GRUPOS ORNAMENTALES: LA GEOMETRÍA Y EL ÁLGEBRA SUBYACENTES EN FRIZOS, MOSAICOS Y ROSETONES

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1 GRUPOS ORNAMENTALES: LA GEOMETRÍA Y EL ÁLGEBRA SUBYACENTES EN FRIZOS, MOSAICOS Y ROSETONES Raón Sellanes Ana Laura Nuin proferaon1@gail.co analauranuin@gail.co Facultad de Arquitectura Diseño y Urbaniso de la Universidad de la República Uruguay Tea: Forción de profesores y aestros Modalidad: Mini curso Niveleducativo:Terciario Palabras clave: Mateática y Arte, Geoetría en el plano, Estructuras Algebraicas Resuen El objetivo de este curso es poner de relieve la ateática presente en figuras que se caracterizan por ser siétricas y que han forado parte iportante de los diseños artísticos de diversas culturas a lo largo de la historia; tal es el caso de los frisos, osaicos y rosetones. En este curso realizareos una soera revisión de las sietrías de algunas figuras geoétricas, estudiareos algunos Subgrupos del Grupo de Isoetrías del Plano relacionados con las isas y presentareos el uso del prograa GeCla para la clasificación y diseño de frisos, osaicos y rosetones; el cual consideraos de interés para las actividades de aula con estudiantes de Educación Priaria y Secundaria. Al finalizar este curso se espera que los participantes cuenten con nuevos eleentos para apreciar los vínculos entre la ateática y el arte, las relaciones entre la geoetría y el álgebra y algunas aplicaciones didácticas de la teática desarrollada. INTRODUCCIÓN El desarrollo del pensaiento huano a lo largo de la historia y ás recienteente: el desarrollo de las disciplinas en las que parcelaos sus creaciones, nos han llevado a concebir a la ateática y al arte coo foras expresión de naturaleza uydiferenteyquizás antagónicas, en cuánto a sus étodos; pero si nos deteneos a observar cóo trabajan artistas y ateáticos podeos encontrarnos con ás siilitudes que diferencias. Creeos que las coincidencias pueden serobservadas no solo en la actividad de los centros de producción científica o en los talleres de los Actas del CUREM 6 ISSN

2 grandes artistas sino tabién en la actividad de un niño o de un joven que se enfrenta a un desafío que lo otiva a crear: ciencia o arte...o abas... La Geoetría es la raa de la ateática que generalente hallaos ás vinculada con el arte. Los patrones que reconoceos en los osaicos, frisos y rosetones realizados por diversas culturas en diferentes épocas y lugares son un claro ejeplo de aronía, belleza, destrezas anuales, técnicas y conociiento ateático. Sus creadores en su tiepo quizás no recibieron denoinaciones tales coo: "artista", "geóetra", "especialista en cálculo" o "tallador de piedras"...quién sabe...la creación y transisión por vía de la tradición tal vez no fueron contrapuestas entonces; sino que se copleentaron, retroalientando y enriqueciendo el proceso creativo. Consideraos que evidenciar la ateática presente en el arte y el arte en la ateática, es una tarea a ser desarrollada en el ábito educativo en todos sus niveles. En ese sentido nuestra propuesta, que ha sido pensada para participantes de nivel terciario, puede ser trabajada con estudiantes de todas las edades; quiénes partiendo de una apreciación estética y de un acercaiento intuitivo en la búsqueda y descubriiento de regularidades, construyan conceptos tales coo el de Isoetría o el de Grupo. Aquellos que conocen los encionados conceptos, se adentrarán con ás profundidad en el estudio de las estructuras algebraicas asociadas a las figuras geoétricas que se caracterizan por ser siétricas. Sietría y Figuras Siétricas En un sentido general, la sietría puede definirse coo:"la aronía resultante de ciertas posiciones de los eleentos que constituyen un conjunto,esdecir,significa bien proporcionado, con equilibrio de foras... (Weyl, 1951). Veos entonces que se asocia sietría a aronía y belleza estética; por otra parte otros autores la vinculan con el arte: el arte, en sus variadas anifestaciones, hace uso de la sietría con el fin de lograr belleza, equilibrio y la aronía de los eleentos que utiliza (MJOCH, 2000). En un sentido ateático, la noción de sietría es un concepto preciso que viene dado por edio de una aplicación entre eleentos de conjuntos: Dado un cuerpo, una figura en el plano o en el espacio, es siétrica con respecto a un punto, a una recta o a un plano dado si se transfora en sí isa al reflejarse con Actas del CUREM 6 ISSN

