Una Caracterización de Espacios Reflexivos.

Transcripción

1 Una Caracterización de Espacios Reflexivos. David Fernando Raírez García 9 de diciebre del 2011 Introducción. Dado un espacio de Banach X, denotaos por X al espacio de funcionales lineales acotados de X, tabién llaado espacio dual o conjugado. Podeos considerar tabién el espacio dual del espacio dual, tabién llaado espacio bidual o segundo conjugado, que se denota X. Para x X, x X usaos la notación x, x = x (x). Si x es fijo, la relación x, x define un funcional lineal continuo en X y de ésta fora podeos asociar x a un eleento x X. Éste apeo resulta ser inyectivo y una isoetría (para probarlo se usa el teorea de Hahn- Banach). Es llaado identificación canónica El espacio X es reflexivo si la identificación canónica es sobre. Aunque la definición es clara y siple, en algunos aspectos la definición no es uy satisfactoria. En prier lugar, verificar la reflexividad de un espacio dado partiendo de la definición requiere hallar X y X y ésto en general es difícil o laborioso. Nos gustaría poder deterinar la reflexividad de un espacio de una anera intrínseca, sin hacer referencia a sus espacios conjugados. En el proceso obtendreos una ejor perspectiva de la estructura de un espacio reflexivo. En particular, se hará evidente que la reflexividad es una propiedad íntiaente ligada a la geoetría de la bola unitaria del espacio. Definireos las topologías débil y débil* en X y X respectivaente y probareos que X es reflexivo si y sólo si la esfera unitaria B X en X es copacto en la topología débil. Quereos probar tabién el teorea de Eberlein-Sulian, el cual dice que dado un espacio de Banach X y un subconjunto A de X cualesquiera, las siguientes condiciones son equivalentes: Toda sucesión {x n } en A tiene una subsucesión que converge a un punto de A en la topología débil. A es copacto en la topología débil de X. Una vez que teneos ésto, podreos probar que l 1 no es reflexivo sin tener que calcular su espacio dual. La idea de coo hacerlo se explica a continuación. (*)En l 1, toda sucesión que converge en la topologá débil tabién converge en la topología inducida por la nora (hay que probarlo). La bola unitaria cerrada B en l 1 no es copacta. Coo l 1 es étrico con la topología inducida con la nora, un conjunto es copacto si y sólo si es secuencialente copacto (se darán las definiciones correspondientes ás adelante), por lo tanto B no es secuencialente copacta. Entonces existe una sucesión en B que no tiene subsucesión convergente a un punto de B (en la topología inducida por la nora). Por (*) lo iso pasa en la topología débil, entonces por el teorea de Eberlein-Sulian B no es copacto y por lo tanto l 1 no es reflexivo. Notación Alguna de la notación que usareos será la siguiente: Si X es un espacio topológico, τ una topología en X, A X, A τ denota la cerradura de A con respecto a la topología τ. Si X es un espacio vectorial, {x n } n X, [x n ] denota la cerradura de la envolvente lineal de {x n }, esto es [x n ] = sp (x n ) Si X es un espacio norado B X = {x X : x 1}, y S X = {x X : x = 1} Conjuntos convexos 1

2 Definición 1. Sea X un espacio vectorial real. Un subconjunto A X es convexo si (1 t) x + ty A siepre que x, y A y t [0, 1], y es balanceado si ta := {ta : a A} A para todo t 1 Si X es norado, todas las bolas son subconjuntos convexos de X. Definios baa = t 1 ta es el enor subconjunto de X que es balanceado y contiene a A y lo llaareos envolvente balanceada de A. Siilarente, definios la envolvente convexa de A coo el enor subconjunto de X que es convexo y contiene a A. Lo denotareos conva. Se puede deostrar que conva es el conjunto de las cobinaciones lineales finitas n t ka k tales que a k A, t k 0 para k = 1, 2..., n y n t k = 1. Definición 2. Un conjunto A X que es convexo y balanceado se llaa absolutaente convexo. La envolvente absolutaente convexa de un conjunto A X es el enor subconjunto de X que contiene a A y es absolutaente convexo. Un ejeplo de un conjunto absolutaente convexo son las bolas unitarias centradas en 0 de un espacio norado. Un ejeplo de un conjunto convexo pero no balanceado en R 3 es la bola cerrada unitaria con centro en (0, 0, 2). Para obtener un conjunto balanceado que no es convexo, consideraos un pentágono regular en R 2 con centro en 0 y la estrella que se fora con las diagonales del pentágono. La estrella es balanceada pero no es convexa. Proposición 1. La envolvente absolutaente convexa de A es igual a la envolvente convexa de la envolvente balanceada de A y consiste de las cobinaciones lineales finitas n t ka k tales que a k A, t k 0 para k = 1, 2..., n y n t k 1. Deostración. Denotaos por abcona a la envolvente convexa de A. Noteos priero que conv (baa) = conv n ta = t k a k t k 0, t k = 1 a k ta t 1 Probareos que n t k a k t k 0, t k = 1 a k { n ta = t k a k } t k 1 a k A. t 1 Si n t ka k es tal que t k 0, tk = 1 a k t 1 ta, entonces para cada a k, existe t k, t k 1 y a k con a k = t k a k. Así n t ka k = n t kt k a k, y t k t k t k 1. Por lo tanto n t k a k t k 0, t k = 1, a k { n ta t k a k } t k 1, a k A. t 1 t 1 Ahora, si n t ka k es tal que t k 1, a k A, toaos t = t k. Así, pues tt k t k n t k a k = n ( tk t ) ( ) tk t t k a k = t 1, t kt t k a k t 1 ta y t k t = 1. Así n t k a k t k 0, t k = 1 a k ta n conv (baa) = t k a k t k 0, t k = 1 a k { n ta = t k a k } t k 1 a k A t 1 t 1 (1) El conjunto conv (baa) es convexo por definición, y de (1) es fácil ver que es balanceado. Por lo tanto abcona conv (baa). Para la otra contención, abcona es un conjunto balanceado que contiene a A, por lo tanto baa abcona. Así, abcona es un conjunto convexo que contiene a baa, por lo tanto abcona conv (baa) coo queríaos. Definición 3. A X se llaa absorbente si para todo x X existe t 0 0 tal que x ta siepre que t t 0. 2

