Ejemplos de problemas resueltos

Transcripción

1 Ejeplo de problea reuelto Ejeplo # otor con volante El volante de un otor tiene un diáetro d = 0.6 La poición angular del volante etá dada por: θ.0 t = En t =.0, la poición angular erá ( ) 60 θ =.0.0 = 6= 6 = 90 π en t = 5.0 θ = 50 = 4000 El deplazaiento angular: θ = θ θ = 50 6 = 4 d El io del volante r = = 0.8 = rθ = = 4 θ θ 50 6 Velocidad angular edia: ωed = = = 70 t t dθ Velocidad angular intantánea: ω = =.0 t 6.0 t = dt En el intante.0 ω = = t =, ( ) Entre t =.0 y t = 5.0, ( ) ω = = y ( ) ω ω 50 4 ω = = 50 α ed = = = 4 t t dω Por definición α = = 6.0 t.0 t = dt En el intante t =.0, α = =

2 Ejeplo # Lanzador de dico Modelao el dico con una partícula que igue una trayectoria circular El braco del lanzador e iilar a una varilla (brazo de palanca) de r = 0.80 El lanzador lanza el dico con una aceleración ial α = 50 y velocidad ω = 0 atan a rα = = = ( 0.80) = ω r = = 0 ( 0.80) 80 La agnitud de la aceleración: a = a + atan = 89 Eto e 9 vece la aceleración g El oviiento de rotación acuula una grande cantidad de energía

3 Ejeplo # Hélice de avión Una hélice de avión gira a una velocidad ω = 400rp El avión vuela a una rapidez de k v = 75.0 o 70 h La rapidez de la punta de la hélice no debe exceder la rapidez del onido en el aire, porque para á alta rapidez, el ruido (energía de vibración de la olécula del aire) eré treendo y podría quebrar la fuerza oleculare de la hélice Ete fenóeno fija el io áxio de la hélice rev π in La velocidad angular, ω = 400rp = 400 = 5 in rev 60 La velocidad tangencial vp = rω, e perpendicular a la velocidad de avance del avión La velocidad total áxia de la punta, vtotal = v + vp = v + r ω ailao el io áxio: v v total rax = = =.0 ω 5 4 La aceleración ial (centrípeta): a = ω r = 5 (.0) = Coo F = a, la hélice debe ejercer una fuerza de eta agnitud obre cada kg de aterial en u punta la hélice debe er hecha de un aterial ligero y uy reitente

4 Ejeplo #4 Engranaje de bicicleta Ete e una herraienta que perite auentar la eficiencia de la fuerza obre lo pedale cabiando el io de la rueda conectada por la cadena el io principio e aplicada para cabio de velocidade en otore de autoóvile ucao una relación entre la velocidad angular de la rueda dentada y el núero de diente La cadena no rebala ni e etira La velocidad v tan = v e la ia en aba rueda traera y delantera í v rω rω ω r ω = r = = y por tanto: Coniderao rueda donde lo diente on equiepaciado Sea N y N lo núero de diente en la do rueda - coo el eparciiento e el io: πr πr N = N r N ω N = = r N ω N La rapidez angular e inveraente proporcional al núero de diente En una bicicleta con0 velocidade, obteneo la áxia rapidez angular ω de la rueda N traera para un pedaleo dado ω cuando e áxio N uentar la velocidad uar rueda dentada delantera de ayor io y Ngrande copao an 4

5 Ejeplo #5 Ejeplo cable que e deenrolla con la gravedad Cable enrollado en cilindro de aa M y io R tao el extreo libre del cable a una aa y oltao lo in velocidad a la ditancia h arriba del pio. Relativa al uelo: Uh = gh y U = 0 uelo La conervación de la energía (no hay fricción): Kh + Uh = Kuelo + Uuelo Uh = Kuelo La energía cinética a llegar al uelo e la ua de la energía de la aa que cae y del cilindro girando: Kuelo = v + Iω Coo I = MR y v Rω =, K uelo = + M v De la conervación de la energía: gh = + M v gh v = M + y v ω = R Para un cilindro de aa depreciable M y v= gh la rapidez de un cuerpo en caída libre á grande la aa del itea en rotación y á lentaente baja la aa 5

6 Ejeplo #6 Cable que e deenrolla Se enrolla un cable varia vece en un cilindro ólido unifore de aa 50kg y de diáetro de 0. que puede girar obre u eje horizontal ucao la aceleración tangencial al cilindro, cuando el extreo del cable e halado por una fuerza F horizontal de 9.0N La única fuerza creando una torión e F d El braco de palanca e l = = 0.06 d τ = Fl = F = ( 0.9N)( 0.06) = 0.540N El oento de inercia de un cilindro lleno e: I = MR = 50kg ( 0.06 ) = 0.09kg De la relación τ 0.54N τi = Iα: α = = = 6.0 i I 0.09kg La aceleración tangencial: atan = rα = ( 0.06) 6.0 = 0.6 6

7 Ejeplo #7 Cable que e deenrolla con la gravedad ucao α del cilindro, a de la aa, y la tenión T Tratao lo cuerpo epaaente La ua de la fuerza obre la aa: y ( ) F = g+ T = a Únicaente la tenión produce un oento de torión: τ = RT= Iα = MR α Coo a = Rα a RT = MR T = Ma R Subtituio en la priera ecuación: g g Ma = a a = M + Subtituyendo en T = Ma g Mg g T = Ma = M = = M M M Oberve que la tenión no e igual al peo g, ino no habría aceleración Si M, T g y a 0 Si M = 0, T 0 y a g Si la aa parte de un punto inicial h, la rapidez al golpear el pio erá v = v 0 + ah Con rapidez inicial v 0 = 0, v= ah = gh M + 7

