Tema 6. Análisis de Circuitos en Régimen Sinusoidal Permanente

Transcripción

1 Tea 6. Análisis de Circuitos en Régien Sinusoidal Peranente 6. ntroducción 6. Fuentes sinusoidales 6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable 6.4 Fasores 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C 6.6 pedancia y aditancia 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores 6.8 Potencia instantánea y potencia edia Th L 6.9 Máxia transferencia de potencia edia. Adaptación conjugada Th A B Análisis de Circuitos (G-86). Grado en ngeniería de Tecnologías de Telecounicación José A. Pereda, Dpto. ng. de Counicaciones, Universidad de Cantabria.

2 Bibliografía Básica para este Tea: [] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundaentos de circuitos eléctricos, 3ª ed., McGraw-Hill, 006. [] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, ntroduction to electric circuits, 7th ed., John Wiley & Sons, 006. Sadiku Teas 9, 0 y Dorf Tea 0 y - Esta presentación se encuentra, teporalente, en:

3 6. ntroducción - En este tea estudiareos la respuesta de circuitos con fuentes sinusoidales - Una señal sinusoidal es aquella que se expresa ateáticaente ediante una función seno o coseno - Las fuentes de tensión/corriente sinusoidales tabién se denoinan fuentes de tensión/corriente alterna - Los circuitos excitados por fuentes sinusoidales se denoinan circuitos de corriente alterna (circuitos de AC) - En el undo de la electrónica y las telecounicaciones las señales sinusoidales son uy iportantes, ya que son señales fáciles de generar y transitir - Adeás, ediante el Análisis de Fourier, una señal periódica puede expresarse ediante una sua de señales sinusoidales. 3

4 6. ntroducción - Una fuente sinusoidal produce tanto respuesta transitoria coo estacionaria - La respuesta transitoria se extingue con el tiepo. En consecuencia, un tiepo después de haber encendido las fuentes, sólo teneos en el circuito la respuesta estacionaria. - En este tea abordareos sólo el estudio del estado estacionario (respuesta peranente) 4

5 6. Fuentes sinusoidales - Consideraos la tensión: v( t) sin( ωt) - : aplitud de pico ωt ω - : arguento o fase [rad] o [grados] - : frecuencia angular [rad/s] v( t) sin( ωt) - Son funciones que se repiten cada φ πn con n entero 5

6 6. Fuentes sinusoidales - Si representaos v(t) frente a t: v( t) sin( ωt) - La señal se repite cada t nt con n entero - El intervalo de tiepo T se denoina periodo y vale v( t nt ) sin( ω( t nt )) sin( ω( t n v ( t nt ) v( t) π ω sin( ωt πn) )) T π ω sin( ωt) v( t) 6

7 6. Fuentes sinusoidales - El inverso del periodo se denoina frecuencia f: - Entonces: π ω πf T - Noralente la frecuencia angular se ide en rad/s y la frecuencia en hercios -> Hz f T - La fora ás general de la senoide es: siendo φ 0 la fase inicial [rad] v ( 0 t) sin( ω t φ ) 7

8 6. Fuentes sinusoidales - Coparando las señales y φ 0 0 φ 0 > 0 v ( t ) φ < 0 v ( t ) 0 v ( t) sin( ω ) v t) sin( ω t ) t - Si las señales están desfasadas. --> está adelantada (ver dibujo). --> está atrasada ( φ0 8

9 6. Fuentes sinusoidales - Una sinusoide puede expresarse epleando tanto las funciones seno coo coseno - Basta tener en cuenta las identidades: π π sin( φ) cos( φ ) cos( φ ) π π cos( φ) sin( φ ) sin( φ ) φ π φ - Tabién son de interés las siguientes igualdades: sin( A ± B) sin( A)cos( B) ± cos( B)sin( A) cos( A ± B) cos( A)cos( B) sin( A)sin( B) 9

