SISTEMAS Y MATRICES LECCIÓN 4

Transcripción

1 SISTEMAS Y MATRICES LECCIÓN 4 Índice: Sisteas con paráetro. Probleas..- Sisteas con paráetro Son sisteas en los que algunos coeficientes y térinos independientes dependen de un paráetro. Se trata, pues, de resolver, no un sistea, sino infinitos sisteas a la vez, uno por cada valor del paráetro. Por ejeplo, resolvaos el siguiente sistea: axy+z= xay+z= xy+az= Aplicaos el étodo de Gauss: a a a a a a 3 a a a -a -a -3 -a 4 a a -a -a-a -3 -a a= a= 5 -± +8 a= a +a= a= -±3 = a=, a= Estudiaos los distintos casos: º) Si a=, 6 el sistea es copatible indeterinado y la solución depende de un paráetro: xyz= y+z=- z=-y x=+y+z=+y-4y=-y x=-α y=α z=-α º) Si a=, 6 el sistea es incopatible: Pueden tabién depender de ás de un paráetro. Aquí nos reducireos al estudio de los sisteas que dependen de un paráetro. ªf 3ªf. 3 ªf-ªf; 3ªf-a ªf. 4 3ªf+ªf. 5 Coo no se puede dividir por cero, teneos que calcular los valores del paráetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que despejareos luego (caso 3º). 6 Sustituios el valor de a en el sistea escalonado que heos obtenido (no en el de partida). 7 ªf /3; eliinaos la últia fila. 8 No es necesario calcular el sistea escalonado para verlo. - -

2 3º) En los deás casos el sistea es copatible deterinado: xy+az= -a (a)y+(-a)z=-3 (-a-a )z=-a z= a-a = -(a+) -(a+)(a-) z= a- (a)y=-3+(a-)z=-3+(a-) a- =-3+= 3 y= (a-) y= a- x=+y-az=+ a- - a a- = a-+-a a- x= a- * * * Por ejeplo, resolvaos el siguiente sistea: x+y+z= x+ y+ z= x+y+ z= Aplicaos el étodo de Gauss: ( -) 7 = -= = -( -)= =, =± Estudiaos los distintos casos: º) Si =-, el sistea es copatible indeterinado y la solución depende de un paráetro: x+y+z=- y= y= x=+y+z=+z x=+α y= z=α º) Si =, el sistea es copatible indeterinado y la solución depende de dos paráetros: 9 Recuerda que para cada valor de a estaos resolviendo un sistea distinto; por ejeplo, cuando a=, la solución es x=, y=, z=. Por tanto, cuando a=, el sistea es copatible deterinado. Y lo iso sucede con los deás valores de a, excepto a= y a=. No se confunda, pues, el paráetro de que depende el sistea con los paráetros de que depende la solución. Coo a no es ni ni, podeos despejar z. 3 Coo a, podeos despejar y. 4 ªf-ªf; 3ªf-ªf. 5 ªf 3ªf. 6 3ªf-(+) ªf. 7 Coo no se puede dividir por cero, teneos que calcular los valores del paráetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que despejareos luego (caso 4º). 8 Escribios directaente el sistea escalonado. 9 Observa que la variable x puede toar cualquier valor, pues todos sus coeficientes son. - - SM-4

3 - - y+z= y=-z x=α y=-β z=β 3º) Si =, el sistea es copatible indeterinado y la solución depende de dos paráetros: x+y+z= x=-y-z x=-α-β y=α z=β 4º) En los deás casos el sistea es copatible deterinado: x+y+z= (-)y+( -)z= -( -)z= z= (-)y= y= x= x= * * * Conviene conocer otras foras de resolver este iso sistea que pueden servir en la resolución de otros sisteas seejantes: 3 ª) ( -)(-) ( -)(-) ( -) = -= = ( -)= =, =± El estudio de los distintos casos es igual que antes. ª) x z y x z y = -= = =± - = (-)= =, = Al estudiar los distintos casos hay que tener cuidado a la hora de escribir las ecuaciones, ya que heos cabiado de posición las dos Coo el sistea no es escalonado, aplicaos Gauss: ªf+ªf; eliinaos la 3ªf. Escribios directaente el sistea escalonado. 3 No justificaos el prier paso, pues coincide con el dado antes. 4 ªf- 3ªf. 5 3ªfªf. 6 ªc 3ªc. Esto supone un cabio de posición de las incógnitas y y z, que conviene señalar coo heos hecho, pues, de lo contrario, se corre el peligro de olvidarlo luego; por eso no es recoendable esta alternativa, salvo que siplifique los cálculos, coo en este caso SM-4

