XXVI OMMBC 2014: Rumbo al Nacional 17/11/2014. Trigonometría (Entrenamiento)

Transcripción

1 XXVI OMMBC 014: Rumbo al Nacional Trigonometría (Entrenamiento) 17/11/014 La idea detrás del presente entrenamiento, es que se aprendan a utilizar una herramienta muy poderosa, y muchas veces, poco valorada. Aunque no sea evidente, la trigonometría sirve para resolver problemas de álgebra. Para el presente entrenamiento, suponemos que el lector tiene conocimiento de la relación que se encuentra entre las funciones trigonométricas y un triángulo rectángulo; así como el lector debe estar familiarizado con la gráfica de las funciones sin, cos, tan, cot, sec y csc, desigualdad de Jensen y Cauchy-Schwarz, Ley de Senos y Ley de Cosenos. A su vez, suponemos que el lector conoce de corazón las siguientes identidades trigonométricas simples. Si acaso el lector no conoce alguna de las identidades, puede demostrarla usando construcciones con triángulos rectángulos, pitágoras, un círculo unitario, o en el caso del Teorema de De Moivre, inducción. Para que el lector no se sienta agobiado, note que esas 36 identidades pueden ser reducidas a 5 identidades y las gráficas de las funciones sin, cos, tan. 1. Identidades pitagóricas Aquí solo se necesita saber pitágoras para poder dedicirlas. sin α + cos α = 1 (1) 1 + tan α = sec α () 1 + cot α = csc α (3). Suma y la diferencia de dos ángulos Estas son las más importantes que vamos a encontrar. De estas tres, se desprenden todas las demás. sin (α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α (4) cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β (5) tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 tan α tan β (6) 3. Ángulos suplementarios Ver la gráfica de dichas funciones. ( π ) sin α = cos α (7) ( π ) cos α = sin α (8) ( π ) tan α = cot α (9) 1 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.

2 4. Ángulos complementarios Ídem con el punto anterior. sin (π α) = sin α (10) cos (π α) = cos α (11) tan (π α) = tan α (1) 5. Ángulos doble y triple Una pequeña aplicación del punto. sin α = sin α cos α (13) cos α = cos α sin α (14) sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α (15) cos 3α = 4 cos 3 α 3 sin α (16) 6. Suma y diferencia de funciones trigonométricas Otra vez, son aplicaciones del punto. sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = sin α β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β tan α + tan β = tan α tan β = cos α β cos α + β cos α β sin (α + β) cos α cos β sin (α β) cos α cos β sin α β (17) (18) (19) (0) (1) () 7. Multiplicación de funciones trigonométricas Se encuentran con las identidades del punto. sin α sin β = 1 (cos (α β) cos (α + β)) (3) cos α cos β = 1 (cos (α β) + cos (α + β)) (4) sin α cos β = 1 (sin (α β) + sin (α + β)) (5) sin 1 cos α α = cos 1 + cos α α = (6) (7) Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.

3 8. Expresión de sin α, cos α y tan α en función de tan α Estas sustituciones son útiles principalmente en problemas de álgebra. Se pueden deducir del punto. sin α = tan α 1 + tan α cos α = 1 tan α 1 + tan α tan α = tan α 1 tan α (8) (9) (30) 9. Relación con la función exponencial compleja e ±iθ = cos θ ± i sin θ (31) 10. Teorema de De Moivre e iπ + 1 = 0 cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ i Ec. de Euler (3) (33) (cos θ + i sin θ) 1/n = cos θ + k 360 n (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ (34) + i sin θ + k 360, k {0, 1,,..., n 1} (35) n Problemas Warm-up 1. Sean a y b dos números reales no negativos. a) Prueba que existe un número real x tal que sin x + a cos x = b si y solo si a b b) Si sin x + a cos x = b, expresa a sin x cos x en términos de a y b.. En un triángulo ABC se cumple 3. Demuestra 4. Prueba que sin A+sin B+sin C 3 sin ( ) A+B+C 3 = 3. sin 61 + sin 47 sin 5 sin 11 = cos 7. csc = csc csc En el triángulo ABC, ABC = 45. El punto D está en el segmento BC de manera que BD = CD y DAB = 15. Encuentra ACB. 6. Sea x 0 = 003, y sea x n+1 = 1+xn 1 x n para n 1. Calcula x Prueba que entre cualesquiera cinco números reales, hay dos, a y b tales que ab + 1 > a b. 3 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.

