UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de ciencias naturales Y MATEMÁTICA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA UNA Q-ALGEBRA EN EL ESPACIO DE LAS APLICACIONES HOLOMORFAS INFORME FINAL WILFREDO MENDOZA QUISPE PERIODO DE EJECUCIÓN (Del al 30.. ) RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 30-09R CALLAO - 20

2 INDICE Pág. RESUMEN 03 INTRODUCCIÓN 04 PARTE TEORICA O MARCO TEÓRICO Convergencia de series de potencia La Integral de Cauchy Convergencia de series de Taylor Tipos de holoorfia Subconjuntos acotados y relativaente copactos Coposición de operadores y continuidad 39 MATERIALES Y MÉTODOS 54 RESULTADOS 55 DISCUSIÓN 63 CONCLUSIONES 64 BIBLIOGRAFIA 65 APENDICE Anexos Fuente Bibliográfica 7 2

3 II. RESUMEN En el presente trabajo se ha realizado una revisión del análisis coplejo, coo son las definiciones y ejeplos de lo que es función de variable copleja, continuidad, diferenciabilidad, holoorfía, la integral de Cauchy, convergencia de series de potencia, tipos de holoorfía, diferenciabilidad de tipos de holoorfía y se ha estudiado el espacio topológico de las aplicaciones holoorfas. Adeás se ha tratado de los subconjuntos acotados y relativaente copactos; algebra topológicas, y coposición de operadores lográndose con tales tópicos; prieraente la estructura de una Q-álgebra para el espacio de las aplicaciones continuas. C(K) = C (K; ) donde K E, con E un espacio localente convexo. Finalente se ha obtenido el resultado propuesto en dicho proyecto que es la estructura de Q álgebra en el espacio de las aplicaciones holoorfas. 3

4 INTRODUCCIÓN El propósito de este trabajo ha sido prieraente describir un étodo natural de un cierto espacio vectorial de aplicaciones holoorficas con topologías localente convexas, y para deducir algunos resultados toando coo ilustración estas siples ideas de tal étodo. A lo largo de todo el trabajo vaos a considerar espacios vectoriales localente convexos, que a veces serán espacios de Banach. En cada oento se establecerá de anera explícita en que clase de espacios se está tratando, fijareos prieraente los conceptos y notaciones que serán utilizados a lo largo en todo el desarrollo del trabajo. En la coposición de operadores es siple y uy natural la pregunta. Considereos D z : z (disco unitario abierto de los coplejos) y una aplicación holoorfica :D D. Si f : D es una función holoorfica. Podeos coponer f o es decir definios un operador entre espacios de funciones holoorficas y necesitaos estudiar que propiedades tendríaos estos operadores, que obviaente dependerá sobre que espacios son considerados. Existen dos posibles, aproxiaciones para la generalización de estos resultados. Priero se prueba para diensiones superiores, que es considerado B la bola abierta unitaria de un espacio de Banach y algunos resultados en esta tendencia, definiendo el operador entre el espacio de aplicaciones holoorficas de tipo acotado. En la generalización consideraos B en lugar de D y definios el operador coposición entre dos espacios de funciones holoorficas. 4

5 IV. PARTE TEÓRICA O MARCO TEÓRICO 4. CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIA Sea K = o el conjunto de los núeros reales o coplejos respectivaente, y escribaos Kn = K x. x K (n veces) Definición Un policilindro abierto o cerrado es un producto de n bolas abiertas o cerradas respectivaente. Teorea Sean A, B K p dos policilindros abiertos tales que A B. Para cada x, y A B. El conjunto S = {x + t (y x) : t [0,]} está contenido en A B ás aún A B es conexo. Deostración. Coo x, y A B, entonces xi i ri, yi i ri, i, 2,..., n. de aquí se tiene txi ( t ) yi i t xi i ( t ) y i i ri para t 0, y por lo tanto S está contenido en A B y asi A B es conexo. Por consiguiente el resultado. Notación.- L(E, F) espacio de Banach de todos las aplicaciones -lineales continuas de E = Ex. xe ( veces) en F. Ls (E, F) subespacio vectorial cerrado de L(E, F), forado por todas las aplicaciones continuas siétricas -lineales. P(E, F) espacio de Banach de todos los polinoios continuos -hoogéneos de E a F. Nota.- E y F siepre denotaran espacios de Banach salvo que se indique lo contrario. Definición Una aplicación P : E F es un polinoio hoogéneo si existe alguna L L(E, F) tal que, para todo x E, p(x)=l(x, x,..,x). Nota.- Si A L(E, F), teneos los eleentos correspondientes As Ls(E, F) y A P( E, F ). 5

6 Definición Sean E, F dos espacios de Banach coplejos. Una serie de potencia de E en F alrededor de a E es una serie en x E de la fora : ck ( x a)k donde ck k 0 Ls(Ek, F) para k = 0,, 2,, o tabién de la fora r k 0 K ( x a) donde rk = c k P ( E k, F ). Abos ck y rk son llaados los coeficientes de la serie de potencia. Definición El radio de Convergencia de una serie de potencias alrededor de a es r con 0 r, tal que la serie de potencia es uniforeente convergente sobre cada bola cerrada B ( a ) para 0 r. La serie de potencia se dice que es convergente en caso de su radio de convergencia es estrictaente positivo; esto es si existe algún 0 tal que la serie e potencia converge uniforeente sobre B (a). Teorea El radio de convergencia de la serie de potencia es dado por: r lisup Pk / k k Deostración.- Supongaos que la serie de potencia es uniforeente convergente sobre B p (a). Llaeos x a su sua para x B (a ). Existe algún entero M 0 tal que ( x) Pk ( x a), para M y x B (a ). Por lo tanto p k ( x a ) 2 para > k 0 M y x B (a ). Si t E; t, teneos pk ( t ) k p(t ) 2. Así para > M, se tiene k p k 2. Pongaos p /, donde li sup pk k / k, para > M se sigue que r /. Probeos el caso contrario es decir : r /α. Esto es claro si α =. Supongaos entonces que α <. Toeos tal que 0 < /α. Fijeos tal que < < /α. Por tanto > 0, entonces α < /, existe algún c 0 tal que p k k /. Para = 0,,., luego pk ( x a) pk. x a c( / )k para x B ( a ) y = 0,,2,... Esto 6

7 prueba que la serie de potencia es uniforeente convergente sobre B (a). Por /, pongaos consiguiente r. Haciendo r y así se tiene el teorea. Corolario La serie de potencia es convergente si y solaente si la sucesión p / k k k es acotada. Observación 4..8: a) Coo ateria de este hecho se tiene que: li k k b) Del corolario (4..7) la secuencia k k! k k! k k e k 2 k es acotada. toandof= Sea E = l = x xn n ( x,..., xn,...) : x xn, xn. Sea pk : E F definido por pk (x) = kk (x,., xn). Si X = (x,.., xn,.) E y k =, 2,. y P0 =, entonces pk P(Ek ; F). fácilente se ve que pk para k = 0,,.. Según, el radio de convergencia de la serie de potencia p ( x) k 0 k es uno por el teorea (4..6). Sin ebargo Ak Ls (E, F) corresponde a P, fácilente se ve que este es fácil ver que li Pk k / k y li Ak k / k Ak k k / k! para k = 0,,2,., luego e Teorea Si existe algún > 0 tal que la serie de potencia P ( x a) converge y k 0 k su sua es igual a cero, para cada x B ( a ), entonces Pk = 0, para k = 0,, 2,.., Antes de la deostración de este teorea probeos el lea siguiente. Lea Si uk F (k 0,, 2,...), 0 y la serie u k 0 k k converge ás aún su sua es igual a cero para cada,. Entonces uk 0, para k = 0,, 2, 7

8 Deostración.- Siendo 0 pongaos u0 0. Asuaos que está probado para u0= u = uh-= 0 para algún h. Probeos que uh 0. Por consiguiente k k k converge, asi teneos uk k 0 coo k, entonces k sup uk. k 0 Ahora uh uk k h, para 0, f entonces uh k h k h uk k h C h con 0; teneos que uh 0. 0,, haciendo Deostración (Del teorea 4..9). - Sea t E,, x a t, entonces teneos p (t) k 0 k k 0, con x a t. Por el lea (4..0), teneos pk (t) = 0, para todo t E, luego pk =0, k = 0,, 2, Definición Sea un conjunto no vacío. Una función (aplicación) de variable copleja definida en es una regla de correspondencia que a cada z le asigna un único w el cual se denota por F(z). (F : ). El conjunto es llaado doinio de F denotado por Do (F). Ejeplo.-Sean a0, a,..., an, la función F : tal que F (z) = a0, az... an z es una función de variable copleja llaada FUNCIÓN POLINOMIAL de grado n. 2 en 2 Observación 4..2 Coo verse coo una función de En efecto.-sea = F(x, y) = 2, entonces toda función de variable copleja puede y F : una función z = (x, y) = x + iy, entonces F(z) ( ( x, y ), ( x, y )) ( x, y ) i ( x, y ) donde ( x, y ) rea ( F ( z )) ( x, y ) I g ( F ( z )) y así podeos definir las funciones., : 2 y Coo :rea (F) (x, y) = ( x, y ) i (F) (x, y) = ( x, y ) Ejeplo : Sea F : 0 tal que F(z) = hallar rea (F) y I (F). z 8

9 Solución. Sea z = (x, y) = x + iy, F(z) = (F) (x, y) = x z 2 y I (F) (x, y) = - y z 2 z x iy 2 2 entonces rea z z z z z. Ahora considereos una función f : función F : En efecto coo x 2 2 entonces esta deterina una única tal que Rea (F) = µ y I (F) = v. z z z z, y= entonces F(z) = F(x, y) = µ(x, y) + iv(x, y) = 2 2i z z z z z z z z,, iv 2i 2i 2 2 Ejeplo.- Dado f : 2 2 dado coo f(x, y) = (x² - y² + x, 2xy y) representeos f coo una función de variable copleja. Solución F ( Z ) ( x 2 y 2 x ) i (2 xy y ) z z 2 z z 2 z z z z z z = i i 2 2i = z2 z z z 2 una función, zo Ω. L Definición Sea, F : es el líite de F cuando z tiende a z0 li F ( z ) L si y solo si para todo 0, existe 0.Tal que z z z0 y 0 < z z 0, entonces F ( z ) L Definición Sea, F : y zo Ω. Decios que F es continua en z0 si y sólo si, para todo 0, existe 0.Tal que si z y z z 0, entonces F ( z ) F ( z0 ) Definición F es continua en z0 si y solo si li F ( z ) F ( z0 ) y direos que una z z0 función F: es continua en si y solo si F es continua en z, para todo z Ω. 9

