Derivación de las ecuaciones de acoplo de modos en guíaondas dieléctricas mediante teoría perturbativa.

Transcripción

1 Derivación de la ecuacione de acoplo de odo en guíaonda dieléctrica ediante teoría perturbativa. Para la derivación de la ecuacione de acoplo de odo en guía con perturbación en el índice de refracción, e parte de la ecuación de onda: Ert (, Prt (, Ert (, με o = μ (1 donde P e el vector total de polarización en el edio, e puede exprear coo, Prt (, = ε ( n( r 1 Ert (, ( en el edio que no ocupa el índice de refracción puede ecribire ediante un valor edio una perturbación del io de fora que el vector polarización queda coo: Prt (, = ε ( n ( r + Δn ( r 1 Ert (, = P(, rt + P (, rt pert P (, r t = (( ε r ε E(, r t (3 P (, r t = Δn ( r E(, r t pert donde P repreenta la polarización inducida por el capo E(r,t en la etructura in perturbación del índice de refracción P pert (r,t repreenta la polarización debida a la perturbacione en dicho edio Δn. En general e deben coniderar toda la coponente del capo eléctrico, aunque para aplicacione en fibra o guía de onda plana con guiado débil, e puede uponer una única coponente de capo eléctrico. Eta upoición perite una deducción á encilla de la ecuacione de acoplo, aunque en ningún cao repreenta una falta de generalidad en el análii. Teniendo en cuenta la coponente E de capo eléctrico utituendo (3 en (1 llegao a una expreión de la ecuación de onda de la fora:

2 Derivación de la ecuacione de acoplo de odo en guíaonda dieléctrica ediante teoría perturbativa [ Ppert r t ] E (, r t (, E (, r t με( r = μ (4 El capo eléctrico en la guía de onda o fibra e puede exprear coo una uperpoición de odo en dicha guía de la fora: 1 ( j( wt z E(, r t A( z E (, x e = + c.. c (5 donde repreenta el -éio odo de la etructura, deterinado por la ( ecuación de onda (4, iendo A, E la aplitud del odo, el perfil odal tranveral la contante de propagación repectivaente. Cada uno de lo odo de propagación en (5 atiface la ecuación: x ( ( + E x w με r E x (, + ( (, = (6 utituendo la ecuación (5 en (4 dearrollando obteneo: e jwt A ( E j z 1 j z E + + w r E e j E e c c x + + ( ( ( με( +.. = = μ [ Ppert (, r t ] (.7 donde teniendo en cuenta la relación (6 lo tre priero térino de la ecuación anterior e anulan. Adeá, podeo uponer variación lenta en la

3 CAPÍTULO 13 aplitude A, e decir d A / << /, la expreión (7 e reduce a: j + = E x e j wt z cc μ ( ( (, Ppert ( r, t (8 en éta, aparece el uatorio de la variación con z de todo lo odo de la etructura, igualado a un térino de polarización coo conecuencia de la perturbación del edio. Para obtener la expreión de la variación con z de un olo odo (, ultiplicareo por E ( ( x,, perfil tranveral del odo, integrando luego en toda la ección tranveral. Para eto, ha que tener en cuenta la condición de ortogonalidad de lo ditinto odo en la guía, e decir: ( l ( wμ E ( x, E dxd = l, δ (9 donde δ e la función Kronecker. Adeá cada uno de lo odo en el uatorio anterior e dedobla en do, cada uno con el io perfil tranveral E ( ( x,, correpondiente a lo do entido de propagación en el edio, utilizando lo uperíndice (+ (- para la propagación en +z -z repectivaente. La expreión reultante a partir de (8 e: e ( e c. c. = j( wt+ z j wt z [ pert ] j ( = P (, r t E x dxd w t (, (1 eta expreión e el punto de partida para la derivación de la ecuacione de acoplo de odo. Coniderando el térino de perturbación de (3 utituendo el dearrollo del capo eléctrico en u ditinta coponente odale coo e vio en (5 podeo reecribir la expreión (1 de la fora:

4 Derivación de la ecuacione de acoplo de odo en guíaonda dieléctrica ediante teoría perturbativa e e ( c.. c = jwt ( + z jwt z jwε ( ( jwt ( z = A Δ n (,, xze (, xe (, xdxde + cc.. 4 (11 Se pueden coniderar en la expreión anterior lo térino de la parte derecha de la igualdad coo lo que generan o alientan la onda progreiva regreiva del térino izquierdo, actuando coo fuente. Para que e produzca la tranferencia de potencia entre la onda progreiva regreiva, lo térino fuente, e deben cuplir una erie de condicione coo on: a Dicha onda térino fuente deben tener la ia dependencia teporal, de fora que la tranferencia de potencia no e proedie a cero obre un intervalo de tiepo grande en coparación con el período de variación de la ia. En nuetro cao la perturbación del índice de refracción no preenta una variación teporal, por lo que la frecuencia en abo cao on la ia. b Igualente iportante e la condición de fae, e decir, abo térino deben tener una variación de fae iilar a lo largo de z, de fora que la tranferencia edia de potencia no e anule con la ditancia de propagación z. Suponiendo que e deea que e excite la onda progreiva A exp( j ( wt z, e neceario que algún térino en la parte derecha de la ecuación (11 tenga una variación de la fora exp( jwt ( z con S. S S Para el dearrollo del térino de la fuente de excitación e upondrá una variación periódica con z del índice de refracción, que puede decoponere de la iguiente anera: Δn ( x,, z = Δn ( x, aq exp jq π z (1 donde lo a on lo coeficiente del dearrollo en erie de Fourier de la q perturbación en función de z, e la periodicidad epacial de la ia. Coniderando el prier térino l-éio del dearrollo anterior (q=l, aí coo = en la expreión (11 utituendo (1 en éta, tendreo:

