VII. DIAGRAMAS POLARES PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Si se le agrega un polo en el origen a G(s) se tiene: G(s) s G(j ) G(j ) ( τs + ) j ( τj + ) ( ) ( ( ) -τ -τ + j -τ j) (-τ j) ((τ ) + ) Separando la parte real (Re) de la parte imaginaria (Im) G(j ) (τ -τ + ) (τ j + ) Graficando para valores extremos de y para / τ se tiene: w oo w/τ w 0 φ 7.. DIAGRAMA POLAR AÑADIÉNDOLE UN POLO EN EL ORIGEN 0 Re - τ, Im - G(j), φ 90 / τ Re - τ/, Im - τ/ G(j) - finito, φ 35 Re 0, Im 0 G(j) 0, φ 80 En la figura 7.. se observa como la adición de términos en el Diagrama polar no se puede realizar tan fácilmente como se hace para los Diagramas de Bode. 7.3 POLOS Y CEROS CONJUGADOS G(s) ξ s + s + wn w n ± Siguiendo igual procedimiento al anterior, se tiene que: 0 G(j), φ 0 G(j) 0, φ - 80 Apoyándose en el conocimiento del Diagrama de Bode para dichos términos, se puede representar el Diagrama Polar tal como se muestra en la figura 7.3 6

27 VII. DIAGRAMAS POLARES PS-30 CONTROL DE PROCESOS II w oo wn ζ w 0 wn wn 7.3 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES CONJUGADOS 7.4 FORMAS GENERALES PARA LAS TRAZAS POLARES Una función de transferencia puede ser escrita en forma general como: G(j) K(j + z )(j + z j λ (j + p )(j + p ) ) donde m es el grado del numerador y n del denominador, n > m. Para sistemas tipo cero, λ 0 0 El módulo es finito y se encuentra sobre el eje real positivo φ 0 El módulo tiende a cero (origen) tangente a uno de los ejes Ejemplo: 3.(s + ) G(j) (s + 4).(s + 5) 0 G(j) 3/0, φ 0 G(j) K/ (j), G(j) 0, φ - 90 Para sistemas tipo uno (), λ El término / s contribuye con -90 en la fase y la magnitud es infinita para 0. Luego para El módulo tiende a cero (origen) y es tangente a uno de los ejes. Para sistemas tipo dos (), λ 7

28 VII. DIAGRAMAS POLARES PS-30 CONTROL DE PROCESOS II El término / s contribuye con -80 en la fase. Por lo tanto 0 G(j), φ -80 G(j) 0, φ es tangente a uno de los ejes. En la figura 7.4 se pueden apreciar las formas generales que tendrán los Diagramas Polares para sistemas tipo 0,, w0 woo w0 Tipo Tipo 0 Tipo 7.4 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES CONJUGADOS Dependiendo de la diferencia entre m y n se obtiene el ángulo de llegada para (n-m).(90 ) ángulo de llega 8

29 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II VIII. Criterio de Estabilidad de Nyquist Un sistema de control de retroalimentación simple como el mostrado en la figura 8., es estable si su Ecuación Característuica a Lazo Cerrado, F(s) + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz con parte real positiva. R(s) + G(s) C(s) - H(s) C(S) R(S) G(S) + G H(S) Fig. 8. Esquema de Control de Retroalimentación Simple El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio de estabilidad se nombrarán a continuación. Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s). Si el contorno en el plano S (Γ s ), encierra igual número de ceros que polos de F(s), el contorno en F(s), (Γ F (s) ), no encerrará el origen. Si el Γ s encierra n polos de F(s), Γ F (s) rodea al origen n-veces en sentido antihorario. Si el Γ s encierra m ceros de F(s), Γ F (s) rodea al origen m-veces en sentido horario. EJEMPLO: Una función de s, tal como F(s), transforma una trayectoria cerrada del plano s (Γ s ), sobre el plano F(s), en una trayectoria cerrada en el plano F(s) (Γ F (s) ). Como se mencionó anteriormente, F(s) corresponderá con la ecuación característica a lazo cerrado, por lo que se tiene que: Si G(s)H(s) F(s) + s + s + F(s) sólo tiene un cero en s - y un polo en s -. 9

