2. ESTADO PLANO Y ESPACIAL DE TENSIONES Estado Plano de Tensiones. Caso a) sen. Caso b) Se obtiene del caso a), pero con.
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- Enrique Cárdenas Carmona
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1 . ESTADO PLANO Y ESPACIAL DE TENSIONES..- Etado Plano de Tenione Cao a Tenión Normal : co ( Tenión de Corte : en co ( Cao b Tenión Normal : en Tenión de Corte : en co Se obtiene del cao a, ero con 90 Cao c Se obtiene de la ueroición de lo cao a b Tenión Normal : co en Tenión de Corte : ( en co Cao General del Etado Plano de Tenione
2 ...- Rotación de Tenione (Etado Plano Elemento Original Sit. XY Conocido σ, σ, τ Elemento Rotado Sit. X Y Deconocido σ, σ, τ Lo Efuerzo obre un elemento girado a un itema X Y, ueden ereare en función de lo efuerzo obre el elemento del itema XY. a Tenione b Fuerza i Planteamo el equilibrio de Fuerza F 0 Ao ec Ao co Ao en Aotgen Aotg co 0 ii F 0 Ao ec Ao en Ao co Aotg co Aotgen 0 Mediante la relación de τ = τ deejando lo término de interé, e obtiene: co en en co ( ( en co (co en ( Utilizando la identidade trigonométrica: co ( co en ( co en en co
3 Se obtienen la Ecuacione de Tranformación de Efuerzo Plano co( en( (3 en( co( (4 σ que actúa obre Y del elemento girado e obtiene utiendo θ θ +90 en (3 co( en( (5 Si umamo la ecuación ( (3 areciamo que: cte (6 Ejemlo: (a Ef. Uniaial (b Ef. Corte Puro (c Ef. Biaial...- Efuerzo Princiale Efuerzo de Corte Máimo...- Efuerzo Princiale co( en( (3 El máimo ocurre cuando: d ( ( co( en 0 d tg( ( (7 El ubíndice indica que el ángulo define la orientación de lo lano rinciale. El ángulo tiene valore que difieren en 90. Uno entre [0,90 ] el otro entre [90,80 ], or lo que lo Efuerzo Princiale actúan en lano mutuamente erendiculare. De la ecuación (7, e oberva:
4 Se utitue co( en( en la ecuación ( e obtiene: El valor de σ e uede determinar a artir de la condición: Signo oitivo ara el efuerzo rincial algebraicamente maor (σ...- Efuerzo Cortante Máimo El máimo ocurre cuando: El ubíndice indica que el ángulo define la orientación de lo Efuerzo Cortante máimo. Por trigonometría: tg (90 = - cotg( R co( R en ( (8, (5 co( ( en 0 ( co( ( en d d (9 ( ( tg ( cot ( ( g tg tg 45 o bien 90
5 De la ecuación (9, e oberva: Se utitue co( en( en la ecuación ( e obtiene: O a artir de la Tenione Princiale: Círculo de Mohr de Tenione Ecuacione Paramétrica de un Círculo con ángulo como arámetro: Elevamo amba ecuacione al cuadrado al umarla e elimina el arámetro; la ecuación reultante e: Si definimo lo iguiente término: Ec. de un Círculo centro en coordenada σ = σ med τ =0 Eiten forma de graficar el Círculo de Mohr de Tenione: R en ( R co( (0 má ( má (5 co( ( en (4 ( co( en ( med R (3 R med
6 Metodología ara graficar el Círculo de Mohr de Tenione: i. Localizar el Centro C del Círculo en to. Coordenado σ = σ med τ =0 ii. iii. Localizar el to. A obre el Círculo que rereenta la condicione de efuerzo obre la cara del elemento (θ=0 : σ = σ τ =τ Localizar el to. B obre el Círculo que rereenta la condicione de efuerzo obre la cara del elemento (θ=90 : σ = σ τ =-τ iv. Dibujar el Círculo de Mohr a travé de A B centro en C. v. Determinar lo efuerzo obre la cara inclinada un ángulo θ con reecto a la horizontal. Utilicemo el ángulo b ara demotrar la ecuacione de tranformación de Efuerzo Plano. Ecuacione (*: R co Ren Del Círculo de Mohr e tiene que: σ σ co( R en( R Dearrollando la ereione del co(α+β del en(α+β, e tiene: co( co ( en en R (i en( co co( en R (ii Multilicando la ecuación (i or co (θ la ecuación (ii or en (θ, umando amba ereione e obtiene: co co( ( en R (iii
7 Multilicando la ecuación (i or en (θ la ecuación (ii or co (θ, retando amba ereione e obtiene: en R en( co( (iv Se utitue la ecuación (iii la ecuación (iv en la ecuacione (* e obtienen la Ecuacione de Tranformación de Efuerzo Plano (4 (5. Ejemlo: Un unto de un ólido cualquiera, e encuentra olicitado or el etado tenional motrado en la figura adjunta. Se ide determinar: i Lo efuerzo en el unto, i el elemento e gira en 40º ii La Tenione Princiale la Tenión de Corte Máima Solución: Determinamo el entido de la tenione en la cara oitiva e 5,0 4,0 cara oitiva "" 5,0 4,0 cara oitiva "" med Calculamo el Centro el Radio del Círculo de Mohr de Tenione 5 5 0,0 R ,403 Calculamo el ángulo con que e generan la tenione rinciale *4 tg( ( ,66º 9,33º Calculamo la Tenione al girar el elemento en un ángulo de 40º Del Círculo de Mohr, e arecia que: 80º 38,66º 4,34º 5 5 co 6,403 co 4,34º 4,80 R 6,403 en4,34º 4, co 6,403 co 4,34º 5,90 R
8 Círculo de Mohr de Tenione: i. Localizamo el Centro C del Círculo en to. Coordenado σ = 0 τ =0 ii. iii. Localizamo el to. A obre el Círculo que rereenta la condicione de efuerzo obre la cara del elemento (θ=0 : σ = 5,0 τ =4,0 Localizamo el to. B obre el Círculo que rereenta la condicione de efuerzo obre la cara del elemento (q=90 : σ = 5,0 τ =-4,0 iv. Dibujamo el Círculo de Mohr a travé de A B centro en C. v. Determinamo lo efuerzo obre la cara inclinada un ángulo 40º c/r a la horizontal. Calculamo la Tenione Princiale a artir del Círculo de Mohr med R 0 6,403 6,403 med R 0 6,403 3,597 Calculamo la Tenión de Corte Máima a artir del Círculo de Mohr má R 6,403 Calculamo el ángulo con que e genera la tenión de corte máima 90º 38,66º 90º 5,34º 5,67º Otra forma de calcular el ángulo θ e: (5 5 tg( * ,34º 5,67º
9 Dibujemo lo Etado Tenionale que e obtienen en el unto en análii
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