Modos transitorios. Ignacio Díaz Blanco. Universidad de Oviedo

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Arturo Pedro Ortiz Segura
hace 5 años
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1 Modos transitorios Ignacio Díaz Blanco

2 Método directo: Afortunadamente casi siempre, F(s) es una expresión racional (un polinomio dividido por otro) descomposición en fracciones simples

3 Descomposición en fracciones simples tablas tablas tablas

4 Descomposición en fracciones simples Procedimiento: descomponer la expresión racional F(s) en funciones más sencillas cuyas transformadas conocemos por tablas F(s) puede descomponerse en funciones Fi(s) cuyas transformadas son conocidas: raíces distintas raíces múltiples Tablas

5 Descomposición en fracciones simples Aplicando la linealidad de la T. de Laplace se obtiene la expresión de f(t) como suma de funciones fi(t) conocidas tablas tablas tablas

6 Descomposición en fracciones simples multiplicando por (s-p i ) 1 evaluando en s=p i de donde...

7 Descomposición en fracciones simples Las fracciones resultantes tienen antitransformada conocida esto permite obtener f(t) por linealidad

8 Descomposición en fracciones simples Raíces complejas modos oscilatorios aunque dos de las raíces sean complejas, no se trata de ningún caso especial. En efecto, supongamos dos raíces complejas (siempre vienen en pares conjugados): Al aplicar Heaviside, nos van a quedar dos coeficientes también conjugados (comprobarlo en casa):

9 Descomposición en fracciones simples Raíces complejas modos oscilatorios Agrupando las dos funciones básicas resultantes por parejas queda siempre una función real... Im Nota: Re... que tiene carácter oscilatorio!

10 Descomposición en fracciones simples Caso especial: raíces múltiples

11 Descomposición en fracciones simples Caso especial: raíces múltiples Supongamos: entonces

12 Descomposición en fracciones simples Caso especial: raíces múltiples

13 Ejemplo EDL-CC?

14 Ejemplo

15 Ejemplo Aplicando Heaviside para las raíces s={0,-1,-3}

16 Ejemplo EDL-CC y(t) t

17 Ejemplo G(s)?

18 Ejemplo

19 Ejemplo u(t) G(s) y(t) t

20 Ejemplo Suponiendo que en t=0 el sistema está en equilibrio y que tanto u(0) como y(0) valen cero a) obtener su función de transferencia b) obtener su respuesta temporal ante una señal de tipo impulso

21 Ejemplo a) función de transferencia para calcular la T. de Laplace de las derivadas d k y/dt k, d k u/dt k que aparecen en la EDL-CC utilizamos 0 (cond. iniciales nulas) entonces...

22 Ejemplo b) Respuesta impulsional

23 Ejemplo G(s) y(t) + + = t

24 Modos transitorios

25 Modos transitorios Si expresamos la raíz p i como: En general: Si p i es real da lugar a una exponencial - si! > 0 será creciente y no acotada (inestable) - si! < 0 será decreciente y tenderá a cero - Cuanto mayor sea!, más rápido crece o decrece Si p i tiene parte imaginaria dará lugar a modos oscilatorios - crecientes y no acotados si! > 0 - decrecientes (tienden a cero) si! < 0 - cuanto mayor sea " más frecuencia de oscilación - cuanto mayor sea! más rápido tiende a cero (o a infinito si! > 0) - La proporción entre! y " nos indica el grado de oscilación - Para sistemas estables:! Si! >>" se hace cero antes de que le de tiempo a completar un ciclo (poco oscilatorio)! Si " >>! oscila muchas veces antes de tender a cero (muy oscilatorio)

26 Mapa de modos transitorios Im +oscilatorios Re +rapidos (se atenúan + rápido) (tienden a cero + rápido) Semiplano derecho MODOS INESTABLES (contienen e +!t )

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