3 respecto a dicho punto, recta o plano. Este reflejarse puede darse a través de ciertos oviientos rígidos o Isoetrías que al ser aplicados a esta figura la dejan invariante. Las Isoetrías del Plano son aquellas transforaciones que conservan distancias y en consecuencia que no cabian la fora ni las diensiones de las figuras; éstas son: las Sietrías (Reflexiones), las Rotaciones, las Traslaciones, la Reflexión con deslizaiento (Antitraslación) y la Identidad. Al estudiar qué Isoetrías dejan invariante a una figura en el plano, nos aproxiareos a las estructuras algebraicas propias del Grupo de las Isoetrías del Plano. Analizareos aquellos Subgrupos característicos de las figuras que peranecen invariantes a través de deterinadas Reflexiones, Rotaciones o cobinaciones de ellas. A estas transforaciones les llaareos Sietrías de la figura en cuestión. Grupos Cíclicos, Grupos de Leonardo y Grupos Diedrales. Existe una aplia clasificación en cuanto a las Sietrías de las figuras planas, pero dado que el objetivo principal de este curso es el estudio de algunas de estas Sietrías presentes en Frisos, Mosaicos y Rosetones, nos centrareos en algunas de ellas: La Sietría Cíclica es aquella en la cuál las figuras tienen un Centro de Sietría; la estructura algebraica asociada a estas transforaciones, que se generan por edio de rotaciones de ángulo /n o 360 /n, son los llaados Grupos Cíclicos que foran parte de los llaados Grupos de Leonardo. La Sietría Diedral, es aquella en que la cual las figuras peranecen invariantes en una transforación resultante de la coposición de una Rotación y una Reflexión. La estructura algebraica asociada a estas transforaciones se denoina Grupos Diedrales. (Para todas las Isoetrías que pertenecen a los encionados grupos, se prueba que tienen un punto fijo O y seque tal grupo solo puede tener rotaciones de centro en el punto O y reflexiones respecto de ejes que pasan por O, es decir, no presentan traslaciones, coo vereos ás adelante). Existen otros Grupos de Sietríasdel plano: los Grupos Cristalográficos asociados a distintos recubriientos del plano con figuras tales coo los osaicos, ropecabezas y teselaciones. En estos grupos hay traslaciones en dos direcciones: Se trata de ornaentar, decorar, un plano bajo ciertas condiciones: a partir de una figura o Actas del CUREM 6 ISSN

4 otivo generador y ediante periodicidad y acoplaiento recubrir el plano. (Mjoch, 2000). Frisos, Mosaicos y Rosetones Friso: es un eleento arquitectónico del entablaiento, coprendido entre el arquitrabe y la cornisa, que suele estar cubierta de decoración escultórica. En el lenguaje cotidiano, se llaa friso a toda coposición pintada o esculpida cuya diensión horizontal sea considerableente superior a la vertical. El grupo de sietrías del friso consta de aquellas sietrías del plano que dejan fija una recta y que contiene traslaciones sólo en esa dirección. Mosaicos: nos referios a un recubriiento del plano con figuras que no dejen espacios vacíos y que a la vez no se superpongan entre ellas. Los regulares están forados por polígonos regulares del iso taaño (triángulos, cuadriláteros y hexágonos) y los seirregulares forados por dos o ás polígonos regulares de diensiones adecuadas para que se acoplen. Rosetones: Un rosetón es un adorno circular, (que puede observarse con frecuencia en las luinarias de los teplos), construido a partir de un otivo que se repite por aplicación de una Rotación con centro en el centro de la figura.el otivo básico que se utiliza para la creación de un rosetón se denoínapétalo, éstos pueden ser o no siétricos. Un rosetón es diédrico si sus pétalos son siétricos y cíclico si no lo son. El núero de pétalos del rosetón deterina su orden. En un rosetón de orden n, secuple la siguiente propiedad: peranece fijo al aplicársele una Rotación cuyo ángulo de giro es de aplitud /n con centro en el centro del rosetón. (Un giro con iso cento y cuya aplitud sea nun últiplo de la edida del ángulo anteriorente encionado tabién dejará invariante a la figura). Adeás de los frisos, osaicos y rosetones que estudiareos en este trabajo, existen otras conforaciones de interés ateático y artístico denoinadas Mosaicos de Penrose que han surgido en la búsqueda de foras de teselar un plano, es decir, al experientar con las diferentes aneras de cubrirlo. Actas del CUREM 6 ISSN

