1. Módulo de Young 1

Transcripción

1 . Módulo de oung Problema Una barra compueta de do materiale: cobre acero, e encuentra empotrada como e muetra en la figura, e ometida a una fuera aial de 50 [N]. a ección tranveral en la porción de cobre e de [cm ] en la de acero e de [cm ]. o módulo de oung repectivo on Cobre 0 5 [ MPa] e 0 5 [ MPa] cero. a Determine la longitud de la porción de acero, para que lo alargamiento de amba varilla ean iguale. b Cuál e el etiramiento que ufre cada una de la barra? c Donde e produce el maor efuero? Solución a En cada material de la barra, de ección tranveral uniforme, la fuera de tracción el alargamiento obedecen la relación:, dónde e el módulo de oung del material, e la fuera de tracción, e el área de la ección tranveral, e el alargamiento e el largo original de la repectiva porción de la barra. Entonce, lo alargamiento correpondiente a cada porción de la barra (ubíndice C para cobre para acero obedecen a la relacione: C C C CC Imagine que hace un corte tranveral en cualquier parte de la barra. Para aegurar que e cumpla la condición de equilibrio etático, debe eitir allí una fuera de tracción de magnitud igual a la fuera aplicada en el etremo. Por lo tanto e debe cumplir que. C Proecto.06.3

2 . Módulo de oung Igualando lo alargamiento de amba varilla depejando la longitud e obtiene: C C C Pueto que C e, e obtiene C C, e decir, [ m]. b Pueto que ambo alargamiento on iguale, bataría obtener uno de ello. Evaluando cada uno con lo dato del enunciado el reultado anterior e obtiene: 50 0,05[ m] C ,05[ m] c Pueto que el efuero e, el maor de ello e produce en la barra de menor área de ección tranveral, o ea, en toda la barra de acero. Su valor e: ,5 0 [ Pa],5 [ MPa ] Proecto.06.3

3 . Módulo de oung 3 Problema Sobre una polea ideal delia in fricción un alambre de acero de,0[m] de largo 4,0[mm] de diámetro, cuo etremo etán unido a bloque de maa M 50 [kg] m30 [kg] repectivamente, amba colgando verticalmente como e indica en la figura. Conidere que el modulo de oung del alambre de acero e 0 [ N / m ] a Cuánto e alarga el alambre durante el movimiento? b Determine el efuero que oporta el alambre. g Solución a Vamo a coniderar depreciable el peo del alambre. a tenión que éte oporta e obtiene de eaminar lo diagrama de cuerpo libre la ecuacione de movimiento para amba maa. Proecto.06.3

4 . Módulo de oung 4 a maa M deciende con aceleración de magnitud a, u repectiva ecuación de movimiento e: Mg T Ma nálogamente, la maa m ube con aceleración de magnitud a, de acuerdo a la ecuación de movimiento: T mg ma Depejando la aceleración en éta última relación utituendo en la anterior, e obtiene una relación de la cual e puede depejar la tenión T, como igue: uego, M M Mg T ( T mg T ( + Mg m m T mmg [ N] ( M + m 80 Hemo procedido coniderando que en ambo etremo del alambre etá aplicada la tenión T; luego u etiramiento etá dado por la relación lineal entre efuero deformación. Entonce, T T 375 m mm 6 π [ ] 0,3[ ] b El efuero que oporta el alambre e: T π ( [ N / m ]. Proecto.06.3

5 . Módulo de oung 5 Problema 3 Una cuerda de maa M, largo área de ección tranveral, e cuelga verticalmente dede el techo como e muetra en la figura. a Eplique por qué e alarga la cuerda calcule u alargamiento. b Calcule el alargamiento de la cuerda cuando e cuelga dede u etremo inferior un bloque de maa m. Solución 3 c a cuerda ufre un alargamiento debido a que tiene que otener u propio peo. En el etremo uperior de la cuerda el efuero e máimo, a que allí e otiene todo el peo de la cuerda; al contrario en el etremo inferior el efuero e nulo. El cálculo del alargamiento e realia coniderando pequeño egmento iguale, de largo ometido a efuero de tracción que dependen de la variable medida a lo largo de la cuerda. Con la condición de equilibrio etático, e conclue que la fuera de tracción en una ección tranveral de la cuerda etá dada por el peo de la porción de cuerda que ha dede allí hata el etremo inferior. O ea, ' + µ, dónde µ g, µ M, µ El etiramiento que ufre el pequeño elemento de cuerda e luego, el etiramiento total de la cuerda e: total n i n ( ( i δ i. i ( ( δ, Proecto.06.3

