Diferentes presentaciones de los polinomios de Bernoulli.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA Diferentes presentaciones de los polinoios de Bernoulli. Trabajo Especial de Grado presentado ante la ilustre Universidad Central de Venezuela por el Br. Gabriel Márquez para optar al título de Licenciado en Mateática. Tutor: Marisela Doínguez Caracas, Venezuela Mayo 2008

2 ii Nosotros, los abajo firantes, designados por la Universidad Central de Venezuela coo integrantes del Jurado Exainador del Trabajo Especial de Grado titulado Diferentes presentaciones de los polinoios de Bernoulli, presentado por el Br. Gabriel Márquez, titular de la Cédula de Identidad , certificaos que este trabajo cuple con los requisitos exigidos por nuestra Magna Casa de Estudios para optar al título de Licenciado en Mateática. Marisela Doínguez Tutor Raón Bruzual Jurado Manuel Maia Jurado

3 iii Agradeciiento A todos aquellos que no creyeron en i. Tabién quisiera hacer un especial agradeciiento al Consejo de Desarrollo Científico y Huanístico de la UCV por el apoyo en la ipresión de este trabajo.

4 Índice general Introducción 1 Capítulo 1. Preliinares Polinoios de Bernoulli Teorea de Taylor Teorea de la convergencia de las series de Fourier Cálculo ubral. 9 Capítulo 2. Solución de la ecuación funcional de Leher Existencia de la solución de la ecuación funcional de Leher Unicidad de la solución de la ecuación funcional de Leher. 15 Capítulo 3. Polinoios de Bernoulli y ecuación funcional de Leher Sucesiones de Appell Cálculo ubral Fórula de Bernoulli Series de Fourier Función generatriz 24 Bibliografía 27 iv

5 Introducción Jacob Bernoulli Basilea, Suiza ) se interesó en el estudio del cálculo integral, y colaboró con su herano Johan en las ateáticas aplicadas. Entre los años 1696 y 1701 hizo grandes aportes a los teas de las curvas transcendentales estudio de la catenaria), isoetría, entre otros. Aparte desarrolló técnicas para la solución de ecuaciones diferenciales separables y fue uno de los prieros ateáticos en utilizar las coordenadas polares. Hasta una curva lleva su nobre, la leniscata de Bernoulli. Una de sus obras ás destacadas es el arte de las conjeturas, publicado por su sobrino Nicolás tras ocho años de su uerte. Allí dejo plasados grandes aportes para la teoría de probabilidades, coo son la enueración de probabilidades de los riesgos de azar y su representación del teorea conocido coo la ley de los grandes núeros. Algunos resultados de este trabajo son los polinoios y núeros de Bernoulli. En 1705, ediante sua de potencias, Bernoulli definió los polinoios que llevan su nobre. Los polinoios de Bernoulli están relacionados con el estudio de ciertas funciones especiales coo la función zeta de Rieann y la función zeta de Hûrwitz. Appell en el año de 1832 deostró que los polinoios de Bernoulli foran un tipo especial de sucesión, que llevan el nobre de sucesión de Appell y dio una definición alternativa de estos polinoios. Al igual que Appell y el propio Bernoulli otros ateáticos han dado otras definiciones a estos polinoios, entre las que están: Euler 1738) ediante la función generatriz, Lucas 1891) ediante el cálculo ubral y Hûrtwitz 1890) ediante series de Fourier. Ahora bien, Leher en su publicación A new approach to Bernoulli polynoials [9]) proporcionó otra definición de los polinoios de Bernoulli, ediante el teorea de la ultiplicación. El teorea de la ultiplicación es un tipo de identidad obedecida por la función Gaa; la identidad viene dada por un producto de valores, de allí el nobre. Para los polinoios de Bernoulli el teorea de la ultiplicación fue dado a conocer por el ateático Josseph Ludwing Raabe en el año de

6 INTRODUCCIÓN 2 El objetivo de este trabajo es estudiar diferentes definiciones de los polinoios de Bernoulli, relacionarlas con series de Taylor, series de Fourier, núeros de Bernoulli, funciones generatrices, cálculo ubral y otras áreas de las ateáticas. Se usará el artículo A new approach to Bernoulli polynoials de Leher [9]). En el capítulo uno de este trabajo se darán algunos resultados preliinares, entre ellos, el teorea de Taylor, función suave a trozo, coeficientes de las series de fourier, teorea de la convergencia de series de Fourier y algunos resultados del cálculo ubral. Luego en el capítulo dos, se probará que las soluciones del teorea de la ultiplicación son polinoios ónicos y adeás estos son únicos. Por últio en el capítulo tres se verificará que las soluciones obtenidas son en efecto los polinoios de Bernoulli, y que esta cuple las otras definiciones dadas hasta el oento de la publicación del artículo de Leher.

