1.- Ángulo de inclinación

Transcripción

1 Unidad II.- La línea recta. Todos tenemos la idea intuitiva de lo que es una recta. Las propiedades fundamentales de la recta, de acuerdo a los Axiomas de Euclides, son: Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o son paralelas. 1.- Ángulo de inclinación Sea 1 una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A. La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo θ < 180 que se obtiene al girar la semirrecta AX en sentido contrario alas manecillas del reloj hasta coincidir con la recta 1. Por lo tanto, este ángulo (θ) se denomina inclinación de la recta 1. La pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es un numero que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde esta inclinada. La recta de la figura por cada 3 unidades que avanza hacia la derecha, sube 4 unidades, 38

2 decimos que la pendiente de la recta es 4 3. Usualmente se denota con la letra m a la pendiente. Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, tomamos dos puntos Px ( 1, y 1) y Qx (, y ) de la recta y calculamos el cociente: y y m = x x Si tomamos otro par de puntos P' y Q' en la misma recta, como se muestra en la figura, se obtienen dos triángulos rectángulos semejantes, y por lo tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta puede determinarse usando dos puntos cualesquiera. 1 1 Si la recta es vertical, todos los puntos de la recta tienen la misma primera coordenada, entonces el denominador de la expresión anterior vale cero y por lo tanto, no puede evaluarse m, así que las rectas verticales no tienen pendiente. 0bservaciones: o La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha. o La pendiente es cero cuando la recta es horizontal. o La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda. o Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta mas inclinada. o Una recta vertical no tiene pendiente. 39

3 .- Determinación de la ecuación de la recta. Ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto de ella. Como ya hemos visto antes las ecuaciones en dos variables representan lugares geométricos en el plano. Empezaremos nuestro estudio de lugares geométricos con las rectas, que son los más sencillos. Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto Px ( 1, y1) y tiene pendiente m. Si Q(x, y) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer y y1 m = x x 1 puesto que Q P y la recta no es vertical, x x1, multiplicando por x x1, obtenemos: Ecuación 1: y y1 = m( x x1) Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de este tipo, podemos saber por que punto pasa la recta y que pendiente tiene. 40

4 Ejemplos: 1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (4, -1) y tiene pendiente -. Solución: m = - y ( x1, y 1) = (4,-1). Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos: y ( 1) = ( )( x 4) y+ 1= ( x 4). Dar un punto y la pendiente de la recta y -5 = -7(x + 3). Solución: Comparando esta ecuación con la ecuación 1, tenemos que pasa por P( -3,5) y tiene pendiente m = Dibujar la recta cuya ecuación es 3x + y =. Escribimos la ecuación en la forma (1): 3x + y = y - = -3x y- = -3(x - 0). 41

5 La recta pasa por P(0,) y tiene pendiente -3. Localizamos el punto P. Pensamos al -3 como 3. Debemos buscar ahora un punto Qx ( 1, y 1) tal que: 1 y1 3 =. x A partir de P avanzamos horizontalmente 1 unidad (el denominador de la pendiente), bajamos 3 unidades (el numerador de la pendiente, bajamos porque es negativo) y marcamos el punto Q(1, -1). Podemos comprobar que: Ahora unimos los puntos P y Q con una recta. 1 3 = = Podemos escribir la ecuación de una recta de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella., y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos llevarla a distintas formas, y obtener de esas expresiones distintas informaciones acerca de la recta. Un caso importante es cuando conocemos la pendiente m y el punto donde corta al eje Y, que usualmente Se denota con la letra b y se llama ordenada al origen. Tomando el punto P(0, b) y la pendiente dada., sustituimos en la ecuación 1. y b= m( x 0), que también se puede escribir como: Ecuación : y = mx + b A esta ultima forma de la ecuación de la recta se le conoce como la ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta. Ejemplos: 1. Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y que corta al eje Y en el punto -1. Solución: Sustituimos m = 3 y b = -1 en la ecuación : y = 3x + (-1), obteniendo y = 3x -1. 4