3 Espacios Vectoriales Topológicos De aquí en adelante, cuando hagaos referencia a un capo K, éste capo K denotará R o C. Definición 4. Un espacio vectorial topológico (e.v.t) X es un espacio vectorial sobre un capo K equipado con una topología tal que α : X X X, α (x, y) = x + y y β : K X X, β (λ, x) = λx son continuas (X X y K X tienen la topología producto). Sea X un e.v.t y T c : X X con T c (x) = x + c. La función K c : X X X X con K (x, y) = (c, y) es continua, luego, por la definición de e.v.t T c = α K c es continua. Su inversa es T c y tabién es continua, por lo cual T c es un hoeoorfiso. Por lo tanto, la topología de X queda copletaente deterinada por una base U de vecindades de U de 0. De anera parecida, se puede probar tabién que las funciones S a : X X con S a (x) = ax, a K, a 0 son hoeoorfisos. Definición 5. Si X tiene tabién una base de vecindades en 0 que son convexas (ésto no se sigue de la definición de e.v.t), decios que X es localente convexo. Un e.v.t localente convexo se dice breveente espacio localente convexo (e.l.c). Definición 6. Sea X un espacio vectorial y A X absorbente convexo. Definios p A : X [0, ) por p A se llaa el funcional de Minkowski p A (x) = ínf {r > 0 x ra} El funcional de Minkowski está bien definido, con rango en [0, ) pues A es absorbente. Proposición 2. El funcional de Minkowski es una seinora para todo A absorbente y absolutaente convexo. Deostración. Hay que verificar que se cuple la definición de seinora: 1. p A 0 por definición de p A 2. Por hipótesis A es convexo. Supongaos priero que p A (x) = p A (y) = r. Entonces, para todo ɛ > 0 teneos que x, y (r + ɛ) A = A. Coo A es convexo, A tabién es convexo. Entonces 1 2 x y A. Por definición del funcional de Minkowski teneos Pero 1 2 p A (x + y) = 1 2 Por lo tanto, para todo ɛ > 0 p A ( 1 2 x y ) r + ɛ = 1 2 p A (x) p A (y) + ɛ = ínf {r > 0 x + y 2rA} = ínf { 1 ínf {r > 0 x + y ra} = ínf { r > 0 x + y ra 2 p A (x + y) p A (x) + p A (y) + ɛ } 2 r > 0 x + y ra = } ( 12 = p A x + 12 ) y. de donde p A (x + y) p A (x) + p A (y). El caso general se obtiene a partir de una odificación de lo anterior. 3. El que A sea balanceado iplica que Luego λx rx x r λ X { r p A (λx) = ínf {r > 0 λx rx} = ínf λ λ > 0 x r } λ X = λ p A (x) 3

4 Haciendo una odificación a la prueba de la proposición 2, obteneos el siguente resultado. Corolario 1. Si A es absorbente y convexa, entonces para todos x, y X, λ > 0 p A (x + y) p A (x) + p A (y) p A (λx) = λp A (x) Noteos que 0 A pues si x A, x A por ser A balanceado y por ser A convexo 0 = 1/2x 1/2x A. Así, por convexidad, para 0 < r < 1, x A rx = rx + (1 r) 0 A, por lo tanto ra A. Así p A (x) < 1 r < 1 tal que x ra A, de donde {x X p A (x) < 1} A {x X p A (x) 1}. Lea 1. Sean X un e.v.t, A X convexo y absorbente. Entonces 1. Si A es abierto, A = {x X : p A < 1} 2. Si A es cerrado, A = {x X : p A 1} Deostración. 1. Si B = {x X : p A < 1}, de la discusión anterior notaos que B A. Supongaos que A es abierto y x A. Por la continuidad del producto por escalar existe λ > 1 tal que λx A. De ahí obteneos que p A (x) 1 λ < 1 y A B. 2. Si C = {x X : p A 1}, de la discusión anterior teneos que A C. Supongaos que A es cerrado y x / A. Nuevaente la continuidad del producto nos da λ < 1 tal que λx / A, de donde p A (x) 1 λ > 1 y C A. Proposición 3. Si p es una seinora en X, los conjuntos {x X p A (x) < 1} y {x X p A (x) 1} son absolutaente convexos y absorbentes. Deostración. Sólo hareos la prueba para A = {x X p A (x) < 1} ya que la prueba para el otro conjunto es análoga. Sean x, y A, t [0, 1]. Entonces p ((1 t) x + ty) (1 t) p (x)+tp (y) < 1. Por lo tanto (1 t) x+ty A y A es convexo. A es balanceado por la hoogeneidad de la seinora. Finalente, sea x X. Entonces existe r 0 tal que p (x) < r 0. Entonces, para todo r con r r 0, x {y X p (y) < r } = {y X p (y/ r ) < 1} = { r y X p (y) < 1} = r {y X p (y) < 1} = r A = ra. De aquí A es absorbente. Definición 7. Un par dual es una terna (X, Y,, ) que consiste de dos e.v.t X, Y sobre el iso capo K(= R o C) y una fora bilineal, : X Y K que satisfacen: 1. x, y = 0 para todo x X iplica que y = x, y = 0 para todo y Y iplica que x = 0. Proposición 4. Un ejeplo de un par dual es un e.l.c X real junto con su espacio dual X y la fora bilineal canónica en X X definida por x, x = x (x). Deostración. Es facil ver que la parte 1 de la definición es cierta. Para ver que se cuple 2, dado x X\ {0}, definios x en {kx : k R} por x (kx) = k. Claraente x es lineal y continuo. Por el teorea de Hahn-Banach, podeos extender x continuaente a todo X. Entonces x X y x, x = 1 0. A continuación definireos unas topologías en un par dual X, Y respecto a las cuales X y Y serán Hausdorff y localente convexos. Cóo las traslaciones son hoeoorfisos, éstas topologías quedaran deterinadas por copleto una vez que hayaos dado una base de vecindades para un punto arbitrario x X y y Y. Definición 8. Sean (X, Y, ) un par dual de espacios vectoriales topológicos. Definios σ (X, Y ) coo la topología que tiene coo base local de un x 0 X a los conjuntos de la fora V (x 0 ; y 1,..., y n ; ɛ) := {x X x 0 x, y i < ɛ, i = 1, 2,..., n} (2) con n N, y 1,..., y n Y y ɛ > 0 arbitrario. Definios tabién σ (Y, X) coo la topología que tiene coo base local de un y 0 Y a los conjuntos de la fora con n N, x 1,..., x n X y ɛ > 0 arbitrario. V (y 0 ; x 1,..., x n ; ɛ) := {y Y x i, y 0 y < ɛ, i = 1, 2,..., n} (3) 4