10 Proposición Sea, F : (a) F es continua en z0. (b) Rea (F), I (F) : y zo = (x0, y0) son equivalentes. son continuas en z0. En efecto.- Bastara probar para : z0 ' coo F es continua en z0, entonces li F ( z ) F ( zo ) de aquí li rea F(z) = rea (F(z0)) y li I F ( z ) I F ( z o ) entonces z t0 z z0 z t0 rea (F) y I(F) son continuas en z0. Definición Sea U un conjunto abierto; F : U, z0 U a) Se dice que F es diferenciable en z0 si y sólo si existe L li z z0 tal que F ( z ) F ( z0 ) L z z0 b) Decios que F es diferenciable en U si y solo si F es diferenciable en z0, para todo z0 U. Proposición Sea U un abierto, F : U una aplicación diferenciable en z0 U entonces F es continua en z0. Prueba.- Coo U es abierto entonces z0 es punto interior de U de aquí z0 U U ' luego basta probar que li F ( z ) F ( z0 ) z z0 Por hipótesis li F ( z ) F ( z0 ) F ( z) F ( z0 ) F '( z0 ) pero F(z) = ( z z0 ) F ( z0 ), z u z z0 z z0 {z0} si y solaente si li F ( z ) F '( z0 ).0 F ( z0 ) F ( z0 ) z z0 Observación El recíproco de la proposición (4..8) es falso. Por ejeplo la función F : dada por F(z) = z es continua en 0 pero no es diferenciable en 0. Proposición Sea U un conjunto abierto, F : U z0 U, son equivalentes. 0

11 a) F es diferenciable en z0 b) Existen :L y :U función continua en z0 con (z0 ) 0 y li z z0 ( z) z z0 0 tal que F(z) = F(z0) + L (z z0) + ( z ), z U c) Existe L y h: U continua en z0, con h (z0) = 0 tal que F(z) = F(z0) + L (z z0) + h (z) (z z0), para todo z U. d) Existe L continua en z0 con F(z0 ) L tal que F(z) = F(z0) + y F :U F(z)(z z0 ), para todo z U. Deostración.- (Aplicando las definiciones correspondientes) Proposición Sean U, V, F : U y g : V tal que F(U) V y z0 U. Si F es diferenciable en z0 y g es diferenciable en F(z0) entonces g o f : U es diferenciable en z0 y se cuple ( g o f)' (z0 ) g '(F(z0 )).F '(z0 ). Deostración.- (Inediata) Definición Sea U un conjunto abierto, F : U a) Decios que F es holoorfa en z0 U si y solo si existe r > 0 tal que F es diferenciable en Br(z0). b) Decios que F es holoorfa en U si y solo si F es holoorfa en z0, para todo z0 U. Observación Si F es holoorfa en z0, entonces F es diferenciable en z0. El recíproco no siepre es cierto por ejeplo si consideraos F: tal quef(z) = 2 z ; fácilente se verifica que F es diferenciable en 0. Pero no es diferenciable en ningún otro punto de Nota.-. Luego F no es holoorfa en 0. El concepto de holoorfía tabién se puede dar en térinos de series de potencias. F se dice que es holoorfica en U, Definición Una aplicación f : U E correspondiente a cada a U si hay una serie de potencia.

12 k 0 k 0 Pk ( x a) de E en F alrededor de a y algún > 0 tal que B (a) U y ( x) Pk ( x a) converge uniforeente para x B (a). Observación i) la sucesión Pk k es entonces única en cada punto a. ii) Esta serie de potencia es llaada serie de TAYLOR de f en a y se escribe coo : f ( x) Pk ( x a). k 0 Notación.-C(U, F) = {conjunto de todas las aplicaciones continuas de U en F} H(U, F)= {conjunto de todas las aplicaciones holoorficas de U en F} Definición Sea f H (U, F) y f ( x) Pk ( x a) su serie de Taylor en a U. k 0 Sea Pk P(Ek, F) correspondiente a Ak Ls (Ek, F) por: Pk Ak (K 0,,2,...). Escribaos: dk f(a) = k! Ak y d k f (a) k! Pk Así teneos las aplicaciones diferenciales. d k f : U L s ( E k, F ) dˆ k f : U P( E k, F ) Y los operadores diferenciación de orden k = 0,,.,., d k : H (U, F ) H (U ;L s ( E k, F )) dˆ k : H (U ; F ) H (U ; P ( E k, F )) La serie de Taylor de f en a U es: f ( x) k ˆk k d f ( a )( x a ) d f (a)( x a) k 0 k! k 0 k! El polinoio de Taylor k, f, a de orden k de f en a es considerado coo: k n d f (a)( x a)n = dˆ n f (a)( x a) donde x E n 0 n! n 0 n! k, f, a ( x) 2

13 Teorea P(E; F) H (E; F) Deostración.- Basta probar que P (E, F), H (E, F) para = 0,, Sea A Ls (E, F). Por la fórula de Newton teneos: A(x + y) = k A.x k 0 k.yk Donde A.x k. y k A x,..., x, y,..., y para x, y, E se sigue que k k Ax Ax k ( x a)k donde a, x E. Denoteos por Aa k el eleento de k 0 k Ls (EK; F) dado por: A.a k ( y,..., yk ) A( a,..., a, y,..., yk ) Entonces se deduce que P Aˆ es holoorfica sobre E y realente : k d p(a) Aa k. Para k = 0,,., y dk p (a) = 0. Para k >. k! k Observación Es claro ver que: dkp P (E-k; Ls (Ek,F)) y tabién -k k k dˆ k p P (E ; P (E,F)), para p P (E ; F) y k = 0,,.,. Definición Para =, 2, denoteos L(E; F) el espacio de Banach de todas las aplicaciones continuas lineales de E en F con respecto a las operaciones puntuales de vector y la nora definida por: A sup xi 0 i A x,..., x x... x dondea L(E; F) y xi E, i,...,. Nota.- Claraente se tiene que : A ( xi,..., x A. x... x 3

14 Observación Para A L(E; F)definios su siétrico As L(E; F) coo: As( x,..., x ) A( xj,..., xj ).! Donde la sua es sobre las! perutaciones (j,..,j) de (, 2,, ). Para = D, L(E ; F) = Ls(Eo; F) = F coo un espacio de Banach, y As = A para A L(Eo; F). Note que As A Definición Denoteos por P(E; F) el espacio de Banach de todos los polinoios continuos hoogéneos de E en F con respecto a las operaciones puntuales de vectores y la nora definida por: P sup x 0 Nota.- P( x) P. x p( x) x, donde p P ( E ; F ), x E Para = 0, P(Eo, F) es el espacio vectorial de todas las aplicaciones constantes de E a F. Así teneos A As. Proposición Los espacios Ls(E; F) y P(E; F) son isoorfos y hoeoorfos a la A vez. Adeás A A! Deostración.- Basta definir la aplicación T :Ls(E; F) P(E ; F) coo T(A) = A donde A Ls(E ; F) Definición Una polinoial continua P de E a F es una aplicación p : E F para lo cual existen = 0,, 2,.., p P(Ek; F) (k = 0,..,) tal que P = Po.+ P. Nota.- P(E; F) = {p: E F/p es una polinoial continua} 4

15 Proposición Si p P (E, F), p 0, existe una y solo una que se puede escribir coo P = P0+. +P con = 0,,., pk P (Ek; F) (k = 0,..,) y p 0. Deostración.- Es suficiente probar que: P0 + + P = 0 iplica P0 =0, P = 0,,P =0, en efecto, si escribios p (x) 0, k k 0 para cada x E, reeplazaos x por x,, dividios por si 0 y sea ; teneos P =0, asi inductivaente. P- = 0, P2 = 0, P = 0, P0 = LA INTEGRAL DE CAUCHY Iniciaos esta sección con un Teorea llaado Integral de Cauchy Teorea (integral de Cauchy) 4.2. Sean E, F dos espacios de Banach, coplejos U E un subconjunto abierto no vacío, f : U F una aplicación holoorfa; y sean x, t, U y r > tal que (- )t+ x U para cada, r entonces f (x) 2 i r f t x d Deostración.- Priero considereos la aplicación hoórfica g : V F, donde V es abierto y sea B (t ) V para alguna 0. Entonces g( ) 2 i t g d Esto es probado en general para F coo en el caso clásico F = Ahora aplicaos tal hecho a la deostración del teorea. Pongaos : g f t x, donde g está bien definida y fácilente se ve que es holoorfica en el subconjunto abierto V de por la afiración, el disco cerrado en para todo tal que ( - ) t + x U, de centro en el origen y radio r está contenido en V y ás aún contiene a. Luego g() 2 i r g d, y por lo tanto se tiene el resultado 5

16 Proposición Sea f : U E F una aplicación holoorfa, t U, x E, y sea r > 0 tal que t + x U para cada, r entonces. k d f (t )(x) k! 2 i f (t x) r k d para k = 0,, 2,.. Deostración.- Al igual que en el teorea anterior, sea V V F una aplicación holoorfica, 0 < r0 R, t un abierto cualquiera, g : y la corona cerrada en de centro en t y radios r0 y R contenida en V, entonces g ( ) d t R g ( ) d t r0 Esto es deostrado en general para F coo en el caso clásico F =. Ahora usaos este hecho para la prueba de la proposición. Pongaos g( ) f (t x) k Donde g esta bien definido y ás aún es holoorfica en el subconjunto abierto V de para todo tal que t + x U y 0. Por la afiración el disco cerrado en de centro en el origen y radio r está contenido en V excepto el punto origen. Por tanto para 0 <, se tiene g( )d g( )d, r r f (t x) k d esto es f (t x) k d Ahora considerando la serie de Taylor. f () Pi (s t) de f en s y para arbitrariaente pequeño esta serie de potencia i 0 converge a f(s) uniforeente para s en la bola cerrada en E de centro t y radio x, nosotros entonces pongaos 6

