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Felipe Farías Valverde
hace 5 años
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1 1. Considera la función definida por f(x) =. a. Descompón la función en fracciones simples. Recuerda que las posibles raíces enteras de un polinomio son los divisores del término independiente. b. Calcula la primitiva (x) de la función (x) que cumple que (0)=30. c. Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función f(x), el eje horizontal y las rectas verticales x=0 y x=100. a.- Lo primero es encontrar las raíces del polinomio del denominador, por lo tanto aplicamos Ruffini. Como todos los coeficientes son positivos, ya vemos que no debemos ensayar valores positivos. Como además el término independiente es 45, probamos sólo con sus divisores es decir, -1, -5, -7, -35, -49. Empezamos con -1: No es raíz. Probamos con -5: Y ahora resolvemos el polinomio que nos queda con la fórmula de Cardano-Vieta o bien directamente, al reconocer un producto notable, en este caso. Por lo tanto, tenemos que: x + 19x + 119x + 45 = (x + 5) Por lo tanto, ya podemos plantear nuestra descomposición en fracciones simples: x + 19x + 119x + 45 = x B x c l reducir a común denominador e igualar los numeradores tenemos que: = + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5) Damos valores a ambos polinomios y tenemos que, para x=-5 nos queda: ( 5) 5 ( 5) + 1 = ( 5 + 7) + B 0 + C 0

2 Si damos el valor x=-7 tenemos: = 4 1 = 4 = 1 4 = 3 ( 7) 5 ( 7) + 1 = 0 + B 0 + C ( 7 + 5) = C = C C = 1 1 = 1 hora sólo nos queda encontrar B, pero si nos fijamos bien, el coeficiente de x es muy fácil de calcular ya que sólo intervienen los dos primeros sumandos, por lo que tenemos que: 1 = + B 1 = 3 + B B = 4 Por lo tanto, nuestra fracción original se descompone como: x + 19x + 119x + 45 = 3 x x b.- Para calcular la primitiva, hacemos uso de la descomposición en fracciones simples: F(x) = x + 19x + 119x + 45 dx = 3 x x dx = 3 dx x dx x dx Las dos primeras integrales son inmediatas, mientras que la segunda es prácticamente inmediata, basta con hacer el cambio t=x+7, con lo que nos queda: sí nuestra primitiva queda: dx dt = t = t dt = t + 1 = t 1 = 1 t = 1 x + 7 F(x) = 3 ln x ln x x Cte. Como nos piden que F(0) = 30, al sustituir tenemos que: 30 = F(0) = 3 ln ln Cte. = 3 ln 5 4 ln Cte. Por lo tanto, la primitiva buscada es: = 3 1, ,9459 0,148 + Cte. = 4,88 7,783 0,148 + Cte. = 3,098 + Cte. Cte. = 33,098 F(x) = 3 ln x ln x x ,098

3 c.- Para hallar el área pedida hay que hacer la integral definida entre 0 y 100, pero hay que tener en cuenta si la función corta o no al eje. Resolvemos: = 0 x = 5 ± = 5 ± 73 =,77 1,77 Por lo tanto, hemos de hacer la integral dividida en dos trozos, de 0 a 1,77 y de 1,77 a 100. Ccomo que ya tenemos calculada F(x) nos queda: S = x + 19x dx + 119x + 45 =, x + 19x dx + 119x + 45 = F(1,77) F(100) + F(1,77) F(0) = 3 ln 1, ln 1,77 + 7, x + 19x dx + 119x , , ln ln , ln 1, ln 1, , ,098 3 ln ln ,098 = (5,7384 8,83 0, ,098) (13,919 18,913 0, ,098) + (5,7384 8,83 0, ,098) 30 = 30,033 8, , = 1,78 + 0,033 = 1,7131. Realizad los siguientes cálculos de transformadas i antitransformadas. Calculad las transformadas de les siguientes funciones: a.- f(t) = cos t + 3 sin(t) b.- g(t) = (t 3) c.- h(t) = t e + e a.- plicamos la propiedad de la linealidad y tenemos que: F(s) = L(cos t) + 3 L(sin t) = b.- Desarrollamos el polinomio y tenemos: Por lo que aplicando la linealidad tenemos: c.- Igualmente tenemos que: s s s + = s s s + 4 g(t) = t t + 9 G(s) = L(t ) L(t ) + 9 L(1) = 4!! s s s = 4 1 s s + 9 s