6 . Dibujar la recta que tiene por ecuación Solución: y = x 5. 3 La recta corta al eje Y en -5, es decir, pasa por el punto P(0, -5) y tiene pendiente Marcamos el punto P(0, -5). Debemos buscar ahora otro punto Q(x 1, y 1 ) de manera que: y = 1 x1 ( 5), 3 0 m = =. 3 3 para ello, a partir de P avanzamos 3 unidades hacia la derecha (el denominador de la pendiente), hacia abajo (el numerador de la pendiente, bajamos porque la pendiente es negativa) y marcamos el punto Q(3, 7) y trazamos la recta que une a P y Q. Podemos comprobar que: 7 ( 5) = = Observa que si pensamos ala pendiente como m =, a partir de P, avanzamos 3 unidades hacia la 3 izquierda (porque el denominador es negativo) y unidades hacia arriba (porque el numerador es positivo). De esta manera llegamos al punto R( -3, -3) que pertenece a la misma recta. Comprobemos nuevamente 3 ( 5) = =

7 3. Dibujar la recta que tiene por ecuación 4x- -y = -3. Solución: Escribimos la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen. 4x -y = -3 -y = -4x 3 y = 4x La recta carta al eje Y en 3 y tiene pendiente m = 4 =. 1 Marcamos el punta P(0,3), a partir de ahí, avanzamos 1 unidad a la derecha y 4 hacia arriba para llegar al punto Q(1,7). Trazamos la recta que une a P y Q. 3.- Ecuación general de la recta. Nos gustaría tener una forma de la ecuación de la recta que cubriera tanto a las rectas verticales como a las que no lo son. Esta forma es la ecuación general de la recta y se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro de manera que este quede igualado a cero. Ecuación general de la recta 3: Ax + By + C = 0. Recordemos que dos ecuaciones son equivalentes cuando obtenemos una a partir de la otra efectuando las operaciones siguientes: 1. Sumar la misma cantidad (que puede ser una expresión algebraica) de ambos lados de una ecuación.. Multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad distinta de cero. Dos ecuaciones que son equivalentes representan el mismo lugar geométrico, en el caso de ecuaciones lineales en dos variables, representan la misma recta. Observa que la ecuación general de la recta no es única, ya que si multiplicamos la ecuación anterior por una constante λ distinta de cero, obtenemos la ecuación; λ Ax + λby + λc = 0 que es de la misma forma que la anterior. Así, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes y todas están en la forma general; 3x -6y + 1 = 0, x -y + 4 = 0, -x + y -4 = 0 y representan a la recta cuya ecuación pendiente-ordenada al origen es: y = x + 44

8 y esta ecuación es equivalente a las anteriores, pues se obtiene a partir de cualquiera de las anteriores utilizando sucesivamente las dos operaciones enunciadas anteriormente. Ejemplos: 1. Escribir la ecuación y = 4x + 5 en la forma general. Solución: Pasando todos los términos de un lado de la ecuación obtenemos la ecuación en forma general: 4x -y + 5 = 0.. Escribir la ecuación general de la recta que pasa por P( -3,) y tiene pendiente 8. Solución: La ecuación punto-pendiente de la recta es y - = 8(x + 3), efectuando las operaciones y pasando todos los términos de un lado de la ecuación obtenemos la ecuación en la forma general: 8x -y + 6 = Ecuación simétrica de la recta. A partir de la ecuación general de la recta, Ax + By + C = 0, si C 0, podemos pasarlo al otro lado de la igualdad y dividir entre -C para obtener Ax By 1 C + C =, si además, A y B también son distintos de cero, podemos escribir la ecuación anterior como llamamos ahora a = C y b = A C y escribimos, B x y + = 1, C C A B x y Ecuación Simétrica 4: + = 1, a b esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación simétrica de la recta y tiene la ventaja de que podemos ver explícitamente en ella los puntos en los que la recta corta a los dos ejes, en efecto, si hacemos x = 0, obtenemos y = b, y con y = 0, obtenemos x = a, es decir, la recta corta al eje Y en y = b y 45