5 Para teselar un plano con osaicos no solo se utilizan polígonos regulares, ya que estos son ódulos básicos que se pueden deforar y ser soetidos a un conjunto de transforaciones, resultando un odelo generador con figuras alusivas. Las teselaciones pueden a su vez ser periódicas, en esos casos se liita la región ediante dos traslaciones independientes sin necesidad de rotaciones y reflexiones, o no periódicas, (osaicos de Penrose), en los cuáles las figuras que cubren el plano ya no son sólo polígonos regulares sino figuras ucho ás coplejas. Tras todas estas generalidades, lo que buscaos es interrelacionar dichas sietrías, presentes en representaciones artísticas de La Alhabra en Granada, coo uestran las siguintes iágenes, estudiando las estructuras algebraicas asociadas a las isas. Grupos Definición:Dado un conjunto G y una operación interna(*) definida en G, al par(g, ), le llaaos Grupo o sipleente a G si la operación interna es sobreentendida, si se cuplen las siguientes propiedades: Asociativaa (b c) = (a b) cpara todo a, b, c G. Neutro e G, tal que e a = a e = a para todo a G. Opuesto Para todo a Gexiste un eleento a Gtal que: a a = a a = e Ejeplos: El conjunto de los núeros enteros Z con la operación interna de sua + es un grupo, que llaareos aditivo. El conjunto de todas las isoetrías con la operación interna de coposición es un grupo. Actas del CUREM 6 ISSN

6 Definición: Si (G, ) es un grupo, dado un eleento σ Gse define sus potencias enteras σ k con k Z ediante las igualdades siguientes: Si k = 0 se define σ k = e siendo e el eleento neutro del grupo. Si k 1 se define: σ 1 = σ σ 2 = σ σ σ 3 = σ 2 σ σ k+1 = σ k σ Si k < 0, coo k > 0, se define: σ k = (σ k ) 1 Definición: Si G es un grupo, su orden es el cardinal del conjunto G y lo denotaos G. Un grupo finito es un grupo G cuyo orden es finito, G N. Un grupo infinito es un grupo que no es finito. Definición:SiG es un grupo y σ Ges cualquier eleento, direos que σ tiene orden infinito si para cualquier entero k 1 se tiene que σ k e. Es decir que ninguna potencia con k positiva se uere. Si existe algún k 1 tal que σ k = e al enor de esto enteros positivos se le llaa orden de σ. Por ejeplo el orden de e es 1; y e es el único eleento del grupo con orden 1 en G, Si σ e, el orden de σ es k si σ k = e y σ i e para todo 1 i < k. Observación: Si G es un grupo finito, de orden n, entonces cualquier eleento a G tiene orden enor o igual a n. Deostración Supongaos por lo contrario, por ejeplo si a G tiene orden k > n, entonces en G estarían los eleentos a 1, a 2, a 3, a k, todos distintos ya que si existieran je iconj itales que a i = a j podeos suponer sin pérdida de generalidad que j > i entonces: e = a i a i = a j a i = a j i con j i < k lo que es absurdo por la definición de orden. Sietrías de una figura Definición:Dada una figura plana F denotaos coo S F al conjunto de todas las isoetrías que preservan la figuraf, es decir: Actas del CUREM 6 ISSN

