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1 ", CONSTRUCC10N AX10MAT1CA DE LOS NUMEROS REALES ============================================= por Hernando ;- PEREZ, 10 ~~E1~QQ~. Llaareos conjunto de los nueros reales a un conjunto (que denotareos por R) provisto de dos operaciones (+,.) y una relacion binaria «) tales que: Axioas algebraicos: (Al) Dados a, b eleentos de R, se tieneque a + b b + a y a b b-a. (A2) Si a, b, c son eleentos de R,entonces a + (b + c) = (a + b) + c y a-(b-c) = (a..b)-c (A3) Existen en R eleentos que denotareos por 0 y 1. ( 0 1) tales que ai a es un ntiero real cualquiera, entoncea a + o = a y 80 = a. (A4) Si a s b son ntieros reales y b 0, entonces existen a y b b_b- l = 1. (A5) Si a, b, c, son eleentos de R, entonces Axioas de orden: (01) Para a, b eleentos de R, se verifica una sola de las sig~ientes a- firaciones: a = b, a < b, b < a (02) Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a-b. (,03) S:L" a < b ent onces a + c < b + c, cualesquiera que sea c. (04) Si a < b Y b< c entonces a < c. Axioa topologico: (T) Todo subconjunto de R no vacio y acotado superiorente, adite un extreo superior.

2 NOTA 1. Si 0' es un eleento de R tal que a + 0'= a cualquiera que sea a en R, entonces 0'= 0' + 0 = 0 + 0'= O. De anera que, 0 es el u- nico elernento que satisface ssta propiedad. Podeos hacer la isa anotacion sabre 1. NOTA 2. Si a es un ntiero real dado y a' es un ntiero real tal que a + a' 0, entonces a'= a'+ 0 = a'+ (a + a) = (a'+ a) + a = (a + a') + a = o + a a. Dernanera que, cada ntiero real a tiene un tinico~lesto aditivo a. De la isa anera, podeos anotar que todo ntiero real diferente de 0 tiene un unico opuesto ultiplicativo. NOTA 3. De los axioas (Al) y (A5) podeos concluir 10 siguiente: a-(b + c) = (b + e)'a a-(b + c) = a-b + a -c b a + ca, de rnanera que (b + e)-a = b a + e,a Deostrareos ahora algunas propiedades iportantes. EBQEQ~~Q~Q~ 1. a. 0 = O. ~~Q~M4 1. Dados a, b eleentos de R, existe un tinico x en R tal ========= que a + x = b. Deostracion:a) Existencia. El nuero real a + b as tal que ========== a + (a; + b) = b b)!~~~~~~~o Si xl s x 2 son tales que a + xl = _b Y a + :%:2 = b, entonce-s a + xl = a + x 2 ' de anera que a + (a + xl) = a + (a + :%:2)' yentonces x l = QQBQ1~B~Q 1. Para a, b eleentos de R se cuple que a'b = a b. Deostracion: En efeeto, segun (A4), a b + aob_= 0, de anera que a~b es el unico, x tal que a.b + x = 0-, perc a,b + a:-.-b = (a + a:).b= O b = OJ es decir, a b + a..b = 0, por 10 tanto, a; b = a;q. ~16~

3 fqbq1~bq 2. Para a, b eleentos de R se cuple qua a"b = abo Deostracion: SegUn el corolario 1, teneos a#b + aob = 0; perc a b + a b = i. (b + b) = iioo = 0, luego a. b + a::b' = 0 y utilizando el teorerna l? concluios aob = a-b.= 0 fqbq1~bq 3. (a + b) = a + b. Deostracion: Teneos (a + b) + (a + b) :::: ~,a + b) + aj + b la + (b + a)) + b :::: la + (a: + b)1+ b = La + (a: + b)1 + b :::: lea + a) + b 1+ b (0 + b) + b = b + b 0, y coo (a + b) es (ico, resulta (a + b) = - a + "b. EBQEQefQ! 2. Si a as un nuero real diferenta de cero, entonces o < a a. Deostracion: Si a 0 entonces a < 0 o o < a ((01)), Supongaos que o < a, entonces 0 < a a, segun (02). Si a < 0, entonces a + a < o + a, segun (03), yentonoes 0 < a y, por 10 tanto, 0 < a'a a a. fqbq1!bq 10 0 < 10 Deostracion: 0 < 1 = 1. QQBQ1!BQ 2, El eleento :::: 2 es tal que 0 < 2. Deostracion: 0 < 1::::> < 1 + 1, es decir, 1 < 2, 3, por 10 tanto, 0 < 2? segun (04)0 PROPOSCON 3. Si a < b Z. 0 < o entonces a"c < b- c Deostracion: Si a < b entonces a + a < b + a, por (03), o sea 0 < b + a, y, por 10 tanto, o < (b + a).c? es deoir, 0 < boo + a-c :::: b'o + a'o, y entonces a'c < (boo + aoc) + a'c, as deoir, a"c < b c., rbqrqeqfq! 4, Si 0 < a entonces 0 < a Deostracion: Si a < 0 entonces a a < 0 a, as decir, 1 < 0, contrario a1 corolario 1 de la proposicion 2. Si a ::::0, entonces a - a Ooa, o sea 1 :::: 0, 10 cual es tabi~n contradictorio, De anera que, segun el axioa (01), 7-