10 -Ejeplo : Deterinar la aplitud, fase inicial, periodo y frecuencia de la sinusoide v( t) cos(50t 0º ) A&S-3ª Ej 9. Solución: - Coparaos la sinusoide del enunciado con la fora general v t) cos( ω t φ ) ( 0 - Aplitud: - Fase inicial: - Frecuencia angular: - Periodo: - Frecuencia: φ 0º 0 ω 50 rad/s π π T 0.6 s ω 50 ω f Hz π 0

11 -Ejeplo : Calcular el ángulo de desfase entre las tensiones y v ( t) 0 cos( ωt 50º ) v( t) sin( ωt 0º ) A&S-3ª Ej 9. Solución: - Para coparar sinusoides debeos expresarlas ediante la isa función ateática (por ejeplo el coseno) y abas con aplitud positiva v( t) 0 cos( ωt 50º ) 0 cos( ωt 50º 80º ) 0 cos( ωt 30º ) v ( v ( t) t) sin( ωt 0º ) cos( ωt 0º 70º ) cos( ωt 60º ) - se adelanta 30º 50º 0º

12 6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable - Consideraos un circuito RL con una fuente de tensión sinusoidal: v ( t) cos( ωt) S - Aplicaos la KL a la alla: di L Ri cos( ωt) dt v ( ) i(t) L - En un circuito lineal todas las tensiones y corrientes en estado estable tienen la isa frecuencia que la fuente, por tanto: S t R i(t)? i t) cos( ω t φ ) ( 0 φ 0 (con y ctes a deterinar) - Conviene expresar i(t) en la fora: i t) [cos( ω t)cos( φ ) sin( ωt)sin( φ )] Acos( ωt) Bsin( ω ) ( 0 0 t (con A y B ctes a deterinar)

13 6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable - La relación entre los dos conjuntos de incógnitas es: - Para calcular A y B, sustituios en la ec. diferencial: - Resulta: A B cos( φ 0 ) [ ω Asin( ωt) Bω cos( ωt) ] R[ Acos( ωt) Bsin( ωt) ] cos( t) L ω - gualaos los coefs. en coseno: φ tan sin( φ 0 ) A B i(t) di L Ri cos( ωt) dt ωlb RA ωla - gualaos los coefs. en seno: RB 0 0 ( B / A) - Resolviendo para A y B: A R R ( ωl) B R ωl ( ωl) 3

14 6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable φ tan 0 A φ 0 - La solución para y es: ( B / A) B φ tan 0 ω ( ωl) - En este problea heos calculado la respuesta en estado estacionario de un circuito con un único eleento de alacenaje (la autoinducción) R ( L / R) - Para circuitos con varios eleentos de alacenaje, el étodo de cálculo epleado (solución directa en el doinio del tiepo) se coplica ucho - Una alternativa ás sencilla pasa por introducir el concepto de fasor que vereos en el apartado siguiente 4

15 6.4 Fasores - Las señales sinusoidales pueden representarse fácilente ediante fasores Un fasor es un núero coplejo que representa la aplitud y la fase de una señal sinusoidal - Los fasores periten analizar de fora sencilla circuitos lineales excitados por fuentes sinusoidales - La idea de la representación fasorial se basa en la identidad de Euler: ± θ e j cosθ ± j sinθ con j - Se observa que: cosθ Re ± sinθ [ ] jθ e ± [ ] jθ e ± 5

16 6.4 Fasores - Dada una señal sinusoidal v( t) cos( ω t φ) [ ] j - Se observa que ( ) cos( ) Re ( ωt φ v t ωt φ e ) [ ] - luego j φ v t e e j ω ( ) Re t [ ] - alternativaente j ω v( t) Re e t - donde e jφ φ - es la representación fasorial de la señal sinusoidal v(t) - Un fasor es una representación copleja de la agnitud y fase de una señal sinusoidal de frecuencia conocida ω - Cuando expresaos una señal sinusoidal ediante un fasor, j t el térino está iplícitaente presente e ω 6

