Problemas. una sucesión de subconjuntos de. Demuestre que el lm sup A n es

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1 16 Elementos Previos Problemas 1. Sea (A n ) 1 n=1 una sucesión de subconjuntos de. Demuestre que el lm sup A n es aquel subconjunto de formado por aquellos elementos que pertenecen a in nitos A n y el lm inf A n lo forman aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos A n con la posible excepción de un número nitos de ellos. 2. Sea (A n ) 1 n=1 una sucesión de subconjuntos de. Demuestre que lm inf A n lm sup A n : 3. Demuestre que si (A n ) 1 n=1 una sucesión monótona, entonces lm A n existe. Si la sucesión es creciente, el límite es la unión de la colección fa n g; si es decreciente el límite es la intersección. 4. Demuestre las siguientes identidades: c a) lm inf A n = lm sup A c n c b) lm sup A n = lm inf Ac n 5. Sean A y B dos subconjuntos de. De na A n = A si n es impar y A n = B si n es par. Demuestre que: lm inf A n = A \ B lm sup A n = A [ B: 6. Suponga que (A n ) es una sucesión disjunta de subconjuntos de. Demuestre que lm A n =. 7. Sea (a n ) 1 n=1 una sucesión de números reales. Las expresiones siguientes se conocen como el límite superior y el límite inferior de fa n g: a) lm sup a n = nf sup a k n1 kn b) lm inf a n = sup nf a k n1 kn Demuestre las siguientes propiedades: a) lm inf a n lm sup a n b) Si la sucesión (a n ) no es acotada superiormente, entonces lm sup a n = 1. c) Si la sucesión (a n ) no es acotada inferiormente, entonces lm inf a n = 1. d) Sea L un número real. Entonces L = lm sup a n si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1) (8 > 0) (9n 0 2 N) (8n 2 N) (n n 0 =) a n < L + ) 2) (8 > 0) (8n 2 N) (9m 2 N) (m n ^ L < a m ) :

2 Compacidad 17 e) Sea L un número real. Entonces L = lm inf a n si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1) (8 > 0) (9n 0 2 N) (8n 2 N) (n n 0 =) L < a n ) 2) (8 > 0) (8n 2 N) (9m 2 N) (m n ^ a m < L + ) : f ) lm inf a n = lm sup que: g) Si a n b n para todo n, entonces a n si y sólo si lm a k existe. En este caso además se tiene lm inf a n = lm sup a n = lm a k a) lm inf a n lm inf b n b) lm sup a n lm sup b n h) Si (a n ) y (b n ) son sucesiones arbitrarias, entonces lm sup(a n + b n ) lm sup a n + lm sup b n : i) Si (a n ) es una sucesión arbitraria, entonces lm sup( a n ) = lm inf(a n ): 8. Sea A = lm inf A n y A = lm sup A n. Demuestre que: A (x) = lm inf A n (x) A (x) = lm sup An (x) en donde A y A son las funciones características de A y A respectivamente. 9. Demuestre que toda bola abierta es un conjunto abierto. 10. Demuestre que todo subconjunto abierto no vacío de R es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos. 11. Demuestre que la cardinalidad de la colección de todos los subconjuntos abiertos de R es c. Cual es la cardinalidad de la colección de todos los subconjuntos cerrados de R? 12. Halle la cardinalidad de la colección de todos los subconjuntos de N formados exclusivamente por números primos. Cuál es la cardinalidad si nos restringimos a subconjuntos nitos? 13. Demuestre que un subespacio de un espacio métrico separable es separable. Demuestre que R es separable. 14. Los reales extendidos R. Sea R = R[ f 1; 1g. Sea f : R! [ 1; 1] de nida por: 8 x >< x 2 R 1 + jxj f(x) = 1 x = 1 >: 1 x = 1 De na en R R la función d(x; y) = jf(x) f(y)j. Demuestre que R; d es un espacio métrico y una base para su topología es la colección de todos los intervalos de la forma (a; b) ; [ 1; b) y (a; 1] con a; b 2 R.