5 En el caso particular donde Y = X, σ (X, X ) y σ (X, X ) se llaan topología débil en X y topología débil* en X respectivaente. En éste caso, si τ es la topología en X, entonces σ (X, X ) τ. Antes de continuar, conviene recordar un resultado acerca de espacios vectoriales reales y coplejos. Proposición 5. Sea E un espacio vectorial sobre K. Y es un subespacio de codiensión 1 de E si y sólo si existe una función lineal f : E K, f 0 con kerf = Y. Deostración. Sea f : E K lineal con f 0, y x 0 E con f (x 0 ) 0. Sea F el subespacio vectorial de E generado por x 0 y sea Y = kerf. Probareos que E = F Y. Claraente Y F = y dado x E, teneos que x = f (x) ( f (x 0 ) x 0 + x f (x) ) f (x 0 ) x 0 y es evidente que el prier térino pertenece a F y el segundo a Y. Reciprocaente, si Y es un subespacio de E de codiensión 1, sea F un subespacio de diensión 1 de E tal que E = Y F. Coo F tiene diensión 1 existe x 0 que lo genera y entonces todo eleento en E se puede representar de la fora y + λx 0 con y Y. Por lo tanto, si definios f : E K por f (y + λx 0 ) = λ, claraente f es lineal y obteneos que kerf = Y. Definición 9. M X es un hiperplano de un espacio vectorial X si existen un subespacio Y de codiensión uno en X y un eleento x X tales que M = x + Y. Coo por la proposición 5 Y es un subespacio de codiensión uno en un espacio vectorial X sobre K si y sólo si existe una función lineal f : X K tal que Y = kerf, teneos que H es un hiperplano en X si y sólo si existen una función lineal f : X K y λ K tales que Observeos que si 0 H, entonces λ = 0. H = {x X : f (x) = λ} Proposición 6. Sea X un e.v.t real, x 0 X y A X un conjunto abierto y convexo no vacío tal que x 0 / A. Entonces existe un hiperplano H de X tal que x 0 H y H A =. Deostración. Haciendo una traslación si es necesario, podeos suponer que 0 A. Por el corolario 1, p A es subaditiva y p A (λx) = λp A (x) si λ > 0. Adeás, por el lea 1 y coo x 0 / A Sea Y = [x 0 ] y f : Y R con A = {x X : p A (x) < 1} p A (x 0 ) 1. f (λx 0 ) = λp A (x 0 ). Entonces si λ 0, f (λx 0 ) = p A (λx 0 ) y si λ < 0, usando p A (x 0 ) 1 obteneos f (λx 0 ) = p A (λx 0 ) λ < 0 p A (λx 0 ). Consecuenteente para toda y Y, f (y) p A (y). Por el teorea de Hahn-Banach existe una extensión lineal de f, f : X R con f p A. Sea { H = x X : f } (x) = p A (x 0 ). Entonces H es un hiperplano que contiene a x 0 y es ajeno a A. Teorea 1. (Hahn-Banach geoétrico real)sea X un e.l.t sobre R y A y B subconjuntos convexos no vaciós de X con A B =. Entonces 1. Si A es abierto, existe un hiperplano H que separa a A yb, es decir existen f : X R lineal y continua y α R, tales que para toda a A, b B f (a) < α f (b) y H = {x X : f (x) = α}. 5