5 CAPÍTULO 15 e e ( c.. c = jwt ( + z jwt z (13 π π jwε j l z j l z a l n x [ E ( ( + ( x ] dxd A e A e e iwt = Δ (, (, + + c.. c 4 En ete punto e debe aplicar la condición necearia de coincidencia entre la contante de propagación encionado anteriorente, para que e produzca el acoplo entre odo. Concretaente para la onda regreiva A en el prier térino la progreiva del egundo A podeo etablecer la condición de fae de la fora: lπ = (14 lπ = de la ia anera podeo etablecer la relación entre la onda progreiva en el prier térino la regreiva en el egundo obteniendo la ia relación. Dado que ólo exiten eta poible relacione que cuplan la condicione de fae podeo iplificar la expreión (13 en otra do ecuacione independiente que deterinan el acoplo de odo contradireccionale: ( + = κa exp( jδ z. (15 ( =κ A exp( jδ z. (16 donde * denota el coplejo conjugado κ = ( [ ] jw ε a n x E x dx l Δ (, (, d (17 4

6 Derivación de la ecuacione de acoplo de odo en guíaonda dieléctrica ediante teoría perturbativa lπ Δ = (18 En eta ecuacione κ repreenta la contante de acoplo, que dependerá de la aplitud de la perturbación del índice de refracción dada en a l, aí coo de la variación de éta, del capo eléctrico en la ección tranveral. De la ia anera el térino Δ repreenta la diferencia entre la contante de propagación el valor para el que e verifica exactaente la condición de fae, coo e vio en (14. La ecuacione (15 (16 repreentan la forulación á directa de la ecuacione de acoplo de odo, pudiéndoe deducir de éta, ditinta verione que han ido utilizado por diferente autore en la literatura. Ditinta forulacione de la ecuacione de acoplo de odo Coo e indicó anteriorente, a partir de la ecuacione de acoplo contradireccional (15-( 16 podeo derivar alguna de la forulacione á utilizada en la literatura. Partireo de la iguiente ecuacione, donde e ha cabiado la noenclatura de lo odo a una fora á utilizada: * jδ ( z z = κ ( ze B (19 db jδ( z z = κ( ze A ( donde A B. Adeá, coo e oberva en éta, lo térino de A A acoplaiento fae ( κ(, z Δ( z, e han coniderado de fora general dependiente de z, iendo en cualquier cao u variación lenta en coparación con la perturbación del edio. La expreión copleja del capo e ecribe a partir de A B coo: [ ] ( j z j Ert (, = E (, x Aze ( + Bze ( e z jwt (1

7 CAPÍTULO 17 Una de la forulacione á utilizada en la literatura erá la que relaciona la aplitude de lo odo incluendo lo térino de propagación de la fora: az ( = Aze ( jz j z bz ( = Bze ( ( utituendo éta en la ecuacione (.19 (. e obtiene: Otra forulación batante extendida e la que utiliza funcione del tipo: R( z = A( z e S( z = B( z e π j z π j z (6 Mediante eta definicione e facilita la repreentación de lo capo en función de la deviación de frecuencia, con repecto a la central del dipoitivo, apareciendo en la ia, el térino δ π = ( /, al que no referireo en lo uceivo coo deviación de frecuencia, que etá relacionado con la frecuencia óptica de Bragg de la fora: π d δ = = = dw w w ( w w ( v g Δw v g (7 depejando A B de la definicione anteriore utituendo en (19 ( obtendreo la ecuacione iguiente: dr * jφ( z + jδr = κ ( z e S ds jφ ( z jδs = κ( z e R (8

8 Derivación de la ecuacione de acoplo de odo en guíaonda dieléctrica ediante teoría perturbativa donde el paráetro φ( z etá relacionado con la periodicidad epacial fora: 1 1 φ( z = π z ( z ( z de la (9 En alguno trabajo e uele eplear la contante qz ze j φ( ( ( z = κ, con lo que la ecuacione quedan de la fora: dr * + jr δ = q ( zs ds js δ = qzr ( (3 iendo en ete cao la olución de capo: z z j π j π ( jwt Ert (, = E (, x Rze ( + Sze ( e (31