17 6.4 Fasores - Entonces, teneos dos foras de representar una señal sinusoidal: Doinio del tiepo Doinio de fasorial (o doinio de la frecuencia) ( t) cos( ω t φ) v e jφ - Cálculo de v(t) conocido : se ultiplica el fasor por el factor de j t tiepo y se toa la parte real e ω v( t) Re [ e j t ] ω - Cálculo de conocido v(t): se expresa v(t) coo un coseno y se fora el fasor a partir de la aplitud y la fase de la senoide v( t) cos( ω t φ) e jφ 7

18 -Ejeplo 3: Calcular la sua de las corrientes e i( t) 5sin( ωt 0º ) i ( t) 4cos( ωt 30º ) A&S-3ª Ej 9.6 Solución: - Realizareos la sua en el doinio de la frecuencia i ( t) 4cos( ωt 30º ) 4e j30º 0º i ( t) 5sin( ωt 0º ) 5cos( ωt 0º 70º ) 5e j50º 4e j30º 5e j50º.754 j e j56.98º A - En el doinio del tiepo resulta 3.8 e j56.98º A i( t) Re[e jωt ] Re[3.8e j( ωt 56.98º) 3.8 cos( ωt 56.98º ) ] A

19 6.4 Fasores - Suponeos v( t) cos( ω t φ) e jφ - Derivación: - En el doinio del tiepo - ntegración: dv dt ω sin( ωt φ) ω cos( ωt φ - Representación fasorial del resultado: - Luego - Análogaente doinio del tiepo doinio del tiepo dv( t) dt v ( t)dt jω ω jω ( ) π j e φ π j e j jφ ω ω doinio de la frecuencia doinio de la frecuencia ) 9

20 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - En este apartado vereos coo expresar la relación - de los eleentos R, L y C en el doinio de la frecuencia - Resistencia: Doinio teporal i R v - Suponeos i cos( ω t φ) - Ley de Oh: v Ri v Ri R cos( ω t φ) Doinio frecuencial R e R e jφ jφ R Ley de Oh - En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase! 0

21 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Resistencia: - Diagraa fasorial para la resistencia R e jφ R e jφ - En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase!

22 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Bobina: - Suponeos Doinio teporal i L - Relación v-i: v i cos( ω t φ) di v L dt di v L ω L sin( ωt φ) dt π v ω L cos( ωt φ ) Doinio frecuencial e ω L e jφ j jωl e L ( φ π jφ ) jωl - La tensión está adelantada respecto de la corriente en 90º

23 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Bobina: - Diagraa fasorial para la bobina L e jφ ω L e j ( φ π ) - La tensión está adelantada respecto de la corriente en 90º 3

24 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Condensador: - Suponeos Doinio teporal i C - Relación v-i: v v cos( ω t φ) dv i C dt dv i C ω C sin( ωt φ) dt π i ω C cos( ωt φ ) Doinio frecuencial e ω C jφ jωc e C ( π e j φ jφ ) jωc jωc - La tensión está retrasada respecto de la corriente en 90º 4

25 6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Condensador: - Diagraa fasorial para el condensador C e jφ ω C e ( π j φ ) - La tensión está retrasada respecto de la corriente en 90º 5

26 6.6 pedancia y aditancia - En el apartado anterior heos obtenido la relación tensión-corriente en el doinio de la frecuencia para los eleentos R, L y C: R jωl jωc - Estas expresiones recuerdan a la ley de Oh (son relaciones / algebraicas) - Definición de ipedancia: La ipedancia de eleento de circuito es el cociente entre la tensión fasorial y la corriente fasorial - Mateáticaente: - Se ide en Ohios - La ipedancia NO es un fasor! 6

27 6.6 pedancia y aditancia - pedancia para los eleentos R, L y C vale: R R L jωl C jωc - La ipedancia es una función copleja de la frecuencia. - En general: R jx - La parte real de la ipedancia se denoina resistencia R j ωc (R, X son reales) - La parte iaginaria de la ipedancia se denoina reactancia X - Si X > 0 se dice que la reactancia es inductiva - Si X < 0 se dice que la reactancia es capacitiva - En los circuitos de AC la ipedancia juega un papel análogo a la resistencia en los circuitos de DC 7

