MATEMÁTICA 8 BÁSICO MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS

Transcripción

1 MATEMÁTICA 8 BÁSICO INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS Material elaborado por: Héctor Muñoz Adaptación: Ernesto Alabarce V.

2 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD Si bien las bases curriculares proponen para 8 básico sólo la multiplicación y división de números Enteros, la unidad ofrece al docente la posibilidad de trabajar con sus estudiantes además de los conceptos básicos, la adición y sustracción. De esta forma la unidad se encarga de la introducción a los números Enteros, valiéndose del conocimiento por parte de los estudiantes de los números Naturales, para luego completar con el cero y los enteros negativos. El tratamiento del tema se inicia con la presentación de situaciones en las que es razonable hablar de cantidades menores que cero y con la introducción de los números negativos como un tipo de números que permiten cuantificar situaciones de esta naturaleza. Se formalizan también los procedimientos de cálculo para la adición, sustracción, multiplicación y división de números Enteros. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS Lectura y escritura de números Enteros Orden de números Enteros Adición y sustracción de números Enteros Multiplicación y división de números Enteros 4. OBJETIVO DE APRENDIZAJE Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de números enteros: o Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica o Aplicando procedimientos usados en la multiplicación y la división de números naturales o Aplicando la regla de los signos de la operación o Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios 2

3 1. Profundización de contenidos MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE Acerca de la introducción de los números negativos Los números negativos traen consigo situaciones que, a juicio de los estudiantes, pueden resultar contradictorias con sus conocimientos previos. Por ejemplo, el hecho que -8 sea menor que -3, o que la suma entre dos números pueda ser menor que dichos números. Por tal motivo es importante el empleo de algún tipo de representación gráfica o uso de metáforas de los números negativos que otorgue concreción a los números negativos y a las operaciones entre ellos. La recta numérica con su representación de los números enteros resulta especialmente útil en este sentido. Para que la recta numérica juegue el papel que se espera de ella, es necesario subrayar algunos puntos importantes en relación a cómo representar y cómo interpretar números negativos u operaciones con números negativos en la recta numérica. En especial, se debiera poner atención a los siguientes puntos: En la recta numérica los números negativos se suelen representar a la izquierda del 0. Si opta por representarlos de esta forma, entonces al desplazarse desde el 0 hacia la izquierda, iremos encontrando los números -1, -2, -3, -4, hasta el infinito negativo. Todo número negativo es menor que 0 y es menor que cualquier número positivo. El valor absoluto de un número corresponde a la distancia que hay desde ese número hasta el 0. Números con igual valor absoluto pero distinto signo están situados simétricamente con respecto al 0. Sumar un número positivo se puede representar como un desplazamiento hacia la derecha. De igual forma, sumar un número negativo se puede representar como un desplazamiento hacia la izquierda. La suma de dos números que tienen igual valor absoluto pero distinto signo es 0. Por esa razón, se dice que cada uno de ellos es el inverso aditivo del otro. Restar dos números equivale a sumar el primero por el inverso aditivo del segundo. Acerca de los procedimientos de cálculo de adición y sustracción de números Enteros La experiencia muestra que una vez que los estudiantes se han familiarizado con los números negativos, no tienen grandes problemas para aceptar los procedimientos de cálculo de adición de números enteros. Utilizar una deuda como metáfora para un número negativo suele resultar convincente en el caso de la adición. Por ejemplo: Si a un saldo de $ le agregamos una deuda de $ , el resultado será un saldo negativo: =

4 Si ya se tenía una deuda de $20.000, una nueva deuda de $ agrava la situación: = También resulta útil la representación de adiciones en la recta numérica en forma de desplazamientos hacia la derecha o izquierda según se trate de sumar un número positivo o un número negativo. En todo caso, es importante subrayar que estas metáforas o representaciones no constituyen una demostración del procedimiento sino solo un apoyo metodológico para hacerlo aceptable por los estudiantes. Matemáticamente, lo que se hace es buscar la definición más conveniente. En especial, la definición debe cumplir dos condiciones ineludibles: Cuando los dos sumandos sean positivos, el procedimiento debe coincidir totalmente con los procedimientos conocidos de adición de números naturales, Deben seguir siendo válidas las propiedades básicas que tiene la adición de números naturales (conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro). Sin embargo, una presentación de esta naturaleza puede parecer demasiado abstracta a los estudiantes. Por ello, es recomendable utilizar representaciones que puedan apoyar el aprendizaje. Una vez que se tiene un procedimiento para sumar números enteros, la sustracción se desprende lógicamente a partir del carácter inverso de la sustracción con respecto a la adición. En esta Unidad se propone utilizar un procedimiento que se basa en convertir la sustracción en una adición reemplazando el sustraendo por su inverso aditivo: a b = a + -b Acerca de los procedimientos de cálculo de multiplicación y división de números enteros El tratamiento de la multiplicación de enteros resulta un tanto paradójico. El procedimiento de cálculo es muy sencillo: se multiplican los valores absolutos (lo que equivale a una multiplicación de números naturales) y luego se determina el signo sobre la base de una regla fácil de recordar (si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo; si los dos factores tienen diferente signo, el producto es negativo). Sin embargo, muchos estudiantes se resisten a aceptar que el producto de dos números negativos sea positivo. Conviene, por lo tanto, avanzar paso a paso. La multiplicación de dos enteros positivos corresponde a la multiplicación de números naturales y es algo conocido. 4

