Algebra Lineal Tarea No 23: Diagonalización de una matriz Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Transcripción

1 Algebra Lineal Tarea No 23: Diagonalización de una matriz a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014) 1. Diga si la matriz [ Claramente sí pues la matriz es una matriz diagonal. Pero ilustremos el proceso. p = p A (t) = t t + 1 y su única raíz es t = 1. Comparemos las dimensiones algebraica y geométrica de t = 1. Los cálculos de la figura indican que la dimensión algebraica de t = 1 es 2. Es importante comentar que el polinomio característico es de grado dos, por lo tanto, no hace falta revisar las posibles raíces complejas porque ellas vienen a pares; es decir, en un polinomio con coeficientes realeas si un número complejo es raíz, también su conjugado lo es 2. Diga si la matriz [ Recordemos que Para que una matriz A sea diagonalizable: todos sus valores propios deben ser reales y para cada valor propio, la dimensión algebraica debe ser igual a la dimensión geométrica Para ver si A es diagonalizable determinamos las raíces de su polinomio característico p = p A (t) = det (A t I) = t 2 t Por otro, lado la dimensión geométrica es 2 porque hay dos columnas sin pivote en la reducida de [A ( 1) I comprobamos que la matriz A Las dos raíces del polinomio son complejas t 1 = i y t 2 = i concluimos que A no Los cálculos en una TI se ilustran en la siguiente figura.

2 Ma1019, Tarea No 23: Diagonalización de una matriz 2 3. Diga si la matriz [ Recordemos que para que una matriz sea diagonalizable: El polinomio característico debe tener todas sus raíces reales (valores propios), y para cada valor propio: las multiplicidades algebraica y geométrica deben ser iguales. También recordemos que la multiplicidad geométrica de un valor propio λ la determinamos por el número de variables libres en la solución del sistema A x = λ x (Que resolvemos al hacer rref en [A λ I 0) Obtengamos el polinomio característico de A: p A (t) = det (A t I) = t 2 2 t + 1 La única raíz del polinomio es λ = 1; y su multiplicidad algebraica es 2. Como la multiplicidad geométrica de ella es 1, ma matriz no es diagonalizable 4. Diga si la matriz Recordemos que para que una matriz sea diagonalizable: El polinomio característico debe tener todas sus raíces reales (valores propios), y para cada valor propio: las multiplicidades algebraica y geométrica deben ser iguales. También recordemos que la multiplicidad geométrica de un valor propio λ la determinamos por el número de variables libres en la solución del sistema A x = λ x (Que resolvemos al hacer rref en [A λ I 0) Obtengamos el polinomio característico de A: p A (t) = det (A t I) = t t 2 4

3 Ma1019, Tarea No 23: Diagonalización de una matriz 3 Las raíces del polinimo característico son λ 1 = 2 y λ 2 = 1; y sus multiplicidades algebraicas son: 2 para λ 1 y 1 para λ 2. Observe cómo es el proceso en la figura 2: buscamos la potencia mayor n para que t λ divida a p A (t). Como el grado del polinomio es 3 y tenemos dos raíces diferentes entonces sus multiplicidades son a lo más 2; si al hacer p A (t)/(t λ) 2 no quedan denominadores en t, la multiplicidad es 2; si quedan, es 1. Como la suma de multiplicidades da el grado del polinomio (3), no hay raíces complejas. Tenemos el primer requisito. Por otro lado, la multiplicidad geométrica de λ 1 es 1 y la de λ 2 es 2, como ilustran los cálculos en la última de las figuras siguientes. Por lo tanto, A sí 5. Diga si la matriz Claramente sí pues la matriz es una matriz diagonal. Pero ilustremos el proceso. p = p A (t) = t t 2 12 t + 8 y su única raíz es t = 2. Comparemos las dimensiones algebraica y geométrica de t = 2. Los cálculos de la figura indican que la dimensión algebraica de t = 2 es 3.

4 Ma1019, Tarea No 23: Diagonalización de una matriz 4 Por otro, lado la dimensión geométrica es 3 porque hay tres columnas sin pivote en la reducida de [A ( 1) I comprobamos que la matriz A 6. Diga si la matriz Otra manera de calcular la dimensión algebraica de un valor propio λ es determinar la mayor potencia de (t λ) que divide al polinomio característico. La siguiente figura ilustra las potencias mayores que dividen a p: p = (t 2) (t 7) (7 t) = (t 2) 1 (t 7) 2 p = p A (t) = t t 2 77 t + 98 y sus únicas raíces (reales y complejas) son t 1 = 2 y t 2 = 7. Por el procedimiento semejante al anterior concluimos que las dimensiones algebraicas son de t 1 = 2 es 1 y de t 2 = 7 es 2 Determinemos ahora las dimensiones geométricas. En la siguiente figura se calculan las dimensiones geométricas resultando que la dimensión geométrica de t 1 = 2 es 1 y la dimensión geométrica de t 2 = 7 es 1

5 Ma1019, Tarea No 23: Diagonalización de una matriz 5 Como para el valor propio t = 7 la dimensión geométrica no es igual a la algebraica, la matriz A no es diagonalizable 7. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonalizable: 1 3 c 1 3 c 1 3 c El polinomio característico de A es: t 2 = c + 2 tiene dimensión geométrica 1: cuando c la tercer columna no tiene pivote y cuando c + 2 = (es decir, c = 2) la segunda columna no tiene pivote y la tercera tiene pivote ( c + 2 = 4). Es decir, en cualquier caso tiene dimensión geométrica 1. p = p A (t) = t 3 + c t t 2 = (t (c + 2)) t ( t) = (t (c + 2)) 1 (t 0) 2 por lo tanto, los valores propios son t 1 = 0 con dimensión algebraica 2 y t 2 = c + 2 con dimensión algebraica 1 Para las dimensiones geométricas t 1 = 0 tiene dimensión geométrica 2 independientemente del valor de c Concluimos que para cualquier valor de c diferente de c = 2 la matriz A Pero para c = 2 la dimensión algebraica es 3 y la geométrica es 2. Es decir, que sólo para c = 2 la matriz A no es diagonalizable