Sistemas de control Versión Estabilidad de Sistemas Método de Routh

Transcripción

1 Sistemas de control 67- Versión Estabilidad de Sistemas Método de Routh Se analizarán temas relacionados con la estabilidad de los sistemas lineales; la misma es una propiedad inherente del sistema y no depende del tipo de señal que ingresa al mismo. Interesan los sistemas de lazo cerrado ya que debido a la realimentación pueden inestabilizarse; el estudio de los polos de lazo cerrado y su ubicación en el plano complejo es muy importante. Un análisis matemático demuestra que polos ubicados en el semiplano derecho provocan respuestas de amplitud creciente (sistema inestable); en cambio si los polos están ubicados en el semiplano izquierdo (parte real negativa) cualquier respuesta transitoria tiende a estabilizarse, ya sea adoptando un valor finito o bien algo periódico pero acotado (sistema estable). Qué ocurre con los polos ubicados sobre el eje imaginario?, de nuevo un análisis matemático muestra que un simple impulso provoca oscilaciones de amplitud estable, aunque en casos reales, si la ganancia del sistema es muy grande pueden ponerse en evidencia polos no considerados en el modelo, o bien el ruido en la señal puede complicar la situación, así no es recomendable tener polos sobre el eje imaginario jω. Antes de comenzar el análisis conviene aclarar los términos de estabilidad absoluta y relativa. La primera se refiere a un sistema dado con sus parámetros ajustables con valor definido, mientras que la segunda implica que al menos algún parámetro ajustable es variable en particular el factor de amortiguamiento relativo pseda cuya influencia se destaca en el máimo sobre - impulso como vimos en el análisis de la respuesta transitoria y modifica el tamaño de las oscilaciones del sistema en los transitorios. Criterio de Routh Como se dijo antes, el objetivo es analizar los polos de la transferencia de lazo cerrado: C R G = + G H ó lo que es lo mismo los ceros de la ecuación característica del sistema (en general es un polinomio en s): + G H = () Encontrar las raíces de () puede resultar difícil si es de un grado superior al o ; afortunadamente eiste un método que evalúa la eistencia de raíces con parte real positiva, o sea polos de la transferencia de lazo cerrado en el semiplano derecho. Nos referimos al criterio de Routh, es útil tener en cuenta que sólo nos brinda información acerca de la estabilidad absoluta; el método algebraico, no entraremos en la demostración del mismo,lo describiremos con ejemplos. Usaremos la siguiente nomenclatura para los coeficientes de la ecuación característica. ao. s n + a. s n- + a. s n a n-. s + an. s = Se ordena el polinomio en potencias decrecientes, la primera condición es que los coeficientes aj sean todos del mismo signo lo que implica que la ecuación se puede escribir con Página de 7

2 Sistemas de control 67- Versión todos los signos positivos en definitiva, si hubiese alguno que fuese cero se lo reemplaza por un infinitésimo Epsilon. Se construye una matriz con los coeficientes del polinomio y con otros que calcularemos, en la primer fila van los coeficientes pares en el orden de potencias crecientes, en la segunda fila los coeficientes impares. Los coeficientes de las filas siguientes se calculan a partir de las dos filas precedentes como la diferencia de productos de diagonales según se indica en la figura divida por el pivote, elemento marcado por círculos en la figura. Para calcular b aplicamos la siguiente fórmula (ver flechas indicadas en la figura) b = (a. a ao. a ) / a Para calcular b aplicamos la siguiente fórmula (ver flechas indicadas en la figura) b = (a. a4 ao. a5 ) / a y así sucesivamente todos los b hasta que comiencen a aparecer valores nulos. Se continúa entonces con la siguiente fila de igual modo por ejemplo veamos la epresión del coeficiente c para el que corresponde b como pivote. c = (b. a a. b ) / b Cuando los valores comienzan a resultar cero se interrumpe el cálculo (lo que debe suceder no después de la enésima fila), el número de raíces del lado derecho en el plano s, o sea con parte real positiva, es igual al número de cambios de signo eistentes en la primer columna de nuestra matriz de cálculos. Complementamos diciendo que es condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación característica estén del lado izquierdo del plano complejo s, es que todos los signos de nuestra ecuación característica sean positivos, y los de la primer columna calculada según el criterio de Routh también. Página de 7

3 Sistemas de control 67- Versión Sea el polinomio : , apliquemos lo visto al mismo quedará formada la siguiente matriz en primera instancia, marcamos con rojo los coeficientes que intervienen en el cálculo de b, que resulta valer /. 4 8 / 5 = Cálculo de b 4 8 / -4/ = Cálculo de b 4 8 / -4/ 5 = Página de 7

4 Sistemas de control 67- Versión Cálculo de c 4 8 / -4/ 4 = Cálculo de c 4 8 / -4/ 8 8 = 8 Cálculo de c 4 8 / -4/ 8 = Página 4 de 7

5 Sistemas de control 67- Versión Cálculo de d 4 8 / -4/ 8-7/ 4 8 = 7 Cálculo de d 4 8 / -4/ 8 = -7/ Cálculo de e 4 8 / -4/ 8-7/ = 8 Página 5 de 7

6 Sistemas de control 67- Versión Cálculo de e 4 8 / -4/ 8-7/ = Finalmente queda: 4 8 / -4/ 8-7/ 8 Una vez realizados los cálculos se contabilizan los cambios de signo en la primer columna, cada cambio significa que eiste una raíz con parte real positiva y por consiguiente motivo de inestabilidad, en nuestro caso son. 4 8 / -4/ 8-7/ 8 Total cambios de signo Este sistema es inestable; con un solo cambio de signo bastaría para llegar a esta conclusión; sólo nos resta hacer notar que la condición de que todos los coeficientes sean positivos no basta, es necesario hacer toda la construcción para completar el análisis. Página 6 de 7

7 Sistemas de control 67- Versión Veamos el siguiente ejemplo: + k = ; haciendo la construcción según el método: k 4 k k 4 tanto: La primera condición nos indica que todos los coeficientes deben ser positivos, por lo k Por otra parte k aparece dividiendo así la condición queda en una desigualdad estricta: k > La pregunta es: eistirá algún valor de k positivo que convierta al sistema en inestable?. Para contestar analizamos la siguiente epresión: k < k.k < k < 6 así concluimos que para k < 6 el sistema es inestable (recordar que además k > ); intente a modo de ejercicio aplicar el criterio de Routh a los siguientes polinomios: a) b) c) Página 7 de 7