Historias. Protoálgebra en Babilonia (2ª entrega): métodos de resolución

Transcripción

1 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 97, pp Protoálgebra en Babilonia (ª entrega): étodos de resolución Historias E n la priera entrega de esta serie, quedó planteado el problea de darle sentido a la solución que aparece en la tablilla babilóna TMS XIII, que está analizada en Høyrup (00, pp 07-08) A eso vaos a dedar esta segunda entrega Recordeos que la solución viene epresada en la tablilla coo una serie de operaciones, sin ás indaciones, por lo que nuestro problea consiste en averiguar qué calculan esas operaciones, qué sentido tiene hacer esos cálculos para resolver el problea y, a ser posible, hacer hipótesis sobre cóo se ha llegado a descubrir que esos cálculos periten resolver el problea Recordeos que la solución es la siguiente, y recordeos tabién que, coo no nos interesa abordar las difultades deradas del sistea etrológo babilóno, las unidades están substituidas por litros y graos, que son ás failiares para nosotros Manteneos, sin ebargo, los núeros escritos en el sistea seagesial 1 : Tú coloca litros de aceite y coloca el benefio 0 graos Inverso de 0, 1 30, ves 1 30 por ultipla, 6, ves 6 por 1`50, el aceite, ultipla, 1`17, ves ½ de rope,, ves cuadra,, ves a 1`17 añade, 1`1, ves Cuál es el lado igual? 9 es el lado igual 9 el equalente coloca ½ de, que has separado, rope,, ves al prier 9 añade, 11, ves Luis Puig Unersitat de València Estudi General Maria Teresa Navarro Moncho IES Veles e Vents Torrent historias@revistasuaes 97

2 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 98 SUMA 6 Del segundo quítalo, 7, ves 11 litros cada grao has coprado, 7 litros cada grao has vendido Plata equalente a qué? Qué a 11 litros [por grao] puedo poner que 1`50 de aceite e dé? b u = t c t v o t c = b u + t v Y que esta red de cantidades y relaciones podeos representarla ediante el grafo de la figura coloco 1 10 graos de plata Por 7 litros cada grao de plata que vendes de aceite, los 0 graos de plata a qué equalen? 0 por 7 ultipla `0, ves, `0 de aceite El enunciado del problea que está resuelto así, eliinando las unidades babilónas y dejando los núeros epresados en el sistea seagesial, es el siguiente: 1`50 litros de aceite he coprado De la copra de 1 grao de plata, litros, de cada (grao), de aceite he separado 0 graos de plata coo benefio he visto Con qué equalencia he coprado y con qué equalencia qué he vendido? En la anterior entrega de esta serie vios tabién que este problea puede analizarse reduciéndolo a la siguiente lista de cantidades y de relaciones entre ellas: cantidad coprada y vendida: (l), tasa de copra: t c (l/gr) tasa de venta: t v (l/gr) iporte de la copra: i c (gr) iporte de la venta: i v (gr) benefio total epresado en plata (protodinero): b td (gr) benefio unitario epresado en ercancía por unidad de plata: b u (l/gr) i i c v = o = t c = o = t v b td = i v i c o i v = b td + i c Figura 1 Estudiaos tabién que, coo los iportes de la copra y la venta están relacionados con las tasas de copra y venta por una proporcionalidad inversa i c t c = i v =, no es posible dar sentido a las relaciones de proporcionalidad entre iportes, tasas y benefios b td : b u :: i c : t v :: i v : t c, en el conteto de copra y venta de ercancías que narra el enunciado del problea Lo que nosotros podeos hacer: el Método Cartesiano en acción Antes de abordar el darle sentido a la solución babilóna, vaos a resolver el problea por étodos algebraos actuales para usar nuestra solución coo referencia de coparación La resolución algebraa de un problea de enunciado verbal aritéto-algebrao está guiada por lo que acostubraos llaar el étodo cartesiano, y un usuario copetente de ese étodo recorre los pasos siguientes (que epresaos tal y coo aparecen en Filloy, Puig y Rojano, 008): 1 Una lectura analíta del enunciado del problea que lo reduce a una lista de cantidades y de relaciones entre cantidades Elección de una cantidad que se va a representar con una letra (o de unas cuantas cantidades que se van a representar con letras distintas) 98