7 CAPíTULO 1 Preliinares. En este capítulo se dará las diferentes presentaciones dadas para los polinoios de Bernoulli, así coo tabién algunos resultados entre ellos el teorea de Taylor, función suave a trozos, coeficientes de la serie de fourier, teorea de la convergencia de la serie de Fourier y algunos resultados del cálculo ubral. 1. Polinoios de Bernoulli. Sea n el conjunto de polinoios reales de grado igual a n. Definición 1.1. Los polinoios de Bernoulli, son una sucesión de polinoios {B n } n0 con B n n que se definen en fora recurrente de la siguiente anera: Los núeros B 0 x) 1, 1 d n dx B nx) B n 1 x), 1 0 B n x)dx 0, n 0, 1, 2,.... B n 0) con n 0, 1, se llaan núeros de Bernoulli [2]) Observación 1.2. Todo polinoio de Bernoulli es ónico. Ejeplo 1.3. El polinoio de Bernoulli de grado n 1 está definido por d dx B 1x) B 0 x). Integrando con respecto a x obteneos lo siguiente B 1 x) B 0 x)dx. 3

8 1. POLINOMIOS DE BERNOULLI. 4 Toando en cuenta que B 0 x) 1, resulta B 1 x) dx, B 1 x) x + c. Coo se tiene que B 1 x)dx 0, x + c [ x cx ] c. De donde c 1 2. Por lo tanto B 1 x) x 1 2. De anera análoga podeos hallar los siguientes polinoios de Bernoulli: B 2 x) x 2 x + 1 6, B 3 x) x x2 + x 2, B 4 x) x 4 2x 3 + x , B 5 x) x 5 5x x3 3 x 6, B 6 x) x 6 3x 5 + 5x4 2 x Coo se dijo en la introducción, se han dado por lo enos cinco diferentes definiciones para los polinoios de Bernoulli. Observación 1.4. Bernoulli 1705), por edio de sua de potencias de los prieros núeros naturales halló que los polinoios de Bernoulli satisfacen 1 k n 1 1 n {B n) B n 0)}.

9 1. POLINOMIOS DE BERNOULLI. 5 Observación 1.5. Euler 1738), por edio de la función generatriz, probó que para los polinoios de Bernoulli se tiene que B n x)t n n0 n! text, si t 2π. e t 1 Observación 1.6. Lucas 1891) halló una expresión para los polinoios de Bernoulli por edio del calculo ubral. La expresión es la siguiente B n x) b + x) n. El cálculo ubral es un tipo cálculo con expresiones ateáticas en la que los exponentes del desarrollo binoial del polinoio se denotan coo subíndices ver tabién Sección 4). Observación 1.7. Appell 1832) deostró que los polinoios de Bernoulli foran un tipo especial de sucesión que llevan su nobre. Es decir B n 1 x) 1 d n dx B nx). Observación 1.8. Hurwitz 1890) halló una expresión para los polinoios de Bernoulli, usando series de Fourier. La expresión es la siguiente B n x) n! k n e 2πikx, si 0 < x < 1. 2πi) n k 0 El desarrollo en series de Fourier es una herraienta ateática utilizada para analizar funciones periódicas a través de la descoposición de dicha función en una sua infinitesial de funciones senoidales ucho ás siples. Observación 1.9. En 1851 Raabe deostró que los polinoios de Bernoulli verifican la identidad 1 1 B n x + k ) n B n x). Esta fórula conocida coo teorea de ultiplicación, puede ser interpretada coo una ecuación funcional, cuya solución son los polinoios de Bernoulli. En el artículo de Leher [9]) se considera la ecuación funcional asociada a la fórula anterior. Se consideran las soluciones y se prueba que estas soluciones cuplen ciertas propiedades relacionadas con los resultados enunciados anteriorente.