4 últias incógnitas. 3ª) Este procediiento y los que siguen no son recoendables, salvo que no dispongaos de otra alternativa ejor: ( -)(+) - - ( -) = -= =± ( -)= =, =± Ahora habría que estudiar priero el caso =-, pero no en el sistea escalonado que heos obtenido, sino en el de partida; 3 y luego los deás casos coo siepre. Veaos el caso =-: x+y+z=- y= y= x=+z x=+α y= z=α Si hubiéseos estudiado el caso =- en el sistea escalonado, habríaos coetido un error: x+y+z=- x=+y+z x=+α+β y=α z=β 4ª) Este procediiento es siilar al anterior: = -= = (-)= =, = El caso =- se estudia igual que antes, o sea, en el sistea de partida o en el inediataente anterior al paso señalado con la nota 7. Aquí el error que se puede coeter es olvidarse de dicho caso, al no anular ese valor a los pivotes. 3ªf (+). Evidenteente, este paso no puede darse, ya que + no siepre es distinto de cero (coo exige la segunda transforación eleental). Pues bien, lo que se hace es suponer que - y estudiar el caso =- aparte. 3ªfªf. 3 O, si se prefiere, en el inediataente anterior al paso señalado con la nota, pues es en ese paso en el que heos necesitado suponer -. 4 ªf-ªf; 3ªf-ªf. Si se utiliza el sistea indicado en la nota anterior, sobra este paso. 5 Escribios directaente el sistea escalonado. 6 Error que no dejaría de serlo aunque el resultado coincidiese con el correcto. 7 ªf /(+). Para poder dar este paso suponeos - y estudiaos el caso =- aparte SM-4

5 5ª) Parecido a los dos anteriores es el siguiente: = = Los casos =- y = se estudian igual que antes, en el sistea de partida o en el inediataente anterior al paso señalado con la nota. Aquí el error que se puede coeter es olvidarse de estudiarlos al no anular esos valores a los pivotes. 6ª) Siilar a los anteriores es el siguiente: = = - = = =± El caso = se estudia en el sistea de partida. Aquí el error que se puede coeter es olvidarse de estudiarlo al no anular ese valor a los pivotes..- Probleas ) Discute y resuelve los siguientes sisteas, según sea el valor del paráetro: x+y=3 a) x-3y= 3x+y=a x+y=3 d) ax+y+z= x+az= x-3z=-3 g) x+ky-z= x+y+kz= x+y+az=4 j) x+z= x+y+z= b) e) h) k) xy= x+y=3 x+ay=4 y+at= y+z+t= x+y=3 kx+y-z= x-3y+z= 3x+y+4z= x+y+z=a x+(+a)y+z=a x+y+(+a)z= c) x+y=3 x+y=a x+y+kz= f) 3x+4y+z=k x+3y-z= x-ky+4z= i) x+y+7z= kx-y+3z= (a+)x+y+z=a+ l) x+(a+)y+z=a+3 x+y+(a+)z=a-4 ªf /( -); 3ªf /(-). Para poder dar este paso suponeos ± y estudiaos estos casos aparte. 3ªfªf. 3 ªf /; 3ªf /. Para poder dar este paso suponeos y estudiaos este caso aparte. 4 ªf 3ªf. 5 ªf-ªf; 3ªf- ªf. 6 3ªf+ªf SM-4

6 ) x+ay+z=a+ x+y+az=(a+) ax+y+z=a o) y-z=k 3xz= y+z=6 x+y-4z=k r) u) x) x+3y-z= -x+y+z=3 5x+ky-4z=- 3x+y+4z= x+y-z= x+3y+z= ax-ay+az=a (3a)z= x+(a-)y= n) (+a)x+y+z= x+ay+z= x+y-z= p) x+y+z+t= kxy+3z+4t= 3x-y-z+4t= x+4y-z-9t= s) x+y-4z= 3x-y= y+z=6 y-z= v) y) x+ay-z= x+y-az= x-y-z=a- ay+(a+)z=a ax+z=a x+az=a ñ) x+y+kz= x+ky+8z=3 q) x+y-4z=k+ -x+5y-z=k x+6y-5z=k+ x-4y+5z=k t) w) z) (-7-)x+6y+6z= -3x+(-)y+3z= -6x+6y+(5-)z= (a-3)x+4z= xz=- -x+ay+z=a ay+az= x+z= 4xy+az=a SM-4