4 H(s) = L(t e ) + L(e! ) = (s 5) + 1 s 0 = (s 5) + 1 s 0 Calculad las antitransformadas de las siguientes funciones: d.- F(s) = e.- G(s) = ( ) f.- H(s) = d.- Empezamos identificando el denominador y sacando el término lineal: e.- Desarrollamos y simplificamos: f(t) = L 3s s + 4 = 3 s L = 3 cos(t) s + 4 G(s) = s + 4s + 4 s Y ahora ya podemos aplicar la linealidad: = s 4s + s s + 4 s = 1 s + 4 s + 4 s g(t) = L 1 s + 4 s + 4 s = L 1 s + L s + 3 L s = t + t + 3 t f.- quí hay que descomponer en fracciones simples, por lo tanto lo primero es encontrar las raíces del polinomio del denominador. plicamos Ruffini: Y resolvemos lo que nos queda por Cardano-Vieta: Por lo tanto tenemos que: s + 5s + = 0 s = 5 ± = 5 ± 1 s + s + 11s + = (s + 1)(s + )(s + 3) Y ahora ya podemos descomponer en fracciones simples y nos queda: 4s s + s + 11s + = Reducimos a común denominador y tenemos que: Damos el valor s=-1 y Damos el valor s=- y s B s + + C s + 3 s = 3 = s = 4s = (s + )(s + 3) + B(s + 1)(s + 3) + C(s + 1)(s + ) 4 = (1)() = = = 3 8 = B( 1)(1) 10 = B B = 10

5 Damos el valor s=-3 y Por lo tanto tenemos que: 1 = C( )( 1) 14 = C C = 14 = 7 4s s + s + 11s + = 3 s s s + 3 hora ya podemos aplicar la linealidad y nos queda: h(t) = 3 L 1 s L 1 s + 7L 1 s + 3 = 3 e + 10 e 7 e 3. Resolved las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias: a.- y (t) 5y (t) y(t) = 0 con y(0) =, y (0) = 1 plicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación y tenemos: [s Y(s) s y(0) y (0)] 5 [s Y(s) y(0)] Y(s) = 0 s Y(s) s 1 5sY(s) + 5 Y(s) = 0 Y(s) (s 5s 1) 1s + 4 = 0 Y(s) = Calculemos las raíces del polinomio inferior: Por lo tanto la descomposición es: hora hacemos: s = 5 ± s 4 s 5s 1 = 5 ± 7 s = 1 1 = s = 1 = 1 s 5s 1 = (s 1) s + 1 = (s 1) (s + 1) 1s 4 s 5s 1 = s 1 + B s + 1 l reducir a común denominador e igualar numeradores, tenemos que: Doy valor s=1 y 1s 4 = (s + 1) + B(s 1) 1 4 = 7 8 = 7 = 8 7 Doy valor s=-1/ y 1 1 Por lo tanto, tenemos que: 7B 4 = B 1 1 = B = y(t) = L (Y(s)) = L 7 s s + 1 = 8 7 L 1 s L 1 s + 1 = 8 7 e + 7 e

6 b.- y (t) y(t) = e con y(0) = 3 plicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación y tenemos: (s Y(s) 3) Y(s) = s Y(s) (s 1) = s Y(s) (s 1) = + s 1 + s 10 = = s s s s 10 Y(s) = (s )(s 1) Descomponemos en fracciones simples y tenemos: s 10 (s )(s 1) = s + B s 1 Reducimos a común denominador e igualamos numeradores y Damos valor s= y tenemos: Damos el valor s=1/ y Por lo tanto, tenemos que: s 10 = (s 1) + B(s ) 1 10 = (4 1) = 3 = / = B 1 3B 7 = B = y(t) = L Y(s) = L 3 s + 3 s 1 = 3 L 1 s L 1 s 1 = 3 e e y(t) = 3 e e 4.- Resolved las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias: a.- = y + y e con y(0) = 1 Separamos las variables y nos queda: Integrando tenemos: dx = y (1 + e ) y = (1 + e ) dx ln y = (1 + e ) dx = dx + e dx = x + e + C Por lo tanto, elevando e a cada miembro de la ecuación tenemos: y = e Para calcular la constante aplicamos la condición inicial y tenemos que: Por lo tanto, C=-1 y la solución es: 1 = e = e

7 b.- ln x = 0 con y(e) = 1 y = e yuda: Para resolver la ecuación que involucra el ln x os puede ser útil considerar el cambio de variable u = ln x. Hacemos la separación de variables y nos queda: dx ln x = y x Hacemos el cambio propuesto y tenemos que: Por lo tanto, nos queda: Integrando tenemos que: y = u = ln x du = 1 x y = du u ln y = ln u + C Elevando e a cada elemento de cada lado nos queda: plicamos la condición inicial y tenemos que: Por lo tanto la solución es: dx dx x x ln x = ln x dx = dx x y = u y = ln x 1 = ln e = y = ln x

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