Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales Ángel Carmelo Prieto Colorado

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Soledad Gutiérrez Cárdenas
hace 6 años
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1 Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales Ángel Carmelo Prieto Colorado Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía. Facultad de Ciencias. Universidad de Valladolid.

2 BASES CRISTALOGRÁFICAS Tema 8 La simetría Operaciones de simetría Elementos de Simetría Propiedades de los elementos de Simetría Representaciones de las operaciones de Simetría Operaciones propias e impropias

3 Periodicidad T = U! a + V! b + W! c ; U,V,W Z { } ü Homogeneidad ü Anisotropía ü Simetría SIMETRIA Sin compatibilizar con {T} Sin restricciones de simetría. Compatible con {T} Elementos de simetría limitados.

4 La simetría Figuras finitas Limitada a la celda fundamental, base estructural (a,b,c,α,β.γ), ó motivo. SIMETRIA PUNTUAL, (GSP). Figuras infinitas Modelo estructural macroscópico. Sin límite espacial y extendido a toda la red {T}. SIMETRIA ESPACIAL, (GSE). Modelo estructural microscópico.

5 (GSP) y (GSE) Asociación de elementos de simetría con estructura de grupo matemático, respecto de la operación producto. Sistemas Cristalino s Redes de Bravais GSP GSE 1D 7 2D D

8 Morfología externa de cristales de Vesubianita, Ca(Mg,Fe) 2 Al 4 {Si 2 O 7 } 2 (OH,F) 4

9 Imagen SEM de una cerámica tipo PZT

10 Imagen TEM de cristales de Cordierita, Mg 2 Al 4 Si 5 O 18. (0.97 nm = 9.7Å).

11 NSOM, Si policristalino

12 Concepto de Simetría Transformación que aplicada a un objeto conserva todas sus dimensiones y sus relaciones angulares, de modo que el objeto coincide consigo mismo Se puede constatar que la simetría surge de la repetición de una unidad básica motivo o celda elemental que recubre totalmente un espacio, de 1, 2 o 3 dimensiones, sin dejar huecos, entre unidades básicas o motivos

13 OPERACIÓN DE SIMETRÍA ELEMENTO DE SIMETRÍA OPERADOR DE SIMETRÍA

14 Operaciones de simetría Operaciones de Simetría Básicas en 1D, 2D y 3D Translaciones, T=pt; p {E} Reflexiones, m Rotaciones, n Rotaciones impropias, n

15 Operaciones de Simetría Compuestas 1D-2D Reflexiones con deslizamiento, g g m τ; τ = ½t Operaciones de Simetría Compuestas 3D Rotaciones con translación (ejes helicoidales) n p n τ; τ = p/n; p,n Z Planos de deslizamiento: a,b,c,d,n a,b,c,d,n m τ; τ(variable según a,b,c,d,n)

16 Translación, T t T=pt; p {E}

17 Puntos/ejes de Rotación, (n) Orden de Rotaciónθ n =2π/n 360º n=1 Eje de rotación propio de orden 1 / Identidad

18 Puntos/ejes de Rotación, (n) Orden de Rotaciónθ n =2π/n 180º n=2 2, 2 2 Ξ 1 Eje de rotación propio de orden 2 / Punto de rotación 2

19 Puntos de Rotación, (n) Orden de Rotación θ n =2π/n 120º n=3 3,3 2,3 3 Ξ1 Eje de rotación propio de orden 3 / Punto de rotación 3

20 Puntos de Rotación, (n) Orden de Rotación θ n =2π/n 90º n=4 4,4 2 Ξ2,4 3,4 4 Ξ1 Eje de rotación propio de orden 4 / Punto de rotación 4

21 Operaciones de Simetría n=5 θ n =360º/5 =72º Eje de rotación de orden 5 / Punto de rotación 5 Es incompatible con la translación, {T} : No Periodico.

22 Compatibilidad de la periodicidad con las rotaciones propias B θ n =2π/n BB =u a Regla de Barlow B θ n =2π/n T = U! a + V! b + W! c ; U,V,W Z { } n θ n =2π/n BB = u a=aa -2a cosθ n = ua - 2a cosθ n u a= ua -2a cosθ n u-u = 2 cosθ n Si u,u {Z} u-u {Z} a A A cosθ n = (u-u )/ 2 AA =ua u-u cosθ n θ n n =2π/ θ n Cosθ n toma valores mitad de números enteros comprendidos entre los limites de la función cos, +1 y º /2 120º º 4 1 1/2 60º º 1