4 debeos tener 0 < a- l En particular, 0 < 2-1 EBQEQ fqq~ 5 Si a, b son nueros reales tales que a < b, exist. un x en R tal que a < x Z x < b (a < x < b). Deostracion: Si a < b, entonces a + a < a + b < a + b.} b + b => => :.: : : :.:} -> Toando :x: = la proposicion queda deostrada. Observese que, coo a <:x: y x < b podeos encontrar y, z en R tales que a < y < x Z x < z < b. Aplicando este razonaiento repetidas veces, observaos que es un conjunto bastante grande. /' ;QJ2:Ef~fQfQ~1. Un subconjunto de R se llaa inductivo si satisface la propiedad siguiente: (J) Si x es un eleento de entonces x + 1 es un e1eento de. Par ejeplo, el con junto R es obviaente un conjunto inductivo; e1 conjunto = {O,1\ no es inductivo pues 1 es un eleento de, perc ~ 2 no es eleento de. Si a es un nuero real dado, llaareos 1a colee cion de todos los subconjuntos indcutivos de R que contienen a a; observeos que ~ es un eleento de esta colee cion. El conjunto = a n F ae'! a es un conjunto inductivo, pues si x es un eleen- to de entonces x es un eleento de cualquier F de 1a coleccion a por tanto, x + 1 tabien es un eleento de cualquiera de estos F, pues ellos son inductivos, y esto significa que x + 1 es un eleento de a Es claro t abi.en que a es un eleento de. Asi pues, es e1 enorconjunto ina a ductivo de nueros reales que contiene'a a. 8- <f'a y

5 ~ EfEfQfQ~2. Al conjunto N :1;0 10 llaaos el conjunto de los nueros naturales de R. Seg( la definicion, N es el enor subconjunto inductivo quecontiene a o. Es facil ve:r que a a + N = ta + n ; n E tr}. ~BQEQ!QfQE6. Si, n son eleentos de N, entonces + n es eleento de f. Deostracion: Toeos un eleento cualquiera de N. Definios +netr} (x as e1 conjunto de todos los eleentos n de N tales que + n es un e- leento de N). o E X pues + 0 = EN Si n EX, entonces + n E ti, y coo N es inductivo, entonces ( + n) + 1 E N, 10 cual significa que n + 1 EX Teneos, pues, que X contiene a 0, es inductivq y es un subconjunto de N, por 10 tanto, X = N, segun la definicion de N. Esto deuestra la proposicion. ~BQ~Q lqfq~7. Si,n son n-ueros naturales entonces en tabien es un ntiero natural. ~BQ~Q fqfq~8. Si n E N, entonces n = < n (es decir, 0 < n). Deo st r ao i.sne Sea X = { n E i ; o - < n \, teneos 0 E X ya que 0 < o. Si n E X, entonces 0 < n y, por 10 tanto, < n + 1, y entonces o < 1 < n + 1, de donde deducios n + 1 E X. Conc1u1os que X = N. Deostracion: = t EN; Sea X = { E N 0 1 lot. a) Sabeos que = {n+1 n EN}, por 10 tanto, 1 1 en. Adeas, segun 1a proposicion anterior, 0 < n + 1; perc n + 1 = 0, iplica n = 1, 10 cual es iposible, pues n E N Y entonces 0 < n (0 < 1 ip1ica 1 < 0); de anera que, o < n+1 y esto nos perite concluir que 1 1 c X. b) De otra parte, X as un 00njunto inductivo que eontiena a 1, 10 eual nos perite afirar que X c