7 S F = {M M: M(F) = F} A S F es lo que llaareosconjunto de sietrías de una figura F. Nos preguntaos si el conjunto de sietrías del triángulo fora un Grupo con la coposición. Sietrías del triángulo Para responder a dicha interrogante, podeos realizar un estudio exhaustivo, ediante tablas en las que ireos copletando todas y cada una de las coposiciones; luego, analizar, en base a los resultados obtenidos, si el conjunto de las sietrías con la coposición cuple con las propiedades que enunciaos anteriorente al definir Grupo. Dejaos esta tarea al lector... Efectivaente el conjunto de sietrías del triángulo con la coposición foran grupo. Y llaareos a este grupo, grupo diedral de orden 3 que denotaos pord 3. Estudiareos ahora las sietrías del cuadrado. Sietrías de cuadrado Se puede coprobar, análogaente, que el conjunto de las sietrías del cuadrado con la coposición es un grupo que llaareos diedral de orden 4 y denotaos D 4. Estudiareos seguidaente el caso del rectángulo. Sietrías del rectángulo Realizando la tabla se verifica fácilente que el conjunto de las sietrías del rectángulo con la coposición son un grupo denoinadogrupo de Klein,(en honor a Felix Klein), que se trata de un grupo diedral de orden 2. Avanzareos ahora en nuestro estudio de las estructuras algebraicas asociadas a las figuras geoétricas que se caracterizan por ser siétricas introducioendo un nuevo concepto: Subgrupo Dado un grupo (G, ) sea H φ un subconjunto de G, se dice que H es un subgrupo de G si se cuplen las condiciones siguientes: Para todo x, y H, se tiene que x y H. El eleento neutro de la operación interna * pertenece a H. Para todo x H se tiene que x(o x 1 ) pertenece a H. Actas del CUREM 6 ISSN

8 Ejeplos: Dado un grupo (G, ) teneos los subgrupos llaados triviales: Si H tiene un único eleento que es el neutro. Otro subgrupo trivial es el propio G. A los subgrupos distintos de los anteriores les llaareos subgrupos propios. Otros ejeplos de subgrupos: En las sietrías del triángulo, si consideraos el subconjunto forado por la identidad ás las rotaciones de horarias de 120 y de 240 se tiene que es un subgrupo ya que: 1) Contiene la Identidad. 2) La coposición de dos de ellos da uno de ellos. La coposición de dos rotaciones de igual centro siepre es una rotación de igual centro, y coo los ángulos se suan, las suas posibles son =360 ; =240 ; =120. 3) La rotación de 120 tiene coo inversa la de 240. En las sietrías del cuadrado el conjunto forado por todas las rotaciones tabién es un subgrupo. Grupo de Leonardo Definición:Al grupo de sietrías de una figurafse llaa Grupo de Leonardo si S F es un grupo finito y existe un punto O de F, fijo por todos los eleentos de S F. A dicho punto se le denoina centro de sietría de F. Teorea:El grupo de sietrías llaado de Leonardo son los grupos cíclicosc n o los diedralesd n, para n =1,2,... Vaos a deostrar algo ás genérico: Teorea:Todo grupo finito de sietrías de una figura plana es el grupo cíclico C n o el grupo diedrald n. O aún ás genérico: Teorea:Todo grupo finito de isoetrías del plano esc n o D n. Deostración Sea G un grupo finito de isoetrías del plano. Vaos a hacer las siguientes afiraciones: 1) El grupo G no puede tener Traslaciones. Actas del CUREM 6 ISSN