4 8. El punto P se encuentra adentro de un triángulo ABC de manera que los ángulos P AB, P BC y P CA son congruentes. Los lados del triángulo tienen longitudes AB = 13, BC = 14 y CA = 15, y la tangente del ángulo P AB es m/n (esto es tan ( P AB) = m/n), donde m y n son enteros primos relativos entre sí. Encuentra m + n. 9. Sea θ un ángulo con 0 < θ < π. Entonces 10. Sean a y b números reales de manera que sin θ < θ < tan θ. Evalúa sin (a + b). sin a + sin b = cos a + cos b =, 6. Sencillos 1. Sea x un número real tal que sec x tan x =. Evalúa sec x + tan x.. Sea 0 < θ < 45. Ordena t 1 = (tan θ) tan θ, t = (cot θ) tan θ t = (tan θ) cot θ t = (cot θ) cot θ en orden decreciente. 3. Calcula a) sin π 1, cos π 1, tan π 1 ; b) cos 4 π 4 sin4 π 4 ; c) cos 36 cos 7 ; d) sin 10 sin 50 sin Simplifica la expresión sin 4 x + 4 cos x cos 4 x + 4 sin x. 5. Prueba que 1 cot 3 = 1 cot. 6. La región R contiene todos los puntos (x, y) tales que x + y 100 y sin (x + y) 0. Encuentra el área de la región R. 7. En el triángulo ABC, muestra que 8. En el triángulo ABC, Encuentra la medida del ángulo C. sin A a b + c. 3 sin A + 4 cos B = 6 y 4 sin B + 3 cos A = 1. 4 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.

5 9. Prueba que tan 3a tan a tan a = tan 3a tan a tan a para todas las a kπ, cuando k Z. 10. Expresa como un monomio. sin (x y) + sin (y z) + sin (z x) 11. Prueba que ( 4 cos 9 3 ) ( 4 cos 7 3 ) = tan En un triángulo ABC, sin A + sin B + sin C 1. Prueba que 13. Sea ABC un triángulo. Prueba que a) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1; b) tan A tan B tan C Sea ABC un triángulo acutángulo. Prueba que a) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C; b) tan A tan B tan C Sea ABC un triángulo. Prueba que mín {A + B, B + C, C + A} < 30. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1. Así mismo prueba que si x, y, z son números reales con xy + yz + zx = 1, entonces existe un triángulo ABC de manera que cot A = x, cot B = y, cot C = z. 16. Sea ABC un triángulo. Prueba que sin A + sin B + sin C + sin A sin B sin C = 1. De igual manera, prueba que si x, y, z son reales positivos de manera que x + y + z + xyz = 1, entonces existe un triángulo ABC tal que x = sin A, y = sin B, z = sin C. 17. Sea ABC un triángulo. Prueba que a) sin A sin B sin C 1 8 ; b) sin A + sin B + sin C 3 4 ; c) cos A + cos B + cos C 9 4 ; d) cos A cos B cos C ; e) csc A + csc B + csc C En un triángulo ABC, muestra que 5 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.

6 a) 4R = abc [ABC] ; b) R sin A sin B sin C = [ABC] ; c) R sin A sin B sin C = r (sin A + sin B + sin C) ; d) r = 4R sin A sin B sin C ; e) a cos A + b cos B + c cos C = abc R. 19. Sea s el semiperímetro del triángulo ABC. Prueba que a) s = 4R cos A cos B cos C ; b) s 3 3 R. 0. En un triángulo ABC, muestra que a) cos A + cos B + cos C = sin A sin B sin C ; b) cos A + cos B + cos C Sea ABC un triángulo. Prueba que a) cos A cos B cos C 1 8 ; b) sin A sin B sin C ; c) sin A + sin B + sin C 3 3 ; d) cos A + cos B + cos C 3 4 ; e) sin A + sin B + sin C 9 4 ; f ) cos A + cos B + cos C 3 ; g) sin A + sin B + sin C Dado que encuentra n. (1 + tan 1 ) (1 + tan ) (1 + tan 45 ) = n 3. En el triángulo acutángulo ABC, si D, E y F son los pies de las alturas del triángulo, entonces [DEF ] 1 4 [ABC]. 4. Muestra que uno puede usar una composiciones de botones trigonométricos en una calculadora, tales como sin, cos, tan, sin 1, cos 1, tan 1, para reemplazar el botón de recíproco que se ha roto. 5. Sean a, b, c números reales, todos distintos de 1 y 1, de manera que a + b + c = abc. Prueba que 6. Prueba que un triángulo ABC es isósceles si y solo si a 1 a + b 1 b + c 1 c = 4abc (1 a ) (1 b ) (1 c ). a cos B + b cos C + c cos A = a + b + c. 6 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.

7 7. Evalúa donde a = π Prueba que cos 1 es un número irracional. 9. Encuentra el valor máximo de si x 1 + x = y 1 + y = c. 30. Sean a, b, c números reales. Prueba que cos a cos a cos 3a cos 999a, S = (1 x 1 ) (1 y 1 ) + (1 x ) (1 y ) (ab + bc + ca 1) ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ). 7 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California 014.