5 En el caso de una multiplicación de dos enteros de distinto signo, podemos basarnos en la interpretación de la multiplicación como adición de sumandos iguales y en la necesidad de conservar la propiedad de conmutatividad. Así, 3-4 = -4 3 = = -12 De modo que tenemos un procedimiento simple y claro: multiplique los valores absolutos (que por definición son positivos) y anteponga el signo menos. Pero la interpretación de la multiplicación como adición de sumandos iguales requiere que al menos uno de los dos factores sea un número natural. Eso deja afuera al producto de dos números negativos, por ejemplo, -3-4 Matemáticamente podemos demostrar que -a -b = ab partiendo de tres supuestos que constituyen una generalización de propiedades de los números naturales: la suma de un número más su inverso aditivo es 0, el producto de cualquier entero por 0 es igual a 0 y la multiplicación de enteros es distributiva con respecto a la adición. A continuación se reproduce una demostración. -a -b = -a -b + 0 = -a -b + a 0 = -a -b + a [-b + b] = -a -b + a -b + a b = [-a + a] -b + a b = 0 -b + a b = a b Una demostración de este tipo, es interesante para un docente de matemática, pero resulta difícil de comprender por estudiantes de este nivel. Un razonamiento más sencillo se basa en una generalización basada en extrapolación. Analicemos la siguiente secuencia de multiplicaciones: 3-4 = = = = =? 5

6 Los resultados forman una secuencia que aumenta de 4 en 4. Siguiendo este patrón, la secuencia anterior podría continuar así: 3-4 = = = = = = = 12 De esta forma, podemos mostrar que para mantener la concordancia con lo que ya sabíamos, lo más conveniente es establecer que el producto de dos números negativos es un número positivo, a saber, el producto de sus valores absolutos. Y para que la división siga siendo la operación inversa de la multiplicación, deberá cumplirse que el cociente es positivo si dividendo y divisor tienen igual signo y el cociente es negativo si dividendo y divisor tienen distinto signo. 2. Sugerencias metodológicas La mayor dificultad que presentan los estudiantes en la compresión de los procedimientos de cálculo con números Enteros, es el hecho que, generalmente, se presentan como un procedimiento per se; lo que conlleva que los estudiantes sólo memoricen y por ende olviden rápido y posteriormente incluso generen nuevos e incorrectos procedimientos, luego es importante generar representaciones visuales de estas operaciones, es decir que los estudiantes logren ver lo que están haciendo. En la sección de profundización de contenidos se propone la representación en la recta numérica, la cual resulta útil casi en todos los contextos, agregaremos también, en esta sección, la representación de positivos y negativos en diagramas. Por ejemplo usando la representación de saltos en la recta numérica, por ejemplo se puede representar 3 + 5: La representación en diagrama también genera aportes para la compresión de los mismos conceptos. Por ejemplo representado en diagrama se vería de la siguiente forma: 6

7 Como se puede ver en la representación anterior, los valores positivos y negativos se representan con signos y colores distintos. La solución final consiste en que un positivo y un negativo se anulan entre sí. Tanto para el caso de la adición y sustracción se pueden encontrar recursos muy útiles en la web, por ejemplo la representación en diagramas está muy bien lograda en el siguiente recurso: En el mismo sitio puede encontrar representaciones para sustracción y multiplicación de números Enteros. Para el caso de la multiplicación y división se recomienda de igual forma representar cada vez que sea posible y como se mencionaba en la sección de profundización, el trabajo con secuencias y el posterior levantamiento de conjeturas sobre las regularidades que se producen, puede resultar provechoso. Lo deseable será siempre priorizar la comprensión por sobre la memorización de algoritmos rutinarios, evitar que los estudiantes terminen su escolaridad sin saber por qué menos por menos es más. 7