28 6.6 pedancia y aditancia - A veces resulta útil trabajar con el inverso de la ipedancia, conocido coo aditancia Y: Y - Se ide en Sieens (S) o hos - En general, la aditancia es una función copleja de la frecuencia: Y G jb (G, B son reales) - La parte real de Y se denoina conductancia G - La parte iaginaria de Y se denoina susceptancia B 8

29 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores 6.7. Leyes de Kirchhoff en el doinio frecuencial Las leyes de Kirchhoff son válidas en el doinio de la frecuencia, donde deben expresarse en fora fasorial N n n 0 M 0 - En consecuencia, todas las técnicas de análisis estudiadas para circuitos de continua pueden extenderse directaente al caso de circuitos de alterna sipleente epleando fasores. - Coo ejeplo consideraos el circuito RL analizado previaente en el doinio del tiepo 9

30 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores 6.7. Leyes de Kirchhoff en el doinio frecuencial - olveos al circuito RL con una fuente de tensión sinusoidal: v ( t) cos( ωt) S - Aplicaos la KL a la alla y resolveos: S R L S R jωl 0 e jφ con φ β - En el doinio del tiepo: i( t) Re[e jωt 0 R j0 e e jβ R R jωl S L R L β jφ 0 jωt ] Re e e Re e i( t) cos( ω t φ0) ω L ( R) tan ωl / j ωt φ ) ( 0 - Heos obtenido i(t) de fora ucho ás sencilla que resolviendo directaente en el doinio del tiepo!! 30

31 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores 6.7. Asociación de ipedancias - Asociación de ipedancias en serie: A N N B A eq eq N N n n B 3

32 3 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores 6.7. Asociación de ipedancias - Asociación de ipedancias en paralelo: N n n N eq N n n N eq Y Y Y Y Y A B N N A B eq Y n n

33 -Ejeplo 4: Calcular la ipedancia de entrada del circuito de la figura suponiendo que funciona a ω 50 rad/s A&S-3ª Ej

34 Solución: j j0 jωc Ω j 3 3 jωc j Ω R 8 j jωl j 0 Ω in ( 3 3 (3 j) (8 j0) j0 j8 ) 3 in 3 - Operando in 3. j.07 Ω 34

35 -Ejeplo 5: Deterinar v 0 (t) en circuito de la figura. A&S-3ª Ej 9. 35

36 Solución: - En prier lugar transforaos el circuito al doinio de la frecuencia - Fuente: v ( t) 0 cos(4t 5º ) 0 5º S - Condensador: 0 F j5 Ω S ω 4 rad/s j jωc C 3 - Bobina: 5 H jωl j4 5 j0 Ω L 36

37 - Asociaos las ipedancias en paralelo: L C j5 j5 LC L C j0 j00 Ω j0 60 Ω S 0 L C - Aplicando la fórula del divisor de tensión: 0 S j00 (0e 60 j e 6.6 v j5º j(90º 5º 59.04º) ( t) Re 0 0 ) j 00e 6.6e 7.5e [ e j t ] ω 90º j59.04º j5.96º (0e j5º ) v0 ( t) 7.5cos(4t 5.96º ) 37

38 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores Análisis de nudos y de allas - La resolución de circuitos de alterna puede hacerse según los siguientes pasos: - Se transfora el circuito del doinio del tiepo al doinio fasorial (o de la frecuencia) - Se resuelve el circuito aplicando las técnicas estudiadas en los teas -3 (análisis de nudos, análisis de allas, superposición, etc ) 3- Se transfora la solución obtenida al doinio del tiepo - A continuación vereos algún ejeplo de análisis nodal y de allas. 38