10 2. TEOREMA DE TAYLOR. 6 En este trabajo desarrollareos el artículo de Leher, se probará que las soluciones de la ecuación funcional son polinoios ver Capítulo 2) y se verificará que estos son los polinoios de Bernoulli ver Capítulo 3). Antes de hacer esto, se presentan algunos resultados, necesarios para el desarrollo de este trabajo. 2. Teorea de Taylor. Definición Sea f : R R una función infinitaente diferenciable en un entorno de α R, el polinoio de Taylor de f centrado en α es la sua P x) n 1 n0 f n) α) x α) n. n! Para funciones f : C C, se tiene una definición siilar. Teorea 1.11 Teorea de Taylor). Sea f : [a, b] R tal que f,f,...,f n+1) están definidas sobre [a, x] n entero positivo). Sean α y x puntos distintos del intervalo [a, b] y sea P x) n 1 Entonces existe un punto c entre α y x tal que f k) α) x α) k. k! fx) P x) + f n) c) x α) n n! Deostración. Sea Es decir P x) n 1 f k) α) x α) k. k! P x) fα) 0! Toando x α teneos que Adeás + f α) x α) f n 1) α) 1! n 1)! x α)n 1, P α) fα). P k) α) f k) α).

11 2. TEOREMA DE TAYLOR. 7 Considereos a x coo un punto fijo de R. Sea M el núero real, que depende de x, dado por entonces M Sea g la función de variable t definida por fx) P x) x α) n, fx) P x) + Mx α) n. gt) ft) P t) Mt α) n. Coo fα) P α) se tiene que gα) 0. Derivando con respecto a t obteneos que g t) f t) P t) nmt α) n 1. Coo P α) f α) obteneos que g α) 0. Si seguios derivando, obteneos g k) t) f k) t) P k) t) nn 1)...n k + 1)Mt α) n k. Usando que P k) α) f k) α) para k 0, 1,..., n 1 obteneos que gα) g α) g n 1) α) 0. Del teorea de Rolle se sigue que existe un x 1, entre α y x, tal que g x 1 ) 0. Coo g α) 0, por el teorea de Rolle existe x 2, entre α y x 1, tal que Después de n pasos se concluye que g x 2 ) 0. g n) x n ) 0, para algún x n entre α y x n 1. Este punto x n tabién está entre α y x. Toeos c x n Para a < t < b teneos que y por lo tanto P n) t) 0, g n t) f n t) n!m.

12 3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER. 8 Luego f n) c) n! 0. De donde Obteneos lo siguiente despejando fx) nos queda que f n) c) n! M f n) c). n! fx) P x) x α) n, fx) P x) + f n c) x α) n. n! Definición Sea f : R R una función infinitaente diferenciable en un entorno de α R. La serie de Taylor de f centrada en α es la serie de potencias f n) α) x α) n n! n0 Si α 0, a la serie se le llaa serie de Maclaurin. 3. Teorea de la convergencia de las series de Fourier. Antes de enunciar el teorea de la convergencia de la series de Fourier presentareos algunas definiciones.[4],[6]) Definición Sea f : R R. Se dice que f es suave a trozos en algún intervalo de R, si el intervalo se puede dividir en subintervalos, tales que en cada uno de ellos la función f es continua y su derivada f tabién es continua. Definición Sea f : R R una función de período 2π e integrable en el intervalo [0, 2π]. Los coeficientes de Fourier de f son: a n 1 π 2π 0 2π fx) cosnx)dx, para n 0, 1..., b n 1 fx) sennx)dx, para n 1, 2... π 0 La serie de Fourier de f es la siguiente sua foral a a n cosnx) + b n sennx). n1

13 4. CÁLCULO UMBRAL. 9 Teorea Si f es suave a trozos en el intervalo [0, 2π] y x [0, 2π], entonces la serie de Fourier de f en x converge a: a) fx) si x es un punto de continuidad de f, b) la edia de los líites laterales 1 [fx+) + fx )], 2 si x es un punto de discontinuidad de salto de f. 4. Cálculo ubral. El cálculo ubral del siglo XIX es un étodo notacional para derivar las identidades que iplican sucesiones puestas en un índice de núeros, fingiendo que los índices son exponentes. Interpretado literalente, es absurdo, pero es uy útil. Las identidades que se obtuvieron vía el cálculo ubral tabién se pueden derivar por étodos ás coplicados, que se pueden toar literalente sin dificultad lógica. El cálculo ubral de térinos era una anera de expresar las seejanzas que existían entre las ecuaciones polinóicas y otra relación ateática, las pruebas eran ciertas técnicas vagas. Estas técnicas fueron introducidas por Juan Blissard en 1861 y se conocen coo el étodo sibólico de Blissard. Edouard Lucas y Jaes Sylvester usaron esta técnica extensivaente, por esta razón a veces se les atribuye a ellos. Entre los años 1930 y los años 1950, Eric Teple Bell intentó dar unas bases ás rigurosas para el cálculo ubral. Entre los años 1970 y 1980, Steven Roan, Gian-Carlo Rota y otros desarrollaron el cálculo ubral por edio de funcionales lineales en espacios de polinoios. Actualente, por cálculo ubral se entiende el estudio de las sucesiones de Sheffer, incluyendo sucesiones polinóicas y de las sucesiones binoiales de Appell [17]). A continuación se presentan los polinoios de Bernoulli y se prueba una proposición relativas a estas de dos aneras: priero de la anera tradicional y posteriorente usando el cálculo ubral. Sea B n el n-ésio polinoio de Bernoulli, para k 0,..., n sean b n,k los coeficientes de B n, donde n denotara el grado del polinoio y k la posición del coeficiente, es decir, n ) n B n x) b n),n k x k k