9 corta al eje X en x = a. Observa que una recta corta a ambos ejes en puntos distintos del origen si y sólo si en su ecuación en forma general, A 0, B 0 y C # 0. Ejemplos: 1. Encontrar la ecuación de la recta que corta a los ejes en (5,0) y (0, -3). Solución: Hacemos a = 5 Y b = -3 y sustituimos en la ecuación simétrica: x y + = 1, 5 3 efectuando las operaciones podemos transformarla a la forma general -3x + 5y + 15 = 0.. Encontrar los puntos de intersección de la recta 5x + 8y -6 = 0 con los ejes. Solución: Pasamos el termino independiente del otro lado de la ecuación y dividimos entre el 5x + 8y -6 = 0 5x + 8y = 6 así que la recta corta a los ejes en ( 6 5, 0) y (0, 3 4 ). 5x 8y + = x y + =

10 5.- Ecuación de la recta en la forma normal. La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo positivo W que la perpendicular forma con el eje de las x. La perpendicular OA a la recta L, representada por P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA varia de 0 W < 360. Si damos valores a p y W, la recta L trazada por A(x 1, y,) queda determinada por la ecuación de la recta en su forma normal que se obtiene en la forma siguiente: Observando la figura anterior, tenemos: x1 cos w = p Despejamos: x 1 = p cos w y1 sen w = p Despejamos: y 1 = p sen w Sustituimos los dos valores anteriores en A = (x 1, y 1 ), con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A, que son: A = (p cos W, p sen w) Par su parte, la pendiente m de OA es: m =tan w Como la recta L es perpendicular a la recta GA, sus pendientes están relacionadas con; 1 m1 = m es decir, la recíproca con signo cambiado. Como ya sabemos que la pendiente de OA es tan w, la inversa de esta función con signo cambiado de la recta L perpendicular a GA es: -cot w de donde, 47

11 m =-cot w = cos w sin w Sustituyendo en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente los valores de x 1, y 1 y de m, queda: y y = m( x x ) 1 1 cos w y -p sin w = ( x p cos w ) sin w Quitamos el denominador sen w y desarrollamos: y sen w -p sen w = -cos w(x -p cos w} = -x cos w + p cos w Agrupando: x cos w + y sen w = p sen w + p cos w Factorizamos el segundo miembro: x cos w + y sen w = p (sen w + cos w) Aplicamos la identidad pitagórica: sen w + cos w = 1 sustituimos: x cos w + y sen w = p De donde x cos w + y sen w- p = 0 Forma normal de la ecuación de la recta. Relación en la que w y p son las constantes arbitrarias o parámetros, y el valor de sen w y cos w puede ser positivo o negativo, de acuerdo con el cuadrante en que este el lado terminal del ángulo w. Recordando el círculo geométrico, tenemos: 48

12 Ejemplo: 1. Determina la ecuación de la recta en su forma normal, con w = 60 y p = 3 y grafica. Solución: Sustituimos en: X cos w + y sen w p = 0 X cos 60 + y sen 60-3 = 0 Como cos 60 = 1 Sen 60 = 3 x 3 + y 3= 0 x+ 3y 6= Procedimiento para obtener la forma normal de una recta a partir de su forma general. La ecuación de la recta en su forma general Ax + By + C = 0, queremos representarla en su forma normal x cos w + y sen w p = 0. Con Ax + By + C = 0, siendo K una constante distinta de cero, procedemos como sigue: Dividimos cada termino de Ax + By + C = 0 entre K; así tenemos, Ax By C + + = 0 ; identificando esta expresión con la forma normal, obtenemos: K K K A cos w =, sen w = B K K Elevamos al cuadrado:, -p = C K y p = C K A cos w = Obtenemos K cos w = A K sen w = B Obtenemos sen w = K B K Sumamos miembro a miembro de la igualdad: 49