30 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s (Γ s ) y se realizaran las transformaciones de dichos contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus correspondientes transformaciones se muestran en las figuras 8. y 8.3. Pto s F(s) A -3 0,5 B j,5 0,5 j C,5 D -j,5 + 0,5 j Encierra un polo y un cero FIG. 8. PRIMER Γ S Y SU TRANSFORMACIÓN AL PLANO F(S) No encierra el origen Pto s F(s) A -3 0,5 B j,5 0,5 j C,5 D -j,5 + 0,5 j Encierra un cero Encierra el origen una vez FIG. 8.3 SEGUNDO Γ S Y SU TRANSFORMACIÓN AL PLANO F(S) El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve en sentido horario, por lo que en el primer caso el Γ s encierra un polo y un cero de F(s) y en el segundo caso, el Γ s encierra un cero de F(s). Como puede observarse, en el primer caso el Γ F (s), no encierra el origen pues el número de ceros y polos de F(s) encerrados en el Γ s son iguales. En el segundo caso, el Γ F (s) encierra al origen una vez, pues existe un cero de F(s) encerrado en el Γ s. Generalizando el Teorema del Mapeo, se tiene que, D(s) Si F(s) N(s) 30

31 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II para un Γ s que encierre Z ceros y P polos de F(s) sin pasar por encima de ningún cero o polo de F(s), el Γ F (s) encerrará el origen en sentido horario un número de veces igual a N Z - P. Dicho teorema se utilizará para tener información respecto a los ceros y los polos de F(s) encerrados en un Γ s específico. 8. Aplicación al análisis de la estabilidad a lazo cerrado Para realizar un análisis de la estabilidad a lazo cerrado a partir de la respuesta frecuencial a lazo abierto, utilizando el Teorema del Mapeo, se deben tener las siguientes consideraciones: F(s) será la Ecuación Característica a Lazo Cerrado, es decir, F(s) + G(s)H(s) El Γ s a utilizar será el semiplano derecho del plano S, tal como se muestra en la figura 8.4 Z # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del plano S P # polos de G(s) H(s) en el semiplano derecho del plano S N Z - P el número de vueltas en sentido horario que Γ F ( s ) le da al origen. Im Plano S Re FIG. 8.4 Γ S EQUIVALENTE AL SEMIPLANO DERECHO De manera que, para que el sistema sea estable, Z debe ser cero, lo que se lográ en los siguientes casos: Si P 0 entonces N debe ser cero Si P 0 entoncer N deber ser igual a -P. De allí se desprende que, si se conocen los polos de lazo abierto (P) y los encierros que da al origen el Γ F ( s ) (N), se puede saber si existen ceros con parte real positiva (Z). Para particularizar la aplicación del criterio a un sistema de control de retroalimentación simple, se propone lo siguiente: Definir F (s) F(s) G(s)H(s) P y Z de F (s) corresponden con los polos y ceros de lazo abierto 3

32 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II La transformación sobre el Plano F (s), se realiza tomando en cuenta que el Γ s no debe pasar por ningún polo o cero de F (s) El encierro del origen por el Γ F(S) es equivalente a encerrar el punto (-,0) por el contorno Γ F (S). El Γ F (s) se conoce como el Diagrama de Nyquist. N corresponde al número de encierros que le da el Γ F (s) al punto (-,0) El valor de Z, ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado, se puede conocer a partir de N y de P, pues N Z P Si P 0 entonces Z N por lo tanto el Γ F (s) no debe encerrar al punto (-,0) para que el sistema sea estable. En este caso, es suficiente realizar la traza del Nyquist para s j y verificar si encierra al (-,0), lo cual equivale a realizar el diagrama polar de G(j)H(j). Si P 0 se tiene que el sistema a lazo abierto es inestable, pero a lazo cerrado puede ser estable. En este caso, se hace necesario realizar el Diagrama de Nyquist completo para conocer el valor de N y verificar la estabilidad. Si Γ F (S) pasa por (-,0) entonces los ceros de la Ecuación Característica a Lazo Cerrado se encuentran sobre el eje j y el sistema a lazo cerrado será críticamente estable. A continuación se mostrará varios ejemplos para ilustrar el criterio de estabilidad de Nyquist. EJEMPLO 8. Para unsistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), se desea saber si el sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist. G H(s) K ( T s + )( T s ) + El diagrama de Nyquist se hace por tramos, los cuales se muestran en la figura 8.5. Tramo Tramo Tramo 3 Fig. 8.5 Tramos a transformar 3