14 4. CÁLCULO UMBRAL. 10 Proposición para todo k 0,..., n, para todo n N. Deostración. En prier lugar luego, derivando B nx) n k1 B n x) b n),n + b n),k b n 1),k ) n b n),n k kx k 1 k n k1 ) n b n),n k x k k n 1 j0 ) n b n),n j 1 j + 1)x j. j + 1 Por otro lado, para j 0,, n 1, se tiene n 1 ) n 1 B nx) nb n 1 x) n b n 1),n 1 j x j. j De donde Coo se tiene ) n j + 1) j + 1 resulta que para j 0,, n 1, Por lo tanto j0 ) n b n),n j 1 j + 1) n j + 1 n!j + 1) j + 1)!n 1 j)! n 1 b n),n j 1 b n 1),n j 1, j ) b n 1),n 1 j. nn 1)! j!n 1 j)! n b n),k b n 1),k para k 0,..., n 1. n 1 j ), Usando el cálculo ubral se sustituye la deostración anterior por el siguiente tipo de razonaiento tabién conocido coo prueba ubral. Toando en cuenta que x n ) nx n 1 es siilar a B nx) nb n 1 x)

15 4. CÁLCULO UMBRAL. 11 y toando en cuenta que es análoga a y + x) n n n ) n y n k x k k ) n b n),n k k se finge que el subíndice n k es un exponente. En realidad esto puede ser incorrecto, pero se puede trabajar de todos odos. Así que se considera la expresión B n x) n ) n b n k n) k xk. La proposición anterior se deuestra usando cálculo ubral, de la siguiente anera: Se tiene que B n x) b n) + x) n. entonces Por otro lado Por lo tanto Finalente B nx) nb n) + x) n 1. B nx) nb n 1) x) nb n 1) + x) n 1. b n) b n 1). b k n) b k n 1) para k 0,..., n 1. Observación Toando en cuenta la proposición anterior se tiene que existe {b n } R tal que Adeás B n x) n b n B n 0), ) n b n k x k k En consecuencia, b n es el n-ésio núeros de Bernoulli.

16 CAPíTULO 2 Solución de la ecuación funcional de Leher. 2.1) La ecuación funcional de Leher es la ecuación 1 1 f donde y n son enteros positivos y f : R R. x + k ) n fx), En este capítulo vereos priero la existencia de la solución de la ecuación funcional de Leher. Más precisaente, se probará que existe una única failia de polinoios que satisface esta ecuación funcional. 1. Existencia de la solución de la ecuación funcional de Leher. Lea 2.1 Existencia). Sean n y dos núeros enteros positivos. Entonces existen polinoios de grado n en x que satisfacen la ecuación funcional de Leher 2.1). Deostración. Si 1 entonces la ecuación 2.1) se convierte en fx) fx) de odo que podeos asuir > 1. Sea 2.2) P n x) b 0 x n + b 1 x n b n, con b 0 0, donde los coeficientes b k, k 0, 1..., n, son indeterinados. Si f es solución de 2.1) lo es tabién de cf donde c es cualquier constante. Por lo tanto se puede elegir b 0 1. A continuación se analizarán abos lados de la ecuación 2.1) cuando se reeplaza f por el polinoio P n. 12