13 cos w + sen w = A K + B K ; como cos w + sen w = 1, sustituyendo nos queda; 1 = A B K. K + Quitamos el denominador y despejamos K = A + B ; tenemos: K =± A + B y sustituyendo el valor de K Ax By C + + = 0 ± A + B ± A + B ± A + B Fórmula para obtener la forma normal de una recta a partir de su forma general. Para escoger el signo que precederá al radical siguientes: ± A + B se tomaran en consideración los conceptos a. E1 signo que se anteponga al radical debe ser el signo contrario al que tiene el coeficiente de C. Ejemplo: En x + y -4 = 0, como C = -4, el signo que precederá al radical será el (+). b. Si sucede que: C = 0, A 0, B 0; en este caso el signo del radical será el que tiene B. Ejemplo: En x -y = 0, como B = -, el signo que precederá al radical será (-). c. Si sucede que: C = B = 0; en este caso el signo del radical será el de A. Ejemplo: En -7x = 0, como A = -7, el signo que precederá al radical será (-). Ejemplo: Determina la forma normal de la recta 1x -5y -5 = 0 así como los valores de p, W, y traza la gráfica. Sustituimos en: Ax By C + + = 0 ± A + B ± A + B ± A + B A = 1; B = -5; C = -5; = ± A + B = Como el coeficiente de C esta precedido del signo (-), tomamos el signo positivo del radical: 1x 5y 5 =

14 de donde, 1 cos w = ; sen w = 13 p = 4; p = 4 5 ; 13 1x 5y 4= Como el seno w es negativo y coseno de w es positivo, el ángulo w debe medirse en el cuarto cuadrante; su valor es 337 3'. Cos w = 1 13 =.930 Sen w = 5 = w = º 37' w = -º 37' w = 359º 60' - º 37' w = 337 3'. 7.- Ángulo de intersección entre dos rectas. Si la recta L1, con ecuación y = m I x + b1, se interseca con la recta L, con ecuación y = m x + b, se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario θ. Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente: Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el": α1+ β = α Despejando: β = α α1 Como β = θ par ser opuestas por el vértice queda, θ = α α1 51

15 el problema lo resolveremos usando la función tangente; en consecuencia, podemos indicar que; tanθ = tan( α α ). 1 En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de dos ángulos es; como tanα = m, tanα = m 1 1 Sustituyendo queda: tanα tanα 1 α1 =. 1 + (tan α1)(tan α) tan( α ) m m1 tan( θ ) = 1 + ( m )( m ) 1 Fórmula para obtener el valor del ángulo θ. Para aplicar esta relación se debe tener sumo cuidado al determinar cual es la pendiente m 1 y cual m. Para ello se deben seguir las indicaciones siguientes: A. Si las dos pendientes son positivas, m es la mayor y m 1 la menor. B. Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m es la pendiente negativa y m 1 la positiva. C. Cuando las dos pendientes son negativas, m tiene mayor valor absoluto. Observa: m es la pendiente de la recta que forma el ángulo mayor con el sentido positivo del eje de las x. CONCLUSION: 1. Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma común.. Trazamos las gráficas. 3. Determinamos cual es m 1 y cual m. Sustituimos en la fórmula. 4. Obtenemos el valor del ángulo de la función tangente en las tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas. 5

16 Ejemplo: Determina el valor del ángulo que forman las rectas 3x + y -6 = 0 con x -3y -4 = 0 (ángulo menor). Solución: Pendiente m de la recta 3x + y 6 = 0: y = -3x + 6 de donde m = -3 Pendiente m de la recta x 3y 4 = 0: -3y = -x y = x y = x 3 3 de donde m = 3 Determinamos cual es m 1 y cual m. Como una es positiva y la otra negativa, m es la pendiente negativa y m 1 la positiva; en consecuencia: m = -3 y m 1 = 3. Sustituimos en la fórmula: m m1 tan( θ ) = 1 + ( m )( m ) tanθ = = = = = = ( ) ( ) θ = Ejemplo: Si A(1, 6), C(4, -), B(7,4), calcula el valor del ángulo C. Recordamos que en geometría, para designar un ángulo, entre otros procedimientos, la letra que esta al centro de las otras dos, en este caso la C, es la correspondiente al vértice. 53

