SEPTIEMBRE 2001 INSTRUCCIONES:

Transcripción

1 SEPTIEMRE INSTRUIONES: El examen resenta dos ociones y ; el alumno deerá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha oción en h. min. OPIÓN Ejercicio. ( Puntuación máxima: untos) Sean las matrices (a) Determínese si y son invertiles y, en su caso, calcúlese la matriz inversa. () Resuélvase la ecuación matricial X I, siendo I la matriz identidad de orden tres. (c) alcúlese 6. a. La condición necesaria y suiciente ara que una matriz cuadrada tenga inversa, es que su determinante sea distinto de cero. ( ) adj t t t No.. X I : X I : X (I ) X (I ) X c.

2 Las otencias de la matriz se reiten en un ciclo de tres. Teniendo en cuenta que 6 : ( ) I I 6 Ejercicio. (Puntuación máxima untos) Sean las unciones (x) x ax, g(x) x c (a) Determínense a, y c, saiendo que las gráicas de amas unciones se cortan en los untos (, ) y (, ). () Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráica de g(x) en el unto (, ). (c) alcúlese el área de la región limitada or las gráicas de (x) y g(x). a. Si un unto ertenece a una unción, las coordenadas del unto cumlen la exresión de la unción. () a a : x y, x y, a a a Para calcular c, asta sustituir solo uno de los untos. Se escoge el (, ) or ser el más sencillo. g x g y, () c g() : c (x) x x, g(x) x. La ecuación de la recta tangente a una unción en un unto se exresa en orma unto endiente y y o m (x x o ) teniendo en cuenta que el unto es ( ) ) (x, x o o, y la endiente m (x o ) y (x o ) (x o ) (x x o ) alicado a la unción g (x) en el unto (, ): y g () () (x )

3 donde sustituyendo ordenando g () () g (x) x : g () () y (x ) y x c. Se ide calcular el área encerrada entre dos unciones conocidos los untos de corte entre ellas, alicando el cálculo integral x ( g(x) (x)) dx ( x ( x x ) dx ( x x ) dx x x ( ) ( ) ( ) u

4 Ejercicio. (Puntuación máxima untos) El eso de los erros adultos de una cierta raza es una variale aleatoria que se distriuye normalmente con desviación tíica,6 kg. Una muestra aleatoria de animales ha dado un eso medio de, kg. (a) alcúlese un intervalo de conianza al 99% ara el eso medio de los erros adultos de esta raza. () Qué tamaño mínimo dee tener la muestra ara tener una conianza del 9% de que la media muestral no se dierencie en más de, kg de la media de la olación? a. x Variale continua que índica el eso de los erros de una determinada raza, sigue una distriución normal N(µ, σ). Tomando muestras de tamaño, se genera una nueva variale x, media aritmética del eso de una σ muestra, tamién es una variale continua que sigue una distriución normal N x µ,. n El intervalo de conianza ara muestras de tamaño n de una variale(media muestral) que sigue una distriución N es: σ σ x Zα, x Z α n n siendo α el nivel de signiicación, y α, el nivel de conianza( 99) ó la roailidad de que una cualquiera de las medias de las muestra caiga dentro del intervalo edido. licando al caso rouesto: α ' x ' : σ ' 6 : Z φ α φ φ ( '99) ' : n sustituyendo en el intervalo '6 '6 ' ',' ' ( ', ') El 99% de la medias de muestras de tamaño estarán comrendidas entre y kg. El tamaño muestral(n) y el máximo error ermitido están relacionados, a menor error ermitido, σ mayor tamaño muestral. El máximo error ermitido es el radio del intervalo Zα n σ ε máx Zα n exresión de la que se uede desejar el tamaño muestral en unción del máximo error ermitido σ n Z α ε máx hay que calcular de nuevo el valor de Z α ya que se ha variado el nivel de conianza( α 9: α ) ' Z φ α φ sustituyendo en el tamaño muestral: '6 n '96 ' ' n 6 ( '9) ' 96

5 Ejercicio. (Puntuación máxima: untos) En un videoclu quedan coias de la elícula, 9 de la y de la. Entran tres clientes consecutivamente y cada uno elige una coia al azar. alcúlese la roailidad de que: (a) Los tres escojan la misma elícula. () Dos escojan la elícula y el otro la. Sucesos: i Escoge la coia el cliente i(,, ) i Escoge la coia el cliente i(,, ) i Escoge la coia el cliente i(,, ) a. Los tres escojan la misma elícula teniendo en cuenta que los sucesos los tres escogen la elícula, los tres escogen la elícula, los tres escogen la elícula son incomatiles, la roailidad de su unión será la suma de cada una de ellas según: [ ] ara resolver la intersección se tiene en cuenta que los sucesos son deendientes: 9 6. Dos escojan y el otro se trata de la misma orma que el anterior caso [ ]