17 f (t x) k r d Pi (x) d k i i 0 2 ipi (x) de donde se tiene el resultado. Corolario (Desigualdad de Cauchy) Sea f : U E F una aplicación holoorfa, r > 0 y B p ( t ) U entonces k l d f (t ) Sup f x para k = 0,, 2,.. k! p k x t Deostración.- Es obtenido usando el teorea 4.2. y proposición Nota.- E, F, U de la proposición y Corolario siepre serán considerados coo en el Teorea Escribaos los conjuntos: H (U; F) = F / f holoorfo y f : U E C (U; F) = f : U E F / f continua Lea Sea f H (U; F), t U, x U y sea r > 0 tal que ( - ) t + x U para cada, r, entonces f (x) k, f,t (x) k sup f ( )t x para k = 0,, 2, r (k ) r Deostración.- Por el teorea y proposición antes deostrados y usando la identidad. k, Para 0,, pongaos i 0 i i f (x), f,t (x) 2 i r f t x k d de donde se tiene el resultado. Teorea H (U; F) está contenido en la cerradura de C (U; F). Con la topología copacta abierta. Deostración.- (Usar el lea). 7

18 es abierto y conexo si U es una Teorea Sea f H (U ; ), donde U región triangular (la cual incluye a su interior y su frontera), entonces f ( z)dz 0. Fr Deostración. Escribaos : p = p ( ) períetro de l = l ( ) longitud de I f ( z)d( z) fr Coo es una región triangular toeos los puntos edios de sus lados y foreos cuatro triángulos, 2, 3 y 4 uniendo estos puntos edios por segentos de recta Orientado sus fronteras en sentido antihorario, teneos f (z)dz Fr( ) 4 f (z)dz i Fr( i ) Escribaos I i f ( z)dz i =, 2, 3, 4 Fr ( i ) Ahora considereos i T tal que I ( ) sea áxio es decir I ( i ) I ( ), i =, 2, 3, 4 Luego I 4 i Fr 4 f ( z)dz i Fr 4 f ( z)dz 4I i Denotando : P : períetro de l : longitud de ayor lado de, 8

19 claraente : P P y 2 l 2 l = Ahora considereos los puntos edios de, construios 4 triángulos: ( ) (2) ( 3) ( 4),,, Y orientaos sus fronteras en sentido antihorario denotando () I f (z)dz () Fr () Llaeos 2 al triángulo sea áxio, luego: () tal que I I 4 I 2 es decir I( ) 4² I ( 2). Siguiendo este proceso construios de n n anera inductiva una failia de regiones triangulares tal que : P l n U 2... y I 4 I n, Pn n, l n n, n N por el 2 2 teorea de Cantor para conjuntos encajados copactos se tiene: n, luego existe n z0 n U y coo f es holoorfa en z0, dando > 0, n existe 0 suficienteente pequeño tal que: f (z) f (z0 ) f '(z0 ) p.l z z0 D ( z0 ) U y 0 < z z 0 entonces Entonces: f ( z) f ( z0 ) f '( z0 )(z z0 ) Coo li ln = 0, h p.l z z0, z Dg ( z0 )...() tal que n N se tiene que ln <. Ahora existe n trabajando en el n ésio triángulo n. Se ve que z n z z 0 l N, de aquí n D ( z 0 ), luego por () f ( z) f ( z0 ) f ' ( z0 )(z z0 ) pl z z0 p.l l n, para todo z n.(2) 9

20 De otro lado. ( f ( z ) f ( z0 ) f '( z0 )( z z0 ))dz Fr ( n ) En donde f (z) z dz Fr ( n ) dz 0 zdz ; Fr ( n )...(3) puesto que Fr ( n) es de clase C por partes y las Fr ( n ) funciones aditen priitivas en U. De (3) : I ( n ) ( f ( z ) f ( z0 ) f '( z0 )( z z0 )dz Fr ( n ) Por tanto: 0 I ( ) 4n I ( n) 4n 4n p.l ln.pn 4n = y coo > 0 es arbitrario se tiene que f ( z)dz 0. Fr ( ) Caracterización de funciones holoroficas Las funciones holoorficas quedan caracterizados en los siguientes proposiciones. Proposición Sea n un conjunto abierto, E un espacio de Banach coplejo, f: E una aplicación diferenciable y continua entonces f es analítica (holoorfica). Deostración.- Sabeos que si f: punto arbitrario a k f ( x,..., xn, zk,..., z p ) n n E continua tal que para k n, y un, entonces se tiene que : 2 i n k dx k Ck Ck 2 f ( x,..., xn )dxn...( I ) ( xk zk )...( x p z p ) Cn dx k 2... Ahora Aplicando (I), la proposición queda reducida al caso n =. Para probar que f es analítica en el punto a, se puede ediante una aplicación hootética y una traslación suponer que a = 0 y que contiene la bola unitaria B : z. Para cada z B, y cada tal que 0, observe que : ( ) z eit, y se considera la integral. 20

21 g 2 f ( z ( e it z) f ( z)) it e dt e it z 0 Claraente se tiene que g es continua en 0, ás aún es derivable en cada punto de 0, obteniéndose la siguiente igualdad. g ' 2 0 f ' ( z ( e it z ) e it dt. it it it Pero f '(z (e z))e es la derivada de t f (z (e z)), por tanto, para 0, g ' ( ) 0 y así g es constante en 0,,y coo g(0) = 0, g( ) 0 para 0. En particular, resulta para =. f (z) 2 i f ( x ) dx para cada z B y por lo tanto el resultado. x z Proposición Sea 2n, E un espacio de Banach coplejo f : E una aplicación diferenciable y continua. Para la función f definida en (considerada coo subconjunto de n ), por: f(x, x2,., xn, y,.., yn) = g (x+ iy,., xn + iyn) es analítica en si y solo si: f f i 0 en para k p. x k y k En efecto.- Al igual que en la proposición anterior para el caso n =. Sea (x, y), escribaos a li h 0 h f f ( x, y ), b ( x, y ); expresando que los líites: x y g ( x iy h g ( x iy) h y li h 0 g ( x iy h g ( x iy) ih 0, son iguales, se obtiene a + ib = 0. Recíprocaente, si esta condición se cuple, para > 0, existe un r > 0 tal que si h2 k2 r, g ( x iy h ik ) g ( x iy ) a ( h ik ) h 2 k 2, esto prueba que z g ( z ) tiene una derivada igual a a en el punto z = x + iy y por tanto el resultado. 2

22 4.3 CONVERGENCIA DE SERIES DE TAYLOR Para iniciar el estudio de esta sección recordaos la definición de series de potencias. Definición Sea a n n a (z z ), z k k 0 k 0 una sucesión de núeros coplejos y z0. La serie es llaada serie de potencia centrado en Z0. Sean E, F dos espacios de Banach coplejos, U E. Definición Direos que U es e-equilibrada, con respecto a uno de sus puntos e si ( - ) e + x U para cada x U y, Escribaos C (U ; F ) f : U F tal que f es continua H (U ; F ) f : U F tal que f es holoorfa Proposición Sea f H (U ; F ), e U y U es e equilibrada. Entonces la serie de Taylor de f en e converge a f uniforeente sobre alguna vecindad contenida en U para cada subespacio copacto de U. Deostración.- Basa probar que la serie de Taylor de f en e converge a f uniforeente sobre alguna vecindad V U para cada x U. Veaos, para x U dada elijaos > y una vecindad V U de x tal que: sup t V, f (( ) e t ), y coo f ( x), f,e ( x) ( ) donde es el sup f (( )e t ), 0,,... polinoio de Taylor entonces de aquí se tiene el resultado. Definición Si f H (U ; F ) y e U, el radio de seguridad de f en e es el áxio r, 0 < r, tal que Br (e) U y f es acotado sobre cada B (e), 0 r Proposición Sea f H (U, F) y e U. El radio de seguridad rb de f en e es el infio de los radios de convergencia rc de la serie de Taylor de f en e y d = d(e, Fr(U)). 22

23 Deostración.-Aplicar la definición y proposición Notación.-Recordeos las notaciones siguientes: L E ; F f : E F tal que f es -lineal continua L s E; F A L E ; F : A es siétrica Proposición Si f H (U, F), entonces d f H (U; L s E ; F ) y d f H (U, F P (E,F)) para = 0,, 2,.. donde P E, F P : E tal que p es un polinoio continuo} Si f ( x) Pk ( x e) es la serie de Taylor de f en e U, entonces la serie de k 0 k 0 k 0 Taylor de d f y d f son d f ( x) d Pk ( x e) y d f ( x) d Pk ( x e) Deostración.- Sean rb el radioliitado de f en e. Por proposiciones anteriores, la serie de Taylor de f en e converge a f(x) uniforeente para x B p ( e ), para algún 0 rb. Por la desigualdad de Cauchy, la respectiva serie de Taylor de d f en e converge a d f ( x ) uniforeente para x B (e ) así, podeos decrecer en los arguentos previos. Nótese que d Pk P ( E k ; P ( E, F )) así se tiene el resultado. Ejeplo.- Si f H (U; F) y e U, entonces, para k, = 0,, 2..se tiene: k k d d f (e) d d f (e) k!!! (k )! 2. Si k, d f, e f H (U; F) y e U, entonces, para k, = 0,, 2.. se tiene: d k, f, e Topología en el espacio de las Aplicaciones Holoorfas En esta sección resuireos la definición y las propiedades de la topología J w en H (U; F) o en el caso general de la topología JW, en H (U; F). 23

24 Definición Una seinora en H (U; F) se dice ser portado por un subconjunto copacto K de U si a cada subconjunto abierto V de U conteniendo K corresponde un núero real C(V) > 0 tal que: p( f ) c(v ). Sup f ( x) para cada f H (U; F). x V La topología JW en H (U; F) es definido por todos los seinoras portadas por subconjuntos copactos de U. De cada condición siguiente es necesario y suficiente para P a ser portada por K. Observaciones i) Para cada > 0, existe un núero real c ( ) > 0 tal que para cada f H (U; F), p (f) c ( ) sup x K d f ( x)! ii) Para cada > 0 y cada abto V de U conteniendo K, existe un núero real c(, V) > 0 tal que, para cada f H (U; F). p( f ) c (,V ) sup 0 d f ( x)! iii) Si U es e-equilibrada, la serie de Taylor en e de algún f H (U; F), converge a f en el sentido de JW, y si U es e-equilibrada, la siguiente condición es necesario y suficiente para P portada por K: correspondiente a cada subconjunto abierto V de U conteniendo K, existe un núero real c (V) > 0 tal que, para cada f H (U; F). p( f ) c(v ). sup 0 d f (e).( x e)! La topología copacta abierta en el espacio vectorial C (U; F) induce una Topología JO en H(U; F). De esta anera se tiene: JO JW; JO = JW si y sólo si di E <, o F = 0. Cada d es continua para la topología correspondiente JW; continuidad de d para algún y la topología correspondiente JO requiere que di E <, o F = 0. Adeás un subconjunto de H(U; F) es acotado por JW si y sólo si este es acotado por J0. 24