6 . Módulo de oung 6 Tomando el límite Integrando e obtiene: µ gd 0 tenemo, total µ g total d En ete cao el análii e análogo al anterior, ecepto que: (µ g+mg. Entonce la integral queda: ( µ g + mg d Mg total mg Como era de eperar, en el reultado e uman: el alargamiento producido por el propio peo de la cuerda má el alargamiento producido por el bloque de maa m. Proecto.06.3

7 . Módulo de oung 7 Problema 4 Una barra homogénea de largo ección ometida a la do fuera indicada en la figura, delia obre una uperficie horiontal in fricción. a Obtenga una epreión para el efuero en cualquier ección tranveral de la barra, e indique i éte e de compreión o de tracción. b Conidere lo iguiente dato para eta ituación, [m], 0-4 [m ], m 0,8 [kg], módulo de elaticidad (luminio E [N/m ], 0 [N]. Determinar la elongación (acortamiento o alargamiento de la barra en la condicione dada. Solución 4 a El efuero ( de la le de elaticidad de Hooke ( E, correponde a la reacción interna de un elemento ometido a fuera eterna. Por lo tanto, para conocer el efuero en cualquier ección de la barra, e neceario un diagrama de cuerpo libre para una porción de ella. o diagrama repectivo u correpondiente ecuacione de Newton para la fuera horiontale (dirección, e muetran a continuación. m m m a + m a 3 a m m a + m a [ m a ] Nótee que la maa de una porción de la barra e proporcional a la repectiva longitud puede er epreada como una fracción de la maa total de la barra, e decir, Proecto.06.3

8 . Módulo de oung 8 m m. demá, la aceleración de una porción de barra e igual a la aceleración del centro de maa de la barra. uego, la epreión para el efuero en la barra e: 3 ( m m m a 3 El gráfico correpondiente a la epreión anterior, en función de la variable, o poición a lo largo de la barra e: 3 3 Como e puede obervar, en lo do primero tercio de la barra ( < 3 el efuero e negativo, mientra que en el tercio final e poitivo. Eto Traccion Compreión ignifica que el cuerpo etá ometido a compreión en < 3 a tracción en > 3, pue en el diagrama de cuerpo libre e aignó igno poitivo al efuero de tracción. Entendemo que el efuero e de tracción cuando dibujamo la fuera aliendo de la ección tranveral, de compreión cuando la dibujamo entrando en ella, como e muetra má arriba. b Para conocer la elongación total de la barra, e neceario umar la elongacione de cada pequeña porción de ella. Eto requiere coniderar una barra dividida en n pequeña porcione de longitud d, cada una de la cuale ufren una deformación, como e muetra a continuación. Ecribiendo la le de Hooke para una pequeña porción de longitud d ubicada a una ditancia del etremo iquierdo de la barra, e tiene: Proecto.06.3

9 . Módulo de oung 9 ( δ d Reemplaando la función ( encontrada anteriormente puede obtenere la deformación δ correpondiente a cada porción. Poteriormente éta e uman a lo largo de la E barra. a uma de la contribucione de n porcione debe hacere para n, lo que correponde a integrar a lo largo de la barra. Entonce, ( δ 3 E d δ 3 d E d d d d 3 i dn d d i dn δ δi Total δn a integral no da el reultado pedido, Total 3 d E Total E 0 0 Total E ,0 0 [ m] Total 4 0 El valor negativo de la elongación total indica que la barra diminue u longitud bajo la acción de la fuera aplicada. Ete reultado era de eperar a que eite una maor ección de la barra que e encuentra en compreión el valor de ete efuero e maor que el de tracción. Notar que la deformación de la barra e 6,7 0 (in dimenión u valor numérico en éte cao ( [ m] coincide con la elongación. El igno meno indica que la barra e acorta. Proecto.06.3

10 . Módulo de oung 0 Problema 5. Conidere una barra de longitud maa depreciable, con un etremo empotrado en la pared una maa M colgada en el etremo libre, como e muetra en la figura. El módulo de oung el momento polar de inercia I (o momento de área correpondiente a la barra on dato. a Determine la defleión de la barra a lo largo de toda u longitud. b Cuánto vale? (Deprecie la defleión debida al peo de la barra Solución 5 a a deformación de una barra en fleión obedece a la ecuación diferencial: d µ ( I, d dónde e el módulo de oung del material, I e el momento polar de inercia (o momento de área, pue depende de la geometría de la ección tranveral de la barra µ ( e el momento o torque interno ejercido por la fuera interna en una ección tranveral de la barra. Para determinar µ ( conideramo una porción de la barra, de largo (, dibujamo u diagrama de cuerpo ailado motrando la fuera torque necearia para u equilibrio. Conviene aplicar la condición de equilibrio de torque repecto al punto P. Igualando a cero el torque neto repecto a P obtenemo: Proecto.06.3

