Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales Ángel Carmelo Prieto Colorado

Transcripción

1 Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales Ángel Carelo Prieto Colorado Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía. Facultad de Ciencias. Universidad de Valladolid.

2 Bases Cristalográficas Tea 9 Asociación de eleentos de sietría: Noción de grupo ateático Sietría puntual: Grupos puntuales de sietría en dos y tres diensiones Síbolos de los grupos puntuales

3 Asociación de eleentos de sietría: Noción de grupo ateático Estructura de Grupo Mateático De todas las posibles cobinaciones de eleentos de sietría (1, n, n y ), copatibles con {T=pt} en el espacio bi y tridiensional, solo existen 10 y 3 posibles estructuras de grupo ateático, respectivaente. Son los grupos puntuales cristalográficos, denoinados así porque dejan invariante un punto en el espacio. Ese punto invariante -coún a todos los eleentos de sietría del grupo- se toa coo centro u origen del sistea de referencia cristalográfico.

4 Un conjunto de operadores de sietría (R), tienen estructura de Grupo, respecto de la operación producto, si cuplen las siguientes propiedades: Cerrada: A,B {G} A*B {G} Asociativa: A,B,C {G} (A*B)*C A*(B*C) Eleento Neutro: A {G} E (A*E) (E*A) A Elt. Inverso A {G} A -1 (A*A -1 ) (A -1 *A) E G. Abeliano: A,B {G} (A*B) (B*A) G. Cíclico: A {G} (A,A 1,A,... A n ) E

5 Sietría puntual: Grupos puntuales de sietría en dos y tres diensiones Eleentos de sietría en 1D, y D Centros de Rotación: n Lineas de Reflexión 1 1D y Ξ 1 D 3 4 6

6 GSP D :

7 Sietría puntual: Grupos puntuales de sietría en dos y tres diensiones Eleentos de sietría en 3D Ejes de Rotación propios: n Planos de Reflexión Ejes de Rotación ipropios: n 1 1 3D

8 Propiedades de los operadores de sietría 1 Si n;(n = n) 1 en la intersección Si ( :θ = π /n) n :θ = π /n 3 Si,#,##...en[ UVW ] n... 1 n 4 Si [ ; ;1 ] ( 1 );( 1 );( 1 ) 5 Si n n 6 Si n no de E. generadores (n;1 ) 7 (1 S );( S 1 );(3 S 6 );(4 S 4 );(6 S 3 ) % 8 Si [ n ;n = n] ' n & ( % * //n) y ' n ) & ( * n ) )

9 Tabla de ultiplicación del Grupo de Sietría Si [ ; ;1 ] ( 1 );( 1 );( 1 ) / ü Orden del grupo: núero de eleentos de sietría

10 Posiciones equivalentes en la red (-x-yz) (-yxz) (y-xz) (xyz) ü Mutiplicidad: 4, 8, 1

11 Cobinación de ejes de rotación Cobinando n y ñ, no pueden existir dos y solo dos ejes que se corten en un punto, siepre existirá un tercer eje. Solo existen 4 posibilidades : nnn; n nn ; nn n ; n n n. Las relaciones que cuplen los lados y ángulos de un triángulo esférico o de Euler: -Un lado de un triángulo esférico es enor que la sua de los otros dos y ayor que su diferencia -La sua de los tres lados de un triángulo esférico es enor que 360º -La sua de los tres ángulos es ayor que 180º y enor que 540º -Si un triángulo esférico tiene dos ángulos iguales, los lados opuestos tabién son iguales -Si un triángulo esférico tiene dos ángulos desiguales, a ayor ángulo se opone el ayor lado

12 Cobinación de rotaciones n y n Para deterinar si tres ejes (n x, n y, n z ) se intersectan de fora copatible en un punto debeos resolver el Triángulo esférico: 180º< θn x / + θn y / + θn z / < 540º Sabeos que θn x = 360º/n x, θn y =360º/n y ; θn z = 360º/n z Sustituyendo tendreos que: 180º< 180º/n x + 180º/n y + 180º/n z < 540º Dividiendo entre < 1/n x + 1/n y + 1/n z < 3 El valor de n x, n y y n z no puede ser nunca 1, ya que no sería un eje de sietría en sentido estricto, si no la identidad.

13 El ángulo entre ejes, se deterina -evitando la ultiplicidad- con la Ley de los cosenos: Cos (n x n y ) = [cos θn z / + (cos θn x /) (cos θn y /)] / (sen θn x /) (sen θn y /) Cos (n x n z ) = [cos θn x / + (cos θn y /) (cos θn z / )] / (sen θn y /) (sen θn z /) Cos (n y n z ) = [cos θn y / + (cos θn x /) (cos θn z /)] / (sen θn x /) (sen θn z /) En función del orden del eje: (θn/)=180/, 10/, 90/, ó 60/. n x n y n z n x n y n x n z n y n z 90º 90º 90º 3 90º 90º 60º 4 90º 90º 45º 6 90º 90º 30º º44 45º 35º º44 54º44 70º3

14 GSP 3D : 3 rotaciones propias n

15 rotaciones ipropias n 1 3 ( )

16 rotaciones propias nnn 3 (3) (33) 43 16

17 rotaciones propias n I / 4 / 6 / 19

18 5 rotaciones propias nnn I " # $ % & ' 3 3 " # $ % & ' 4 / 4 " # $ % & ' 3 3 " # $ % & ' " # $ % & ' 6/ 6 " # $ % & '

19 Cobinaciones propias e ipropias nnn; nnn y nnn () 3 3 (3) 4 6 # $ % # $ % 4 (4) 4 (4 ) 6 (6) 6 (6 ) & ' ( & ' ( (4 3)

20 Cobinaciones propias e ipropias nnn; nnn y nnn () 3 (3) 4 (4) 4 (4 ) 6 (6) 6 (6 ) 43 (4 3) 3

21 GSP 3D : 3 n n nnn n nnn n nn ;nn n ;n n n 1 1 / $ ' ; & ) % ( ; $ 3 3 3;(3) 3 ; 3 ' & ) % ( 3; ( 3 ) $ / 4 /;& % $ / 6/; & % 4 6 ' ) ( ' ) ( ( ) 4; ( 4 ) ( ) ( ) 4 ; 4 6; 6 6 ; ( 6 ) 3;(33) $ 3; & % 3 ' ) ( 43 $ 4 3; 3 ' & ) % ( 43; 43 $ 3/ ( 6 );& ; 3 6 ; 4 4 ; 6 % 6 ' ) ( ( )

22 Síbolos de los grupos puntuales

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24 3 Clases Cristalinas

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29 Grupos Puntuales de Laue

30 Ángel Carelo Prieto Colorado Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía Facultad de Ciencias Universidad de Valladolid