25 Adeás un subconjunto X de H (U; F) es acotado por Jw si y solo si este es acotado por Jo. Observación Cada una de las siguientes condiciones es necesario y suficiente para que X sea acotado por JW. ) Existe r 0 correspondiente a cada subconjunto copacto K de U tal que f ( x ) r, para cada f X y K 2) Existe r 0 y V U abierto conteniendo K correspondiente a cada subconjunto copacto K de U. Tal que y f ( x ) r, para cada f X, y x V ') Correspondiente a cada a U, existen R 0 y r 0 tal que, para cada = 0,,.. y f X, d f (a) R.r! 2') Correspondiente a cada subconjunto copacto K de U, existen: R 0 y r 0 tal que, para cada = 0,,., f X x K, d f ( x) R.r! 3') Correspondiente a cada subconjunto K de U, existen R 0 y r 0, y un subconjunto abierto V U conteniendo K tal que, para cada = 0,,..., f X x V, d f ( x) R.r! Sea A U fijo, y supongaos A dentro de cada coponente conexa de U. Entonces X es acotado por Jw si y solo si X es equicontinuo en U y sup f ( x) : f X para cada x A. Denoteos por J a la topología en H (U; F) definido por la failia de seinoras f d f ( x ) para = 0,,.., x A. Si X es Jw acotado entonces Jw y J, a inducen la isa topología en X; tabién las estructuras unifores asociada con Jw y J a inducen la isa estructura unifore en X. 25

26 f en el sentido de Jw cuando Si f, fr H (U; F) para r = 0,,., entonces fr d f ( x ) en P (E; F) r si y solo si {fr} es Jw acotado y d f r ( x ) para cada = 0,,.. y x A. Tabién X es Jw relativaente cuando r copacto si y solo si X es Jw acotado y d f ( x) : f X es relativaente copacto en P (E; F) para cada = 0,,.., x A. 4.4TIPOS DE HOLOMORFIA Sean E, F dos espacios de Banach coplejos. Un tipo de holoorfia de E en F es una sucesión de espacios de Banach P ( E, F ), donde P ( E, F ), denota el espacio de Banach de todas las polinoiales continuas hoogéneas de E a F, la nora sobre cada uno de los cuales será denotada por P P, tal que los siguientes condiciones se cuple: i) Cada P ( E, F ) es un subespacio de P ( E, F ) ii) P ( E 0, F ) P ( E 0, F ) F,, coo un espacio vectorial norado. iii) Existe un núero real para lo cual se cuple: Dado algún l,, l, x E y p P ( E, F ), se tiene: l l l d p ( x ) P E, F y d p( x). p. X l! l Proposición Cada aplicación inclusión P E ; F P( E, F ) es continua y de nora enor a α,. Deostración.-Pongaos l = 0, en la condición (iii) y usando las condiciones (i) y (ii) de la definición anterior se tiene que: p( x ). p. x ; de donde p. p, por tanto el resultado. Definición Dado una aplicación holoorfa f H (U ; F ) se dice que f es del tipo holoorfico en x U si: 26

27 i) d f ( x ) P ( E ; F ) para ii) Existen núeros reales t 0 y n 0 tal que : d f ( x) t.r,! Observación Se dice que f H (U; F) es del tipo - holoorfico en U si f es del tipo - holoorfico para cada x U. Notación.- (U ; F ) {f H (U; F): f es del tipo - holoorfico en U} Proposición El conjunto (U ; F ) es un subespacio de H (U; F) Deostración. Es inediata. Teorea Si f H (U; F) del tipo -holoorfico en x U. Entonces existe r 0, tal que Bp (x) U, y de anera que: i) d f ( z ) P0 ( E ; F ) para cada z B p ( x) y ii) Existen t, r 0, tal que d f ( x) t.r para cada z Bp (x) y! l l iii) Para cada z B ( x ) y l, la serie d f ( x) d p ( z x), donde l p d f ( x ),! converge en el sentido de P (El ; F) Deostración. i) Basta considerar la serie de Taylor f(x) = p ( z x ); de donde existe p > 0 tal que 0 l l, teneos d f ( x ) d p ( z x ) B (x) U; y tal que para z Bp (x) y l (I) l l La convergencia de esta serie, en el sentido de P ( E ; F ), asi p P ( E ; F ) por tanto l l d p ( z x) ( E ; F ), p. z x l por consiguiente teneos:, existen t, r, 0, tal p l l d p ( z x) l! t.r para cada l, por la condición (2). 27

28 ii) Si en la sua, asuios que puede elegirse suficienteente pequeño tal que α. t. < ; se tiene entonces: d l l p ( z x) l!t l. r rp Para cada z B (x) y l, de esta anera la serie (I) converge en el sentido de P El ; F, por copletación deeste espacio norado, puesto que la serie converge a l d f ( x) en el sentido de P El ; F, por la suporsición esto se sigue en virtud de la l proposición anterior. Así d f ( x ) P0 ( E l ; F ), que (I) se cuple en el sentido de P0 ( E l ; F ) y tabién: l t d f ( x).( r )l Para cada z B (x) y l l! r Teorea Si f (U ; F ), entonces para cada subconjunto copacto K de U correspondiente existen t, r, 0, y un abierto V de U (V U) conteniendo K, tal que : d f ( x ) t.r, para cada x V y! Deostración.- (usar el teorea inediato anterior). DIFERENCIACIÓN DE TIPOS DE HOLOMORFÍA Definición Dado El, F, l. El isoorfiso de espacios vectoriales. P El ; F P E ;( P( El, F )) p Para cada l d p l!, induce por condición (iii) de la definición del tipo - holoorfico un Isoorfiso de espacios vectoriales de P ( E l ) sobre un subespacio vectorial de P ( E ; P0 ( E l, F )). Tal que el subespacio será denotado por: l d P ( E l ; F ) l! 28

29 Llega hacer un espacio de Banach. Isoétrico norado ediante l d p l! p para p P ( E l ; F ) Proposición Para cada tipo de holoorfia fija de E en F y l espacios de Banach, la sucesión de l d P ( E l ; F )( ) es un tipo de holoorfia de E en P ( E l ; F ) l! (esto es denotado por l d ) l! Deostración.- Usar la definición anterior. Teorea Sea un tipo de holoorfía de E en F y del tipo de holoorfia de E a ( E l ; F ) donde l l d el correspondiente l!. Si f (U ; F ), entonces l d f (U ; P ( E l ; F )). Deostración.- Siendo x U y p d f ( x ),! elegios algún núero real > 0 tal que B (x) U, y tal que: (i) l l l d f ( z ) d p ( z x) d pl ( z x) l! l! 0 l! Para cada z Bp (x) y l, donde la serie es asuida convergente en el sentido de P ( E l, F ), por teorea y definición veos que: (ii) l d pl ( z x ) l. pl. z x l! t ( r )l.( r ). z x De esta anera se tiene: l (iii) d f H (U ; P ( E ; F )), adeás veos que: (iv) l l d pl d p E l ; F y que l! l! 29

30 (v) l d pl l! pl t.r l.r Y por lo tanto se tiene el resultado. Aplicaciones: (Obtenidas directaente del últio teorea). Sea f H (U; F) y B (x) U. Entonces l d f ( z ) l. d f ( x) l!! l Para cada z Bp( x) y l 2. Sea f (U, F ) y B (z) U. Entonces: l. su p x B ( x ) l 0 l d f ( x )..sup d f ( z) l! z U! 0 Para cada núero real > 0. A continuación dotareos de topología al espacio de aplicaciones Holoorficas. Lea Sea P una seinora en U ; F, K U copacto. Son equivalentes: a) Dado 0, podeos encontrar r 0 tal que p( f ) r 0.sup d f ( x), para cada f (U ; F )! b) Dado 0, y algún V U abierto conteniendo K. podeos encontrar r, v 0 tal que p ( f ) r, v.sup 0 x V d f ( x ), para cada f (U ; F ).! Deostración.- (a) iplica (b) es inediato. Para probar que (b) iplica (a), utilizaos (2) de las aplicaciones anteriores, toando X = K y asuiendo adeás que. Nota.- Una seinora en (U ; F ) se dice ser portada por un subconjunto copacto K U si se tiene las condiciones equivalentes (a) (b) del Lea (4.4.0). 30

31 La topología natural J w, en (U ; F ) es definida por los seinoras en (U ; F ) que son portadas por subconjuntos copactos de U, esto es claraente separable. Observación Si f (U ; F ) y K U copacto son dados; entonces se puede encontrar > 0 y V U abierto conteniendoo K tal que.sup 0 particular 0.sup x K x V d f ( x ), y en! d f ( x)! Teorea Sea A un conjunto y F un filtro en A; f A una failia de eleentos de (U ; F ) indexado por A y f (U ; F ). Asuaos que, correspondiente a cada K U copacto, podeos encontrar > 0 tal que: li.sup x K 0 d ( f f ) 0 entonces li f f ; en el sentido de la topología J w, x F! en (U ; F ) Deostración.- inediato Observación Con las hipótesis y notaciones de la aplicación (2) anterior y del Teorea (4.4.3). Podeos encontrar un > 0 y un abierto V U conteniendo K tal que li.sup F x V 0 d ( f f ) 0.! Lea Sea f (U ; F ), a U y U a-equilibrada entonces dado cualquier copacto K U; existen (0 ), R 0 y r 0 y un V U abierto conteniendo K tal que sup x V d ( f e, f,a )( x )! R.r.r e para cada l,. Deostración.-Usando el teorea 4.4.5; elegios W U, conteniendo el subconjunto copacto K de U, y los núeros d f( x)! R 0 r 0 tal que W es a equilibrada y R.r, para cada x W y. Seguidaente elegios > y un abierto V W conteniendo K tal que,, x V iplica que ( - ) a - x W. 3

