Las funciones sen 1 x, cos 1 x y otros ejemplos relacionados c

Transcripción

1 Las funciones sen 1 x, cos 1 x y otros ejemplos relacionados c Juan Carlos Ponce Campuzano j.ponce@uq.edu.au UQ 13 de abril de

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3 Contenido 1. Introducción 5 2. Análisis 7 3. Ejemplos Ejemplos generales Referencias 17 3

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5 1. Introducción Consideremos la función f : R \ {0} R definida por Algunas las propiedades de f son las siguientes: 1. f es una función impar. f (x) = sen 1 x. (1) 2. f es acotada. De hecho, 1 f (x) 1 para todo x R \ {0}. 3. f (x) = 0 si y sólo si x = 1 kπ para k Z diferente de cero; mientras que, f (x) = 1 2 si y sólo si x = (4k+1)π para k Z y f (x) = 1 si y sólo si x = 2 (4k 1)π para k Z. La gráfica de f se pueden observar en la Figura 1, en donde se puede apreciar que oscila entre 1 y 1. Figura 1: Gráfica de f (x) = sen 1 x Además, estas oscilaciones se incrementan mientras x se aproxima a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda. 4. f es una función continua en R \ {0}. 5. f es infinitamente diferenciable en R \ {0}. En particular, tenemos que f : R \ {0} R está dada por f (x) = 1 x 2 cos 1 x. Es claro que, para δ > 0, f es no acotada en los intervalos ( δ, 0) y (0, δ). 5

6 Figura 2: Gráfica de f (x) = 1 x 2 cos 1 x 6. Por último tenemos que el límite lím x 0± f (x), no existe. Mientras que lím x ± f (x) = 0. Consideremos ahora la función g : R \ {0} R definida por g(x) = cos 1 x. (2) Figura 3: Gráfica de g(x) = cos 1 x Algunas de las propiedades de esta función son las siguientes: 1. g es una función par. 6

7 2. g es acotada. De hecho, 1 f (x) 1 y 1 g(x) 1 para todo x R \ {0}. 3. g(x) = 0 si y sólo si x = 2 (2k+1)π x = 1 2kπ k Z. para k Z; mientras que, g(x) = 1 si y sólo si para k Z diferente de cero y g(x) = 1 si y sólo si x = 1 (2k+1)π para La gráfica de la función g se pueden observar en la Figura 3, en donde se puede apreciar que oscila entre 1 y 1. Además, estas oscilaciones incrementan mientras nos aproximamos 0 ya sea por la derecha o por la izquierda. 4. g es continua en R \ {0}. 5. g es infinitamente diferenciable en R \ {0}. En particular, tenemos que g : R \ {0} R están dadas por g (x) = 1 x 2 sen 1 x. Es claro que, para δ > 0, g es no acotada en los intervalos ( δ, 0) y (0, δ). Figura 4: Gráfica de g (x) = 1 x 2 sen 1 x 6. Por último tenemos que el límite lím x 0± g(x) no existe. Mientras que lím g(x) = 1. x ± 2. Análisis En la sección anterior mencionamos algunas propiedades de las funciones f (x) = sen 1/x y g(x) = cos 1/x, con x = 0. Con base en estas dos funciones, es posible dar algunos ejemplos de funciones cuyas propiedades son de interés para el análisis 7

