Matemáticas UNIDAD 6 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 6 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 INTRODUCCIÓN AL EMPLEO DE ECUACIONES 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Verificación de expresiones en las que se usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad, existencia de elemento neutro, distributividad). Interpretación de fórmulas de perímetros y área de cuadrados o rectángulos. Interpretación de ecuaciones con una incógnita. Resolución de ecuaciones usando propiedades de las operaciones. Validación de las soluciones encontradas. 2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas. 3. CONTENIDOS Empleo de letras en expresiones matemáticas Representación de situaciones mediante ecuaciones 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Empleo de letras en expresiones matemáticas Esta Unidad es una iniciación al lenguaje algebraico. Una de las principales dificultades que tienen los estudiantes al iniciar su estudio del álgebra reside en errores conceptuales en relación con el significado del signo igual. A este punto se refiere el primer aprendizaje esperado. Otro aspecto importante es la paulatina familiarización con el uso de letras para representar cantidades. En este aspecto, las propiedades de las operaciones constituyen un buen ejemplo de uso de letras para expresar relaciones generales. A ellas se refiere el segundo aprendizaje esperado. El tercer aprendizaje esperado se refiere a las convenciones que se han establecido en relación con la forma en que deben interpretarse expresiones en las que aparece más de una operación. APRENDIZAJES ESPERADOS Empleo de letras en expresiones matemáticas Aplican e interpretan correctamente el significado del signo igual en expresiones matemáticas. Interpretan expresiones literales que expresan propiedades de las operaciones. Conocen, interpretan y aplican las convenciones relativas a la prioridad de las operaciones. Interpretan y aplican fórmulas para calcular perímetros y áreas de diferentes figuras geométricas. Aplican fórmulas no conocidas previamente. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 Otro campo en que el empleo de letras resulta fácil de comprender lo constituyen las fórmulas de cálculo de diferentes magnitudes. El cuarto aprendizaje esperado incluye la interpretación y aplicación de algunas fórmulas geométricas simples como las fórmulas de cálculo de perímetros en cuadrados, rectángulos y triángulos, y fórmulas de cálculo de área de rectángulos y triángulos. El quinto aprendizaje esperado se refiere a la interpretación y empleo de fórmulas en situaciones que el estudiante no conocía previamente. 4.2 Representación de situaciones mediante ecuaciones Entre las expresiones algebraicas de mayor relevancia en este nivel destacan las ecuaciones con una incógnita que pueden representar una situación problemática dada. El primero y segundo aprendizaje esperado apuntan a la comprensión de las relaciones que existen entre una situación y una ecuación que pueda representarla. El tercer aprendizaje esperado se refiere a la posibilidad de sugerir situaciones problemáticas que podrían ser representadas por una ecuación dada. Esto es, en cierta forma, la acción inversa de la anterior y contribuye a reforzar la relación que existe entre una situación problemática y la ecuación que la representa. En el cuarto aprendizaje esperado se pone énfasis en la solución de la ecuación y su relación con la pregunta de la situación problemática representada por la ecuación. El carácter inverso de las operaciones de adición y sustracción y de las operaciones de multiplicación y división permite resolver ecuaciones relativamente simples. A este punto se refiere el quinto aprendizaje esperado. El sexto aprendizaje esperado se refiere a la posibilidad de utilizar ecuaciones como una herramienta en la resolución de problemas. En tal sentido, constituye una especie de síntesis de los conocimientos adquiridos. En todo caso, conviene subrayar que en este nivel no se profundiza mucho en los procedimientos de resolución de ecuaciones. APRENDIZAJES ESPERADOS Representación de situaciones mediante ecuaciones En una ecuación que representa una situación dada, establecen a qué corresponde la incógnita y cada una de las cantidades que aparecen en la ecuación. Dada una situación problemática simple, formulan una ecuación (o más de una ecuación) que la representa y explican el significado de cada uno de sus términos. Proponen situaciones problemáticas que podrían ser representadas por una ecuación dada. Dada una situación problemática y una ecuación que la representa, verifican si una cantidad dada puede ser solución de la ecuación. Resuelven una ecuación simple utilizando propiedades de las operaciones. Resuelven problemas con ayuda de ecuaciones. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 La iniciación al álgebra Las tendencias actuales en educación matemática subrayan la importancia de una iniciación temprana del aprendizaje del álgebra, principalmente en lo referente al empleo de letras como una forma de representar cantidades. El empleo de letras resulta especialmente adecuado para generalizar relaciones entre cantidades o para representar cantidades desconocidas. En esta unidad se propone trabajar principalmente con el uso de letras para representar en forma general propiedades de las operaciones o para expresar fórmulas de cálculo. Se trata de situaciones que son conocidas por los estudiantes y que permiten, en tal sentido, comprender mejor las ventajas de utilizar letras en lugar de números. A través del uso de letras es posible resumir en un enunciado general un gran número de casos particulares. En muchas ocasiones, el número de casos particulares representados puede ser infinito, lo cual hace imposible indicarlos uno a uno. Hasta aquí, los estudiantes han superado esta dificultad utilizando enunciados verbales. Por ejemplo, la conmutatividad de la adición puede expresarse verbalmente mediante sentencias del tipo: en una adición, la suma no varía si se altera el orden de los sumandos. El uso de letras abre la posibilidad de decir lo mismo en forma mucho más compacta (por ejemplo: a + b = b + a). En este nivel el énfasis debe estar en desarrollar la capacidad para interpretar este tipo de expresiones literales y en mostrar las ventajas de su utilización. Se trata de una iniciación a un nuevo lenguaje. En tal sentido, debemos centrar nuestra atención, por un lado, en lograr que interpreten lo que se quiere decir con una expresión matemática que utiliza letras, y, por otro, en desarrollar la capacidad para expresarse matemáticamente con ayuda de letras. 5.2 Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual Es común que muchos estudiantes consideren el signo = como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia. Así, por ejemplo, interpretan la expresión = x + 3 en términos similares a los siguientes: A 5 se le suma 8 y al resultado se le suma 3. Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así: = x + 3 = 16 Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10. Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual. 5.3 Las propiedades de las operaciones La conmutatividad de la adición y de la multiplicación constituyen una base especialmente favorable para iniciar a los estudiantes en el empleo de letras en expresiones matemáticas. Se trata de propiedades muy generales de las operaciones que el estudiante ha conocido anteriormente y que no presentan dificultades para su comprensión cuando se han trabajado mediante una metodología adecuada. Dado que la cantidad de casos particulares es infinita no es posible presentar estas propiedades FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 a través de una simple enumeración de casos. En el primer ciclo básico ello se resuelve mediante el uso del lenguaje verbal: La suma no varía si se invierte el orden de los sumandos, el orden de los factores no altera el producto, o similares. Al introducir letras, podemos expresar estas mismas propiedades usando expresiones matemáticas en las que letras representan cantidades: a + b = b + a, a b = b a. Estas son expresiones matemáticas simples y compactas que representan todos los casos posibles de adiciones o multiplicaciones en cada conjunto numérico. Otras propiedades de las operaciones son asimismo muy ilustrativas de las ventajas de utilizar letras en enunciados generales. Es el caso, por ejemplo, de las propiedades del 0 (a + 0 = a, a 0 = 0, 0 : a = 0) o del 1 (a 1 = a, a : 1 = a). Algo similar puede decirse de la distributividad de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción. Esta vez, el empleo de expresiones matemáticas literales puede, incluso, profundizar en la comprensión de estas propiedades. 5.4 Ecuaciones como modelo que representa una situación problemática. En la resolución de problemas, las ecuaciones que se planteen constituyen una expresión comprimida de las relaciones cuantitativas que existen entre las diferentes cantidades que intervienen. Supongamos, a modo de ejemplo, que se quiere resolver el siguiente problema: Las entradas al circo del Tony Pirata cuestan $4.000 para mayores de 10 años y $2.500 para menores de 10 años. En la primera función, el cajero informó que se habían vendido 210 entradas con una recaudación total de $ Pero no sabía cuántas de estas 210 entradas eran entradas de $2.500 y cuántas eran de $ Podrías ayudarle a salir de su duda? Si representamos por x el número de espectadores mayores de 10 años, podemos plantear la ecuación: x (210 x) = En esta ecuación, no se considera que estamos hablando de un circo o de espectadores de más de 10 años o de menos de 10 años. Solo se toman en cuenta las relaciones cuantitativas entre los diferentes datos del problema. Es muy importante que, antes de tratar de resolver la ecuación, nos aseguremos que los estudiantes entiendan qué representa cada número y cada letra en esta ecuación y por qué se establecen las operaciones que allí aparecen. Por ejemplo: Qué representa la letra x? A qué corresponde el número 4.000? Por qué se multiplica por x? Qué representa ese producto? Por qué se multiplica por (210 x)?, etc. Sólo después de tener claro qué representa la ecuación y cómo ella expresa la situación en estudio podemos buscar formas de resolver la ecuación. Y una vez resuelta la ecuación, es decir, una vez que hemos encontrado el valor que debe tener x para que se cumpla la igualdad, será necesario interpretar esa solución en términos de la situación problemática inicial. Y establecer, asimismo, si esta solución responde a lo que se quiere averiguar y si la respuesta es razonable. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO GRUPAL) SIGNIFICADO DE LA IGUALDAD Las actividades de esta guía apuntan a aclarar y reforzar la interpretación que debe darse al signo igual en expresiones matemáticas. Es importante analizar uno por uno cada ejercicio insistiendo en la necesidad de interpretar correctamente las igualdades que aparecen en la guía. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA CONMUTATIVIDAD DE LA ADICIÓN Y DE LA MULTIPLICACIÓN En las primeras actividades de esta guía se recuerda la conmutatividad de la adición, una propiedad que los estudiantes conocen desde 1º básico. Luego se plantea la posibilidad de expresar esta propiedad utilizando letras que representen números. Es importante que los estudiantes puedan interpretar adecuadamente una expresión del tipo a + b = b + a y visualicen las ventajas de utilizar letras para formular enunciados generales. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) OTRAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES En esta guía se analiza la posibilidad de utilizar letras para representar el comportamiento del 0 y del 1 en diferentes operaciones y para representar la asociatividad de la adición y de la multiplicación. La pregunta 3c llama la atención al hecho que la asociatividad hace posible prescindir de paréntesis en adiciones con más de dos sumandos. Algo similar se puede decir de multiplicaciones con más de dos factores. Asimismo se advierte acerca de eventuales errores que podrían surgir en expresiones que contienen sustracciones. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL) CONVENCIONES QUE HAY QUE RESPETAR Las actividades de esta guía introducen dos convenciones que rigen el orden de las operaciones en expresiones que contienen más de una operación. Se trata del orden en que deben realizarse las operaciones en el caso de expresiones que contienen paréntesis y de la prioridad de las multiplicaciones y divisiones sobre las adiciones y sustracciones. El conocimiento y aplicación de estas convenciones es necesario para el tratamiento de la distributividad de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) LA DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO DE LA ADICIÓN En las actividades de esta guía se ejercita el empleo de letras para representar la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición y a la sustracción. Primero se recuerda esta propiedad utilizando números y luego se generaliza utilizando letras. Como en los casos anteriores, es importante que los estudiantes puedan interpretar adecuadamente las expresiones en que se utilizan letras y visualicen las ventajas de utilizar letras para formular enunciados generales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) EMPLEO DE LETRAS EN FÓRMULAS En esta guía se analizan varios ejemplos de fórmulas que utilizan letras para representar diferentes magnitudes. Estas actividades permiten reforzar la comprensión del empleo de letras en expresiones matemáticas. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) REPRESENTACIÓN DE SITUACIONES MEDIANTE ECUACIONES Esta guía pone el énfasis en la representación de una situación problemática mediante una ecuación en que la cantidad desconocida se designa mediante una letra. Las distintas actividades propuestas buscan hacer claridad sobre la relación que existe entre la ecuación y la situación representada por esa ecuación. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN En esta guía se introduce la noción de solución para una ecuación. Asimismo se llama la atención a que una ecuación de primer grado tiene en general 1 solución, pero en casos excepcionales puede tener infinitas soluciones o ninguna solución. GUÍA DE TRABAJO Nº 9 (TRABAJO GRUPAL) PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES En esta guía se ven procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples sobre la base de la aplicación del carácter inverso de la sustracción con respecto a la adición y de la división con respecto a la multiplicación. Otros procedimientos basados en las propiedades de la igualdad se ven más tarde en 7º año. GUÍA DE TRABAJO Nº 10 (TRABAJO GRUPAL) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE ECUACIONES En esta guía se formulan algunas situaciones problemáticas y se espera que el estudiante las pueda resolver utilizando ecuaciones. Las preguntas que se plantean en cada caso apuntan a aclarar la relación que existe entre la ecuación y la situación problemática, así como la relación que existe entre la solución de la ecuación y la pregunta del problema. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6