Sean el modelo de programación lineal bajo forma canónica

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1 Pub. Mat. UAB N 22 Nov Actes VII JMHL TEOREMAS DE EXISTENCIA DE LA PROGRAMACION LINEAL J.P. Vilaplana Dpto. de Mateática Aplicada Universidad del País Vasco SUMMARY : One of the ost iportant facts to solve a linear prograing odel is that the solutions of the prial and dual ust verif soe conditions so that the solution a be optiu. In this paper, the Existence and Dualit Theores of t.he linear prograing are proved, without using the Farkas-Minkows ki's Lea. This provides a great siplification in the following theoretical developent. Sean el odelo de prograación lineal bajo fora canónica o prial : (1.a) (Min) z = c'x con las restricciones (1.b) Ax a b (1. c) x > 0 siendo x un vector colu=a con n coponentes A una atriz de forato x n, su dual : (2.a) (Max) z' = b'u con las restricciones

2 (2. b) A'u < c (2. c) u > 0 siendo u el vector de las variables duales, un vector coluna con coponentes. TEOREMA 1.- Sí x* es una solución factible del prial u* es una solución factible del dual, se verifica : (3) c'x* = b'u* las soluciones x* u* son las soluciones óptias correspondientes. Si x* es una solución factible del prial, Ax* > b. La nonegatividad de u* nos perite escribir, pre-ultiplicando por (u*)' : (4) (u*)'ax* > (u*)'b = b'u* Asiiso, puesto que A ' u* _ c, se tendrá que (u * ) ' A _ c ', de donde, post-ultiplicando por x* : (5) (u*)'ax* < c'x* Luego, de (4) (5), se deduce : (6) c'x* > b'u* Si x** es otra solución factible del prial, se tendrá análogaente : (7) c'x** > b'u*, por la hipótesis (3), resultará : ' (8) c'x** > b'u* = c'x* coo en el prial se trata de una iniización, x* será la solución óptia del iso. Un razonaiento análogo nos conducirá a :

3 (9) b'u** = c'x*< b'u* de donde se deducirá que u* es la solución óptia del dual. TEOREMA 2 (DE DUALIDAD).- Una solución factible x* del prial e sti a sí sólo sí existe una solución factible u* del dual tal que (10) Min z = c'x * = b'u* = Max z' Evidenteente para que una solución factible del prial sea óptia es necesario, por el Teorea 1, que se satisfaga (10). Deostreos que es tabien suficiente. Sea f(b) el valor ínio de (l.a) considerado coo función de las coponentes del vector b. S} x* es una solución básica factible de (1) suponeos que es la solución óptia de dicho prial, se tendrá : (11) f (b) = c'x* Si perturbaos esta solución decreentando la i-ésia coponente del vector x* en un infinitésio c tal que IF-J > 0, para que esta nueva solución (12) x** = x* - ce. (*) J satisfaga las condiciones (l.b) suareos ca j a b, siendo a j el vector coluna de A asociado a x solu-., es decir, x** será una ción factible de : (13.a) (Min) z = c'x (*) e j es el vector unidad siguiente : e = (0,.... 0,1, 0,.... 0) j-1 n-(j+1)

4 con las restricciones : (13.b) Ax > b - eaj Sustituendo esta solución factible en la función objetivo tendreos : (14) c' (x - sej ) = f (b) - cc j de aquí : f (b - ea j ) = f (b) - ecj al no ser necesariaente (12) la solución óptia de (13). Puesto que f(b) es una función continua, desarrollando en serie de Talor el prier iebro de (15), resulta : (16) f (b - Eaj ) = f (b) - E i=1 áh- a -; i +_ (infinitésios de 2s orden superiores) < f(b) - ecj. verificará : Coo e es un infinitésio, tal que lej>0, para todo i se (17.a) E af a > c. sí e > 0 i=l abi ij ` 1 (17.b) _ E ~b- a.. _< c. sí e > 0 i=1 i 11 3 Luego, de (17.a) (17.b), resulta : (le) E b a.. _ c si x* > 0 i=1 i 3 v3

5 (19) _2f i=1 ab i a ij _ < c j Dado que el valor ínio de la función objetivo (1.a) no puede auentar al disinuir bi, aunque nos puede peritir alcanzar un nuevo ínio, se verificará : (20) ab. >_ 0 1 para todo i = 1,2,..... Las inecuaciones (18), (19) (20) nos conducen a considerar un vector u * de coponentes que satisface las condiciones : (22) (u*)' A < c 1 (23) u * > 0. que será una solución factible del dual de (2). Por el Teorea 2 se verificará : (24) - (u*)'71x* < c'x* por (18) (19) se tendrá : (25) (u*) '71x * = c'x* Análogaente, se verificará : (26) (u*) '71x* > (u*) 'b por consiguiente, de acuerdo con todo lo anterior : (27) (u*) 171X* = (u*)'b = b'u*

6 De donde, por (25) (27), resulta. : (28) c'x* = b'u* luego x* u* son soluciones óptias (29) Min z = Max z'. TEOREMA 3 (DE EXISTENCIA).- Existe soluci ón óptia finita para el prial si - sólo si éste el dual poseen al enos una solución factible. Si elprial (1) posee una solución óptia factible, por el Teorea 1, el dual (2) posee tabién una solución factible. Si x* u* son las soluciones factibles del prial del dual respectivaente, pre-ultiplicando el prial por (u* )'se tiene : (30) (u*)'ax* > (u*)'b = b'u coo en el dual : (31) A' u* '< c puede escribirse : (32) (u*)'a < c' post-ultiplicando por x* se tiene : (33) (u*)'ax* < c'x* Luego, de (30) (33), resulta : a (34) c'x* > b'u* coo c'x* es finito, el dual tiene un óptio finito al ser c'x* una cota superior para b'u*.

7 TEOREMA 4 (DE EXISTENCIA).- Sí existe solución factible para el prial] dual dual j pero no para el prialj' existe una solupriall z ~ ción para el { dual tal que ~ z, ~ a. Sea x* una solución factible del prial. Si fuese solución óptia, el Teorea 3 exige que haa una solución factible para el dual, lo que está en contradicción con la hipótesis estable cida, de donde se sigue que ninguna solución factible es óptia, por consiguiente, z -. Análogaente se deostraría el otro caso. B I B L I O G R A F I A 1.- DANTZIG,G.B. : Linear - Prograing and Extensions. Princeton Universit Press. Princeton, N.J GASS,S. : Linear Prograing. McGraw-Hill Book Co. New York, HADLEY,G. : Linear Prograing. Addison - Wesle Publishing Co., Reading, Mass., VILAPLANA,J.P. : Introducción a la Prograación Lineal. Too I. Publ. Lab. Ing. Ind., Panaá, Serie B, No. 6, 1976.