17 Solución: Pendiente de la recta (1, 6), (4, -): 6 ( ) 6+ 8 m = = = Pendiente de la recta (4, -), (7, 4): (4) 6 m = = = 4 (7) 3 de donde m = 8 y m 1 =. 3 Sustituyendo en la formula: tan C = 3 = 3 = 3 = ( 14) 3 ( 13) =1.07 C = Familia de rectas. La ecuación de una recta, como ya lo estudiamos, queda determinada por dos condiciones independientes: dos puntos, la pendiente y un punto, la pendiente y su intersección con el eje, y la intersección de la recta con los dos ejes coordenados. En consecuencia aceptamos que una recta que satisface una sola condición, no es una recta única, ya que hay infinidad de rectas que cumplen la misma condición. Todas las rectas que satisfacen una condición geométrica previamente establecida forman una familia o haz de rectas. En la ecuación de la recta y = mx + b, las constantes m y b son los parámetros. Si asignamos un valor particular a uno de los parámetros, se obtiene la ecuación de una familia de rectas del otro parámetro que identificaremos como K (K debe ser un número real). Ejemplo: Si m = 3, resulta y = 3x + K, que es la familia de todas las rectas paralelas cuya pendiente m es igual a 3. En forma semejante, si en la ecuación y = mx + b ponemos b =, resulta y = Kx +, que es la ecuación de la familia o haz de rectas cuya intersección con el eje y es la misma, en este ejemplo. 54

18 Observa que hay una recta x = 0 (el eje y) que no esta incluida en y = Kx +, puesto que se necesitaría que K =, lo cual no esta permitido puesto que indicamos que K debe ser un numero real. Sol. y = Kx +, con la recta x =, que también forma parte de la familia. A veces, una familia de rectas tiene excepciones, que deben indicarse para hacer las notar en la solución, como en el ejemplo que se acaba de analizar. Ejemplo: Determina la ecuación de la familia de rectas que pasan a través de (1, ). Bosqueja la gráfica. Solución: Sol. y - = K (x -1), con la recta x = 1. Utilizamos la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada: y y1 = m( x x1) Esta familia se representa analíticamente con la ecuación: y = m( x 1) Como a m se le puede asignar cualquier valor dentro de los números reales, queda: y = K( x 1) m no está definida para una recta paralela al eje y; por ello, la ecuación anterior no incluye a la recta x = 1, que también pasa por el punto (1, ) y, por consiguiente, pertenece a la familia. 55

19 Ejemplo: Determina la ecuación de la familia de las rectas que son paralelas a 3x + 4y + = 0. Haz la gráfica. 3 Solución: Sol. y = x K 4 Utilizamos la ecuación de la recta pendiente-intersección y = mx + b Quitamos el denominador 4 y queda: 3x + 4y + K = 0 Como a b se le puede asignar cualquier valor dentro de los números reales, queda: y = mx + K 3x + 4y + = 0 4y = -3x - 3 y = x y = x 4 de donde la pendiente de cada miembro 3 de la familia debe ser: y el valor de 4 K arbitrario. De esta forma la familia se representa con: 3 y = x K o en la forma general 3x + 4y + K = O. 4 56