6 2. Si A y B son abos abiertos, la separación es estricta, es decir existen f : X R lineal y continua y α R, tales que para toda a A, b B f (a) < α < f (b) 3. Si X es localente convexo, A es copacto y B es cerrado, A y B se pueden separar fuerteente, es decir existen f : X R lineal y continua y α, β R, tales que para toda a A y b B f (a) < α < β < f (b) Deostración. 1. Coo B A = {b a : a A, b B} es un conjunto abierto, convexo, que no contiene a 0, por la proposición 6 existe un hiperplano H tal que 0 H y H (B A) =. Entonces existe f : X R lineal continua tal que H = {x : f (x) = 0} Por lo tanto f (b a) 0 para toda a A y toda b B. Supongaos que existen c 1, c 2 B A tales que f (c 1 ) > 0 y f (c 2 ) < 0 y sea λ = f (c 2 ) f (c 1 ) f (c 2 ). Entonces f (λc 1 + (1 λ) c 2 ) = 0 y coo B A es convexo, λc 1 + (1 λc 2 ) B A, lo cual es una contradicción. Por lo tanto podeos suponer que f (b a) > 0, o equivalenteente que f (b) > f (a) para toda a A, b B. Coo A es convexo y abierto y toda funcional lineal es abierta (se deja al lector verificar éste hecho), f(a) es un intervalo abierto en R. Entonces si a A, f (a) < sup {f (x) : x A} = α, es decir, para toda a A, b B, f (a) < α f (b). 2. Supongaos ahora que A y B son abiertos. Entonces f (B) tabién es un intervalo abierto en R y por ende si α es coo en 1, f (a) < α < f (b) (4) para toda a A, b B. 3. Supongaos que X es localente convexo, A es copacto y B cerrado. Entonces existe una vecindad U de 0 tal que (A + U) (B + U) = (para una deostración de este hecho, ver [2]). Coo X es localente convexo, podeos suponer que U es convexa. Entonces A + U y B + U son conjuntos abiertos y convexos y aplicando la parte 2, sabeos que existe f lineal t continua tal que f (A + U) y f (B + U) son intervalos abiertos ajenos. Coo adeás f (A) es copacto, es un intervalo cerrado y acotado contenido en f (A + U) y de ahí teneos el resultado deseado. Enunciareos ahora el teorea anterior en el caso de que X es un espacio vectorial coplejo. Corolario 2. (Hahn-Banach geoétrico coplejo)sea X un e.l.t sobre C y A y B subconjuntos convexos no vaciós de X con A B =. Entonces 1. Si A es abierto, existen F : X C lineal y continua y α C, tales que para toda a A, b B ReF (a) < α ReF (b). 2. Si A y B son abos abiertos, existen F : X C lineal y continua y α C, tales que para toda a A, b B ReF (a) < α < ReF (b) 3. Si X es localente convexo, A es copacto y B es cerrado, existen F : X C lineal y continua y α, β C, tales que para toda a A y b B ReF (a) < α < β < ReF (b) 6

7 Definición 10. Sea X un espacio vectorial sobre K y Y un subespacio de X (= el espacio vectorial de todas las funcionales lineales, no necesariaente continuas). Si A X, la polar de A respecto a Y se define por Si B Y, la prepolar de B se define por A o = {f Y : f, x 1, x A}. o B = {x X : f, x 1, f B}. Teorea 2. (de la bipolar) Sean X espacio vectorial, Y un subespacio de X y considereos en X la topología σ (X, Y ). Si A X, entonces o A o es la cerradura de la envolvente absolutaente convexa de A. Siilarente, si en Y consideraos la topología σ (Y, X) y B Y, entonces o B o es la cerradura de la envolvente absolutaente convexa de B. Deostración. Priero probareos que o B es absolutaente convexo y σ (X, Y )-cerrado. De la definición teneos que o B = { o {f} : f B}, por lo tanto es suficiente probar la afiración cuando B = {f}. En éste caso o B = {x X : f (x) 1} y este conjunto es evidenteente absolutaente convexo y σ (X, Y )-cerrado. Ahora denotaos por C a la cerradura de la envolvente absolutaente convexa de A. Por lo anterior obteneos que o A o es cerrado y absolutaente convexo, por lo cual C o A o. Para probar la otra contención, supongaos que x 0 C. Entonces, por el teorea de Hahn Banach geoétrio, existen f Y y α R tales que para toda x C Re f, x < α < Re f, x 0. En particular, coo 0 C, 0 = Re f, 0 < α. Por lo tanto si f 1 = 1 αf, teneos que para toda x C Coo C es balanceado, si x A, f 1, x 0 y e iθ es tal que 1 = eiθ f 1, x f1, e iθ x = f 1, x f 1, e iθ x, entonces e iθ x C y por (2) Re f 1, x < 1 < Re f 1, x 0. (5) f 1, x = f 1, e iθ x = Re f 1, e iθ x < 1. Por lo tanto f 1 A o y por ende, de la segunda desigualdad en (2) se sigue que x 0 / o A o. Heos probado así que o A o C. La segunda parte del teorea se prueba de anera análoga. Ahora ya podeos probar el siguente teorea. Teorea 3. (de Goldstine) Para todo espacio norado X, πb X es σ (X, X )-densa en B X, donde π : X X denota la identificación canónica. Deostración. Noteos priero que ( o πb X ) o = B X. Entonces, coo πb X es absolutaente convexa, el resultado se sigue del teorea de la bipolar toando Y = X. Volveos otra vez a las topologías que definios anteriorente. Proposición 7. X y Y son Hausdorff y localente convexos con las topologías σ (X, Y ) y σ (X, Y ) respectivaente. Deostración. Probareos que X es Hausdorff y localente convexo. La prueba para Y es análoga. Sean x 1, x 2 X distintos. Usando (2) de la definición 8, elegios y Y tal que x 1 x 2, y = 0 y ɛ > 0 tal que 0 < ɛ < x 1 x 2, y /2. Entonces V (x 1 ; y; ɛ) V (x 2 ; y; ɛ) =. Para ver que X es localente convexo, noteos que la vecindad V (x 0 ; y 1,..., y n ; ɛ) es convexa. Proposición 8. Si X, Y es un par dual, entonces podeos identificar (X, σ (X, y)) con Y 7