6 OPIÓN Ejercicio. ( Puntuación máxima: untos) Un hiermercado inicia una camaña de oertas. En la rimera de ellas descuenta un % en un cierto roducto, un 6% en el roducto y un % en el roducto. las dos semanas one en marcha la segunda oerta descontando un % sore el recio inicial de, un % sore el recio inicial de y un 6% sore el recio inicial de. Se sae que si un cliente comra durante la rimera oerta un roducto, dos y tres, se ahorra 6 euros resecto del recio inicial. Si comra tres roductos, uno y cinco en la segunda oerta, el ahorro es de 9 euros. Si comra un roducto, uno y uno, sin ningún tio de descuento, dee aonar euros. alcúlese el recio de cada roducto antes de las oertas. Se ide lantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x Precio del articulo y Precio del articulo z Precio del articulo ª Ecuación. horro en la rimera oerta: 6 x y ª Ecuación. horro en la segunda oerta x y 6 ª Ecuación. Gasto en la comra sin oertas x y z z 6 z 9 Multilicando las dos rimera ecuaciones or cien y dividiendo la segunda or dos se otiene el siguiente sistema: x y z 6 x y z x y z Para resolver el sistema se estudia el determinante de la matriz de coeicientes or ser distinto de cero, el sistema es comatile determinado, se resuelve or ramer x x x 6 6

7 Ejercicio. (Puntuación máxima: untos) alcúlense: Sea la unción (x) x x (a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. () Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. (c) El valor de x ara el que es máxima la endiente de la recta tangente a la gráica de (x). a. La monotonía de una unción se estudia en el signo de la rimera derivada con el siguiente criterio - En los intervalos en los que (x) sea mayor que cero(ositiva), la unción será creciente - En los intervalos en los que (x) sea menor que cero(negativa), la unción será decreciente. (x) x x : ' (x) x x Estudio del signo de (x) x ( x) Sore una recta real se estudian los intervalos generados or los ceros ó raíces de la derivada teniendo en cuenta el criterio Sí x (, ) (, ) (x) es Sí x (, ) (x) es creciente decreciente. La condición necesaria y suiciente ara que una unción tenga un extremo relativo en un unto, es que en dicho unto la rimera derivada sea nula y la segunda derivada sea distinta de cero. Para dierenciar entre máximo y mínimo se tiene en cuenta el signo de la segunda derivada con el siguiente criterio: - Sí (x o ) < (negativa) en (x o, (x o )) la unción alcanza un máximo - Sí (x o ) > (ositiva) en (x o, (x o )) la unción alcanza un mínimo ' (x) x x : x (x) ( x) x x : x : : x : '' ' (x) () ''() () () x x : ' '(x) x En > En > (, () ) (,) (, () ), la unción alcanza un mínimo la unción alcanza un mínimo c. Se ide hallar el máximo de la unción que exresa la endiente de las rectas tangentes a la unción, que es la unción derivada, or lo tanto se ide hallar el máximo de la de la unción derivada. Si ara hallar el máximo se deriva la unción, los untos de la unción de endiente máxima serán aquellos que su segunda derivada sea nula y su tercera derivada sea negativa, es decir un unto de inlexión cóncavo-convexo. ' '(x) x : x : ''' (x) > 6 En el unto (, () ), la tangente a la unción tiene endiente máxima

8 Ejercicio. (Puntuación máxima untos) En un laoratorio se otuvieron seis determinaciones del H de una solución, con los resultados siguientes: Se suone que la olación de todas las determinaciones del H de la solución tiene una distriución normal de media desconocida con desviación tíica igual a,. (a) Determínese un intervalo de conianza al 9% ara la media de todas las determinaciones del H de la misma solución otenidas con el mismo método. () on el mismo nivel de conianza anterior, cuál dee ser el tamaño mínimo de la muestra ara que la amlitud del intervalo de conianza sea a lo sumo,? a. Se ide calcular un intervalo de roailidad de una variale continua(x H), a artir de la media de una muestra de tamaño n 6. '9 '9 '9 '9 '9 '9 Media de la muestra: x o ' 9 6 Si la variale x sigue una distriución N(µ, σ), las medias de las muestras de tamaño n 6 siguen σ una distriución N x µ,, y los intervalos de roailidad a artir de una media muestral son: n σ σ x o Zα, x o Zα n n donde Z α es un valor crítico deendiente del nivel de conianza( α). licando al caso rouesto: α ' x '9 : σ ' : Z φ α φ φ ( '99) ' : n 6 sustituyendo en el intervalo ' ' '9 ','9 ' ( '9, '9) 6 6. La amlitud del intervalo es el máximo error ermitido, y este es: σ ε máx Zα n exresión de la que se uede desejar el tamaño muestral en unción del máximo error ermitido σ n Z α ε máx sustituyendo en el tamaño muestral: ' n ' ' n 6 '

9 Ejercicio. (Puntuación máxima: untos) on el ojetivo de recaudar ondos ara un viaje, los alumnos de un instituto realizan una ria con números. Un alumno comra dos números. (a) Si sólo hay un remio, qué roailidad tiene el alumno de que le toque a él? () Si hay dos remios, qué roailidad tiene el alumno de que le toque al menos uno de ellos? Suceso: i Le toca el remio i a. ( ) asos avorales asos osiles. La roailidad de que le toque al menos uno de los remios, es el caso contrario de que no le toque ninguno. ( ) ( ) %