33 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Tramo Se representa sustituyendo s j en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar. K G(s)H(s) (T j + )(T j + ) evaluándo para los extremos se tiene: 0 GH K φ 0º GH 0 φ -80º Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo 0 y la que diferencia entre el número de polos y el numero de ceros de la función de transferencia es n-m. En la figura 8.6 se puede apreciar el Diagrama de Nyquist, donde se aprecia la transformación de este tramo. Tramo Se representa sustituyendo s σ e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ σ 90º θ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ será: Lim s σe jw K G(s)H(s) e σ σ GH 0 θ 90º φ - 80º θ j θ - 90º φ 80º 6 Tramo Nyquist Diagrams Tramo Tramo Real Axis Fig. 8.6 Diagrama de Nyquist Lo que se reduce a la transformación del origen, tal como se observa el la figura 8.6 Tramo 3 Se representa sustituyendo s - j en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.6). 33

34 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II CONCLUSIÓN Como P 0 (el Γ s no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N 0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-,0)), entonces Z 0 siendo el sistema estable. Además, también se puede concluir que será estable para cualquier ganancia pues, a pesar que la ganancia aumenta nunca se encerrará al punto (-,0) EJEMPLO 8. Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), se desea saber si el sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist. K G(s)H(s) s (T s + ) (T s + ) La única diferencia entre este ejemplo y el anterior es que ahora el sistema es de tipo, por lo que el Γ s debe rodear al origen quedando tal como se muestra en la figura 8.7 Tramo Tramo Tramo 4 Tramo 3 Tramo FIG. 8.7 TRAMOS A TRANSFORMAR Se representa sustituyendo s j en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar. G(j ) j K ( T j + )( T j ) + 0 GH φ -90º GH 0 φ -70º Recuerde verificar que el sistema es de tipo y que la diferencia entre el número de polos y de ceros de G(s)H(s) es de m n 3 (figura 8.8) Tramo Se representa sustituyendo s σ e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ. 34

35 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II σ 90º θ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ será: Lim s σe jw K G(s)H(s) e 3 σ 3 θ j σ GH 0 θ 90º φ - 70º θ - 90º φ 70º Lo que se reduce a la transformación del origen, tal como se observa el la figura 8.8 Tramo 3 Se representa sustituyendo s -j en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.8). Tramo 4 Se representa sustituyendo s ε e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de ε y θ. ε 0-90º θ 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando ε 0 será: Lim s ε 0 εe jw G(s)H(s) GH K e ε θ j θ -90º φ 90º θ 90º φ -90º Fig 8.8 Diagrama de Nyquist 35

36 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II LA TRANSFORMACIÓN RESULTA EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA DE DIÁMETRO INFINITO. CONCLUSIÓN P 0 (el Γ s no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N depende del valor de la ganancia del sistema, entonces la estabilidad del sistema tambien dependerá de dicha ganancia. Para K pequeñas N 0, por lo que el sistema será estable Para K K crítica entonces el Diagrama pasará sobre el (-,0), sistema críticamente estable Para K grandes N, por lo el sistema será inestable. EJEMPLO 8.3 Para el sistema cuya función de transferencia a lazo abierto sea G(s)H(s), realice un análisis de la estabilidad y diga si depende de los valores T y T. K (T s+ ) G(s)H(s) s (T s+ ) Para este caso, se utiliza el mismo Γ s que se muestra en la figura 8.7. Primero, se realizaran las transformaciones de los tramos y 4 pues no dependen de los valores de T y T. TRAMO Se representa sustituyendo s σ e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ. σ 90º θ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ será: Lim s σe jw K G(s)H(s) e σ σ GH 0 θ j θ 90º φ - 80º θ - 90º φ 80º Lo que se reduce a la transformación del origen. Tramo 4 Se representa sustituyendo s ε e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de ε y θ. ε 0-90º θ 90º 36

37 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando ε 0 será: Lim s εe jw G(s)H(s) K e ε θ j ε 0 GH θ -90º φ 80º θ 90º φ -80º La transformación resulta en una circunferencia de diámetro infinito TRAMO Se representa sustituyendo s j en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar. K(T jw + ) G(s)H(s) s(t jw + ) evaluándo para los extremos se tiene: 0 GH φ -80º GH 0 φ -80º Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo 0 y la que diferencia entre el número de polos y el numero de ceros de la función de transferencia es n-m. Lo anterior define los extremos del diagrama que corresponden a esta transformación, pero la forma de la misma depende de los valores de T y T. Si T < T ocurre primero el cero y luego el polo, por lo que la variación en el ángulo de fase será como la que se muestra en la figura 8.9. De allí que, a medida que aumenta la fase tenderá a 80 0 pasando por valores intermedios mayores que El Diagrama de Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura º FIG. 8.9 ANGULO DE FASE PARA T < T FIG. 8.0 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T < T 37