11 . Módulo de oung µ ( M g( Remplaando en la ecuación diferencial e obtiene: d M g( I ; dónde ( e el valor de la defleión en función de. d E neceario integrar do vece uar la condicione de contorno para obtener la función (. Haciendo la primera integración e obtiene: d d M g + I a contante e evalúa uando la condición para la pendiente de la barra en el etremo d empotrado. E decir, 0 d 0 Integrando nuevamente e obtiene: 0 3 M g ( + B I 3 a contante B e calcula mediante la condición de defleión nula en el etremo empotrado. E decir, ( 0 B0 0 inalmente, la defleión de la barra en función de la coordenada e: M g ( I b El valor δ correponde a la defleión en el etremo de la barra (e le denomina flecha. Haciendo ( δ e obtiene: 3 Mg δ 3 I Qué ucede i e conidera la defleión debido al peo de la barra? En ee cao el diagrama de cuerpo libre debe coniderar ademá el torque debido al peo de la porción de barra de largo m (, cua maa e (. Se obtiene que 3 3 m ( µ ( M g( + (. Se deja como ejercicio completar el repectivo dearrollo para reponder totalmente la pregunta. Proecto.06.3

12 . Módulo de Corte o Cialle Problema 6 Un maetro de karate golpea una tabla con u mano, de modo que la velocidad de éta en el momento del impacto e de 0 [m/] diminue hata [m/] durante el contacto con la tabla que dura 0,00 []. Conidere que la mano el brao coordinado al dar el golpe equivalen a una 6 maa de [kg] que el límite de ruptura de una tabla de pino e de 3,6 0 [ N / m } a Calcule la fuera del golpe que aplica el maetro. b Si el golpe e aplica obre una tabla de pino de [cm] de epeor 0 [cm] de ancho, etime el efuero de corte. c Se romperá la tabla? Solución 6 a Vamo a uar el principio de acción reacción para calcular la magnitud de la fuera que aplica el maetro de karate obre la tabla. o dato permiten calcular la magnitud de la correpondiente fuera de reacción, e decir, la fuera que aplica la tabla al frenar el movimiento de la mano ( el brao del maetro karateca. a magnitud de dicha fuera e: c V f Vi M a, dónde a, iendo V f V i la repectiva velocidade final e inicial t de la mano del maetro karateca. Uando lo valore numérico e obtiene: Proecto.06.3

13 . Módulo de Corte o Cialle 3 (0 c 4500[ N} 0,00 b El efuero de corte correpondiente al golpe aplicado obre la tabla e: 4500 c 6 c 4,5 0 [ N / m } c 0 0 c Podemo apreciar que ete efuero e maor que el límite de ruptura de la tabla de pino, por lo tanto éta e rompe. Proecto.06.3

14 3. Módulo de Poion 4 Problema 7 Una barra de ección tranveral cuadrada, de 4[cm] de lado, etá ometida a tracción mediante fuera de magnitud 5000[N], aplicada en u etremo como e indica en la figura. 6 Conidere que la barra tiene módulo de oung,0 0 [ kg / cm ] módulo de Poion µ 0,3. Determinar en cuánto diminue la arita lateral de la barra. Solución 7 El módulo de Poion relaciona la deformación tranveral con la deformación longitudinal, egún: / µ. a deformación longitudinal e / puede obtener a partir de u relación lineal con el efuero de tracción, e decir,. Depejando la deformación longitudinal en término de lo dato tenemo: / nálogamente, la deformación tranveral epreada con lo dato del enunciado e: µ µ / µ uego, el cambio que eperimenta la arita lateral e: µ ( [ N] [ cm] 0 [ m ]. 6 6,0 0 [ N / cm ] 4[ cm] 8,0 0 El igno negativo indica que la arita diminue; el valor obtenido muetra que ete efecto e mu pequeño. Proecto.06.3