23 Puntos de Rotación, (n) Orden de Rotación θ n =2π/n 60º n=6 6,6 2 Ξ3,6 3 Ξ2,6 4,6 5,6 6 Ξ1 Eje de rotación propio de orden 6 / Punto de rotación 6

24 Linea de Reflexión, (m) m

25 Linea de Deslizamiento, (g) g m T T = ½t t

Rotaciones Impropias: n x 1 = n 2 2 1 m n = n 1

26 Rotaciones Impropias: n x 1 = n m n = n 1 + % 2 = 2 1 θ = 360 (. -' & n * 10 m 2 1, 2 ) /

Rotaciones Impropias: n x 1 = n 3 3 3 5 1 1 n = n 1

27 Rotaciones Impropias: n x 1 = n n = n % 3 = 3 1 θ = 360 (. -' & n * , 3 ) / 6

28 Rotaciones Impropias: n x 1 = n n = n % 4 = 4 1 θ = 360 (. -' & n * 10 no 4,1, 4 ) /

Rotaciones Impropias: n x 1 = n 6 3 6 5 1 1 n = n 1

29 Rotaciones Impropias: n x 1 = n n = n % 6 = 6 1 θ = 360 (. -' & n * m 3, 6 ) / 2 4

30 Pueden existir otras combinaciones de elementos de Simetría? Evidentemente, solo serán posibles aquellas que impliquen modificar grados de libertad que en su totalidad alcancen 3 coordenadas en 3D. Por tanto, la posibilidad de acoplar a una rotación -mueve solo dos coordenadas- una reflexión perpendicular al eje de rotación propia, es otra combinación posible de Elementos de Simetría. Roto Reflexiones: (n x m) = S n

31 Rot0 Reflexiones: n x m = S n m 1 S n = n m;(n m),& S =1 m θ = 360 ) / 1.( ' n + m1 2-1 * 0

32 Rot0 Reflexiones: n x m = S n m 2 S n = n m;(n m),& S = 2 m θ = 360 ) / 2.( ' n + m1 1-2 * 0

33 Rot0 Reflexiones: n x m = S n m 3 S n = n m;(n m),& S = 3 m θ = 360 ) / 3.( ' n + m1 6-3 * 0

34 Rot0 Reflexiones: n x m = S n m 4 S n = n m;(n m),& S = 4 m θ = 360 ) / 4.( ' n + m1 4-4 * 0

35 Rot0 Reflexiones: n x m = S n m 6 S n = n m;(n m),& S = 6 m θ = 360 ) / 6.( ' n + m1 3-6 * 0

36 Equivalencias S n Ξ n n S n Equivalencias 1 S 2 1, centro de inversión 2 S 1 m 3 S S 4 6 S m (3 m)

37 Elementos de simetría ü ü ELEMENTOS DE SIMETRIA NODOS Centros de Inversión. FILAS Ejes de Rotación. ü PLANOS Planos de Reflexión.

38 Las transformaciones de simetría se ejecutan según elementos geométricos: puntos, lineas o planos En el espacio unidimensional, solo se pueden considerar puntos y lineas, al igual que el el espacio bidimensional. En el espacio real tridimensional se pueden considerar todos los elementos geométricos Los elementos de simetría básicos serán: translaciones, rotaciones y reflexiones

39 NODO RETICULAR: Centro de inversión Notación ü Herman-Mauguin 1 ü Schoenflies i

40 FILA RETICULAR: Eje de Rotación Notación ü Internacional n ü Schoenflies C n n: Orden de Rotación (es el número de objetos homologos en un giro de 360º) La rotación es de θ n = 360º/n

41 PLANO RETICULAR: Plano de reflexión Notación ü Internacional m ü Schoenflies σ h,σ v,σ d

42 Pripiedades de los elementos de simetría Un conjunto de operadores de simetría (R), tienen estructura de Grupo, respecto de la operación producto, si cumplen las siguientes propiedades: Cerrada: A,B {G} A*B {G} Asociativa: A,B,C {G} (A*B)*C A*(B*C) Elemento Neutro: A {G} E (A*E) (E*A) A Elmt. Inverso A {G} A -1 (A*A -1 ) (A -1 *A) E G. Abeliano: A,B {G} (A*B) (B*A) G. Cíclico: A {G} (A,A 1,A 2,... A n ) E

43 Representaciones de las operaciones de simetría Simetría x {T}: Transformación lineal que hace direcciones equivalentes. Por tanto, los Elementos de Simetría se pueden representar por operadores que permiten la repetición del motivo sobre el que pueden actuar hasta alcanzar una disposición idéntica a la de partida, una vez concluida la operación de simetría.