17 1. EXISTENCIA DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN FUNCIONAL DE LEHMER. 13 donde Si se sustituye 2.2) en el lado izquierdo de la ecuación 2.1) se obtiene 1 1 P n x + k ) 1 1 Por lo tanto 1 1 P n x + k ) n v0 n v0 n v0 1 n v0 1 n v0 b v n v λ0 b v n v λ0 b v n v λ0 S λ ) b v x + k ) n v ) λ ) k n v x n v λ λ b v n v λ0 x n v λ n v λ ) 1 1 k λ λ ) 1 n v x n v λ k λ λ. λ+1 ) n v x n v λ λ 1 S λ ), λ 1 k λ. Haciendo el cabio de variable r λ + v se obtiene 1 1 P n x + k ) n v0 Intercabiando las dos suas convenienteente se obtiene 2.3) 1 1 P n x + k ) n b v r r0 v0 n rv ) n v x n r v r 1 S r v ). r v ) n v b v x n r v r 1 S r v ). r v Por otro lado, toando la expresión dada para P n x) en 2.2) y sustituyéndola en el lado derecho de la ecuación 2.1) se obtiene n n P n x) n b r x) n r r0 n n b r x n r n r r0 n b r x n r n r n. r0

18 1. EXISTENCIA DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN FUNCIONAL DE LEHMER. 14 De donde 2.4) n P n x) n x n r b r r. r0 Si P n fuese solución de la ecuación funcional se tendrá que 1 1 P n x + k ) n P n x). Identificando los coeficientes de x n r en 2.3) y 2.4) se sigue que r ) n v b r r b v v r 1 S r v ). r v Luego para r 1 se tiene que b r v0 r v0 ) n v b v v 1 S r v ). r v coo b 0 1 se obtiene que b 1 b o n 1 b 1 b o n b 1 b 1 b 0 n 1) 2 b 1 1 ) b 0 n 1) 2 b 1 b 0 n 1) 2 b 1 b 0 n 2 ) ) n 1 1 S 1 ) + b 1 0 S 0 ) 0 1) + b ) b 1 n 2 Luego b r r v0 ) n v r 1 ) n v b v v 1 S r v ) b r r 1 + b v v 1 S r v ). r v r v v0

19 2. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN FUNCIONAL DE LEHMER. 15 Por lo tanto r 1 ) n v 2.5) r 1 1)b r b v v 1 S r v ). r v Coo > 1 y r > 1 se obtiene que v0 1 r 1 b r r 1 1 v0 ) n v b v v 1 S r v ). r v En general si se han deterinado los valores b 1, b 2,..., b r 1, la fórula 2.5) sirve para deterinar b r. Esto deuestra la existencia del polinoio. 2. Unicidad de la solución de la ecuación funcional de Leher. Lea 2.2 Unicidad). Sea n un núero entero positivo entonces existe un único polinoio ónico de grado n que satisface la ecuación funcional de Leher 2.6) 1 1 f x + k ) n fx) > 1). Deostración. Sean P n y Q n dos polinoios ónicos diferentes de grado n que satisfacen la ecuación 2.6). Supóngase que 2.7) P n x) Q n x) d x) A 0 x d + A 1 x d 1 + d A j x d j, j0 donde d < n y A 0 0. Sustituyendo en 2.6) se tiene 2.8) 1 1 d x + k ) n d x).

20 2. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN FUNCIONAL DE LEHMER. 16 Se estudiará el lado izquierdo de la ecuación 2.8) para buscar el coeficiente de x d. 1 1 d x + k ) 1 1 d A j x + k ) d j j0 1 1 [A 0 x + k ) d + A 1 x + k ) ] d A d [ 1 1 d ) ) d w d k d 1 ) ) ] d 1 w d 1 k A 0 x w + A 1 x w + + A d. w w w0 w0 A 0 Toando el prier térino de la igualdad 2.9) y desarrollando queda que d ) ) [ d w ) d ) ) d 1 ) ) ] d k k d k d k x w A 0 + x + + x d 1 + x d w 1 d 1 w0 Por otro lado si se reeplaza d x) por su representación dada en 2.7) se tiene que n d x) n [A 0 x) d + A 1 x) d A d ] d n A 0 x d + d 1 n A 1 x d A d. Identificando los coeficientes de x d en abos lados se obtiene A 0 d n A 0 Coo d < n y > 1 entonces d n 0, por lo tanto A 0 0 lo cual contradice la hipótesis. Por lo tanto existe un único polinoio ónico que satisface la ecuación de Leher 2.1)