8 matemático. Antes de dar los ejemplos, a continuación se establecen algunos hechos relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). Sea r 0 R. Consideremos la función f 0 : R R definidas de la siguiente forma f 0 (x) = { f (x), si x = 0; r 0, si x = 0 (3) donde f (x) = sen 1/x. No es difícil demostrar que, para cada a, b R con a < b, la función f 0 es Riemann integrable en [a, b]. Esto implica que la función F 0 : R R dada por la expresión F 0 (x) = 0 f 0 (t)dt (4) está bien definida. Cabe señalar que esta expresión depende del parámetro r 0. Asimismo, observemos que las funciones f 0 y F 0 están relacionados por el TFC. Sea c R. Por una parte tenemos que, si c = 0, f 0 es continua en c. Entonces la función F 0 es diferenciable en c y además F (c) = f 0 (c) = f (c), por la primera parte del TFC. Por otra parte, si c = 0, aquí surge un problema debido a que no es claro cual es el comportamiento de las funciones f 0 y F 0 cerca del 0. El siguiente resultado nos proporciona información al respecto: Proposición 2.1. Sean f 0 y F 0 las funciones definidas en las expresiones (3) y (4). Entonces se cumple lo siguiente: 1. f 0 no es continua en 0. De hecho, los límites no existen. lím f 0(x) y lím f 0 (x) x 0+ x 0 2. F 0 es diferenciable en 0 y además F 0 (0) = 0, es decir 1 x lím sen 1 dt = 0. x 0 x 0 t Demostración. Para demostrar el primer inciso, sean x n = 1 nπ y y n = 8 2 (4n + 1)π

9 para n N. Entonces (x n ) y (y n ) son dos sucesiones de números reales positivos tales que x n 0 y y n 0. Pero f (x n ) = 0 y f (y n ) = 1 para todo n N. Así que f (x n ) 0 mientras que f (y n ) 1. De esta manera, se sigue que el límite lím f 0(x), x 0+ Como f es una función impar, el límite lím f 0(x), x 0 no existe. no existe. De esta manera, aunque f 0 (x) = r 0 para x = 0, la función f 0 no es continua en 0, ya que lím f 0 (x), no existe. x 0 Con esto queda demostrado el inciso 1. Para demostrar el segundo inciso, sea x R tal que x > 0. Entonces F 0 (x) F(0) = sen 1 dt = lím sen 1 0 t r 0+ r t dt. Consideremos r R un número fijo, tal que 0 < r x. Sea t = 1/u. Entonces, dado que dt = 1/u 2 du, tenemos sen 1 1/x t dt = (sen u) 1 1/r u du = (sen u) 1 2 u du 2 r en donde hemos usado la propiedad de la integral: b a Si integramos por partes obtenemos lo siguiente 1/r 1/x 1/r 1/x (sen u) 1 u 2 du = x2 cos 1 x r2 cos 1 r 2 1/r 1/x f (x)dx = a b 1/x f (x)dx. cos u u 3 du (5) Por otra parte, no es difícil comprobar que 1/r 0 cos u 1/r 1 du u 3 1/x u du = (x2 r 2 ) (6) Ahora, usando la identidad (5), tenemos sen 1 0 t dt lím r 0+ sen 1 r t dt = lím r 0+ x2 cos 1 x r2 cos 1 1/r r 2 1/x ( lím x 2 cos 1 r 0+ x + r 2 cos 1 1/r ) r + 2 cos u du 1/x u 3 ( 1/r x 2 + r cos u ) du lím r 0+ 1/x 9 u 3 cos u u 3 du

10 Considerando la expresión (6) resulta que sen 1 t dt lím (x 2 + r 2 + x 2 r 2 ) = 2x 2. r 0+ De esta manera, se cumple que 1 x para toda x (0, ). Por lo que 0 0 sen 1 t dt 2x F 0 (x) F 0 (0) 1 lím = lím sen 1 dt = 0. x 0+ x 0 x 0+ x 0 t Si remplazamos x por x, dado que la función seno es impar, obtenemos F 0 (x) F 0 (0) 1 lím = lím sen 1 dt = 0. x 0 x 0 x 0 x 0 t Esto último demuestra que F 0 es diferenciable en 0 y, además, F 0 (0) = 0. Consideremos ahora la función g 0 : R R definida como { g(x), si x = 0; g 0 (t) = r 0, si x = 0 donde f (x) = cos 1/x. No es difícil demostrar que, para cada a, b R con a < b, la función g 0 es Riemann integrable en [a, b]. Lo cual implica que G 0 : R R establecida como G 0 (x) = 0 (7) g 0 (t)dt (8) está bien definida. Asimismo, esta expresión no depende del parámetro r 0. Podemos establecer resultados análogos para las funciones g 0 y G 0, como se hizo con las funciones definidas en las expresiones (3) y (4). La demostración se deja al lector. Proposición 2.2. Sean g 0 y G 0 las funciones definidas anteriormente. 1. g 0 no es continua en 0. De hecho, los límites no existen. lím g 0(x) y lím g 0 (x) x 0+ x 0 2. G 0 es diferenciable en 0 y además G 0 (0) = 0, es decir 1 x lím cos 1 dt = 0. x 0 x t 0 10