38 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Si T T el cero y el polo ocurren simultáneamente, por lo que sus contribuciones se anulan, tal como se observa en la figura 8.. De allí, que el Diagrama de Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura º - FIG. 8. ANGULO DE FASE PARA T T FIG. 8. DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T T Si T > T el polo ocurre primero que el cero, teniendo la fase un comportamiento como el que se muestra en la figura 8.3. De allí que, el recorrido de la fase desde 80 ( 0) hasta -80 ( ) tendrá valores intermedios menores que -80. El Diagrama de Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura º FIG. 8.3 ANGULO DE FASE PARA T >T FIG. 8.4 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T >T La transformación del tramo 3 será simétrica respecto al eje real para todos los casos. Debido a que P 0, el sistema será estable si N 0, lo cual se resume a continuación para cada uno de los casos. Si T < T N 0, por lo que el sistema es estable para todo K Si T T N 0, pero el diagrama de Nyquist pasa sobre (-,0), por lo que el sistema es críticamente estable Si T > T N, por lo que el sistema es inestable para todo K 38

39 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 8. ESTABILIDAD RELATIVA Para sistemas que, a lazo abierto son de fase mínima, es decir, G(s)H(s) no tienen ni ceros ni polos en el semiplano derecho es suficiente el trazo de Nyquist (para s j) para concluir respecto a la estabilidad. Como P 0 (fase mínima) entonces N debe ser cero para que el sistema sea estable. A continuación se mostraran algunos diagramas de Nyquist generales que apoyan lo anterior. Para sistemas tipo 0, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se muestra en la figura 8.5, donde se puede apreciar que, la traza que representa la transformación de s j, es suficiente para verificar el valor de N. Suficiente con esta traza n - m n - m FIG. 8.5 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO 0 Para sistemas Tipo, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se muestra en la figura 8.6, donde tambien se puede apreciar que, la traza que representa la transformación de s j, es suficiente para verificar el valor de N Transformación del origen FIG. 8.6 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO 39

40 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II Para sistemas tipo, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se muestra en la figura 8.7, donde tambien se puede apreciar que, la traza que representa la transformación de s j, es suficiente para verificar el valor de N Transformación del origen FIG. 8.7 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO Además, la traza de Nyquist tambien indica el grado de estabilidad de un sistema estable. Se podrá reconocer si un sistema es estable para cualquier valor de ganacia, o si por el contrario, la estabilidad dependerá del valor de la ganancia. A continuación, se definiran los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, los cuales indican el grado de estabilidad del sistema. En la figura 8.8, se muestra la traza de Nyquist para un sistema cualquiera, la cual no encierra el punto (-,0), lo que implica estabilidad aprecia que tanto la ganancia como la fase tienen unos valores límites definidos por su cercanía con el punto (-,0). Dichos valores son Kg y γ, los margenes de ganancia y de fase respectivamente. Así mismo, en la figura 8.9 se observan Kg y γ para un caso en que el sistema fuese inestable. - Kg γ φ Margen de ganancia positivo Margen de fase γ negativo - Kg γ Margen de fase positivo Fig. 8.8 Kg y γ positivos Fig. 8.9 Kg y γ negativos Margen de ganancia negativa A continuación se definiran los margenes de ganancia y de fase. 40

41 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II MARGEN DE GANANCIA Es el inverso de la magnitud de G(j) en la frecuencia en la cual la fase vale φ -80º Kg φ( ) -80º G(j) Kg (db) 0 lg Kg -0 log G(j ) MARGEN DE FASE Es la cantidad de atraso (φ negativa) en la frecuencia de cruce ( G(j ) ) requerida para llevar al sistema al límite de la estabilidad. γ 80º + φ Para que un sistema sea estable su Margen de Fase (M F ) y su margen de Ganancia (M G ) deben ser ambos positivos. Otra forma de representar la traza de Nyquist (s j) es a través de un Diagrama de Bode, por lo que el M F y el M G se pueden obtener a partir del mismo, tal como se muestra en la figura Fig. 8.0 M F y M G en el Diagrama de Bode Ejemplo 8.4 Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), indique si el sistema a lazo cerrado es estable y cuales son M F y M G. 4