6 QQBQ~~B~Q. Todo eleento de i diferente de a puede escribirse coo = n+l, donde n pertenece a N. EBQEQ fqfq~ 10. Si, n E N Z n <, entonces + n E fl. Deo st r-aclon e Sea X = {n E i; cualquiera sea E fi con n < se tiene + n EN}. a E X, pues a = a y + a. Adeas, X es inductivo: en~ecto, supongaos que n E X yescojaos EN tal que n+l <, entonces n < y, por 10 tanto, + n E N, perc + n f 0, PU9S de 10 contrario n; de anera que, + n = k + 1, con ken; de 10 cual podeos concluir que ( + n) + 1= k. a sea que + (n + 1) pertenece a N, 10 cual significa que n+l E X. Se concluye entonces que X = N. EBQ!:Q fqfq~11. Si x E R es tal que a < x < 1, entonces x i N. Deostracion: Supongaos que existe x ENtal que a < x < 1. Coo x f 0, x = k + 1, con ken; entonces k + 1 < 1 y concluios que k < 0, Y esto contradice la proposicion 8. QQBQ~~RJQ. Si n E iz x E R son tales que n < x < n+l, entonces x i N. Deostracion: Suponiendo que existe x ENtal que n < x < n + 1, entonces a < x + n < 1, y coo n < x, x + n E N, por la proposicion la, contradiciendo la proposicion anterior. es un subconjunto de i entonces existe un eleento k o E T tal que si k E T entonces k < k, o Deostracion: Si 0 E T, entonces toando k = a el teorea queda de-.0 ostrado segun la proposicion 8. Si 0 i T, foreos el conjunto H={nEi;(Y)(EN y <n entonces it)} a es un eleento de H y si H fuese inductivo, entonces H = N de anera que T ~. Deanera que existe k l E H tal que k l + 1 i H. Toando k o tendreos que k E T~ ~ues de 10 contrario, o k l + 1 E H. Adeas, si k E T entonces k o < k, -20- k = o ya que k < k o iplica

7 (k l < k < kl+l = k o ' no es posible) y entonces kit. V. APLCACONES MPORTANTES DEL AXOMA TOPOLOG1CO. E~plicaci6n: Si A es un subconjunto de ~,un eleento belt se dice una cota supeior de A si (V a E A)( a ~ b). Una cota superior b de A se dice un extreo superior de A ~ si~toda otra cota superior c de A se tiene b < c. El axioa (T) afira que todo subconjunto no vacio A de fl tiene un extreo superior. NOTA 3. Si b as una cota supeior de A, todo ntiero real ayor que b es tabien una cota superior de A. El extreo superior de A es unico ya que el es la cota superior inia. rbq;eq lqtq~ 12. El conjunto N de los nueros naturales no esta acotado superiorente. Deostraci6n: Si Nesta acotado superiorente, podeos afirar que existe el extreo superior b de N. Coo b + 1 < b, entonces b + 1 no puede ser una cota superior de N, 10 cual nos perite afirar que existe n E fi tal que b + 1 < n, y entonces b < n + 1, 10 cual es iposible, pues n+l E fi y b es una cota superior de N. ;EBQ;EQ lqtq~ 13 (Propiedad arquiediana). Si x, y son nueros reales con o < x, existe ne l tal que y < nx. Deostraci6n: Si y < 0 podeos toar n =: 1. Supongaos, pue s, que 0 < y y que para todo n E 1 1 se tiene nx ~ s- El conjunto A {roc n E 1 1 } es entonces acotado, y, por 10 tanto, existe M E t tal que M es el extreo superi r de A. Por otra parte, A = t(n+l)x,. n E 1 2 ~ ; luego, si n E 1 2, i E 1 1 y, per 10 tanto, nx ~ M; entonces (n+'i)x< M + x, de 10 - cual concluios que M + x es una cota superior de A. Pero esto es iposible, pues M + x < M, y M es la enor cota superior de A. -21-

8 DEPARTAMENTO DE MATEMATCAS Y ESTADSTCA UNVERSDAD NACONAL DE COLOMBA (Recibido en octubde. de 1968) CONJUNTOS Y FUNCONES ===================== por Henri YERLY Este trabajo uy sencillo, tendra tres partes: 1) Conjuntos, 2) Funciones, 3) Estructuras. Al abrir un texto de Calculo 0 de Analisis ( Apostol 6 Rudin), uno de A1gebra(Hertein), uno de Top010gia (Sionns), se encuentra generalente un capitulo inicial en e1 cual se trata de funciones y con juntos. La Mateatica entera se basa sobre esas nociones. Godeent, uno de los ateaticos franceses del grupo N. Bourbaki, al principio de su algebra, al hablar de las nociones de conjunto y funcion, dice que sin ellas no se puede hacer nada en Mateaticas, y con ellas, al contrario, se puede hacer todo. Too la palabra conjunto con su sentido coun de coleccion de objetos concretos 6 abstractos, llaados eleentos 0 puntos del conjunto. Coo ejeplos se pueden dar: Una clase: conjunto de alunos que estudian juntos una ateria, bajo la direccion de un profesor. Un rao: conjunto de flores unidas por una cinta. El conjunto de los puntos de una recta. El conjunto N de los enteros positivos. Los conjuntos Z,~, R~ C de los nueros enteros, racionales, reales, coplejos, respectivaente. Para que un conjunto E esta deterinado, hay que saber exactaente cual es su coposicion. Dado un objeto a, debe haber una respuesta unica, si 0 no, a la pregunta: l Es a un eleento de E? No es un con junto bien definido el - 22-