Tarea 1. César Hernández Aguayo

Transcripción

1 Solución: Tarea 1. César Hernández Aguayo 1. Graficar y explicar cómo surge la gráfica. f(x) = sen 1 (x). La función seno inverso, denotada por sen 1, está definida por f = sen 1 x si y sólo si x = sen f; π/ f π/. El dominio de sen 1 es el intervalo cerrado [ 1, 1] y su imagen es el intervalo cerrado [ π, π ]. Se puede dibujar la gráfica a partir de los valores de sen 1 x tales como los presentados en la tabla 1. La gráfica se muestra en la figura 1. A la función sen 1 también se le conoce como arcsen. 3 1 π x sen 1 x 1 π 1 3 π 1 6 π π 1 3 π 1 Cuadro 1: Tabla de valores de la función sen 1 x. Figura 1: Gráfica de la función f(x) = sin 1 (x). 1

2 f(x) = tan 1 (x). La función tangente inversa, denotada por tan 1, está definida por f = tan 1 x si y sólo si x = tan f; π/ < f < π/. El dominio de tan 1 es el conjunto R, es decir, el intervalo abierto (, ) y su imagen es el intervalo abierto ( π/, π/). Se puede dibujar la gráfica a partir de los valores de tan 1 x tales como los presentados en la tabla. La gráfica se muestra en la figura. A la función tan 1 también se le conoce como arctan. x tan 1 x Cuadro : Tabla de valores de la función tan 1 x. Figura : Gráfica de la función f(x) = tan 1 (x).

3 3 f(x) = cos 1 (x). La función coseno inversa, denotada por cos 1, está definida por f = cos 1 x si y sólo si x = cos f; 0 f π. El dominio de cos 1 es el intervalo cerrado [ 1, 1] y su imagen es el intervalo cerrado [0, π]. Se puede dibujar la gráfica a partir de los valores de cos 1 x tales como los presentados en la tabla 3. La gráfica se muestra en la figura 3. A la función cos 1 también se le conoce como arc cos. x cos 1 5 x π 6 π 3 π π 1 3 π π 0 Cuadro 3: Tabla de valores de la función cos 1 x. Figura 3: Gráfica de la función f(x) = cos 1 (x).

4 4. Resolver las siguientes ecuaciones (para x): ax + bx + c = 0. Primero dividimos por a y pasamos el término constante al lado derecho de la ecuación x + b a x = c a ahora Podemos completar el cuadrado en el primer miembro sumando b miembros de la ecuación, 4a a ambos x + b a x + b 4a = b 4a c a, ó ( x + b ) = b 4ac a 4a. Extrayendo la raíz cuadrada x + b a = ± b 4ac, a y despejando x, finalmente obtenemos las dos raíces de la ecuación ó x = b ± b 4ac a x 1 = b + b 4ac, x = b b 4ac. a a Si bien cualquier ecuación cuadrática puede resolverse por el método de Completar cuadrado que se emplea para obtener esta fórmula, es mucho más frecuente la substitución directa de los valores particulares de a, b y c en la ecuación de la Fórmula General por ser este procedimiento más eficaz. (x 3) = 0. Primero expandemos el binomio al cuadrado x 6x + 9 = 0. Ahora podemos usar la fórmula general que obtuvimos en el ejercicio anterior, identificando a = 1, b = 6 y c = 9. Sustituyendo estos valores, obtenemos x = b ± b 4ac a = ( 6) ± ( 6) 4(1)(9) (1). = 6 ± = 3 ± 0. Donde las soluciones son: x 1 = x = x = 3. [ (x ) + λ ] = 5, λ ɛ N. Primero hay que notar que esta ecuación es una ecuación de cuarto grado, por lo que debemos obtener cuatro soluciones. Para solucionar la ecuación, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados (x ) + λ = ± 5,

5 5 posteriormente, expandimos el binomio y el término del lado derecho lo mandamos al lado izquierdo de la ecuación x 4x λ 5 = 0, Ahora podemos usar la fórmula general al idenificar que: a = 1, b = 4 y c = λ+4 5. Entonces x = b ± b 4ac = ( 4) ± ( 4) 4(1)(λ + 4 5) a (1) x = 4 ± 16 4λ 16 ± 4 5 Finalmente, las cuatro soluciones son: x 1 = + λ + 5, x = + λ 5, = ± λ ± 5. x 3 = λ + 5, x 4 = λ 5. Recordando que λ ɛ N, las únicas soluciones con sentido serían x 1 y x 3, bajo la condicón λ ó 5 λ. x x + 5 = α, α ɛ R. Como esta ecuación también es cuadrática, podemos hacer uso de la fórmula general. Primero mandamos el término α al lado izquierdo de la ecuación x x + 5 α = 0, ahora podemos identificar a = 1, b = y c = 5 α. Sustituyendo en la fórmula general x = b ± b 4ac a Entonces las soluciones son: Con la condición α 4 0 ó α 4 = ( ) ± ( ) 4(1)(5 α) (1) x 1 = 1 + α 4, x = 1 α 4. = ± α = 1± α 4.

6 6 3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Usando el método gráfico, hay que despejar y en función de x para obtener una ecuación de la recta. Entonces, en el punto donde las dos rectas se intersectan ahí encontraremos la solución. x + y = 5, x y = 1. Despejando y en ambas ecuaciones obtenemos dos ecuaciones de la recta y = 5 x, y = x 1, Las gráficas de estas rectas las podemos ver en la Fig. 4, donde el punto de intersección de las rectas es (x, y) = (, 3) que corresponde a la solución del sistema de ecuaciones. Figura 4: Gráfica de las rectas y = 5 x, y = x + 1.

7 7 x 3y = 1, x y = 0. Despejando y en ambas ecuaciones obtenemos dos ecuaciones de la recta y = (x 1)/3, y = x/, Las gráficas de estas rectas las podemos ver en la Fig. 5, donde el punto de intersección de las rectas es (x, y) = (, 1) que corresponde a la solución del sistema de ecuaciones. Figura 5: Gráfica de las rectas y = (x 1)/3, y = x/.

8 8 4. Haga la gráfica de las siguientes funciones e indique cuál es la imagen, y el dominio. y = 3 sin x. Dom y = (, + ) = R, Im y = [ 3, 3]. Figura 6: Gráfica de la función y = 3 sin x.

9 9 y = cos x 3. Dom y = (, + ) = R, Im y = [, ]. Figura 7: Gráfica de la función y = cos x 3.

10 10 y = 4 cos x. Dom y = (, + ) = R, Im y = [ 4, 4]. Figura 8: Gráfica de la función y = 4 cos x.

11 11 y 3 = x. Dom y = [0, + ), Im y = [0, + ). Figura 9: Gráfica de la función y = x /3.

12 1 y = e x. Dom y = (, + ) = R, Im y = (0, 1]. Figura 10: Gráfica de la función y = e x.

13 13 y = x. Dom y = (, + ) = R, Im y = (0, + ). Figura 11: Gráfica de la función y = x.