42 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II CASO G(s)H(s) 600(s + ) s(s + 7s + 70) El Diagrama de Bode para G(s)H(s) se observa en la figura 8., a partir del cual se lee: Bode Diagrams 75 Gm Inf, Pm deg. (at.985 d/ ) 50 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Fig. 8. Diagrama de Bode Caso 0 lg GH 0 db φ -43º γ 80º - 43º 37º φ -80º 0 lg G - db M G (+) El sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos. CASO G(s)H(s) s(5s 3 (3s + ) Su diagrama de Bode se muestra a continuación. + 3s + 4s + ) 4

43 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 00 Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Fig. 8. Diagrama de Bode Caso 0 lg GH 0 db φ -50º γ 80º - 50º -70º φ -80º 0 lg G 0 db M G (-) El sistema es inestable, pues ambos márgenes son negativos. CASO 3 Si se eliminase el polo en el origen del sistema del caso anterior concluya respecto a la estabilidad. El diagrama de bode en este caso quedaría como se muestra a continuación. Bode Diagrams Gm Inf, Pm7.054 deg. (at.50 rad/sec) 0 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) FIG. 8.3 DIAGRAMA DE BODE CASO 3 43

44 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II 0 lg GH 0 db φ -60º γ 80º - 60º 0º φ -80º 0 lg G - db M G (+) El sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos. 8.3 SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA Y SISTEMAS CON RETARDO Para completar la representación de la respuesta frecuencial de sistemas incluyamos sistemas de fase no-mínima y con retardo. 8.3 Sistemas de fase no mínima Los sistemas de fase no-mínima son aquellos que tienen ceros o polos con parte real positiva. La diferencia entre sistemas de fase mínima y los de fase no-mínima se presenta en la fase, tal como se puede apreciar en los ejemplos que se mostraran a continuación. EJEMPLO 8.3. Comparación entre el diagrama de bode para un cero en el eje real negativo y en el eje real positivo G (s) + Ts G (s) Ts sustituyendo s j G (j) + T j G (j) T j De allí, se puede observar que el módulo de ambas funciones es el mismo en tanto que la fase de ambas difiere, tal como sigue: G ( + w jw) G ( + w jw) para el estudio de la fase se analizará como cambia ésta a medida que cambia cuando 0 para G Re Im 0 (+) por lo que φ 0 para G Re Im 0 (-) por lo que φ 0 cuando para G Re Im j por lo que φ 90 para G Re Im -j por lo que φ -90 De allí, que el diagrama de bode para G es igual al estudiado hasta ahora, en tanto que para G se tendrá un Diagrama de bode como se muestra en la siguiente figura. 44

45 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II FIG. 8.4 DIAGRAMA DE BODE PARA G (S) - Ts Se debe hacer resaltar que para el caso en que se tenga un cero con parte real positiva, donde G 3 (s) Ts-, la fase tendrá un comportamiento diferente, tal como se muestra. G 3 (j) T j cuando 0 Re - Im 0 (+) por lo que φ 80 cuando Re - Im j por lo que φ 90 Por lo tanto el diagrama de bode para G 3 (s) sera como se muestra en la figura 8.5. EJEMPLO 8.3. FIG. 8.5DIAGRAMA DE BODE PARA G 3 (S) Ts - Para el caso de un polo con parte real positiva se presenta el siguiente ejemplo. (s) G 3 y haciendo s j, se tiene Ts G 3 (j) Tj multiplicando por el conjugado arriba y abajo se tiene finalmente la función a representar, G 3 (j ( + Tj) ( + Tj) ) ( Tj)( + Tj) + T de donde, 45