32 Pongaos d f ( x ) e, d f, a e, d f, a ( x ) d e, f, a, asi que para x V, e y R.r! para x V, e. y e ( ). Ahora R.r d ( f e, f,a )( x) e...(*)! ( ) y l. coo quiera que (*) para l< es verdad. En efecto entonces d e, f,a 0 y por tanto V W, teneos d f( x)! para x V, l R.r y R.( r ) para x V, pero - < -l. Así (*) es verdad e ( ). El lea es así probado si reeplazaos respectivaente y tabién poniendo R y.r por R y r. Proposición Sea f (U ; F ), a U y U a-equilibrada entonces la serie de Taylor de f en a converge a f en el sentido de la Topología J w, en (U ; F ) Deostración.- Del lea Proposición Cada aplicación inclusión (U ; F ) H (U; F) es continua para las topologías correspondientes J w, y J w. Deostración.- Aplicando la proposición (4.4.) se tiene el resultado. Teorea Sea un tipo de holoorfía de E en F y tipo de holoorfia de E en P (Ek ; F) donde k (U ; F ) k d el correspondiente k! entonces la aplicación lineal f k d f U ; P ( E k, F ) es continua para las topologías correspondientes k! J w, y J w, Deostración.- Sea P una seinora en U ; P ( E k, F ) Portado por el subconjunto copacto K U. Sea r( )> 0 correspondiente a cada > 0 así que, para cada 00 32

33 (U ; P ( E l ; F )) teneos p r.sup 0 x K d ( x )! si entonces f (U ; F ) teneos entonces : k d d f! k! k k k d d f ( x) d f ( x) ( x) k! (k )! (k )! Y así : k r l p d f r.sup d f ( x) k.sup d f ( x) 0 x K (k )! x K! k! SUBCONJUNTOS ACOTADOS Y RELATIVAMENTE COMPACTOS Teorea Cada una de las siguientes condiciones equivalentes es necesario y suficiente para un subconjunto X de (U ; F ) sea acotado por J w,. () Correspondiente a cada a U, existen R 0 y r 0 tal que : para cada d f ( a ) Rr,!, f X. (2) Correspondiente a cada subconjunto copacto K de U existen R 0 y r 0 tal que: d f ( x ) R.r, para cada!, f X x K. (3) Correspondiente a cada subconjunto copacto K de U existen: R 0 y r 0, y un subconjunto abierto V de U conteniendo K, tal que: d f ( x ) R.r, para cada!, f X x V. Deostración.- Sea X acotado por Jw,. Probareos (2). Si K U es copacto y sean 0 ( ) tal que / 0 cuando ; teneos asi una seinora correspondiente p en (U ; F ) definida por p ( f ).sup 0 x K para f d f ( x)! 33

34 (U ; F ) ; por resultados anteriores se tiene que p es portada por K, de aquí continua por Jw,, por consiguiente P es acotado en X.,, entonces sup.s,, estos es cierto para Ahora si S, 0, para cada sucesión ( 0 de núeros reales positivos tal que / 0 cuando si y solo si existen R 0 y r 0 tal que S, R.r, para cada y. Por consiguiente el hecho que cada seinora p de la fora anterior es acotada en X iplica (2). Inversaente es claro que (2) iplica que X es acotado por J w,. Las iplicaciones (3) (2) () son claras e inediatas. Finalente () 3 en efecto si a U, R 0 y r 0 se tiene k R k d f ( x) r para cada x Bp (a), e k! r, f X, eligios > 0 asi que Bp (a) U y r esto es suficiente para hacer ver que (3) es verdadero. Definición Correspondiente a cada subconjunto copacto K de U y cada, teneos la seinora p en (U ; F ) definido por: p ( f ) sup d f ( x ) x K Paraf (U ; F ) la topología J en (U ; F ) es definido por todas las seinoras. Claraente J Jw es separable. Teorea Sobre cada Jw subconjunto acotado X de (U ; F ) las estructuras unifores asociadas con Jw y J inducen la isa estructura unifore en particular Jw y J inducen sobre X la isa topología. Deostración.- Priero asuios que o X y probeos que un subconjunto de X es una vecindad de 0 en la topología en X inducido por Jw si y solo si esta en una vecindad de 34

35 0 en la topología sobre X inducida por J. Una de estas afiración es claro de J Jw inversaente sea p una seinora Jw continua en (U ; F ). Asuios que p es portado por un subconjunto copacto K de U, y sea r( ) 0. Coo X es Jw - acotado, existen entonces R 0 y r 0, seguidaente elegios > 0 asi que > 0 asi que r < y µ Por R.r ( ) ( r ) / 2 µ Definios la seinora J continua q coo: µ q ( f ) r ( ).sup 0 x K d f ( x)! Es claro que, si f X y q (f) ½, entonces p(f) y por lo tanto el resultado. Si nosotros consideraos cualquier subconjunto acotado X para Jw, el conjunto X X de todos los diferencias de dos eleentos de X es acotado para Jw y contiene al 0 (cero). Por tanto las vecindades de 0 en las topologías sobre X X inducido por Jw y J son idénticas, esto sigue que las estructuras unifores sobre X inducido por la estructura unifore asociado a Jw son idénticas. Consecuencia Si fk (U ; F ),k si y solo si cuando k f k k y f (U ; F ) entonces f k f para Jw es acotado por Jw y f k f para J cuando k Proposición Cada subconjunto X de (U ; F ) acotado por Jw es equicontinuo en cada punto de U. Deostración.-Sea a U y R, r 0 dos núeros reales teneos: d f (a).( x a), para cada f H (U; F), x B p ( a ) U. Por resultados! f ( x) anteriores. 35

36 f( x) f(a) d f (a ). x a!. d f (a). x a!.r.r. x a = R..r x a r x a x Bp (a), r f X, de donde se sigue la equicontinuidad. Definición Un subconjunto X de (U ; F ), es relativaente copacto en un punto a U si, para cada el conjunto d f (a ) : f X es relativaente copacto en P E ; F Proposición Un subconjunto X de (U ; F ) es relativaente copacto por Jw si y solo si X es acotado por Jw y X es relativaente copacto en cada punto de U. Deostración.- (usar definición 4.5.6) Lea Sea X (U ; F ) tal que : (i) X es relativaente copacto en algún a U. (ii) Existen R 0 > 0 tal que B (a) U y R d f (a ), para cada f X y!, entonces X es relativaente copacto en cada punto de B (a). Deostración.-Para cada f (U ; F ) pongaos P, f d f ( a ),! entonces l k d f ( x) d p, f ( x a). Para x B (a) y k la convergencia en el sentido de k k P ( E, F ) ; de donde teneos d P, f ( x a ),. R. x a l para cada f X, k, l usando esta aproxiación y la serie anterior veos que X es relativaente copacto en cada punto de X tal que x a. 36

37 Teorea Si U es conexo, un subconjunto X de (U ; F ) es relativaente copacto por Jw si y solo si X es acotado por Jw y X es relativaente copacto en un punto singular de U. Deostración.- Basta usar el lea (4.5.8). En esta últia parte de la sección (4.5) estudiareos los Espectros en Productos Tensoriales de algebras Lc Otras Definiciones y notaciones Sea A un algebra unitaria cualquiera, el espectro de un eleento a A se denota y define en la teoría espectral clásica coo ( a ) : a A no es invertible Nota.- En la década de los 930 Gelfand desarrollo un Trabajo, donde relacionaba la teoría espectral en álgebras de Banach conutativas con los hooorfisos continuos de algebras h : A cuyo espacio se denota coo M(A) A* Gelfand estableció una aplicación de M(A) en eleento a A definió a : M(A) del odo siguiente: Para cada tal que a (h) = h(a), ás aún coprobó que cada una de estas aplicaciones es continua (con la topología débil *). Claraente se C (M(A)) es un hooorfiso continuo de álgebras y ve que, la aplicación : A de donde se tiene que: (a) = { a ( h ) : h M(A) 2. Direos que un álgebra A es un álgebra Topológica si tiene una topología tal que las operaciones algebraicas son continuos. 3. Un álgebra topológica A es localente ultiplicativaente convexa (LMC) si es un espacio localente convexo cuya topología esta definida por una failia seinoras Pì i tales quie, para todo x, y A y todo i ; pi ( x, y) pi ( x). pi ( y) Nota.- A las seinoras con esta propiedad se les llaa ultiplicativas. 37

38 4. Sea A un algebra cuya operación a o b = a + b ab es asociativa con identidad 0. Así direos que 0 un eleento a A es quasi invertible si existe algún b A tal que ab = 0 = ba. Notación Q(A) = {a A : a es quasi invertible 5. Un algebra topológica A es llaada Q algebra si y solaente si Q(A) es abierto en A. Nota.- Nosotros trabajareos con algebras LMC y Q algebras. Espectros en Productos Tensoriales 4.5. Haciendo uso de la definición de espectro para failias de eleentos de un álgebra, definios un espectro vectorial para eleentos de un producto tensorial. Toaos un álgebra A con ciertas propiedades y E un espacio localente convexo. Consideraos el Producto Tensorial con una cierta topología es decir: A E. Para cada eleento T = a c en A E quereos definir un espectro T E q ue generalice el clásico y el definido por WAELBROECK en los años 970 para eleentos de A X (A algebra de Banach y X espacio de Banach). Observación No es difícil verificar que A B es un álgebra siepre que A y B sean algebras LMC. * Estudiareos el caso de cuando A B es a su vez álgebra LMC. Iniciaos definiendo una aplicación de Gelfand vectorial. Si E es un espacio localente convexo copleto y es una topología unifore podeos hacer la identificación E E.. Ahora toaos un algebra LMC A y para cada h M(A) podeos considerar la aplicación h E E. De este odo, para cada a e = t A E se define su transforada de Gelfand coo : T : M(A) E tal que T h h E T 38

39 4.6 COMPOSICIÓN DE OPERADORES Y CONTINUIDAD Definición Un peso es una aplicación acotada y continua v : B 0,, donde B es una bola unitaria en un espacio de Banach X. Direos que un peso v esesencial si existe k > 0 tal que v(x) v ( x) k.v( x)., para todo x y de aquí v( x) B, donde se ha definido una condición de creciiento asociada µ(x) = 0, tal que u ( x ) sup f ( x ) y un nuevo peso asociado v. se define u : B f Bv u Observación De la definición se tiene: f v si y solo sí f v H v ( B ) H v ( B ), donde H v ( B ) f H b ( B) : f v sup v( x ) f ( x) x B Definición Un peso v se dice que es radial si v(x) = v (x2) siepre que x x2. Un conjunto A B (B bola unitaria en un espacio de Banach), se dice B acotado si este es acotado y d (A, X B) > 0. El espacio de las funciones holoorficas f : B acotados en los conjuntos B acotados es denotado por Hb (B) es decir: C tal que f es acotada en los conjuntos B acotados}. Hb (B) = {f: B Una aplicación f : B 0, se dice que se anula en el infinito fuera de los conjuntos B-acotados si para cada > 0, existe un conjunto B acotado A B tal que f(x) < para cada x A. Denoteos por: H v ( B ) f H b ( B) : f v sup v( x ). f ( x) x B H vo ( B) f Hb ( B) : v f se anula en fuera de los conjuntos B - acotados 39