3 18 Elementos Previos 15. Demuestre que un subconjunto G de un espacio topológico es abierto si y sólo si G = G. 16. Demuestre que un subconjunto F de un espacio topológico es cerrado si y sólo si F = F. 17. Sea G un subconjunto abierto y A un subconjunto arbitrario de un espacio topológico. Demuestre que G \ A = () G \ A = : 18. Sean A y B dos subconjuntos de un espacio topológico X. Demuestre que: A [ B = A [ B A \ B A \ B 19. Sea X un espacio topológico y A X. Entonces: A = fx 2 X : Toda vecindad de x intersecta a Ag. 20. Demuestre que todo espacio topológico segundo contable es separable. 21. Demuestre que todo espacio métrico separable es segundo contable. 22. Demuestre que R es segundo contable. 23. Demuestre que R y R 2 son espacio métricos completos. 24. Sea (X; d) un espacio métrico completo y (F n ) una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos tales que F n # F. Suponga que diam(f n )! 0. Entonces 1T F n contiene exactamente un punto (este teorema se conoce como el Teorema de n=1 la Intersección de Cantor). 25. Sean X; Y dos espacios topológicos y f : X! Y. Demuestre: a) f continua si y sólo si f 1 (F ) es cerrado para todo cerrado F. b) f continua si y sólo si f(a) f(a) para todo A X. 26. Sea: 8 < x f(x) = : p sin 1 q Si x es irracional Si x = p q (fracción irreducible) Demuestre que f es continua sólo en 0 y en los irracionales. 27. Demuestre que l 1 y l 1 son espacios de Banach. 28. Demuestre que todo subconjunto compacto de un espacio métrico X es cerrado en X. 29. Demuestre que todo subconjunto compacto de un espacio métrico es acotado. 30. Demuestre que la unión de dos subconjuntos compactos de X es un conjunto compacto.

4 Compacidad (límite superior y límite inferior de una función real) Sea f : R! R. Entonces la expresión: lm sup f(x) = nf sup f(x); >0 0<jx yj< se conoce como límite superior de f en y. Análogamente, la expresión: lm inf f(x) = sup >0 0<jx nf f(x); yj< se conoce como límite inferior de f en y. Demuestre: a) lm sup f(x) A si y sólo si: (8 > 0) (9 > 0) (8x 2 R) (0 < jx yj < =) f(x) < A + ) : b) lm sup f(x) A si y sólo si: c) lm inf d) lm inf (8 > 0) (8 > 0) (9x 2 R) (0 < jx yj < ^ f(x) > A ) : f(x) lm sup f(x): f(x) = lm sup f(x) si y sólo si lm f(x) existe. 32. (funciones semicontinuas) Una función f : R! R se dice que es semicontinua superiormente en el punto x 0 si: f(x 0 ) lm sup f(x): x!x 0 y diremos que f es semicontinua superiormente si es semicontinua superiormente en cada punto x 0 2 R. Análogamente, f se dice semicontinua inferiormente en el punto x 0 si: f(x 0 ) lm inf f(x): x!x 0 y diremos que f es semicontinua inferiormente si es semicontinua inferiormente en cada punto x 0 2 R. a) Demuestre que f es semicontinua superiormente si y sólo si el conjunto es abierto para todo 2 R. fx : f(x) < g b) Demuestre que f es semicontinua inferiormente si y sólo si el conjunto es abierto para todo 2 R. fx : f(x) > g c) Demuestre que f es continua en R si y sólo si es semicontinua superior e inferiormente en R. d) Demuestre que si f y g son semicontinuas inferiormente, entonces también lo es f + g.

5 20 Elementos Previos e) Demuestre que si f y g son semicontinuas inferiormente, entonces también lo es f _ g = max ff; gg. f ) Demuestre que si (f n ) es una sucesión de funciones semicontinuas inferiormente, entonces también lo es la función f(x) = sup f n (x). n1 g) Demuestre que si f y g son semicontinuas superiormente, entonces también lo es f + g. h) Demuestre que si f y g son semicontinuas superiormente, entonces también lo es f ^ g = mn ff; gg. i) Demuestre que si (f n ) es una sucesión de funciones semicontinuas superiormente, entonces también lo es la función f(x) = nf n1 f n(x). 33. Demuestre la Proposición De un ejemplo para demostrar que la convergencia puntual de una sucesión de funciones reales y continuas no implica que la sucesión converge uniformemente. 35. Sea (X; d) un espacio métrico y A un subconjunto no vacio de X. Demuestre que la función f(x) = d(x; A) = nf fd(x; z) : z 2 Ag es una función uniformemente continua en X. Más aun, demuestre que es una aplicación no expansiva, esto es, para todo x; y 2 X se cumple que jf(x) f(y)j d(x; y). 36. (Banach 1922). Sea (X; d) un espacio métrico completo y T : X! X. Suponga que existe k 2 (0; 1) tal que para todo x; y 2 X se cumple: Entonces: d(t (x); T (y)) kd(x; y) a) T tiene un único punto jo z en X, esto es, T (z) = z. b) Para todo x 0 2 X, la sucesión (x n ) de nida inductivamente por x n+1 = T x n, converge a z. c) Estimación de Errores. Para todo n = 1; 2; : : : se cumple 1) error a priori: d(x n ; z) k n (1 k) 1 d(x 0 ; x 1 ) 2) error a posteriori: d(x n+1 ; z) k(1 k) 1 d(x n ; x n+1 ). d) Rapidez de convergencia. Para todo n = 1; 2; : : :se cumple: d(x n+1 ; z) kd(x n ; z): 37. Sea I = [0; a] R y f : I R n! R n una aplicación continua, lipschitziana en la segunda variable. Entonces el problema de valor inicial tiene una única solución en I. x 0 (t) = f(t; x); x(0) = x o ;