20 9.- Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta. Distancia de un punto a una recta. Consideremos una recta l cualquiera y un punto P( Xl, YI) que no este en la recta. La distancia de la recta l a P se define como la distancia de P al punto de l que esté más cercano a él. Construyamos una recta k, paralela a l que pase por P y la recta j, perpendicular a l que pasa por el origen. La recta j corta a l y a k en Q y R respectivamente. Observa en la figura que la distancia de P a l es la misma que la distancia de Q a R. Para encontrar esta distancia debemos encontrar las coordenadas de Q y de R y aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos. Para encontrar las coordenadas de Q y R, escribimos las ecuaciones de l, k y j: l : Ax + By + C = 0 k : Ax + By + C' = 0 j : Bx -Ay = 0 En la ecuación de k aparece una constante C' que determinaremos posteriormente. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones de l y j, obtenemos las coordenadas de Q: AC BC Q, A + B A + B Resolviendo simultáneamente las ecuaciones de k y j, obtenemos las coordenadas de R: AC BC R, A + B A + B Calculamos ahora el cuadrado de la distancia de R a Q: d ( ) ( ) ( ) = AC AC + BC BC A + B A + B ( ), 57

21 Simplificando la expresión anterior, obtenemos: extrayendo raíz cuadrada, encontramos: d = ( C C ) A + B, ( C C ) d = ± A + B. Para determinar C, usamos el hecho de que Px ( 1, y1) pertenece a K, así que ( x1, y 1) satisface la ecuación de k: de donde, Ax1+ By1+ C = 0 C = Ax By 1 1. Sustituyendo el valor de C en la formula de la distancia, obtenemos; Ax1+ By1+ C d =. ± A + B Como la distancia debe ser un número no negativo, el signo de la raíz se escoge para que d sea positiva. Ejemplo: 1. Determinar la distancia de la recta 5x+ 4y+ 15= 0 al punto A (, 4 ). Al graficar los datos dados, tenemos: La distancia pedida se considera absoluta, es decir, no dirigida. Al sustituir los datos en la ecuación para distancia absoluta, obtenemos: 58

22 d = d = Ax1+ By1+ C. A + B 5x+ 4y+ 15. ( 5) + ( 4) Y al sustituir las coordenadas del punto A(, 4), tenemos: 5 ( ) + 44 ( ) + 15 d = d = d = 41 La distancia de la recta 5x+ 4y+ 15= 0 al punto A (, 4 ) es: d = Distancia entre rectas paralelas Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de ellas y encontramos la distancia de ahí a la otra recta. Ejemplo: Encontrar la distancia entre las rectas 6x + y - 3 = 0 y 6x + y + 5 = 0. 59

23 Solución: Las rectas son paralelas, pues mediante un calculo directo se ve que la pendiente de ambas es m = -3. Elegimos un punto cualquiera en la primera recta. Para ello, tomamos cualquier valor de x, por ejemplo x = 1, lo sustituimos en la ecuación y encontramos el valor de y correspondiente: Así que el punto recta: 6 (1) + y 3 = 0 3 y =. 3 p(1, ) pertenece ala primera recta. Calculamos ahora la distancia de P a la segunda así que la distancia entre las rectas es: 3 61 () d = = = =,

24 10.- Ejercicios de repaso: I. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente que se indica. a) A(5, 9) y m = 3. II. b) B(-6, 5) y m = 3 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene el ángulo de inclinación que se indica. a) A(7, 4) y θ = 60 b) P(, -7) y θ = 135 III. Halla la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada y su intersección con el eje y se indica. 3 a) m =, intersección (-3) 5 b) m = -5, intersección () IV. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. a) A(, 4) y B(-7, 5) b) P(-3, -) y Q(5, 3) V. Halla la ecuación de la recta en la forma normal, para los siguientes valores de p y w; trazar la gráfica correspondiente. a) p = 6 y w = 4 π 3 b) p = 7 y w = 45 VI. Determina la distancia de las siguientes rectas dadas al punto indicado. 1. 4x -5y -13 = 0 al punto A (7, -1).. x + 5y + 10 = 0 al punto C (1, 3). 3. 3x -4y + = 0 al punto P (5, -). VII. Determina los ángulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados: a) A(-, 0), B(5, -5) y C(3, 7) b) K(, 5), L(-3, -) y M(4, ) 61