40 Observación El conjunto H vo ( B ) puede ser definido de anera equivalente coo. Decios que v f se anula en el infinito fuera de los conjuntos B acotados si y solaente si li v( x) f ( x) 0 realente toando > 0. x Si v f se anula en el infinito fuera los conjuntos B acotados podeos encontrar A B, B acotado, tal que v(x) f ( x ), para todo x B A, existe f ' 0, tal que A Bg (0). entonces v(x) f ( x ), para todo x B - Bg (0). por tanto li v( x) f ( x) 0 x Inversaente, si li v( x) f ( x) 0 dado > 0 existe 0, tal que v(x) f ( x ), x para todo x B - Bg (0). obviaente B (0) es B - acotado y v f se anula fuera de los B conjuntos. Así podeos escribir: H vo ( B ) f H b ( B) : li v( x ). f ( x) 0. x Observación Los espacios unitarios abiertos Bvo f Hvo ( B) : f Proposición lo v H v ( B ) y H vo ( B ) son de Banach abos y sus bolas denotaos coo: Bv f H v ( B) : f v y respectivaente. Sea v tal que li v( x) 0, entonces Bvo es 0 denso en Bv. x topología copacta abierta. Deostración.- Dado cualquier f Bv y n, considereos Bn B n (0) y definaos n B porfn(x) = f x. Obviaentefn Hb (B). Tabién f n fn : B n v ( x ) f n x sup v( x) f x f x Bn v v sup x B. 40

41 Por tantofn Bv. Adeás fn H vo ( B ), realente f H b ( B) y Bn es un conjunto B acotado, existe k > 0 tal que sup f x k. Por consiguiente sup f n x k y x Bn x B li v( x) fn( x) k li v( x) 0 por (4.6.5)fn Bvo y necesitaos que converja a f x x uniforeente en los subconjuntos copactos de B. Toando K B copacto y > 0. Por tanto f es continua, para cada x K, podeos encontrar x > 0 con B x ( x) B y tal que para todo y satisfaciendo que x y x teneos B x / 2 ( x ) : x K es un cubriiento abierto de K y asi existen x,, xntal que K n B xj ( x j ). Considereos n0 tal que j algunos xj tal que x x j De otro lado, f ( x ) f ( y ) / 2 entonces para x in j n0 2 y sea x K, existe j,..., n xj. Asi f ( x) f ( x j ). 2 2 xj n n n0 x x x n n 2 n n n x xj x j y f x f (x j ) 2 n n f x f ( x ) f n ( x ) f ( x ), esto n juntando todo Por esto consiguiente obteneos: es verdad para todo x K n es f en 0. independienteente de x. Así f n Ahora coo bosquejaos en (4.6.), dado cualquier peso v podeos definir una condición asociada µ : B 0, por µ(x)=. Con esta nueva función podeos escribir: v( x) 0, por µ ( x) sup f ( x) y Bv f Hv ( B) : f.de esto definios u : B f Bv un nuevo peso asociado v. u Teorea Sea µ cualquier peso; entonces: i) 0 u u, 0 < v v 4

42 ii) u (respectivaente v ) es continua, decreciente, creciente siepre que u (respectivaente v) lo es. iii) f v si y solo si f v iv) Para cada x B existe fx Bv tal que u ( x) f x ( x). v) Si li v( x ) = 0, entonces u ( x ) sup f ( x ) x f Bvo Deostración i) Claraente u ( x ) sup f ( x ) u ( x ) para todo x B y 0 < u u de la definición 0 f Bv < u v ii) Inediato de la definición de asociado. iii) Priero supongaos que f ; entonces f Bv. Obviaente para cada x B, f ( x) sup g ( x) u ( x) asi f g Bv Si f iv) v v., dado cualquier x B, usando (i), teneos f ( x) u ( x) y f. La evaluación funcional es 0 copacta. Asi, el supreo en la definición de u es un áxio. v) Sea x B por (iv) podeos encontrar fx Bv tal que u ( x) f x ( x), veos que f H vo ( B ). Puesto que li v( x) 0, existe k > 0 tal que v (y) k, para todo y B, x pero fx Bv, asi f x ( y) k para todo y B y asi li v ( y ) f x ( y ) y / k. li v( y ) 0, Por tanto f Bvo. y Corolario Dado cualquier peso v, se tiene que H v ( B ) H v ( B ) isoétricaente. B una Definición Sean v, w, dos pesos (v, w : B 0, ) y : B aplicación holoorfica el OPERADOR COMPOSICIÓN asociada a es definido por: C : H v ( B ) H w ( B ) / C ( f ) f o 42

43 Observación Sean f, g H v ( B ), C (. f g ) (. f g ) o f o + g o.c ( f ) C ( g ) por tanto C es lineal. Nota.- Necesitaos poner condiciones en v, w o que garanticen la buena definición de C, la continuidad o copacidad, lo cual lo daos en los resultados siguientes. Teorea Si existe algún r 0, tal que ( B) rb, entonces C : H v ( B ) H w ( B ) está bien definida para cualquier por de pesos v, w. Deostración.- Coo (B) r. B entonces (B) es un conjunto B acotado. Así para cada f H v ( B ) existe M > 0 tal que sup f ( y ) M. Por tanto sup w( x). f o ( x ) = x B y ( B ) sup w( x ). f x B sup w( x ).sup f C.M.. ( x) x B ( x) x B Teorea Sean v, w y tal que y C ( f ) H wo ( B ). li sup r r ( x) w( x) v ( x ), entonces C : H v ( B ) H w ( B ) está bien definido w( x) de donde existe r0 0, tal que para ( x ) r v ( x ) Deostración.-Llaeos L = li sup r w( x ) esto iplica que para todo x B tal que 2 ( x ) r v ( x ) cualquier r0 r, sup ( x) r0, w( x) L. v ( x) 2 Sea x B y f H v ( B ). Supóngase que ( x ) r0, entonces: w( x ) f ( x ) w( x) v f v ( x ) ( x ) ( x) w( x) L L v ( x ). f ( x ) v ( x ) L f v 2 Supongaos ahora que ( x) r0. Puesto que f es acotado en Bro (0) teneos que w(x). f ( ( x ) ) C.M. 43

44 Juntando abos casos teneos que: sup w( x) f ( x ) y C ( f ) H w ( B ) para todo f x B H v ( B ). Nota.- Dareos a continuación algunos resultados sobre continuidad de C B una aplicción Observación Dados dos pesos v w cualesquiera y : B holoorfica, el operador coposición C : H v ( B ) H w ( B ) es 0, 0 continua, 0 realente, consideraos una red f 0 y toeos K B copacto y > 0. Puesto que es continua, (K) es copacto y así podeos encontrar 0 tal que f ( y ) para todo y ( K ) y 0 teneos C f ( x ) f ( x ). Con esto se tiene C f 0 en 0. B una aplicación holoorfica, Teorea Sean v, w dos pesos, y : B entonces son equivalentes: (i) C : H v ( B ) H w ( B ) es continua (ii) Sup w( x) k v ( ( x)) Sup w( x) k v ( ( x)) x B (iii) x B Deostración.- La iplicación iii) entonces ii) es inediata, puesto que w w. Asuaos ahora que teneos ii) y teneos que, ostrar que C es continua para esto es suficiente ver que C ( Bv ) H w ( B ) es acotado. Para (iii) entonces (i) aplicar definición de continuidad. Sea f Bv. Para cualquier x B teneos: w( x) f ( x ) asi C ( f ) w w( x) v ( x ) f ( x ) k. f v ( x ) f o w v k sup w( x) f ( x ) k y de esta anera C es continua. x B 44

45 Supongaos ahora que C es continua. Si iii) no sería cierto existe una sucesión X n n B tal que w X n n.v xn, para todo n. Para cada n u xn toeos fn Bv asi que f n xn u xn Puesto que C es lineal y 2 continua C (Bv) es acotada en H w ( B ) H w ( B ). e esta fora podeos encontrar R > 0 tal que C ( f ) w R para todo f Bv, en particular teneos, para todo n x B, f n ( x ) w( x ) R. De otro lado, para cada n f n ( xn ) w( xn ) f n ( xn ) v xn. w ( xn ) n v x 2 n la cual es una contradicción y por lo tanto se tiene el resultado. Corolario Si v es esencial, entonces, el operador C : H v ( B ) H w ( B ) es continua si y solaente si sup x B w( x ) v ( x ) Teorea Sean H y F dos espacios de Hilbert BH y BF sus bolas unitarias abiertas respectivaente. Sea f : BH BF una aplicación holoorfica tal que f(0) = 0, entonces para todo x BH se tiene f ( x ) F x H. Deostración.- Inediata de la definición de nora de un operador. Nota.- El teorea (4.6.6) tabién se cuple si los espacios de Hilbert H F son espacios de Banach. Teorea Sea B una bola unitaria de un espacio de Hilbert H y V : B 0, un peso decreciente con respecto a x, entonces son equivalentes: i) C : H v ( B ) H v ( B ) es acotada para todo. ii) Cada (Xn)n N B tal que xn v ( xn ) 2n inf 0...(#) satisface: n 2n v ( xn ) 45