8 Deostración. Denotareos (X, σ (X, y)) por X. Para cada y Y definios π (y) : X K por φ (y) (x) = x, y Cada φ (y) es continua en σ (X, Y ), pos lo cual φ anda Y en X. Más aún, φ es lineal y 1-1 (por la definición 8), de anera que sólo falta probar que φ es sobre. Sea x X arbitrario. Entonces x (0) = 0 y por continuidad hay una vecindad V (0; y 1,..., y n ; ɛ) tal que x está acotado por 1, i.e x X, x, y i ɛ(i = 1,..., n) x (x) 1. Se sigue en particular que kerx n i=1 kerφ (y). Se puede probar, usando inducción en n, (se deja al lector) que x = λ 1 φ (y 1 ) λ n φ (y n ) = φ (λ 1 y λny n ) para algunos λ i K Así, podeos e identificareos Y con X. Ahora presentaos una caracterización de la topología σ (X, Y ). Proposición 9. σ (X, Y ) es enor topología en X tal que los eleentos de Y son continuos. Deostración. Ya notaos en la proposición anterior que los eleentos de X son continuos en σ (X, X ). Recíprocaente, sea τ una topología en X para la cual los eleentos de X son continuos. Sea V (x; y 1,..., y n ; ɛ) una vecindad básica arbitraria de un x X. Por hipótesis, para todo i {1,..., n} existe un τ-abierto O i tal que x O i y x x, y i ɛ siepre que x O i. Entonces O = n i=1 O i es τ-abierto y x O V (x; y 1,..., y n ; ɛ), probando que τ es ás fina que σ (X, Y ). Por la sietría de X y Y en la definición de par dual, es claro que se cuplen análogas propiedades para σ (Y, X). Basta intercabiar X y Y en todas partes. Ahora sea X un e.l.c con topología τ y denoteos (X, τ) por X. Ya vios antes que X, X es un par dual (con la fora bilineal canónica x, x = x (x)), de anera que σ (X, X ) y σ (X, X) están definidas. En particular, teneos dos topologías en X, las cuales son τ y σ (X, X ). Por la proposición 9 abas dan lugar al iso espacio dual, que llaaos X, y por la proposición 9, τ es ás fina que σ (X, X ). En general, τ es estrictaente ás fina que σ (X, X ). Más adelante vereos que para espacios norados, se puede dar una condición necesaria y suficiente para que las dos topologías coincidan. Probareos un últio resultado acerca de espacios vectoriales topológicos antes de concentrarnos únicaente en espacios norados. Proposición 10. Sea (X, τ) un (e.l.c). Si A X es convexo, entonces A = A σ(x,x ). En consecuencia un subconjunto convexo de X es τ-cerrado si y sólo si es σ (X, X )-cerrado. Deostración. Coo la cerradura de un subconjunto A es la intersección de todos los cerrados que lo contienen y σ (X, X ) τ, teneos que A A σ(x,x ). Para ver la otra inclusión, sea x / A. Por el teorea de Hahn Banach geoétrico, existen x X y α, β reales tales que Rex (a) < α < β < Rex (x) para toda a A. Si C = {y X : Rex (y) α}, entonces A C. Coo x es débilente continua, C es σ (X, X )-continua, C es σ (X, X )-cerrado. Por lo tanto A σ(x,x ) C y coo x / C, esto iplica que x / A σ(x,x ), y consecuenteente A σ(x,x ) A. Espacios norados y de Banach De aquí en adelante nos ocupareos solaente de espacios norados y de Banach sobre el capo K donde K son los reales o los coplejos. Los espacios norados resultan ser espacios vectoriales topológicos localente convexos, por lo cual los resultados anteriores se aplican a los espacios norados. Proposición 11. Si X es un espacio norado,entonces X es (e.l.c). Deostración. Basta probar las siguientes tres cosas: 1. La función f : X X X dada por f (x, y) = x + y es continua. 2. La función g : K X X dada por g (λ, x) = λx es continua. 8

9 3. Las bolas abiertas B ɛ (p) = {x X : x p < ɛ} son convexas. Si x, y X; coo para toda z 1, z 2 X z 1 + z 2 (x + y) z 1 x + z 2 y obteneos 1. 2 es consecuencia de la desigualdad siguiente: αz βx α z x + α β x. Por últio, si t [0, 1] y x, y B ɛ (p), entonces (1 t) x + ty p = (1 t) (x p) + t (y p) 1 t x p + t y p < ɛ Por lo tanto (1 t) x + ty B ɛ (p) coo queríaos. Proposición 12. Sea X un espacio vectorial norado y X su espacio dual. Entonces σ (X, X ) coincide con la topología de la nora si y sólo si dix <. Deostración. Si dix <, X es isoorfo a un R n donde todas las noras son equivalentes, lo cual nos da la suficiencia. Supongaos ahora que dix = y sea V = V (0; x 1,..., x n; ɛ) una vecindad básica de 0 en σ (X, X ). Entonces V contiene el subespacio lineal L = n i=1 kerx i. Coo dix = (se deja al lector verificar ésto), L {0} y por lo tanto no acotado (en la nora). Entonces la bola unitaria de X no puede contener a V, y asi τ es estrictaente ás fina que σ (X, X ). Ahora nos volveos a los espacios de Banach. Si X es Banach, denotaos por X y por X = (X ) al espacio dual y bidual respectivaente. Definios un apeo π : X X coo sigue (usando la notación.,. para la dualidad canónica de los pares X, X y X, X ): x, πx = x, x x X, x X π es adeás una isoetría y es llaada la identificación canónica de X en X. Definición 11. Un espacio de Banach X se llaa reflexivo si π es sobre. Proposición 13. Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si σ (X, X) = σ (X, X ). Deostración. se sigue de la definición de π. Ya sabeos que las topologías localente convexas σ (X, X) y σ (X, X ) en X dan lugar a duales X y X respectivaente. Por otro lado, coo σ (X, X) y σ (X, X ) son iguales, sus duales son iguales. Entonces para todo x X existe un x X tal que x, x = x, x x X De aquí x, x = x, πx. Esto significa precisaente que πx = X. Ahora quereos caracterizar los espacios reflexivos por la copacidad débil de sus bolas unitarias. El paso esencial es el teorea de Alaoglu. Teorea 4. (de Alaoglu) La bola unitaria B X estrella-copacta. de un espacio dual X de un espacio de Banach X es débil Deostración. Para todo x X poneos A x = R, con la topología usual. Consideraos el producto x X A x con la topología producto y denotaos sus eleentos por α = (α x ) x X. Definios la función φ : X x X A x φ (x ) = ( x, x ) x X. (6) φ es un encaje (i.e inyectiva, continua y con inversa continua) para la topología débil estrella en X. Ésto es consecuencia de las definiciones de σ (X, X) y de la topología producto. Por lo tanto sólo falta probar que φ (B X ) es copacto. Noteos que φ (B X ) x X [ x, x ] ya que para todo x B X, y todo x X, teneos 9