21 CAPíTULO 3 Polinoios de Bernoulli y ecuación funcional de Leher. Teorea 3.1. La sucesión de soluciones de la ecuación funcional de Leher es la sucesión de polinoios de Bernoulli. Deostración. Por el resultado de Raabe ver Observación 1.9) se tiene que los polinoios de Bernoulli son soluciones de la ecuación funcional de Leher. Por lo probado en el Capítulo 2 la solución es única, por lo tanto tienen que coincidir. Por esta razón en su artículo Leher define los polinoios de Bernoullli coo la solución de la ecuación funcional 2.1). A continuación, a partir de la ecuación funcional de Leher, se probará que esta sucesión {B n } es una sucesión de Appell, se dará la expresión de Lucas usando cálculo ubral, se hallará la fórula de Bernoulli ediante suas de potencias, se obtendrá la fórula de Hürwitz ediante series de Fourier y finalente se deostrará la fórula de Euler por edio de la función generatriz. Se usará B n para indicar el polinoio de Bernoulli de grado n. 1. Sucesiones de Appell Definición 3.2. Sea {f n } una sucesión de funciones se dice que {f n } es una sucesión de Appell si f n 1 x) 1 d n dx f nx) para todo n 1. En esta sección se verá que la failia de polinoios que es solución de la ecuación funcional 2.1) tabién es una sucesión de Appell. Teorea 3.3. Si B n es solución de la ecuación funcional de Leher, entonces {B n } n0 es una sucesión de Appell, es decir, verifica B n 1 x) 1 d n dx B nx), para n 1, 2,... 17

22 2. CÁLCULO UMBRAL 18 Deostración. Dado un núero entero positivo n sea B n el único polinoio ónico de grado n que satisface la ecuación funcional de Leher. Si se deriva a abos lados de la ecuación funcional de Leher ver ecuación 2.1) se obtiene que 3.1) Multiplicando por 1 n B n x + k ) n+1 B nx). en abos lados de la ecuación 3.1) se tiene que 1 1 n B n x + k )) ) 1 n+1 n B nx). Por otro lado para el polinoio de grado n 1 que es solución de la ecuación funcional de Leher se tiene que 1 1 B n 1 x + k ) n+1 B n 1 x). Coo 1 n B nx) y B n 1 satisfacen la ecuación 2.1) por la unicidad ver Lea 2.2) se tiene que B n 1 1 n B n. 2. Cálculo ubral A continuación vereos la relación entre el cálculo ubral y la ecuación 2.1). Teorea 3.4. Si B n es solución de la ecuación funcional de Leher, entonces n ) n B n x) b n k x k, k donde b n B n 0), es el n-ésio núero de Bernoulli. Deostración. Por el Teorea 3.3 se tiene que {B n } es una sucesión de Appell, es decir verifica B n 1 x) 1 d n dx B nx) Derivando k-veces se obtiene ) k d B n x) k! dx n k ) B n k x).

23 3. FÓRMULA DE BERNOULLI 19 Considerando la expansión de Maclaurin de B n x) B n x) lo cual deuestra el teorea. n ) x k k d B n 0) k! dx n ) n x k B n k 0) k n ) n x k b n k. k Se ha deostrado que las definiciones dadas por Leher y Lucas ver Observación 1.6) son equivalentes. 3. Fórula de Bernoulli En esta sección se verá que la definición dada por Leher es equivalente a la dada por Bernoulli ediante suas de potencias. Teorea 3.5. Si B n es solución de la ecuación funcional de Leher, entonces B n x + 1) B n x) n x n 1. Deostración. Se hará por inducción. Se verá que es cierto para n 1. Por el Teorea 3.4 se tiene que B 1 x) b 1 + b 0 x. Luego B 1 x + 1) B 1 x) b 1 + b 0 x + 1) b 1 b 0 x b 0 x + b 0 b 0 x B 0 0) 1. Supóngase que el resultado es cierto para n k, esto es, B k x + 1) B k x) kx k 1.

24 3. FÓRMULA DE BERNOULLI 20 Integrando se consigue x 0 [B k t + 1) B k t)] dt x 0 kt k 1 dt. Por lo tanto 3.2) x B k t + 1)dt x 0 0 B k t)dt x k. Por otro lado, por el Teorea 3.3, 3.3) k + 1) x De 3.3) y 3.2) se sigue que 0 B k t)dt x 0 B k+1t)dt B k+1 x) B k+1 0). 1 k + 1 [B k+1x + 1) B k+1 0) B k+1 x) + B k+1 0)] x k. De donde 1 k + 1) [B k+1x + 1) B k+1 x)] x k. Por lo tanto el resultado es cierto para n k + 1. Esto deuestra el teorea. Corolario 3.6. Si B n es solución de la ecuación funcional de Leher entonces 1 k n 1 1 n B n) B n 0)) Deostración. Del teorea anterior se sigue que si B n funcional de Leher entonces es solución de la ecuación B n k + 1) B n k) n k n 1. Por lo tanto 1 k n 1 1 n 1 B n k + 1) B n k) 1 n B n) B n 0)). La fórula que aparece en este corolario es la fórula probada originalente por Bernoulli ver Observación 1.4).