46 Deostración.- Priero nótese que (0) = 0, entonces C es autoáticaente continua. Coo v es decreciente de (4.6.6) se tendría que: C ( f ) v sup v( x) f ( x ) sup v ( x ) f ( x ) x x sup v( x) f ( x ) f x v y C es continua. B supóngase que cada C 0 es continua, dado Para cada a B teneos a : B cualquier, sea a = (0) y definaos a o, claraente (0) = 0 y C es continua entonces teneos a o y C C o C a es continua, nosotros tendreos, entonces, que cada C es continua. Por consiguiente esto es suficiente a probar. C a : H v ( B ) H v ( B ) es continua para todo a B (#). Epeceos asuiendo que C a es continua para cada a B. Por (4.6.4) para cada a B podeos hallar Ma > 0 tal que v ( x ) M a v ( a ( x )) para todo x B. Tabién sabeos que sup a ( x) x r a r r a y esto es valuado en x0 r.a a r Coo v es un peso radial v tabién lo es y v ( x ) v a r a Ma.v a a a P para cada x B con x r. Definaos una nueva función, ( x ) v ( x ) con x r. Puesto que v es radial es independiente de la elección de x y asi está bien definido. Con esta nueva función reescribaos (P). r r a M a a a a a ( r ) v ( x) M a v a a r M a r a para todo r 0,. Veaos que es creciente. Toeos r r2 y r, r2 B con xi ri para i =, 2 entonces x x2 y coo v es decreciente, v ( x ) v ( x2 ) asi x x2 46

47 Sea ahora s = r entonces a r r a Si s< ½ entonces a 2 S ( a s a a s a y coo es creciente entonces se tiene: a a ( s ) s a s a a s. a 2 Toando a 2 / 5 teneos: s a s, de esto: a / 2 2 ( s ) M a s Ma. Para s suficienteente pequeño. ( s ) a 2 a ( s ) xn n Considereos ahora B con xn 2n para n suficienteente grande. Teneos v ( xn ) (2 n ) M a 2n M a v ( X n ) elijaos no v ( xn ) 0, esto iplica v( x ) M a n inf n tal que para n n0 v ( xn ) 0 v ( xn ) ii) i) (ejercicio) Nota.- Recordeos que un operador T Ho (E, F) es copacto si la iagen de la bola unitaria B de E según T es relativaente copacto. Lea Sea C : H v ( B ) H w ( B ) continua, entonces son equivalentes los enunciados siguientes: i) C es copacto. ii) Cada sucesión acotada C f n w f n n H v ( B ) tal que o f n 0 satisface que 0 47

48 Deostración: i) ii) coo C es copacto entonces C (Bv) es relativaente copacto en H w B. Toeos f n n H v ( B ) C f n 0. Coo convergencia en. w acotado tal que o f n 0 iplica que de 0, cada. w entonces subsucesión convergente de (C f k ) k convergería a 0. Ahora si ( C f n w )n no converge a cero 0, existe una subsucesión fnk k fnk k y c > 0 tal que C f n w c, paratodo k. Pero es acotada y C es copacta, por consiguiente (C f n ) n es relativaente copacto y tiene una subsucesión convergente. Esta nueva subsucesión es tabién una subsucesión de (C f n ) n li C fn n w y esta debe converger a 0 esto da una contradición, asi 0. El reciproco ((ii) (i)) ejercicio. B tal que (B) es relativaente Teorea Sean v, w dos pesos y : B copacto y ( B ) B entonces C : H v ( B ) H w ( B ) es copacto. Deostración.- Coo ( B ) B es copacto sup x B definición w es acotado, esto iplica que sup x B Sea f n n sup sup. Por v( ( x)) v ( B ) v ( y ) y ( B ) v ( y ) w( x ) y por lo tanto C es continua. v ( ( x )) H v ( B ) 0 convergente a 0 y > 0. Escribaos C ' sup w( x). Coo x B ( B ) B es copacto, existe n0 tal que para todo n n0 sup f n ( y ) y ( B ) c' entonces, si n n0 se tiene: C f n w sup w( x) f n ( x ) C ' sup f n ( y ) C ' sup f n ( y ) x B y ( B ) y ( B ) 0, y por tanto por el lea se tendría que C es copacto. Así C fn B con (B) relativaente copacto Teorea Sean v, w dos pesos y : B si y solaente si. 48

49 L li sup r r ( x) w( x) v ( x ) 0 Deostración.-( ) Supongaos que L 0; entonces podeos encontrar rn n 0, tal w( x) c. ( x ) rn v ( x ) y c > 0 asi que, para todo n que rn X n n De esto podeos obtener una sucesión cv xn, n sup B con Aplicando (4.6.7), para cada n xn rn y w xn elegios fn Bv satisfaciendo fn ( xn ) u ( xn ). De otro lado coo ( B ) es relativaente copacto, podeos suponer, una subsucesión si es necesario, tal que ( xn ) x0. Aplicando n el por tanto converge a x0 B. Ahora, > xn rn y rn teorea de Hahn Banach, toeos x ' X ' con x ' x ' x0 x0, puesto que li x ' xn x '( x0 ), existe n0 tal que n x ' xn, n n0. Estaos solo interesados en el coportaiento del líite de la 2 sucesión, por consiguiente podeos asuir que la sucesión satisface esta condición, y así podeos encontrar n n Para todo n con li (n) satisfaciendo x ' ( x ) n n. Ahora para cada n n. 2 definaos gn ( x) x '( x) (n). fn ( x) holoorfica. Nosotros teneos: sup v( x). x '( x) x B n f n ( x) sup v( x) x x B (n) f n ( x) sup v( x) f n ( x) x B Por tanto g n n H v ( B ) y es acotada. Puesto que Bv es 0 acotada dado cualquier K B copacto existe un M > 0 tal que sup fn( x ) M, n x K 49

50 De otro lado, coo K es copacto, existe 0 < c < tal que x c x K ; con esto: sup g n ( x) sup x '( x) x K (n) x K fn( x) M.sup x (n) x K 0, cuando n. Así Claraente C (n) g MC ( n ) n n H v ( B) es acotado y gn 0 uniforeente sobre el subconjunto copacto de B. Por el lea (4.6.8) C ( g n ) w 0. De otro lado. C ( g n ) w sup w( x) g n ( ( x ) ) w( xn ) g n ( ( xn ) ) = w( xn ) x '( ( xn ) ) = w( xn ) x '( ( xn ) ) = n n f n ( ( xn ) ) µ ( ( xn ) ) n w( xn) c x '( ( xn ) ) 2 v ( ( xn ) ) Esto contradice el hecho que esto converge a 0 por consiguiente w( x ) 0 ( x ) r v ( ( x )) li sup r El recíproco (ejercicio) B con (B) relativaente Proposición Sean v, w dos espacios y : B copacto tal que li x w( x) H w ( B ) es copacto. 0, entonces C : H v ( B ) v ( x) Deostración.-Epezareos ostrando que C es continua. Dado > 0 existe algún 0 < r0< tal que, r0 x, w( x ). v ( x ) w( x ) x r0 v ( ( x )) Entonces es obvio que se tiene sup 50

51 Ahora estudiaos el supreo de esta últia expresión en el conjunto x B : Pretendeos que el sup ( x). Supongaos que existe una sucesión x r0 xn r0 tal que x nk x r0. xn n con converge a y0 con y0. k Por el teorea de Ha Banach podeos elegir x ' X ' tal que x ' y x '( y0 ).. Claraente es acotado y sup ( x ) Definaos una aplicación = x ' o : B x r0 Escribaos D = { z transforación D la z }. Sea a = (0). Toando g a : D : D de Mobius tal que ga (a) = 0. La aplicación ga o : B claraente satisface ga o (0) = 0. Por la nota correspondiente al teorea (4.6.6). Lea de Schwarz se tiene que ga o ( x ) x, x B esto iplica que g a o Br0 (0) Dr0 (0) y por lo tanto Br0 (0) g a Dr0 (0), este últio conjunto es copacto en D. Por consiguiente existe S 0, tal que Br0 (0) DS (0) entonces sup ( x ) s, esto x r0 conduce a una contradicción y prueba nuestro objetivo. Por tanto existe t 0, tal que sup ( x ) t. x r0 Esto quiere decir que Br0 (0) Br0 (0) Bt (0) y Br0 (0) Bt (0) B. Asi Br0 (0) es copacto y existen M, N > 0 tal que 0 < M v x N, x r0. Por consiguiente: w( x) w( x ) sup w( x),, esto dá sup ( ) ( ( x )) M x r0 x B v x r0 v ( x) sup y asi C es continuo Supongaos que C no es copacto, del lea (4.6.8) esto quiere decir que existe una 0 sucesión nula de funciones f n n Bv tal que C fn w n no converge a 0 (cero) en. Llevando a una subsucesión si es necesario podeos asuir que, existe > 0 tal que. sup w( x) f n ( x) C ( f n ) x B w 0. n 5

52 Ahora elegios xn n B con w xn f n xn n xn. Dado cualquier > 0 existe r0 0, y supongaos que tal que, para cada r0 x, w( x). Toando n tal que xn r0 n n. Entonces w xn v xn. n n y v ( x) así w xn f n xn v xn f n xn f n v. Por consiguiente, > 0, pero > 0. Teneos entonces que asuir, que la sucesión x n n no converge a. Toando una subsucesión si es necesario podeos elegir r 0, tal que xn r para cada r. De esto que se tiene veos que, (B2 (0)) es copacto. Esto iplica que xn n tabién es copacto. Sea > 0 y escribios c ' sup w( x ). Por tanto f n 0, x B en 0, existe r2 tal que, para k r2 sup y (( xn )n ) f k ( y) c' Esto da f n xn / c ' n r2. Asi w xn. f n xn Por lo tanto fue arbitrariaente toado lo cual da una contradicción y así ostraos que C es copacto. Proposición Sean v, w dos pesos tal que li w( x) 0 y :B B con (B) x H w ( B ), es copacto si y solo si relativaente copacto. Entonces C : H v ( B ) L li x w( x) v ( x ) 0 Deostración.- El recíproco queda justificado por el teorea (6.6.2). La otra iplicación procedereos por el absurdo. Supongaos que L 0 entonces teneos una sucesión xn n B con li xn y c > n 0 tal que w xn c n v ( x ) n. Por resultado anterior, para cada n Pongaos fn Bv tal que f n ( xn ) u ( xn ). 52

53 Coo (B) es relativaente copacto podeos asuir, tener o llevar una subsucesión si es necesario, que converga a x0 B. Si x0 entonces 0 = li w( xn ) c li v ( ( xn )) cv ( x0 ) 0. n Asi n x0. De aquí aplicando el teorea de Hahn Banach poneos x ' X ', definiendo g n ( x ) x '( x ) ( n ). f n ( x ) y procediendo coo en el teorea (4.6.20) se obtiene una contradicción y por ende se tiene el resultado. 53