10 x, x x x x. Coo x X [ x, x ] es copacto por el teorea de Tychonoff, basta probar que φ (B X ) es cerrado en x X A x. Sean x, y X, a, b R arbitrarios y consideraos el apa α α ax+by aα x bα y, α x X A x. Claraente se anula en φ (B X ) y entonces, por continuidad en φ (B X ) tabién. Coo φ (B X ) x X [ x, x ] y éste últio conjunto es cerrado, teneos φ (B X ) x X [ x, x ]. Cobinando abos hechos concluios que para cualquier α = (α x ) x X φ (B X ) el apa x α x x X es lineal continua con nora 1, por lo cual α φ (B X ). Ésto prueba que φ (B X ) es cerrado. Teorea 5. X es reflexivo si y sólo si B X es débilente copacto. Deostración. Supongaos que X es reflexivo. Por el teorea de Alaoglu, B X es σ (X, X )-copacta, entonces coo πx = X, B X es σ (X, X )-copacta. Ahora supongaos que B X es copacta. Coo un conjunto copacto en la topología restringida lo es tabién en la original, obteneos que πb X es σ (X, X )-cerrado en X. Por el teorea de Goldstine, πb X es σ (X, X )-densa en B X ; por lo tanto concluios que πb X = B X y que X es reflexivo. Proposición 14. Si Y es un subespacio de un espacio de Banach X, entonces σ (Y, Y ) = σ (X, X ) Y. Deostración. Observaos que Y es por sí iso un espacio norado por lo cual su dual Y y σ (Y, Y ) están bien definidos. La igualdad de σ (Y, Y ) y σ (X, X ) Y se sigue de la relación Y = {x Y : x X }, y ésto es consecuencia inediata del teorea de Hahn-Banach. El teorea de Eberlein-Sulian Antes de llegar al resultado principal de esta sección, el teorea de Eberlein-Sulian, hareos una discusión preliinar de las nociones de copacidad y copacidad secuencial. Lo que éste teorea dice es que en todo espacio topológico hoeoorfo a un subconjunto de un espacio de Banach con su topologá inducida por la topología débil, las dos nociones de arriba coinciden. Definición 12. Sea T un espacio topológico Hausdorff. 1. T es copacto si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes se satisface: Toda cubierta abierta de T tiene una subcubierta finita. Toda failia de cerrados con la propiedad de la intersección finita tiene intersección no vacía. Toda red en T tiene una subred convergente. 2. T es secuencialente copacto si y sólo si Toda sucesión en T tiene una subsucesión convergente. Para la prueba de éstas equivalencias ver [5]. En el caso particular en el que T es un espacio étrico, T es copacto si y sólo si T es secuencialente copacto. Para una deostración de éste hecho ver [4]. Sin ebargo, éstas nociones no siepre coinciden. Sea A un conjunto no nuerable y T = [0, 1] A con la topología producto. Denotaos los eleentos de T por t = (t α ) α A. Consideraos el subconjunto S = { t = (t α ) α A : {α A : t α 0} contable }. Se puede deostrar que S es secuencialente copacto pero no es copacto (ver [1]). Antes de probar el teorea de Eberlein-Sulian dareos algunos leas y resultados preliinares. Proposición 15. Si X es un espacio topológico Hausdorff copacto en las topologías τ y τ, y τ, τ son coparables, entonces τ = τ. 10

11 Deostración. Supongaos para fin de contradicción que τ τ. S.p.g τ τ. Entonces existe U τ tal que U / τ. Luego X\U no es cerrado bajo τ. Coo X es copacto, X\U no es copacto. Sea {U α } una cubierta abierta de X\U en τ. Coo τ τ, teneos U α τ α. Coo U τ, X\U es cerrado en τ y coo X es Hausdorff, copacto. Por lo tanto {U α } tiene una subcubierta finita que cubre X\U, y ésto contradice que X\U no es τ-copacto. Por lo tanto τ = τ. Lea 2. Sea X un espacio de Banach separable. Entonces X contiene un subconjunto nuerable {φ n } n que es total. Es decir, si φ (x) = 0 para todo n N, entonces x = 0. Deostración. Sea {x n } una sucesión densa en la esfera unitaria S X de X. Usando el teorea de Hahn-Banach, para cada n N elegios φ n X tal que φ n (x n ) = x n = 1 y φ n = 1. Ahora vereos que {φ n } es total, probando que x 0 iplica que existe n con φ n (x) 0. Sin pérdida de generalidad podeos suponer que x S X. Coo la sucesión {x n } es densa en S X, existe n tal que x x n < 1. Entonces φ n (x) φ n (x n ) φ n (x x n ) 1 φ n x x n > 0 Lea 3. Sea F un subespacio lineal de X de diensión finita y ɛ > 0 arbitrario. Entonces existe un núero finito de puntos x 1,..., x n tales que áx i=1,2,...,n φ (x i) > (1 ɛ) φ φ F \ {0} Deostración. Coo F es de diensión finita, S F es copacto y por lo tanto tiene una ɛ 2 -red {φ 1,..., φ n }. Ahora, para cada i = 1, 2,..., n elegios un x i S F tal que φ i (x i ) > ɛ/2. Coo ostrareos a continuación, éstos x i van a funcionar. Sea φ X dado. Sin pérdida de generalidad podeos suponer que φ = 1. Elegios i 0 {1, 2,..., n} tales que φ φ i0 < ɛ/2. Entonces φ (x i0 ) φ i0 (x i0 ) (φ φ i0 ) (x i0 ) > 1 ɛ 2 ɛ 2 = 1 ɛ Lea 4. Supongaos que X contiene un subconjunto total nuerable y sea A X σ (X, X )-copacto. Entonces σ (X, X ) A es etrizable. Deostración. Observaos priero que para todo φ X, el conjunto {φ (x) : x A} es copacto, y por lo tanto acotado en R. para cada x X definios x X coo x (φ) = φ (x). Entonces, por lo anterior y por el principio de acotaiento unifore, A es acotado en la nora. Sea M una cota de A. Sea {φ n } X una sucesión total. Podeos asuir que para todo n, se tiene x n = 1. Definios ahora d : A A R por d (x, y) := Vereos que d es una étrica. Priero notaos que φ n (x y) 2 n φ n (x y) φ n (x) + φ n (y) φ n ( x + y ) 2M Por lo tanto Por lo tanto d tiene valores reales. φ n (x y) 2 n 2M 2 n < 1. d (x, y) 0 con igualdad ssi x = y. De la definición se ve claraente que d (x, y) 0 y tabién se tiene que x = y iplica d (x, y) = 0. Supongaos que d (x, y) = 0. Entonces φ n (x y) para todo n. Coo {φ n } es total, esto iplica que x = y 2. d (x, y) = d (y, x) es claro de la definición. 3. Se cuple la desigualdad del triángulo: d (x, y) = φ n (x y) 2 n φ n (x z) + φ n (z y) 2 n φ n (x z) φ n (z y) 2 n + 2 n = d (x, z)+d (z, y) 11