11 3. Ejemplos Ejemplo 3.1. Sea f 1 : R R definida por f 1 (t) = { x sen 1 x, si x = 0; Algunas propiedades de esta función son las siguientes: 1. f 1 que es una función par y acotada. De hecho, 1 < f 1 (x) < 1 para todo x R. Para ver esto notemos que f 1 (x) = sen(1/x)/(1/x) si x = 0 y y < sen y < y sen h para todo y R diferente de cero. Como lím h 0 h = 1, se sigue que f 1 (x) tiende a 1 cuando x tiende a infinito o a menos infinito (ver Figura 5). Figura 5: Gráfica de f 1 (x) = x sen 1 x 2. Las oscilaciones de la función f 1, heredadas de la función f definida anteriormente en la ecuación (1), se acumulan cerca del 0 debido a que f 1 (x) x para todo x R. En la Figura 6 se puede observar la gráfica de f 1. Figura 6: Acercamiento de la gráfica de f 1 (x) = x sen 1 x cerca del punto (0, 0) 11

12 3. Notemos que f 1 es un producto de dos funciones continuas en R \ {0} y más aún f 1 es una función continua en 0 porque si (x n ) es cualquier sucesión tal que x n 0 entonces tenemos que f (x n ) x n y por tanto f (x n ) 0. De esta manera, podemos afirmar que la función f 1 es continua en R. 4. f 1 es infinitamente diferenciable para todo x R que sea diferente de cero. En particular, tenemos f 1(x) = sen 1 x 1 x cos 1 x y f 1 (x) = 1 x sen 1, para x R \ {0}. 3 x Es claro que, para δ > 0, f 1 y f 1 en ( δ, 0). son funciones no acotadas en el (0, δ), así como 5. f 1 no es diferenciable en 0. Esto es debido a que las derivadas por la derecha y la izquierda de f 1 en 0 no existen, es decir lím x 0+ f 1 (x) f 1 (0) x 0 = lím x 0+ sen 1 x y lím x 0 f 1 (x) f 1 (0) x 0 no existen, como se vio en el inciso 1 de la Proposición (2.1). Ejemplo 3.2. Sea f 2 : R R definida por { x f 2 (t) = 2 sen 1 x, si x = 0; Algunas propiedades de esta función son las siguientes: 1. f 2 es una función impar. = lím x 0 sen 1 x. 2. Para cada a R, f 2 es una función no acotada en el intervalo (a, ). Esto se sigue del hecho que así que sen 1/x 1/x 1 cuando x, f 2 (x) = x sen 1/x cuando x. 1/x Además, como f 2 es una función impar, tenemos que tampoco es acotada en el intervalo (, b) para cada b R. 3. Las oscilaciones de la función f 2 ver Figura 7), heredadas de la función f definida anteriormente en la ecuación (1), se acumulan de manera doble cerca del 0 debido a que f 2 (x) x 2 para todo x R. 12

13 Figura 7: Comportamiento de la gráfica de f 2 (x) = x 2 sen 1 x cerca del origen 4. f 2 es una función continua en R ya que f 2 (x) = x f 1 (x) para todo x R y la función f 1 es continua en R. 5. f 2 es infinitamente diferenciable para todo x R que sea diferente de cero. En particular, tenemos f 2(x) = 2x sen 1 x cos 1 x y f 2 (x) = 2 sen 1 x 2 x cos 1 x 1 x 2 sen 1 x, para x R \ {0}. Es claro que, f 2 es acotada en R \ {0} pero f 2 en el intervalo (0, δ), así como en ( δ, 0), para cada δ > f 2 es diferenciable en 0. De hecho, Pero f 2 f 2(0) = lím x 0 f 2 (x) f 2 (0) x 0 = lím x 0 x sen 1 x = 0. no es continua en 0 porque no existe el límite Esto es porque no existe el límite lím f x 0 2(x). lím cos 1 x 0 x. no es acotada Cabe resaltar que podemos encontrar resultados análogos para las funciones g 1, g 2 : R R definidas por { { x cos 1 g 1 (x) = x, si x = 0; x y g 2 (x) = 2 cos 1 x, si x = 0; las cuales tienen propiedades similares a las funciones f 1 y f 2, respectivamente. 13