54 V. MATERIALES Y MÉTODOS MATERIALES El trabajo de investigación realizado, no es experiental, ni tiene étodos estadísticos, es decir no está sujeto a una práctica y experiento de laboratorio. Sin ebargo para su ejecución ha sido fundaental la revisión de aterial bibliográfico de la especialidad, del iso odo tabién se ha recopilado inforación de Internet. Adeás para la digitación e ipresión del trabajo se ha usado aterial de tipo técnico en el diseño de los infores triestrales e infore final. Toda la inforación ha sido procesado en un coputador en un prograador Microsoft Word en concordancia con los directivos vigentes, ediante el cual se ha editado la totalidad del foruliso ateático y elaborado los esqueas y dibujos relacionados a los diversos teas desarrollados. MÉTODOS Luego de realizar la recopilación necesaria para la investigación. Los étodos usados en la discusión de los teas son clasificados en:. Inductivo 2. Deductivo 3. Inductivo - Deductivo El Método Deductivo es conciso y lógico que ha peritido desarrollar la estructura de una Q algebra. Para luego estudiarlo de anera específica en el espacio de las aplicaciones holoorfas. El Método Inductivo-Deductivo ha hecho posible ostrar el desarrollo del foraliso descrito en los conceptos; así coo tabién, el análisis de las soluciones para los odelos (ejeplos) presentados. En conclusión estos étodos han peritido que este trabajo tenga ayor claridad y precisión. 54

55 VI. RESULTADOS Basados en la Teoría del análisis Coplejo, donde se ha realizado una revisión de algunos tópicos coo: diferenciabilidad, continuidad, convergencia de series de potencia y topología en el espacio de las aplicaciones holoorficas H(E, F) se dota de la clase de Q algebra en dicho espacio, es decir el resultado obtenido es el estudio de H(E, F) coo algebra topológica lo cual es un objeto con dos estructuras que inicialente son diferentes. Estas dos estructuras (algebra y topología) son conectados en el odo siguiente: Definición 6..- Un álgebra A se dice que es un algebra topológica si (A, ) es un espacio topológico y adeás las aplicaciones: A + :A x A a+b (a,b) A : A x A a.b (a,b) : A xa Z.a (z,a) Son continuas, donde a, b A, z Observación De la definición inediata anterior claraente podeos ver que toda algebra topológica es un espacio vectorial topológico. Definición Un algebra topológica A es localente ultiplicativaente convexa (L.M.C.) si esto es un espacio localente convexo cuya topología es definida por una failia de seinoras fi i tal que para todo x, y A y para todo i, fi (xy) fi(x) fi(y). Con esta propiedad los seinoras son llaadas ultiplicativos. 55

56 Observación La definición anterior se puede dar en térinos de vecindades del cero coo sigue: Priero daos M, N A dos subconjuntos cualesquiera y asi definios M.N = {n: M, n N}. Con esto direos que un algebra topológica es localente ultiplicativaente convexa si esto es un espacio localente convexo con una base B de vecindades de 0, satisfaciendo que V.V. V para todo V B Observación a) Cada algebra de Banach es claraente un algebra localente ultiplicativaente convexa. b) Direos que un algebra localente ultiplicativaente convexa es de FRECHET si este es copleto y la failia de seinoras definen una topología contable. c) Recordando que un eleento a A es Quasi invertible si existe b A tal que ab = 0 = ba. Y un algebra topológica A es una Q algebra si el con junto Q(A) = Q(A) = {b A : ab = 0 = ba} es abierto en A. Considerando A y / f dos algebras y denoteos por (A) = { f: A hooorfiso continuo no nulo} d) En esta observación dareos propiedades interesantes de las Q algebras. Sea A una Q algebra; entonces se tiene: i) Si A es unitaria; (A) es copacto con la topología débil * ii) (A) es equicontinuo iii) Cada ideal axial propio es cerrado iv) Cada hooorfiso coplejo es continua. Definición Un subconjunto M L (E; F) es equicontinuo si para cada vecindad de 0, V F; existe alguna vecindad U de 0 en E, tal que f (U) V para cada f M. Equivalenteente Para cada seinora continua en F, digaos q, existe p, seinora continua en E, tal que q (f(x)) p(x), para todo f M x E. 56

57 Sea A un Q algebra y B un subalgebra de A que es un subespacio copleentario de A B el hooorfiso proyección de algebras entonces B tabién es un Q y sea : A algebra. Ejeplo.- Dada la operación * en un algebra A coo sigue: a * b = a + b ab, a,b A claraente esta operación es asociativa con identidad O. B entonces Considereos : A (a *b) = (a + b ab) = (a) + (b) - (ab) (a) * (b) = (a) + (b) - (a) (b) = (a) + (b) - (a) (b) Entonces (a*b) = (a) * (b), tabién (0) = 0; por consiguiente el conjunto de eleentos cuasi invertibles en B es la proyección de el conjunto en A. por tanto cada proyección es una aplicación abierta, así B es una Q algebra. Resultado Previo Si E es un espacio localente convexo y K E copacto entonces H (K) = H (K; ) es una Q algebra. Si adeás, E es atrizable, H (K) es un algebra localente ultiplicaente convexa. De otro lado, H( ) = H ( ; ) con la ultiplicación puntual es un algebra pero con la topología o (topología copacta abierta) de convergencia sobre los conjuntos copactos no es una Q algebra veaos esto: Sabeos que una función f es invertible si y solaente si f (z) 0 para cada z. Entonces, si f H ( ) es invertible, o esto es constante o f ( - {0}. Toando una sucesión no nula Wn n. Supongaos que f no es constante )= y definaos gn = f wn. Para cada n existe algún zn tal que f (zn) = wn. entonces, o gn (zn) = f (zn) wn = 0 y gn es no invertible. Mostraos ahora que g n f. Toando K copacto, dado > 0, sea n0 asi que wn para cada n n0. Para n no teneos: o f sup f ( z ) g n ( z ) sup f ( z ) f ( z ) wn wn por consiguiente g n z K z K 57

58 Si f constante (c) e invertible entonces c 0 sea hn (z) = c wnz. entonces hn es un polinoio no cero y por lo tanto tiene un cero y es no invertible. c cuando n. Esto uestra que el conjunto de eleentos Claraente hn invertibles no es abierto, puesto que H ( ) es unitario, este no es una Q algebra. RESULTADO Sea X un espacio topológico copletaente regular y considereos al algebra y considereos el álgebra de funciones coplejas continuas sobre X entonces: C(X) es una Q-algebra si y solaente si X es copacto. (*) Si X es copacto, entonces C(X) es un algebra de Banach y, por consiguiente, una Q algebra. (*) Supongaos ahora que si X no es copacto. Mostrareos en este caso que M(C(X))no es equicontinua. Para cada x X, considereos la aplicación evaluación x : C ( X ) dado por x ( f ) f ( x). Claraente cada x M (C(X)), adeás la M (C(X)) es un hoeoorfiso. Así podeos identificar X M aplicación : X (C(X)). La topología en C(X) es definido por los seinoras pk (f) = sup f ( x) donde K alcanza x K sobre todo subconjunto copacto de X. Entonces M (C(X)), es equicontinuo si y solaente si existe algún K X copacto tal que x ( f ) pk ( f ) para todo x X y todo f C(X). Con el fin de ver que esto es falso, considereos cualquier copacto K X. Puesto que X no es copacto (X K). Considereos x0 (X K), ya que X es copletaente [0,] satisfaciendo f(x) = regular, podeos encontrar una aplicación continua f : X 0 para todo x K y f(x0) = entonces x0 ( f ) f ( x0 ) =>0= sup f ( x) pk ( f ). Así, M x K (C(X)) no es equicontinuo y C(X) no es una Q algebra entonces se tiene que efectivaente C(X) es una Q algebra si y solo si X es copacto, y coo holoorfía iplica continuidad entonces se tendría de anera particular que el conjunto H (X) es una Q algebra es decir se ha obtenido una Q algebra en el espacio de las aplicaciones holoorfas. 58

59 A continuación dareos un par de aplicaciones de algebras topológicas L.M.C. en el producto tensorial pero previaente encionareos algunos resultados de tal tópico. Dados dos espacios vectoriales E y F existe un único espacio vectorial G y una aplicación G tal que; para cada espacio vectorial H y cada aplicación bilineal f bilineal : E2 H existe una única aplicación lineal f : G : E x F H tal que f = f o, es decir el siguiente diagraa conuta. ExF G f f H Nota. El par (G, ) es llaado producto tensorial de E y F. G E F los eleentos de E F son llaados tensores y se escriben a b = (a,b). n Por unicidad de la construcción E F = ai bi : ai E, bi F i F2, podeos definir una nueva Dados dos aplicaciones f : E E 2, g: F E2 F2 coo aplicación f g : E F n (f g) ai bi = i n f (a ) f (b ), la cual está bien definida, ás aún, si M y N son dos conjuntos i i i equicontinuos de aplicaciones lineales, podeos considerar el conjunto M N f g : f M, g N 59

60 Coo E F es un espacio vectorial, podeos dotar de una topología a E F y así teneos un espacio vectorial topológico (E F; ) = (E F); y la copletación de este espacio se denota coo E F Definición Direos que es una topología tensorial unifore para espacios localente convexos si para cada por E, F de espacios localente convexos se tiene: i) E F es un espacio localente convexo. ii) La aplicación canónica bilineal E x F E F es separableente continua. iii) Si f L (E; E2) y g L (F; F2), entonces f g L (E F, E2 F2). iv) Si M L (E; E2) y N L (F; F2) son equicontinuas, entonces M N L (E F, E2 F2) es equicontinuo. Observación 6.8.-Cuando A, B son dos algebras, un producto tensorial puede ser definido en A B usando la propiedad universal de PRODUCTO TENSORIAL coo (a b) (a2 b2) = (aa2 bb2), con esta operación A B es un algebra. Aplicación.- Sean E y F dos espacios localente convexos cuyas topologías son definidas por failias de seinoras p p, entonces sea: n n p qb (T ) inf p ( xi )qb ( yi ) : T xi yi, n i i esto define una seinora en E F y p qb B es un sistea que define una topología localente convexa llaada proyección. Si U y V son sisteas fundaentales de vecindades convexa, balanceadas de O (cero). Para E y F, respectivaente entonces U V : U V v V es un sistea fundaental de vecindades convexas balanceadas de O (cero) para E F, donde ( A) denota el casco convexo de A. Esto es bien conocido que satisface las dos prieras condiciones de la definición (6.7) para ser una nora unifore. 60