3 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 99 SUMA 6 3 Representación de otras cantidades ediante epresiones algebraas que describen la relación (aritéta) que esas cantidades tienen con otras que ya han sido previaente representadas por una letra o una epresión algebraa Estableciiento de una ecuación (o tantas coo letras distintas se haya decidido introducir en el segundo paso), igualando dos epresiones, de las que se han escrito en el tercer paso, que representen la isa cantidad 5 Transforación de la ecuación en una fora canóna 6 Aplación de la fórula o algorito de solución a la ecuación en fora canóna 7 Interpretación del resultado de la ecuación en térinos del problea La lectura analíta (paso 1) ya la heos presentado en el apartado anterior, y nos ha dejado el enunciado del problea convertido en la red de cantidades y relaciones entre ellas que está representado en la figura 1 Con ello el teto del enunciado del problea, escrito en lenguaje vernáculo, ha quedado preparado para su traducción al lenguaje del álgebra sibóla Traduzcáoslo pues (y traduzcaos tabién la cantidad de aceite coprada, 1`50 litros, del sistea de nueración babilóno al nuestro: = litros) Decidios (paso ) designar la tasa de venta, t v, con la letra (figura ) usando la relación i v = (en verde en la figura 3) escribo i v, el iporte de la venta: ; usando la relación i v = b td + i c (en aarillo en la figura 3) escribo b td, el benefio total epresado en plata: Figura 3 Coo teneos dos epresiones para b td, el benefio total epresado en plata, en este caso una epresión algebraa copuesta y un núero, podeos escribir una ecuación (paso, figura ): + = Figura Escribios epresiones algebraas para las otras cantidades usando las relaciones (paso 3): + + usando la relación t c = b u + t v (en rojo en la figura 3) escribo t c, la tasa de copra, + ; usando la relación i c t c = (en azul en la figura 3) escribo i c, el iporte de la copra: + ; = 0 + Figura 99

4 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 100 SUMA 6 SUMA 58 Noviebre 008 Una vez obtenida la ecuación la transforaos en una ecuación que esté en fora canóna (paso 5) Para ello, nos olvidaos del signifado de las cantidades y de las relaciones con las que la heos construido, y aplaos transforaciones algebraas que sólo tienen sentido en el undo de signifados de las relaciones aritéto algebraas: (+) =0(+) + =0 + 0 =0 + 0 = + + =0 En efecto, la epresión que heos obtenido carece de sentido en el undo de las transacciones coerciales, la tasa de venta ultiplada por sí isa no signifa nada Pero nuestras acciones tienen sentido porque sabeos que teneos un procediiento para resolver una ecuación escrita en fora canóna, y que las transforaciones algebraas, que heos realizado transforan la ecuación que habíaos obtenido coo traducción del enunciado, en ecuaciones equalentes De hecho, teneos dos procediientos de solución disponibles: la fórula de la ecuación de segundo grado y el procediiento de copletar cuadrados (paso 6) Si aplaos la fórula, obteneos dos valores para la : = 7 o = 11 = ± = ± 3 = ± 18 Si copletaos cuadrados, obteneos (los isos) dos valores: ++ =0 ++=81 (+) =81 +=±9 = 7 o = 11 ( ) = ± + = Una vez resuelta la ecuación, volveos al enunciado del problea para interpretar el resultado (paso 7), lo que nos lleva a rechazar el valor 11, ya que no tiene sentido que la tasa de venta sea una cantidad negata La tasa de venta es, por tanto, 7 l/gr Coo la tasa de copra es igual a la tasa de venta ás el benefio por unidad, b u, que vale l/gr, la tasa de copra será 11 l/gr La copra se ha hecho pues a 11 litros por cada grao de plata, y la venta se ha hecho a 7 litros por cada grao de plata Lo que hace el ateáto babilóno El ateáto babilóno coienza operando con dos datos, b u y b td : Tú coloca litros de aceite y coloca el benefio graos Inverso de 0, 1 30, ves 1 30 por ultipla, 6, ves Parece que se pretende encontrar el valor de: = 0 La disión en la ateáta babilóna es una operación difícil, por lo que se hace buscando el inverso del disor en una tabla de inversos, y ultiplando por él, para didir entre 0 pues, priero se calcula el inverso de 0 y luego se ultipla por Si pasaos del sistea seagesial al sistea decial, podeos entender ejor las operaciones realizadas: 130 = = = 10 = 0 (Inverso de 0) = = = = A continuación, el ateáto babilóno ultipla el valor que ha obtenido por el otro dato del problea, la cantidad de aceite coprada y vendida, 6 por 1`50, el aceite, ultipla, 1`17, ves Estas dos operaciones podeos ver que se deran de la relación: = b tt que obtuvios foralente en el análisis del problea que hios en la priera entrega En efecto, despejando t v t c, se obtiene: tt v c= = 6 1`50= 117 ` b Y epresando las cantidades en el sistea decial, teneos: tt v c td 6 6 = 1 60 = 10 = = = b 0 td u Ya que, 1` 50 = = y 1`17 = = v c 100