15 3. Módulo de Poion 5 Problema 8 Una barra de ección rectangular oporta un efuero longitudinal en la dirección, mientra por lo cuatro cotado e mantiene ujeta de manera que no puede alargare ni acortare. Determinar el efuero longitudinal neceario para producir cierta deformación longitudinal. Conidere conocida la contante elática µ e del material. Solución 8 a condicione impueta ignifican que 0 e un valor dado. Pueto que conideramo deformacione pequeña, uamo relacione lineale entre efuero deformacione, aplicamo el principio de uperpoición al calcular la deformación debida a un conjunto de efuero. Para la dirección tenemo: ( ( µ µ, ( dónde e la deformación debida a todo lo efuero aplicado, mientra que e la deformación debida ólo a efuero aplicado en la dirección, al igual que ( e la deformación debida ólo a efuero aplicado en la dirección. E decir, ( (. Reemplaando eta relacione en la epreión de má arriba e obtiene: [ µ ( ] + Proecto.06.3

16 3. Módulo de Poion 6 Para la otra direccione podemo ecribir epreione imilare, cambiando apropiadamente lo ubíndice, como igue: [ µ ( ] + [ µ ( ] + Para cumplir con la condición 0, de la relacione anteriore e deduce que: µ ( + µ + ( Sutituendo la egunda relación en la primera con el objeto de depejar e obtiene: µ ( µ ( + + µ ( µ + + µ µ ( µ + µ µ µ nálogamente puede obtenere, o bien, reconociendo que la dirección obedece a la mima condicione que la dirección, implemente e reproduce la epreión anterior modificando ólo el ubíndice. Entonce, µ µ Reemplaando lo efuero recién obtenido, en la epreión para obtiene: [ µ ] µ µ inalmente e depeja en la epreión anterior, obteniéndoe, µ µ µ µ ( + µ ( µ dada al comieno, e Nótee que en ete reultado el valor µ / provoca una ingularidad en. Proecto.06.3

17 4. Módulo Elático de Volumen 7 Problema 9 Un paralelepípedo de lado a, b c e umerge en un líquido hata una profundidad h, como e indica en la figura. Conidere que la arita on mucho menore profundidad, de modo que la preión obre toda la e aproimadamente igual. Determine la diminución de volumen ( V del cuerpo cauado por la preión. que la cara Solución 9 Sabemo que la aplicación de un efuero provoca una deformación en la dirección del efuero, atifacen la relación:. El mimo efuero también provoca una deformación tranveral egún la relación: µ µ. Cuando e aplican vario efuero, la repectiva deformacione e obtienen uando el principio de uperpoición. Para calcular el acortamiento de la barra uaremo la iguiente figura. De acuerdo a lo anterior, lo efuero indicado en cada figura producen deformacione en la tre direccione. Notar que al efuero de compreión debido a la preión e le aocia un igno meno egún P. Eaminaremo la ituación en la dirección, para ello ecribimo como una uma de tre término, cada uno de lo cuale correponde al efecto de lo efuero aplicado en la tre diferente direccione, egún e ha indicado en la figura. Entonce, + + ( ( ( 3 Proecto.06.3

18 4. Módulo Elático de Volumen 8 a cantidad ( correponde a una deformación longitudinal que e obtiene de la relación: (, o bien, P ( ( ( El efuero aplicado en dirección produce una deformación que atiface. a cantidad ( decribe una deformación tranveral aociada al efuero aplicado en la dirección, egún la relación:, o bien, ( ( µ nálogamente, para ( 3 e obtiene que: ( µ ( 3 µ P. P. Sumando lo tre cambio de longitud e obtiene con ello la repectiva deformación reulta: P ( µ. nálogamente puede obtenere el reultado para la longitude en la otra direccione. Uando como argumento la imetría entre la tre direccione, concluimo que la deformación debe er igual en la tre direccione, e decir, P ( µ a variación de volumen del cuerpo e obtiene a partir de u volumen original V, u volumen umergido V + V + ( + ( +. Manteniendo ólo lo término lineale en ( depreciando lo término de egundo tercer orden en e obtiene el reultado aproimado: V + ( + (, que e eprea de manera conveniente en la forma: ( V V + +, Proecto.06.3

19 4. Módulo Elático de Volumen 9 epreado en término de lo reultado anteriore queda: V V 3P ( µ, E cotumbre eprear eta relación en la forma de una relación lineal entre el efuero P (o preión la deformación de volumen ( V /V, egún: V P B, V dónde B e el módulo elático de volumen para cuerpo ólido umergido, que egún nuetro dearrollo e puede eprear como: B 3 ( µ Proecto.06.3