39 - Ejeplo 5: Deterinar i x en el circuito de la figura utilizando análisis nodal. A&S-3ª Ej 0. 39

40 Solución: - En prier lugar transforaos el circuito al doinio de la frecuencia 0 cos(4t 0º ) 0 0º ω 4 rad/s H jωl j4 j4 Ω 0.F jωc 4 j j.5 Ω H jωl j4 0.5 j Ω Circuito problea en el doinio de la frecuencia 40

41 - Resolveos en el doinio de la frecuencia ediante análisis de nudos - Nudo : 0 0 j.5 j4 - Nudo : x j4 x j.5 j - Se obtiene el siguiente sistea: ( j.5) j Cuya solución es: 8 j e j8.43º 3. j e - Entonces: x.4 j.5 j e j98.3º j08.4º - En el doinio teporal: i x i x ( t) Re [ e j t ] ω x ( t) 7.59 cos(4t 08.4º ) A 4 A

42 - Ejeplo 6: Calcular 0 en el circuito de la figura aplicando análisis de allas. A&S-3ª Ej 0.3 4

43 Solución: - Malla : 8 ( 3) j0 ( )( j) - Malla : ( )( - Malla 3: 3 5 A j) ( )( j) 0 4 0e j90º 3 - Se obtiene el siguiente sistea: ( 8 j 8) j j j (4 j4) 50 j Resolviendo: - Luego, º e j 6.e 6.e 6.e j A j35.º ( 35.º 80º ) j44.38º A 43

44 6.7 Análisis de circuitos ediante fasores Circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton - Los teoreas de Thevenin y Norton se aplican a los circuitos de alterna de fora análoga a coo se hace en los de continua A Th Th circuito lineal de dos terinales A B Equivalente de Thevenin A Th Th N Th N B N N Circuito original B Equivalente de Norton 44

45 6.8 Potencia instantánea y potencia edia - Potencia instantánea: - Según se definió en el Tea, la potencia absorbida o suinistrada por un eleento es el producto de la tensión entre los extreos del eleento por la corriente que pasa a través de él v p ( t) v( t) i( t) i - La potencia instantánea p(t) representa la potencia para cualquier instante de tiepo t - Supongaos un circuito en estado sinusoidal peranente. 45

46 6.8 Potencia instantánea y potencia edia - Potencia instantánea en estado sinusoidal peranente: - Supongaos un circuito en estado sinusoidal peranente - La tensión y la corriente en los terinales del circuito serán de la fora: v ( v t) cos( ω t φ ) i( t) cos( ω t φi ) - La potencia instantánea vale p t) v( t) i( t) cos( ω t φ )cos( ωt φ ) ( v i - Aplicando la identidad: A )cos( B) [ cos( A B) cos( A B )] - resulta fuente sinusoidal cos( i(t) v(t) p( t) cos( φ v φi ) cos(ωt φv φi ) red lineal pasiva 46

47 6.8 Potencia instantánea y potencia edia - La potencia instantánea tiene dos partes: p( t) cos( φ v φi ) cos(ωt φv φi ) parte constante parte dependiente del tiepo - La parte constante depende de la diferencia de fases - La parte teporal tiene frecuencia doble, ω - p(t) es positiva parte del ciclo y negativa la otra parte - Si p(t) > 0, el circuito absorbe potencia - Si p(t) < 0, la fuente absorbe potencia 47

48 6.8 Potencia instantánea y potencia edia - Potencia edia: - La potencia instantánea cabia con el tiepo, por tanto es difícil de edir. - Definición de potencia edia Es el proedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo - Mateáticaente: P T T 0 p( t)dt - En el laboratorio la potencia edia se ide con el vatíetro - Recordando que la potencia instantánea vale p( t) cos( φ v φi ) cos(ωt φv φi ) - y sustituyendo en la definición de P, se obtiene P T T T T cos( φ φ )dt cos(ω φ φi ) d 0 0 v i t v t 48