9 Deostración (1): Si tuviera una traslación T v de vector v, tabién tendría (T v ) n = T nv con n N, que son infinitas traslaciones todas distintas, lo que contradice el hecho de tener sólo un núero finito de eleentos. 2) El grupo G tapoco puede tener sietrías con deslizaientos (antitraslaciones), ya que una sietría con deslizaiento por si isa es igual a una traslación. AsíG contiene solaente reflexiones y rotaciones. 3) Todas las rotaciones de G tienen el iso centro. Deostración (3): Supongaos que no es así, es decir que existen dos rotaciones de centros A y B con A B. O sea teneos, R A,α, R B,β dos rotaciones de sentido horario de G cona B. Diferencieos a su vez dos casos a) α + β = 2kπ En prier lugar, por ser G un grupo se tiene quer A,α R B,β pertenece a G y en segundo lugar ya sabeos que esa coposición es una traslación, lo que nos daría de nuevo infinitos eleentos en G por lo que no puede ser. b) α + β 2kπ. Coo G es un grupo,r A,α, R B,β, tienen inversos en G y la siguiente coposición tabién debe estar en G. R A,α R B,β (R A,α ) 1 (R B,β ) 1 = R A,α R B,β R A, α R B, β Afiraos que esto es una traslación dado que: por ser α + β 2kπ se tiene que R A,α R B,β = R C,α+β y R A, α R B, β = R C, α β entonces: R A,α R B,β R A, α R B, β = R C,α+β R B, α β Y coo α + β (α + β) = 0 y C C se tiene que esta últia coposición da coo resultado una traslación, lo cual es absurdo. En conclusión, deostraos hasta ahora que si G tiene rotaciones, estas tiene el iso centro. 4) Si denotaos las isas coo R O,0, R O,α1, R O,α2,, R O,αt con los α i ánguloscoprendidos entre 0 y. Y suponeos que α 1 es el enor de ellos, entonces los restantes ángulos deben ser un últiplo de α 1. Actas del CUREM 6 ISSN

10 Deostración de la afiración 4) Si no fuera así habría un α j que no sería últiplo de α 1 y por lo tanto al dividirlo por α 1 nos da un cierto resto no nulo, o sea que podeos escribir: α j = kα 1 + r con r tal que0 < r < α 1 0 y se tiene que: R O,r = R O,αj kα 1 = R O,αj (R O,α1 ) k G es decir tendreos una rotación en G cuyo ángulo es enor que α 1 lo cual es absurdo por la elección que hicios de α 1. Sea h el orden de la rotación R O,α1 eso quiere decir que (R O,α1 ) h = Id α 1 = h y por lo tanto las rotaciones son exactaente: R O,0, R O, h, R O,2,, R O,(h 1). Es decir que las rotaciones de G son el grupo C h Si G no contiene reflexiones entonces G = C h Supongaos ahora que G contiene al enos alguna reflexión, sea esta S p. Si consideraos los eleentos de G que preservan la orientación y si denoinaos a estos G +. Se tiene que G + Gy por lo tanto finito. Si aplicaos a G + lo ya probado se tiene que G + = C para algún. Es decirg + = {R O,0, R O,,, R O,( 1) }. Ahora bien, las coposiciones S p R O,i invierten todos la orientación, pues son coposición de uno que no lo invierte con uno que si lo invierte. Coo los únicos eleentos de G que invierten el planos son las reflexiones (ya probaos que no hay reflexiones con deslizaiento), dichas coposiciones tienen que ser reflexiones lo que indica que O p y adeás los ejes de las reflexioness p R O,i tabién tiene eje tal que contiene a O. Por otro lado sin 1 n 2 lo que iplica S p R O,n1 h S p R O,n2 Adeás no hay ás reflexiones, ya que si hubiese otra reflexións q se tiene que S p S q G + y entonces S p S q = R O,n iebros por S p para algún n {1,2,, } ultiplicando abos S p S p S q = S p R O,n h Actas del CUREM 6 ISSN

11 y por lo tanto S q = S p R O,n Por lo tanto G está forado por {R O,n : n = 0,1,2,, } y {S p R O,n : n = 0,1,2, }, es decir es el grupo diedral. Referencias bibliográficas Arstrong, M. A (1988). Groups and Syetry. EE UU: Springer. Blanco, M. (1994). Moviientos y sietrías. España: Universidad de Valladolid. Costa, A.. (2009). Una introducción a la sietría. España: UNED. Hidalgo L..(2006). Mosaicos. México: Instituto de Mateática de la UNAM. Martin, G.(1982). Transforation Geoetry. EE UU: Springer. Actas del CUREM 6 ISSN