25 4. SERIES DE FOURIER Series de Fourier En esta sección se verá que la definición de los polinoios de Bernoulli dada por Euler ediante series de Fourier es equivalente a la definición dada por Leher. Pero antes se darán algunos resultados que se usarán en la deostración. Proposición 3.7. Sea f : [ π, π] R dada por ft) t 2π. Entonces 1) n 1 ft) sennt). nπ n1 Deostración. La función f es continua e integrable en [ π, π]. A continuación se calcularán los coeficientes de Fourier de f. Para n 0, 1, 2... a n 1 π 2π 2 π [ 1 1 2π 2 1 2π 2 t cosnt)dt π ] sennt)dt n sennt)t π 1 π n π [ 1 n sennt)t π 1 π n cosnt) π 2 π ]. Entonces a n 1 [ π 2π 2 n sentπ) π n sentπ) 1 n costπ) + 1 ] 2 n costπ) 0. 2 Para n 1, 2, 3... b n 1 π 2π 2 1 2π 2 1 2π 2 π t sennt)dt [ t n cosnt) π π + 1 n π π ] cosnt)dt [ t n cosnt) π π + 1 n 2 sennt) π π ].

26 4. SERIES DE FOURIER 22 Entonces b n 1 2π 2 1 2π 2 1)n 1. nπ [ πn cosnπ) [ 2πn cosnπ) ] Coo f es continua, por el Teorea 1.15 nos dice que ft) a 0 + ) ) π cosn π)) + πn n sennπ) πn ] senn π)) 2 2 a n cosnt) + b n sennt)). n1 De donde 1) n 1 ft) sennt). nπ n1 Proposición 3.8. Si 0 < x < 1, entonces x π n1 sen2πnx) n 1 2πi r 0 1 r e2πirx. Deostración. Sea x 0, 1). Toando t 2π x 1 ). 2 Entonces t [ π, π]. Por la Proposición 3.7 se tiene que Coo x 1 2 t 2π n1 1) n 1 nπ sen nt 1 π n1 sen2πnx). n e 2πirx cos2πrx) + i sen2πrx) cos2π r)x) i sen2π r)x), se obtiene la últia igualdad del enunciado de la proposición. El siguiente teorea deostrará que la definición de los polinoios de Bernoulli dada por Euler es equivalente a la dada por Leher ver Observación 1.8).

27 4. SERIES DE FOURIER 23 Teorea 3.9. Si B n es solución de la ecuación funcional de Leher, entonces B n x) n! e 2πirx 2πi) n r n para 0 < x < 1. Deostración. Sea entonces Q n x) Q n 1 x) r 0 n! 2πi) n r 0 n 1)! 2πi) n 1 e 2πirx r n, r 0 e 2πirx r n 1, Derivando Q n se tiene que d dx Q nx) n!2πir e 2πirx 2πi) n r n r 0 n! e 2πirx 2πi) n 1 r. n 1 ahora ultiplicando por 1 n Por lo tanto Derivando n veces se tiene que se obtiene que 1 d n dx Q nx) n 1)! 2πi) n 1 r 0 r 0 1 d n dx Q nx) Q n 1 x) e 2πirx r n 1. 1 d n 1 n! dx Q nx) Q n 1 1 x) x 1 2. Por lo tanto Q n es un polinoio ónico de grado n. Ahora se verá que los polinoios Q n satisfacen la ecuación funcional de Leher. 1 1 Q n x + k ) 1 n! e 2πirx+ k ) 2πi) n r n 1 r 0 n! 2πi) n n! 2πi) n r 0 r 0 e 2πirx r n e 2πirx e 2πir k r n 1 e 2πirk/