46 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II G 3 ( j ) + T ( + T ) + T De allí que, el módulo de dicha función coincide completamente con el módulo del polo con parte real positiva, tal como se describió en secciones anteriores, en tanto que la fase tendrá el siguiente comportamiento: cuando 0 Re Im 0 (+) por lo que φ 0 cuando Re Im j (+) por lo que φ 90 A partir de lo anterior se esboza el diagrama de bode para G 3 (s) FIG. 8.6 DIAGRAMA DE BODE PARA G 3 (S) / Ts - Por lo tanto, se observa que los sistemas de fase no-mínina presentan una diferencia en la fase con respecto hasta los estudiados hasta ahora. En identificación para sistemas de fase mínima es suficiente con la curva de magnitud pero en los de fases no-mínima debemos inspeccionar la φ Por simple inspección en el diagrama de Bode se puede observar que, para sistema de fase mínima, cuando la frecuencia tiende a infinito la pendiente en el diagrama de amplitud db logarítmica tiende a -0 dc ( m n ) y la fase tiende a -90º ( m n ). En tanto que, para sistemas de fase no mínima, el comportamiento del diagrama de amplitud logarítmica es mismo, pero la fase no se comporta de igual forma y debe ser analizada en forma particular. 8.4 SISTEMAS CON RETARDO Son sistemas de fase no-mínima, cuya función se transferencia es: G ( j ) e jt donde T es retardo 46

47 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II La magnitud es siempre igual a y la fase será igual a φ -T (radianes) -57,3 T ( grados ). Su diagrama de Bode y su diagrama polar tendrán la siguiente forma FIG. 8.7 DIAGRAMA DE BODE DEL RETARDO FIG. 8.8 DIAGRAMA POLAR DEL RETARDO 8.5 SISTEMAS CONDICIONALMENTE ESTABLES Para un sistema cuyo Diagrama de Bode a lazo abierto es el que se muestra, concluya respecto a la estabilidad a lazo cerrado. Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) FIG. 8.9 DIAGRAMA DE BODE 47

48 VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-30 CONTROL DE PROCESOS II A partir del diagrama se lee: Para φ -80º 0 log G 4 db M G (-) G > Para 0 log G 0 db φ -00º γ -0º M F (-) Para 3 φ -80º 0 log G -0 db M G (+) G < Para 4 φ -80º 0 log G - 0 db M G (+) G < En un caso como éste se debe recurrir al Diagrama de Nyquist para verificar si se encierra o no al (-,0). En la siguiente figura se aprecia dicho diagrama, donde se puede observar que el sistema es estable, pero que dicha estabilidad dependerá del valor de K. Encierra veces el punto (-,0) INESTABLE!!! 48

49 IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-30 CONTROL DE PROCESOS II IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA A continuación se describirán los métodos utilizados para diseñar los diferentes tipos de compensadores basados en la respuesta frecuencial del sistema (Diagrama de Bode). Los compensadores a diseñar serán: Compensadores en Adelanto. Compensadores en Atraso. Compensadores Adelanto Atraso. 9. COMPENSACIÓN EN ADELANTO Estos compensadores son semejantes a un PD (Proporcional Derivativo), el cual fundamentalmente tiene su acción sobre la respuesta transitoria del sistema. Se puede expresar a través de la siguiente función de transferencia: s + T Ts + Gc(s) Kc Kc α 0,05 > α > s αt + α Ts + donde α y T son los parámetros del controlador a diseñar. A partir de la función de transferencia del compensador se realizará tanto su diagrama polar como su Diagrama de Bode, con la intención de visualizar el efecto que tendría añadir un compensador de este tipo sobre la respuesta frecuencial de un sistema. T j + Gc (j) α αt j + 0 G α φ 0º G φ 0º φ max 0 α D α X FIGURA 9. DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO 49

50 IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-30 CONTROL DE PROCESOS II En la figura 9. se puede observar el Diagrama Polar correspondiente, donde se aprecia que la fase comienza y termina en 0º, pasando por un máximo (φ m ) cuyo valor depende de α tal como se describe a continuación. α α α + α α R x + α Sen ( φm) + α + α φ m es el máximo adelanto de fase que puede añadir el compensador, que para el caso de α 0.05 es igual a 65 o. A partir de la función de transferencia del compensador, también se puede hacer el Diagrama de Bode para α 0, donde se aprecia la ocurrencia de φ m a una 0 frecuencia m. El cero ocurre en y el polo ocurre en T T 0 G α 0 log G 0 log α 0 log (0,) -0 db db 0 G 0log G -0 φ T 0 T 0 log α 0 log α φ m m FIGURA 9. DIAGRAMA DE BODE PARA UN COMPENSADOR ADELANTO (α 0,) El máximo adelanto, φ m, ocurre a m, frecuencia que corresponde con la media logarítmica entre /T y /αt lg m lg + lg, de allí que m T α T T α Evaluando el módulo del compensador a esa frecuencia se tiene: 50