44 Operador n x 1 z θ n α x 2 n θ n ; θ n =360º/n; [t 1 ]= [t 2 ]= [t] β y 2 θ n t 2 t 1 y 1 y x 2 = -t cosβ; y 2 = t senβ; x 1 = t cosα y 1 = t senα x 2 = -t cos[π (α+ θ n )] y 2 = t sen[π (α+ θ n )] x 2 = t cos(α+ θ n ) y 2 = t sen(α+ θ n ) x 2 = t cosα cosθ n - t senα senθ n y 2 = t cosα senθ n + t senα cosθ n z 2 =z 1 x x 2 = x 1 cosθ n - y 1 senθ n y 2 = x 1 senθ n + y 1 cosθ n z 2 =z 1 " $ $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' = & " cosθ n senθ n 0% " $ ' senθ n cosθ n 0 $ ' $ $ # 0 0 1& # x 1 y 1 z 1 % ' ' ( n ) 001 &

45 Operador I z 1 z 1: en (000) [t 1 ]= [t 2 ]= [t] x 2 = - x 1 y 2 = - y 1 t 1 z 2 = - z 1 x 2 y 2 y 1 y x 1 x t 2 z 2 " $ $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' = & " % " $ ' $ ' $ $ # 0 0 1& # x 1 y 1 z 1 % ' ' 1 & ( ) 000 ( )

46 Operador m z 1 z t 1 m // (001) [t 1 ]= [t 2 ]= [t] x 2 = x 1 y 2 = y 1 z 2 = - z 1 " $ $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' = & " % " $ ' $ ' $ $ # 0 0 1& # x 1 y 1 z 1 % ' ' m & ( ) ( 001) x x 1,x 2 m z 2 y 1,y 2 y m // (010) [t 1 ]= [t 2 ]= [t] x 2 = x 1 y 2 = - y 1 z 2 = z 1 " $ $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' = & " 1 0 0% " $ ' $ ' $ $ # 0 0 1& # x 1 y 1 z 1 % ' ' m & ( ) ( 010) t 2 m // (100) [t 1 ]= [t 2 ]= [t] x 2 = - x 1 y 2 = y 1 z 2 = z 1 " $ $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' = & " 1 0 0% " $ ' $ ' $ $ # 0 0 1& # x 1 y 1 z 1 % ' ' m & ( ) ( 100)

47 ! t 2 = " A 11 A 12 A 13 % $ ' A 21 A 22 A 23 $ '!! t 1 # A 31 A 32 A 33 & Condiciones para figuras Finitas. GSP. ü 1º Mantener invariantes las distancias.!!!! t 1 = u 1 a + v 1 b + w 1 c!!!! t 2 = u 2 a + v 2 b + w 2 c! t 2 = ( A)! t 1 Operadores propios e impropios La transformación lineal dada por la simetria en general es: { } t 2,! t 1 T!! t =!! 2! t 1 2 t 1 = t 1! t 1 =! t 1! t 1 Cos0 " =! 2! t 1 ;Si t 1 =! t 2! t t! t =! t t! t ! t t t ji t ij! t t 2! t 2 = (A! t 1 ) t (A! t 1 ) =! t t 1 A t A! t 1 =! t t 1! t 1 A t A = E A t A 1 A = { +1; 1 }

48 Condiciones para figuras Finitas. GSP. ü 2ª! t 2 = A! t 1! t 2,! t 1 T! { } " $ $ #! u 2 a! v 2 b! w 2 c % ' ' = & " A 11 A 12 A 13 % " $ ' A 21 A 22 A 23 $ ' $ $ # A 31 A 32 A 33 & #! u 1 a! v 1 b w 1! c % ' ' A ij Z & { } Condiciones para figuras Finitas. GSP. ü 3ª El efecto repetición o potencias sucesivas debe llevar a la matriz unidad.

49 A = { +1; 1 } [+1] øperaciones de primera especie ó PROPIAS [-1] øperaciones de segunda especie ó IMPROPIAS Operaciones Propias Operaciones Impropias Reflexiones, m Rotaciones Propias, n Inversiones, 1 Rotaciones Impropias, n (τ * n) Ejes Helicoidales, n 1 n-1 (τ * m) Planos de deslizamiento, a;b;c;n;d.

50 Elementos de simetría en 1D, y 2D Centros de Rotación: n Lineas de Reflexión 1 1D y 2D 2 Ξ 1 3 m 4 6

51 Elementos de simetría en 3D Ejes de Rotación propios: n 1 Planos de Reflexión Ejes de Rotación impropios: n 1 3D m

52 Ángel Carmelo Prieto Colorado Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía Facultad de Ciencias Universidad de Valladolid

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