12 Asi d es una étrica. Ahora vereos que la función identidad (A, σ (X, X ) A ) (A, d) es continua. Sea x A y ɛ > 0 arbitrarios. Elegios n 0 N tal que n=n n+1 < ɛ/2 y sea V = V ( x; φ 1,..., φ n ; 2) ɛ. Entonces, para cualquier y V A, teneos n 0 d (x, y) = 2 n φ n (x y) + 2 n φ n (x y) = n=n 0+1 n 0 2 n φ n (x y) < 2 n ɛ 2 + n=n n < ɛ Esto prueba que la identidad es continua. Por hipótesis A es σ (X, X )-copacto. Por la proposición 15 teneos que la identidad es un hoeoorfiso y por lo tanto σ (X, X ) A es etrizable. Ahora estaos ya listos para el enunciado y la prueba del teorea de Eberlein- Sulian. Teorea 6. Sea A un subconjunto de un espacio de Banach X. Entonces A es σ (X, X )-copacto si y sólo si A es σ (X, X ) secuencialente copacto. Deostración. Supongaos priero que A es σ (X, X )-copacto y sea {x n } una sucesión en A. Coo Y := [x n ] es separable (por definición) y σ (X, X )-cerrado (por proposición 10) y σ (Y, Y )=σ (X, X ) A (proposición 14), el lea 4 iplica que el conjunto σ (X, X )-copacto {x n : n N} σ(x,x ) es etrizable. Entonces, {xn } tiene una sucesión débilente convergente a un punto de {x n : n N} σ(x,x ) A (la contención es porque la topología débil es Hausdorff y por lo tanto A es cerrado por ser copacto). Ahora supongaos que A es σ (X, X )-secuencialente copacto. Sea φ X. Si toaos una sucesión {φ (x n )} φ (A), coo A es secuencialente copacto, {x n } A tiene una subsucesión {x nk } que converge a un punto x A. Coo φ es continua en la topología debil, φ (x nk ) φ (x). Por lo tanto φ (A) es secuencialente copacto en R, y por lo tanto acotado. Usando el teorea de Banach-Steinhaus, teneos que A es acotado con la nora de X. Coo π es una isoetria, πa es acotado, de donde πa σ(x,x ) es copacto por el teorea de Alaoglu. Priero probareos que πa σ(x,x ) πx. Sea x 0 πa σ(x,x ). Para probar que x 0 πx, construireos una sucesión {x n } en πa de anera que su único punto líite es x 0. Coo suponeos que A es σ (X, X )- secuencialente copacto, πa es σ (X, X )-secuencialente copacto, y por lo tanto {x n } tiene una subsucesión que converge a un punto x πa X, y tendríaos x 0 = πx πa πx. Elegios una sucesión creciente 1 = n 1 < n 2 <... < n k <... en N, una sucesión {x k } en πa y una sucesión {x n} en S X de anera que se satisfacen las siguientes condiciones: 1. áx { x n, x 0 x k : n = 1,..., n k } < 1 k (k = 1, 2,...) 2. áx { x n, x : n k < n n k+1 } > 1 2 x para todo x sp {x 0, x 1,..., x k } (k = 1, 2,...) Ésto se hace coo sigue: coenzaos eligiendo arbitrariaente x 1 S X. Coo x 0 πa σ(x,x ), existe x 1 πa tal que x 1, x 0 x 1 < 1. Usando el lea 3 podeos elegir x 2,..., x n 2 S X tales que áx { x n, x : 1 < n n 2 } > 1 2 x para todos los x en el subespacio de diensión finita sp {x 0, x 1 }. Así 1 y 2 son válidas para k = 1. Supongaos ahora que 1 = n 1 < n 2 <... < n k0+1, x 1,..., x k0 πa y x 1,..., x S nk0 +1 X se han elegido de anera que 1 y 2 se satisfacen para k = 1, 2,..., k 0. Coo x 0 πa σ(x,x ), existe xk0+1 A tal que áx { x n, x 0 x k0+1 : n = 1,..., n k0+1} < 1 k Por el lea 3 podeos elegir x n,..., x k0 +1 n S k 0 +2 X tales que áx { x n, x : n k0+1 < n n k0+2} > 1 2 x 12