14 3.1. Ejemplos generales En general tenemos que, para n N, si f n : R R se define por f n (x) = { x n sen 1 x, si x = 0; Entonces se cumple lo siguiente: i) Si n es par y k = n (k) 2, entonces f n existe en R, pero no es continua en 0. ii) Si n es impar y k = n 1 (k) 2, entonces f n (0) existe y es continua en R, pero f (k+1) n no existe en 0. Por otra parte, sean a, b Z con b > 0 y δ R, δ > 0. Consideremos las funciones F a,b : R R y G a,b : R R definidas por las fórmulas F a,b (x) = { x a sen 1 x b, si x = 0; G a,b (x) = { x a cos 1 x b, si x = 0; Entonces: 1. F a,b y G a,b son funciones acotadas en [ δ, δ] si y sólo si a F a,b y G a,b son funciones continuas en 0 si y sólo si a Por una parte tenemos que, si a 2, F a,b y G a,b son funciones derivables para todo x R. En este caso, F a,b : R R y G a,b : R R están dadas por F a,b (x) = G a,b (x) = { ax a 1 sen 1 bx a b 1 cos 1, si x = 0; x b x b { ax a 1 cos 1 + bx a b 1 sen 1, si x = 0; x b x b i. F a,b y G a,b ii. Por último, F a,b y G a,b son acotadas en [ δ, δ] si y sólo si a 1 + b. son continuas en 0 si y sólo si a 2 + b. Los incisos i. y ii. se pueden comprobar fácilmente si observamos el comportamiento de las funciones bx a b 1 cos 1 x b y bx a b 1 sen 1 x b. 14

15 Por otra parte, si a 1, entonces F a,b y G a,b son funciones derivables para todo x R, excepto el cero. Es decir, F a,b y G a,b no son derivables en 0. Por último veamos un par ejemplos particulares al respecto de este tipo de funciones. Ejemplo 3.3. Sean a = 2 y b = 2. Entonces tenemos las funciones F 2,2 : R R y G 2,2 : R R definidas como F 2,2 (x) = { x 2 sen 1 x 2, si x = 0; G 2,2 (x) = { x 2 cos 1 x 2, si x = 0; El comportamiento cerca del origen de ambas funciones se pueden apreciar en las Figuras 8 y 9. Figura 8: Gráfica de F 2,2 (x) = x 2 sen 1 x 2 Figura 9: Gráfica de G 2,2 (x) = x 2 cos 1 x 2 No es difícil demostrar que F 2,2 y G 2,2 son funciones derivables para todo x R. De hecho F 2,2 (x) = G 2,2 (x) = { 2x sen 1 2 x 2 x cos 1, si x = 0; x 2 { 2x cos x 2 x sen 1, si x = 0; x 2 15

16 Las Figuras 10 y 11 muestran el comportamiento de ambas funciones cerca del cero. Figura 10: Gráfica de F 2,2 (x) Figura 11: Gráfica de G 2,2 (x) Aunque las derivadas F 2,2 y G 2,2 existen, resulta que no son continuas en 0. Por último, sea δ > 0. Notemos que F 2,2 G 2,2 no son acotadas en [ δ, δ]. Esto es debido al comportamiento de las funciones 2 x cos 1 x 2 las cuales no son acotadas en [ δ, δ]. y 2 x sen 1 x 2 16

17 Referencias [1] Bartle, R. G. & Ionescu Tulcea, C. (1968). Calculus. USA: Scott, Foresman and Company. [2] Ghorpade, S. R. & Limaye, B. V. (2006). A Course in Calculus and Real Analysis. Springer Science+Business Media. New York. 17