8 MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA HOJA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL). CANTIDADES MENORES QUE CERO Las actividades de esta hoja de trabajo apuntan a mostrar que existen situaciones en las que tiene sentido hablar de cantidades menores que cero. De hecho, es posible que los alumnos y alumnas estén familiarizados con la existencia de temperaturas negativas y tal vez hayan escuchado hablar de valores negativos del IPC. Una vez establecido que existe este tipo de situaciones, podemos presentar los números negativos como una forma de cuantificarlas. HOJA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL). LOS NÚMEROS ENTEROS En esta hoja de trabajo la atención se centra en la noción de número entero y su representación en la recta numérica. HOJA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL). RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS En esta hoja de trabajo se ejercita la comparación de números enteros en situaciones contextualizadas en diversas situaciones. HOJA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL). SUMANDO UN ENTERO POSITIVO La hoja de trabajo trabaja la suma de un número entero negativo con un entero tanto positivo como negativo. Para ello usa la representación de esta situación en la recta numérica. HOJA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL). SUMANDO UN ENTERO NEGATIVO En esta hoja se trabaja la adición de un número negativo con un positivo, caracterizándolo como un desplazamiento hacia la izquierda en la recta numérica, es decir, el movimiento opuesto a la adición de un número positivo. Esta vez, y contrariamente a lo que sucede con los números naturales, el resultado es siempre menorque el primer sumando. HOJA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO INDIVIDUAL). UN PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO PARA LA ADICIÓN DE ENTEROS Corresponde ahora sistematizar los procedimientos de cálculo de adiciones de números enteros, independizándonos de la recta numérica. Es lo que se ejercita en esta hoja de trabajo. Se propone un procedimiento general que se reproduce en la actividad 1 y que está disponible para el estudiante. El procedimiento contempla 3 pasos: 1. Distinguir si ambos sumandos tienen el mismo o distinto signo. 2. Determinar el valor absoluto del resultado. 3. Determinar el signo del resultado. Es recomendable que los estudiantes puedan disponer de un diagrama similar al que aparece en la actividad 1 por lo menos hasta que logren un adecuado nivel de dominio del procedimiento. 8

9 HOJA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL). EL INVERSO ADITIVO DE UN NÚMERO En la preparación del procedimiento de cálculo de la sustracción de números enteros, la hoja de trabajo Nº 7 introduce y ejercita la noción de inverso aditivo de un número. Se subrayan tres propiedades del inverso aditivo: 1. Si a un número se le suma su inverso aditivo, el resultado es 0 (lo que de hecho constituye la definición matemática de inverso aditivo), 2. El inverso aditivo de un número tiene su mismo valor absoluto pero distinto signo, y 3. En la recta numérica, un número y su inverso aditivo están situado en ubicaciones que son simétricas con respecto al 0. HOJA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL). ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La hoja de trabajo contiene diversas actividades destinadas a ejercitar los procedimientos de cálculo ya explorar o a sistematizar algunas propiedades de la adición y la sustracción de números enteros. HOJA DE TRABAJO Nº 9 (TRABAJO GRUPAL). VARIACIONES La hoja de trabajo se encarga de cerrar el tema de adición y sustracción de números enteros con algunas actividades en que se aplican los conocimientos adquiridos al análisis de situaciones en las que una determinada magnitud experimentavariaciones y se utilizan los números enteros precisamente para cuantificar dichas variaciones. HOJA DE TRABAJO Nº 10 (TRABAJO GRUPAL). MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO En esta Hoja de Trabajo se inicia el tratamiento del procedimiento de cálculo de multiplicaciones de números enteros. Se analiza, en primer lugar, el caso de la multiplicación de dos enteros de distinto signo. Se parte de que en este caso sigue siendo válida la interpretación de la multiplicación como una adición de sumandos iguales y sigue siendo válida también la propiedad conmutativa. Sobre esta base, podemos mostrar que el valor absoluto del producto de dos enteros de distinto signo es igual al producto de sus valores absolutos y que el signo del producto es negativo. HOJA DE TRABAJO Nº 11 (TRABAJO GRUPAL). MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS DE IGUAL SIGNO En esta hoja de trabajo se introduce y se ejercita un procedimiento de cálculo para la multiplicación de dos enteros negativos. Se muestra un razonamiento que lleva a la conclusión que la alternativa más aceptable es considerar que el producto es positivo. Se trabaja también el efecto que tiene multiplicar un número entero por -1. HOJA DE TRABAJO Nº 12 (TRABAJO GRUPAL). DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La última hoja de trabajo de la Unidad se refiere a la división de números enteros. Basándose en el carácter inverso de la división con respecto a la multiplicación, se infiere un procedimiento de cálculo que no se diferencia del cálculo de división de números naturales excepto por la necesidad de adjudicar un signo al resultado. Y el signo del cociente será 9

10 positivo si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo y será negativo si el dividendo y el divisor tienen distinto signo. Una regla de signos que es muy similar a la regla de signos de la multiplicación de enteros, lo que facilita su aprendizaje. La última actividad de la hoja de trabajo apunta a una sistematización de los procedimientos de cálculopara la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números enteros. 10