5 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 101 SUMA 6 Éstas son efectaente las operaciones que ha hecho el ateáto babilóno, pero no parece razonable hacer la hipótesis de que las ha derado de la relación indada, ya que el ateáto babilóno carece del lenguaje sibólo que nos ha peritido a nosotros derar foralente esa relación Por otro lado, no cabe una deración que no sea foral, es decir, hecha en un lenguaje ás abstracto que el lenguaje vernáculo, ya que, por ejeplo, la cantidad t v t c carece de sentido en la historia que narra el problea Nosotros deraos foralente ediante transforaciones algebraas esa relación a partir de las relaciones de proporcionalidad inversa que eisten entre iportes, tasas y benefios, y de ellas obtuvios adeás las relaciones de proporcionalidad: b td : b u :: i c : t v :: i v : t c La deración foral de esas relaciones que hace el ateáto babilóno usa un lenguaje distinto del nuestro: las relaciones de proporcionalidad inversa i c t c = e i v = se pueden representar coo dos rectángulos que tienen la isa área (figura 5) Figura 5 Si superponeos los dos rectángulos (figura 6) de anera que en sus lados se representen las relaciones i v = b td + i c y t c = b u + t v, los rectángulos coloreados en rojo tienen la isa área, ya que abos se han obtenido de los anteriores quitándoles el rectángulo de lados i c y t v, y por tanto b td = b u i c, o, epresado coo una proporción, b u : b td :: t v : i c Al tener esos rectángulos la isa área, los dos rectángulos superpuestos foran la figura que en la ateáta griega se conoce con el nobre de gnoon 3, y el gnoon se puede copletar rellenando la esquina para forar un rectángulo ás grande (figura 7), en la que los rectángulos en torno a la diagonal son seejantes y seejantes al rectángulo grande, y los otros dos rectángulos tienen la isa área y se conocen con el nobre de parapleróata Al copletar así la figura del gnoon, se ve tabién que t c e i v están tabién en la isa razón, de odo que b u : b td :: t v : i c :: t c : i v Figura 6 Figura 7 101

6 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 10 SUMA 6 Esto nos da cuenta de cóo pueden darse sentido a las relaciones de proporcionalidad inversa y directa sin disponer del lenguaje del álgebra sibóla: ediante la representación en un lenguaje de lados y áreas de rectángulos Una vez se tienen presentes esas relaciones, que, cuando no tienen sentido en la historia del problea, lo encuentran en las configuraciones geoétras, es posible desprenderse de los signifados de la transacción ercantil y realizar operaciones en el lenguaje (ás abstracto) de las configuraciones geoétras, buscando una configuración geoétra que ya se sepa cóo resolver Esto es lo que podeos ver que hace el ateáto babilóno, si representaos ahora las operaciones que ha hecho coo la transforación de un rectángulo de lados t v e i v, y área, por tanto,, conocida, en otro rectángulo de lados t v y t c, ediante un cabio de escala en una de sus diensiones El cabio de escala se puede hacer gracias a las relaciones de proporcionalidad que acabaos de considerar, y lo que se calcula es el área del nuevo rectángulo El producto de t v por t c carece de sentido en la historia del problea, pero lo tiene en el sistea de signos al que se ha traducido el enunciado del problea: es el área de un rectángulo (figura 8) 0 Figura 8 Adeás, la nueva configuración es canóna, en el sentido de que es una configuración para la que se tiene un algorito de solución: se trata de encontrar el largo y el ancho de un rectángulo del que se conoce su área y la diferencia entre el largo y el ancho El ateáto babilóno sabe que esa configuración se resuelve con el étodo akadio, que no es sino el precursor del procediiento de copletar cuadrados que heos hecho nosotros en el sistea de signos del álgebra y que el ateáto babilóno realiza cortando, desplazando y pegando rectángulos, así: ½ de rope,, ves Figura 9 Se dide el rectángulo pequeño en dos rectángulos iguales Figura 10 y se desplaza uno para forar un gnoon, tal coo aparece en la figura 11 Figura 11 10