13 para todo x sp {x 0, x 1,..., x k0+1}. Ésto copleta la definición inductiva de las tres sucesiones. Por ser πa σ (X, X )-secuencialente copacto, {x k } tiene una subsucesión que converge a un x 0 πa πx. Para ostrar que x 0 = x 0 observeos que, se tiene x 0 sp {x 1, x 2,...} de anera que x 0 x 0 sp {x 0, x 1, x 2,...}. En particular, (2) iplica que De aquí, para ver que x 0 = x 0, basta probar que o equivalenteente sup { x n, x 0 x 0 : n N} 1 2 x 0 x 0 x, x 0 x 0 N x, x 0 x 0 < 2 k siepre que n k. Para probar la últia desigualdad, fijaos y k de anera que n k. Por la desigualdad del triángulo teneos para todo n N x, x 0 x 0 x, x 0 x n + x, xn x 0 (7) Por (1), x, x 0 < 1 n < 1 k para todo n > k, pues n k < n n para todos estos n. Adeás, coo x 0 es un punto líite de {x k }, existe un n > k tal que x n x 0, x < 1 k. Sustituyendo éste x n en (7) obteneos x n, x 0 x 0 < 2 k y entonces la deseada conclusión x 0 = x 0. La construcción anterior uestra que πa σ(x,x ) πa πx. Claraente tabién se tiene πa πa σ(x,x ). Entonces πa = πa σ(x,x ). Coo πa σ(x,x ) es σ (X, X )- copacto y σ (X, X ) πx = σ ( πx, (πx) ), teneos que πa es σ ( πx, (πx) ) -copacto, de donde A es σ (X, X )-copacto, coo queríaos. Es sabido que para p [1, ), el espacio dual de l p es l q donde 1/p + 1/q = 1 y l p es reflexivo para p > 1, pero l 1 no es reflexivo. Aunque hay otras aneras de probar que l 1 no es reflexivo, aquí lo probareos utilizando los resultados anteriores y un teorea de Schur que se enuncia a continuación. Teorea 7. En l 1, una sucesión converge débilente si y sólo si converge en la nora de l 1. Deostración. Claraente la convergencia en la nora iplica la convergencia débil. Supongaos ahora que la sucesión { } x n = l 1 x (n) converge débilente. Sin pérdida de generalidad podeos suponer que su líite es 0. Esto significa que para toda sucesión c = {c n } ( l 1) = l c, x n = c x (n) n 0 (8) =1 =1 En particular, toando e k = {0,..., 0, 1, 0,...} l, resulta que x (n) k Supongaos que el teorea es falso. Entonces existe ɛ > 0 tal que n 0para cada k N (9) lí sup x n 1 > ɛ n Sean ahora n 1 y r 1 tales que x n1 = x (n) =1 > ɛ 13

14 y =r 1 x (n1) < ɛ 8. (10) Si ya elegios n 1 < n 2 <... < n k y r 1 < r 2 <... < r k, escogeos n k+1 y r k+1 coo sigue: Por (9) existe N tal que si n > N y = 1,..., r k, x (n) < ɛ (11) 8r k Sea n k+1 > áx {n k, N} tal que xnk+1 1 > ɛ (12) De (11) deducios que Sean r k+1 > r k tal que De (12),(13) y (14) obteneos r k+1 r k x (n k+1) =1 =r k+1 x (n k+1) x (n k+1) =r k +1 < ɛ 8 < ɛ 8 > ɛ ɛ 4 > ɛ 2 Definios c = {c } =1 l coo sigue: Sea r 0 = 0 y supongaos que r k < < r k+1. Sea c = 0 si x (n k+1) = 0 x (n k+1) x (n k+1) si x (n k+1) 0 (13) (14) (15) donde la barra indica conjugación copleja. De lo anterior deducios que c 1 para = 1, 2,... y que r k r k c x n k = x (n k) =r k 1 +1 =r k 1 +1 y de (8) que Pero de (15) =1 c x (n k) = r k =r k 1 +1 r k =r k 1 +1 r k x (n k) =r k 1 +1 =1 c x (n k) =1 k 0 r k 1 c x (n k) + c x (n k) + c x (n k) r k 1 r k 1 =1 x (n k) =1 c x (n k) =r k +1 =r k +1 x (n k) =r k +1 c x (n k) c x (n k) ɛ 2 2ɛ 8 = ɛ 4 lo cual es una contradicción. Corolario 3. l 1 no es reflexivo. 14

15 Deostración. Sea B la bola unitaria cerrada en l 1. Denoteos por e n a la sucesión cuyo n-ésio térino es 1 y los deás son 0. Observaos que e n l 1 para todo n y e n e = 2, n. (16) Para cada x B, denotaos por V x a la bola abierta con centro en x y radio 1. Entonces la colección C = {V x : x B} es una cubierta abierta de B. Sea x B y supongaos que y, z V x. Luego z y z x + x y < 2 (17) Por (16), ésto iplica que hay a lo ás un vector e n, lo cual perite conlcuir que ninguna subcolección finita de C es cubierta de B, por lo que B no es copacta. Coo l 1 es étrico, B no es secuencialente copacto (en la topología inducida por la nora). Entonces existe una sucesión en B que no tiene ninguna subsucesión convergente a un punto de B. Por el teorea anterior, lo iso pasa en la topología débil. Por lo tanto B no es débil-secuencialente copacto. Por Eberlein-Sulian, esto significa que B no es copacta y por el teorea 5, l 1 no es reflexivo. Referencias [1] D. Van Dulst: Reflexive and Superreflexive Banach Spaces, Matheatisch Centru, Asterda, [2] H. Fetter, B. Gaboa: Introducción al Análisis Funcional y a la Geoetría de Espacios de Banach, CIMAT, México, [3] Walter Rudin: Functional Analysis, McGraw Hill, [4] F. Galaz Fontes: Eleentos de Análisis Funcional, CIMAT, México, [5] J.L. Kelley: General Topology, Van Nostrand