28 5. FUNCIÓN GENERATRIZ 24 Para r Z, r 0, se analizará la siguiente sua 1 e 2πirk/. Caso 1: r no es últiplo de ). Para todo h se tiene que r h y la sua geoétrica. Sea w e 2πirk/ y entonces S 1 + w + + w 1 S w 1 w 1 e2πirk 1 e 2πirk/ e 2πirk/ 1 0. Caso 2: r es últiplo de ). Es decir r h para un entero h. Se sigue que 1 e 2πihk/ Por lo tanto si r h, se tiene que 1 1 Q n x + k ) 1 e 2πihk 1 1. n! 1 2πi) n h) n e2πihx h 0 n n! e 2πihx 2πi) n h) n h 0 n Q n x). De donde Q n es una solución de la ecuación funcional de Leher. Por la unicidad del Lea 2.2) Q n x) B n x). 5. Función generatriz Usando la función generatriz se probará la expresión de Euler para los polinoios de Bernoulli ver Observación 1.5). Teorea Si B n es solución de la ecuación funcional de Leher, entonces B n x)t n text n! e t 1). n0

29 5. FUNCIÓN GENERATRIZ 25 Deostración. Sea F la función dada por 3.4) F x, t) text e t 1). F es infinitaente diferenciable coo función de la segunda variable, por lo tanto existen funciones Ψ n tales que 3.5) F x, t) Supóngase que De 3.4) y 3.5) se obtiene Ψ n x)t n. n! n0 Ψ n x) A n) 0 x n + A n) 1 x n A n) n. 3.6) Por un lado F ) 1 y, ty tyet e ty 1) no y Ψ n 1 n y )tn, n! ) 1 lí F y 0 y, ty tye t lí y 0 e ty 1) et. Por otro lado se tiene que lí Ψ n1/y)t n y 0 yn n! [ lí y n y 0 A n) 0 1 y + n An) An) yn 1 n ] t n lí[a n) 0 + A n) 1 y + + A n) n y n ] tn y 0 n! An) 0 n!, n! t n Por lo tanto lí y 0 n0 y n Ψ n1/y)t n n! n0 lí Ψ n1/y)t n y 0 yn n! n0 A n) t n 0 n!. En consecuencia n0 A n) t n 0 n! et n0 De donde A n) 0 1. Luego Ψ n es un polinoio ónico. t n n!.

30 5. FUNCIÓN GENERATRIZ ) Luego 3.8) De la ecuación 3.4) se sigue que 1 1 F x + k ), t 1 Por otro lado de la ecuación 3.5) se tiene que F x + k ), t 1 1 F x + k, t ) De 3.4) y 3.5) se obtiene 3.9) F x, t ) no 1 te x+ k )t e t 1 1 t e t 1) te xt 1 e t 1) te xt e t 1) t )ext e t 1). n0 1 n0 Ψ n x + k 1 n0 1 1 e x+ k )t e k )t ) e t 1 e t 1 ) t n n!. Ψ n x + k ) t n n! Ψ n x + k ) t n n!. 1 n t n n! Ψ nx) t )ext e t 1). Identificando los coeficientes de tn n! en 3.8) y 3.9) se concluye que Ψ n satisface la ecuación funcional 1 1 Ψ n x + k ) n Ψ n x). Coo Ψ n es ónico se concluye por el Lea 2 que Ψ n x) B n x).

31 Bibliografía [1] Abraowitz, M., Stegun, I. Handbook of Matheatical Functions National Bureau of Standars, Applied Math. Ser. 55, , Washington, [2] Apostol, T. An Eleentary View of Euler s Suation Forula, The Aerican Matheatical Monthly, voluen 106, núero 5, páginas Mayo 1999). 3 [3] Bachan, G. y Narici, L. Functional analysis. Acadeic Press [4] Bruzual R. y Doínguez M. Series de Fourier. IV TFora, Universidad de Oriente, Julio, [5] Churchill R y Brown J. Variable copleja y sus aplicaciones. Mc Graw Hill, [6] Haberan, R., Ecuaciones en derivadas parciales con series de fourier. Editorial Pearson Educación. Tercera edición, Madrid, [7] Radeacher, H., Topics in analitic nuber theory. Editorial Berlín, [8] Kologorov, A. y Foin, S. Eleentos de la teoría de funciones y de análisis funcional. MIR, [9] Leher, D.H. A new approach to Bernoulli polynoials, The Aerican Matheatical Monthly, , , 2, 5 [10] Lopez, G. Notas ateáticas. Nuero 211, Mérida, [11] Lopez, G. Notas ateáticas. Nuero 212, Mérida, [12] Lopez, G. Notas ateáticas. Nuero 213, Mérida, [13] Royden, H. L. Real analysis. Collier Macillan, [14] Rudin, W. Real and coplex analysis. Mc Graw-Hill, [15] Spivak, M. Cálculo infinitesial, Vol. 1, , [16] Weisstein, E W. Bernoulli Polynoial. [17] Weisstein, E W.Ubral Calculus