7 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 103 SUMA 6 cuadra,, ves a 1`17 añade, 1`1, ves Figura 1 Se ha calculado pues lo que hace falta para copletar el cuadrado En el sistea decial 1`1=60+1=81, luego +1`17 se convierte en +7=81 Si realizaos estas operaciones en las figuras, obteneos un cuadrado de lado + t v y cuya área es 81, lo que equale a resolver la ecuación (+) = 81, equalente a la anterior Cuál es el lado? 9 es el lado igual 81 ½ de, que has separado, rope,, ves 11 litros cada grao has coprado, 7 litros cada grao has vendido En nuestra resolución del problea, terinaos aquí, pero el ateáto babilóno aún continúa: Plata equalente a qué? Qué a 11 litros [por grao] puedo poner que 1`50 de aceite e dé? Volviendo al planteaiento del problea y utilizando la relación i c t c = = = 1`50, el ateáto babilóno calcula el iporte de la copra: i c = = = 70gr t 11 1`10 coloco 1`10 graos de plata c En decial, 1`10 = = 70, lo que podeos representar en la figura 1 Por 7 litros cada grao de plata que vendes de aceite, los 0 graos de plata a qué equalen? El benefio, en la relación b u = t c t v es 11 7 = l/gr y epresa el benefio por unidad de plata Con cualquiera de los productos iguales b td = i c b u se puede obtener el benefio epresado de otro odo Lo que el ateáto babilóno hace es Figura 13 al priero añade, 11, ves (t c = 11) Del segundo quítalo, 7, ves (t v = 7) Luego la base del rectángulo es 11 y la altura 7 0 por 7 ultipla, `0, ves, `0 de aceite Es decir, 0 7 = b td litros, que epresa el benefio total en litros de aceite El resultado que da está epresado en el sistea seagesial, su equalente en decial es: `0 = = = Figura 1 103

8 historias_6_8 Q8:KouKUqd 01/06/010 0:33 Página 10 SUMA Figura Y dha ganancia en ercancía de 80 litros de aceite tabién se puede representar en el rectángulo en el área coloreada (Figura 15) Parece pues que el ateáto babilóno tienen tabién presentes en esta situación la cantidad benefio total epresado en ercancía, que nosotros no heos utilizado en nuestra solución, ni heos pensado en calcular Cabe pensar, a la vista de la representación en el rectángulo, que tabién esté presente la cantidad que se representaría en el resto del rectángulo, es decir, la que podríaos llaar cantidad de ercancía con la que se recupera la inversión (designéosla por r ), de odo que tabién estarían consideradas las relaciones que se ven en el rectángulo r = t v i c y = r +b t Protoálgebra en Babilonia La resolución nuestra, hecha según establece la copetencia en el étodo cartesiano, y la resolución del ateáto babilóno no son iguales; sin ebargo, coparten algunos rasgos que caracterizan lo que heos acabado llaando resolución algebraa de probleas Los cálculos que se hacen carecen de sentido en el conteto de la historia que narra el enunciado del problea en deterinados oentos del proceso Y esto se debe a que el problea se ha traducido a un sistea de signos (ás abstracto) en el que se puede operar sin recurrir a fundar las operaciones en los signifados de la historia que narra el problea Esas operaciones, no obstante, no son sin sentido: adquieren su sentido en ese sistea de signos ás abstracto En nuestro caso en el undo del álgebra, en el que los signifados de las transforaciones algebraas están fundados en los teoreas que establecen que esas transforaciones dejan las ecuaciones equalentes En el caso babilóno, en los signifados asociados a las relaciones entre las áreas de las figuras que se cortan, desplazan y pegan, o se estiran o encogen según un factor de escala Adeás, esos cálculos se hacen con un sentido: transforar la ecuación (o la configuración) obtenida al traducir el enunciado al sistea de signos abstracto, a una fora canóna, ya que las foras canónas ya se sabe cóo resolverlas ediante un procediiento fijado por una fórula o un algorito En ese sentido, podeos dar sentido al título que le heos puesto a esta serie: lo que hace el ateáto babilóno lo veos desde nuestra álgebra sibóla coo protoálgebra HISTORIAS NOTAS 1 Høyrup representa los núeros en el sistea seagesial indando ediante el signo ` la posión 60, `` la posión 60, e y ediante el signo la posión 60-1, la posión 60 -, e, de odo que, por ejeplo 70 5 lo escribe 1` REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS En Filloy, Rojano and Puig (008) o en Filoy, Puig y Rojano (008) se describe el uso de esos grafos para la representación de la red de relaciones entre cantidades, que se obtienen al analizar el teto del problea con el fin de traducirlo al sistea de signos del álgebra 3 El gnoon está definido en los Eleentos de Euclides, libro II, definión segunda Filloy, E, Rojano, T, & Puig, L (008) Educational Algebra A Theoretal and Epiral Approach New York: Springer Filloy, E, Puig, L, & Rojano, T (008) El estudio teóro local del desarrollo de copetencias algebraas Enseñanza de las Ciencias, 6(3), pp 37-3 Høyrup, J (00) Lengths, Widths, Surfaces A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin New York: Springer Este artículo fue solitado por SUMA en diebre de 009 y aceptado en ayo de