49 6.8 Potencia instantánea y potencia edia - ntegrando P T T cos( φv φi ) T dt T cos(ωt φv φ d i ) 0 0 P - queda ) cos( φ φ v i - expresión que no depende del tiepo 0 -Tabién se puede calcular la potencia edia a partir de los fasores tensión y corriente j - Se observa que v * ( v t) cos( ω t φ ) i( t) cos( ω t φi ) e jφ v e jφ v φ e e ( φ φ ) jφ [ cos( φ φ ) j sin( φ φ )] v i i e j v v i i i t - Entonces [ ] * P Re cos( φ φ ) v i 49

50 6.8 Potencia instantánea y potencia edia - Consideraos casos particulares de interés: φ φ. Circuito puraente resistivo (R): v i P cos( φ φ ) R R v i 0 - La potencia edia para un circuito resistivo es siepre positiva (absorbe energía) φ φ ± i. Circuito puraente reactivo (L o C): π P v π cos( φ φ ) cos( ± ) v i 0 - La potencia edia para un circuito puraente reactivo es siepre nula (no absorbe energía) 50

51 - Ejeplo 7: En el circuito de la figura, calcular las potencias edias suinistrada por la fuente y disipada por la resistencia A&S-3ª Ej.3 5

52 Solución: - Para calcular las potencias edias epleareos las fórulas fasoriales: [ ] * P Re [ ] * P Re f f f - Coenzaos calculando la corriente: f R 5e 4 R j30 j R R??.8e j56.57º - La potencia edia suinistrada por la fuente vale: P f Re A f 5e j30º [ ] [ ] * j30º j56.57º f f Re 5e.8e Re[ 5.59 ] j6.57º e.795cos( 6. 57º ).5 W - La tensión en la resistencia vale: R j56.57º R 4.8e f 4.47e j56.57º - La potencia edia disipada en la resistencia es: [ ] [ ] * j56.57º j56.57º Re 4.47e.8e.5 W PR Re R R 5

53 6.9 Máxia transferencia de potencia edia. Adaptación conjugada - En este apartado vaos a generalizar al caso de circuitos de alterna, el teorea de áxia transferencia de potencia visto en el tea 3: En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la transferencia de potencia edia a la carga es áxia cuando la ipedancia de carga L es igual al coplejo conjugado de la ipedancia del equivalente Thevenin del circuito fuente Th circuito lineal de dos terinales A B L Th Th L A B P Pax L * Th 53

54 6.9 Máxia transferencia de potencia edia. Adaptación conjugada - Deostración - Partios del equivalente Thevenin del circuito fuente P Th Th L Th L P ax 8R Th Th Th - Para encontrar el áxio derivaos e igualaos a cero: P X L 0 - Resulta: R L X ( R L X Th Th L ) - La potencia edia áxia resulta: Th R ; RL ( X P R L / X Th 0 R L R Th * L X L X Th Th L ) R L R Th L L A B R Th R jx jx Th ( X Th X L ) (Adaptación Conjugada) 54 L Th

55 -Ejeplo 8: Deterinar la ipedancia de carga L que axiiza la potencia edia absorbida del circuito. Cuánto vale dicha potencia áxia? A&S-3ª Ej.3 55

56 Solución: - Coenzareos calculando el equivalente de Thevenin del circuito fuente - pedancia de entrada: Th [4 (8 j6)] j5 4 (8 j6) j5 4 8 j6 j36.87º 40e j5 j6.57º 3.46e j0.3º.983e j5.983 cos(0.3º ) [ jsin(0.3º )].933 j4.467 Ω j5 56

57 - Tensión de Thevenin: - Por división de tensión Th 8 j6 4 8 j6 0 j 00e 3.46e 36.87º j6.57º 7.45e j0.3º Th.99 j4.47 Ω - La ipedancia de carga deberá ser: L * Th.93 j4.47 Ω Th L - Para esta ipedancia de carga, la potencia edia disipada es: P 8R Th (7.45) 8.93 Th ax.37 W 57