8 Ejeplo #8 Yoyo Saltao el yoyo in velocidad El principio de conervación de la energía: Donde U+ K= U+ K U = Mgh U = 0 K = 0 K = Mv + I ω vc Uando la relacione: ω = y R c c Ic = MR vc c c K = Mv + MR = Mv R 4 La conervación de energía U+ K = U + K Mgh = Mv c 4 Para la tralación del centro de aa y ( ) F = Mg+ T = Ma c v = c 4 gh El oento de inercia: I = MR La ecuación del oviiento de rotación τ = TR = Icα = MR α Coo v c dvc = Rω, derivando repeto a t dt dω R dt a = Rα = c Reolvio para la aceleración lineal ac = g y la tenion T = Mg 8

9 Ejeplo #9 - Potencia de un otor de coche La potencia de un Toyota Supra 6 e 00hp a 6000rp La potencia en Watt: W P = = = hp 5 00hp 00hp W La velocidad ial: rev rev π in ω = 6000 = 6000 = 68 in in rev 60 Por definición de la potencia: τ P.49 0 N = = = 7N ω 68 5 No e ucho! Podeo aplicar ete oento de torión uando una llave de trueca de de largo y aplicando una fuerza de 7N al extreo de u ango 9

10 Ejeplo #0 - un otor eléctrico El otor tiene un oento de torión contante τ = 0N Eta haciendo girar una piedra de aolar con oento de inercia Cuál e el trabajo efectuado en 8.0? I =.0kg Coo τ τ 0N = Iα α = = = 5.0 I.0kg ω = αt = 5.0 ( 8.0) = 40 La energía cineática: K = Iω = (.0kg ) 40 = 600J = = = 60 El ángulo total: θ αt ( ) El trabajo: W τθ 0N 60 ( ) Verificao que W = = = 600J = K coo debe er La potencia edia: 600J J P ed = = 00 = 00W 8.0 La potencia intantánea no e contante porque ω cabia t t t t t W = Pdt = 600J t τωdt = ταtdt τα t = = t t 0

11 Ejeplo # - Delizador in fricción ligado por un hilo a un peo ucao la aceleración de y, la aceleración angular de la polea y la tenión en el hilo Nota que no podeo auir que T = T, ino no habría aceleración Ecribio la do ecuacione del oviiento: F = T = a x y F = g T = a Toao el entido de rotación poitivo en el entido horario τ = TR TR = Iα = MR α Coo no hay rebalado: a = a = Rα En total, teneo 5 ecuacione con 5 incógnita: a, a, α, T y T Uando la relación entre a y α : T = a g T = a T T = Ma g Suando para eliinar T y T : a = + + M g Subtituyendo T = + + M y T = ( + ) M g + + M Si o M, a 0 y T g, no hay oviiento Si o M, a g la aa cae libreente Si M = 0, T = T la polea olaente cabia la dirección de la fuerza

12 Ejeplo # - Motor turbo hélice de un jet El oento de inercia de la hélice e La velocidad angular: ω = 400 t La hélice gira alrededor del eje de ietría I =.5kg L I (.5kg ) kg t = ω = = t En t =.0 L = 9000kg τ dl = = t 000kg 000kg t = dt En t =.0 τ = 6000N

13 Ejeplo # - Dico de ebrague Do dico etán girando epaaente con velocidade ω y ω Depué de juntar lo la velocidad e redujo a ω El oento de inercia e tranforo en: I = I + I Con no hay fuerza externa: L = cte Segundo el Principio de la conervación del oento angular podeo ecribir: ( ) I ω + I ω = I + I ω I ω ω = ( I + I ) + I ω Supongao que =.0kg r, = 4.0kg r = 0.0 = 0.0 ω y ω = 50 = 00 I = r = 0.04kg, I = r = 0.0kg de fora que I + I = 0.06kg ( 0.04kg ) 50 + ( 0.0kg ) 00 I 00 ω + Iω ω = = = kg ( I I ) Calculao la diferencia de energía cineática: K = Iω + Iω = 450J e K = ( I + I) ω = 00J Se perdió de la energía. Por qué?

14 Ejeplo #4 - lanco girando Una puerta llena de.0 y aa 5 kg irva de blanco de tiro al revolver La puerta puede girar in fricción obre u eje vertical Se dipara una bala de 0g a la rapidez de 400/ al centro de la puerta Coniderao la puerta y bala con un olo itea El oento angular inicial: L = vl = ( 0.0kg) 400 ( 0.5) =.0kg El oento angular final: L= Iω, donde I = Ibala + Ipuerta Ibala ( )( ) = l = 0.0kg 0.5 = 0.005kg ( 5kg)(.0) Md I puerta = = = 5.0kg Por la conervación del oento angular: vl = Iω.0kg vl ω = = = 0.40 I 5.0kg kg La diferencia de energía cineática: K = K K = Iω v = 0.40J 800J= 799.6J =, de nuevo e perdió una cantidad enore de energía 000 o K K 4