Operaciones con números enteros

Transcripción

1 1. Identificación Nivel: Primario Área: Matemática Grado: Sexto SC 10: Resumen: En esta Unidad Didáctica se identifican los números enteros positivos y negativos. Se resuelven operaciones de adición y sustracción. Además, se resuelven problemas cotidianos que involucran operaciones y comprenden el sentido del uso de estas operaciones. Para desarrollar esta Unidad Didáctica se recomienda utilizar las siguientes metodologías: Explorar los conocimientos previos con ejercicios para el cuaderno y la pizarra, uso de recursos gráficos representativos de las aplicaciones de los números enteros, por ejemplo, profundidades por debajo del nivel del mar, ejercicios basados en operaciones combinadas con números enteros. Finalmente, diseñar problemas ligados a situaciones cotidianas que involucren adiciones y sustracciones. 1

2 2. Descripción Base teórica o conceptual: Suma de números enteros 1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común. + 5 = 8 ( 3) + ( 5) = 8 2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto = ( 5) = 2 Resta de números enteros La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b) 7 5 = 2 7 ( 5) = = 12 2

3 Orientaciones para el/la docente En el proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido de esta Secuencia Curricular, el docente debe recurrir al uso de una serie de herramientas pedagógicas y recursos que faciliten y sirvan de apoyo al trabajo realizado y que permitan la mejor comprensión de los mismos por parte de los estudiantes. Utilización de los números enteros en problemas de la vida cotidiana. Aplicación de los conceptos de múltiplos, divisores y los criterios de divisibilidad para generar las reglas y resolver problemas. Realización de cálculo mental. Estimación de resultados de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Obtención del resultado de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, potenciación y división utilizando números enteros. Comprobación del resultado de operaciones utilizando diferentes medios y recursos. Comprobación de conjeturas sobre reglas y propiedades de los números enteros. Resolución de problemas que requieran la utilización de números enteros. Aprendizajes esperados Al concluir el proceso de enseñanza de esta Unidad Didáctica, los estudiantes serán capaces de resolver problemas y operaciones: Utilizar el cálculo mental en operaciones. Estimar con precisión resultados de operaciones. Realizar operaciones de suma y resta de números enteros. Resolver, de forma correcta, operaciones combinadas. Resolver, con autonomía, problemas del contexto que impliquen números enteros. 3

4 Mapa conceptual Resolverán Adición de números enteros Sustracción de números enteros Sentido y efecto de las operaciones con enteros Resolución de problemas con números enteros 4

5 Recursos didácticos digitales Para el docente Paréntesis en sumas y restas. asp?idjuego=1506&idtipojuego=8 Los números enteros. arias.wordpress.com/matematicas/tema- 3-numeros-enteros/ Recursos materiales necesarios para las actividades Pizarra. Cartulina. Hojas en blanco. Lápices de colores. Periódicos y revistas. Papel de construcción. Computadora o laptop (recomendable). Objetos del entorno escolar o familiar. Recursos didácticos que se aportan como anexo. Anexo 1. Multiplicación de números enteros: 5

6 3. Secuencia didáctica Tiempo total estimado para todas las actividades El tiempo total estimado para todas las actividades es de 14 sesiones de 45 minutos. Actividad de inicio Efectuamos adiciones Duración: 1 sesión de 45 minutos Para desarrollar los procedimientos relacionados con las operaciones de adición, es conveniente, primero, recuperar las experiencias previas de sus estudiantes y, después, adecuar el ambiente con el grupo a fin de que se logre la atención de todos. Formar grupos de 3 o 4 estudiantes. Luego, preguntar al grupo: 44 Cómo está formado el conjunto de los números enteros? Resp. Están formados por los números enteros positivos a la derecha del 0 en la recta numérica y por enteros positivos a la izquierda del cero en la recta numérica. Ejemplo: 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Comentar con sus estudiantes que en las adiciones pueden presentarse 3 situaciones: a) Si todos los sumandos son positivos, entonces, el resultado será positivo. Por ejemplo: = = 35 b) Si todos los sumandos son negativos, entonces, el resultado será negativo. Por ejemplo: ( 3) + ( 5) + ( 6) + ( 2) = 16 ( 8) + ( 7) + ( 20) = 35 c) Si los sumandos son positivos y negativos, entonces, se suman los enteros positivos y se restan los negativos. Por ejemplo: (+12) + ( 8) + ( 2) + (+ 8) = +10 ( 3) + ( 5) + ( +18) + ( 2) = + 8 6

7 Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Aplicar las estrategias indicadas en las sugerencias al docente para facilitar el aprendizaje de los temas. Si cuenta con tecnología, utilizar los recursos digitales. Si no cuenta con tecnología, utilizar los recursos propuestos en los anexos 1, 2 y 3. Actividad 2 Efectuamos sustracciones Duración: 1 sesión de 45 minutos Formar los estudiantes de la misma forma en la que estuvieron organizados en la actividad anterior. Comentar al grupo que en el caso de la sustracción, el signo negativo cambia el signo de la cantidad a restar. Por ejemplo: ( +24) (+ 12) = = 12 ( +25) ( 10) = = 37 (+ 75) ( 25) = = 100 ( 15) ( + 5) = 15 5 = 20 ( 24) ( + 21) = = 45 En los últimos dos casos, como los sumandos quedan negativos, estos se suman y el resultado es negativo. Para desarrollar estos procedimientos, utilizar como apoyo los recursos propuestos en los anexos 1, 2 y 3. Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Si dispone de tecnología, utilizar los digitales de las actividades 1, 2 y 3. 7

8 Actividad de cierre Aplicamos las operaciones en la vida diaria Duración: 2 sesiones de 45 minutos En esta oportunidad los estudiantes resolverán problemas de la vida cotidiana que involucran en uso de operaciones. Formar los estudiantes en grupos de 3 o 4 integrantes. Escribir los problemas en la pizarra. Por ejemplo: 44 Un buzo desciende 450 metros bajo el nivel del mar, luego, sube 120 metros, vuelve a bajar 80 metros y, luego, sube 300 metros. A qué distancia de la superficie se encuentra el buzo? Resp = 110 metros. (Distancia de la superficie). 44 El temperatura en el Ártico se encuentra a 50º bajo cero. Sube 23º. A cuántos se encuentra la temperatura? 4. Resp. 50º + 23º = 27º (La temperatura se encuentra a 27º bajo cero). Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos anexos 1, 2 y 3. Motivar a sus estudiantes para que inventen y resuelvan problemas aplicando los números enteros positivos y negativos. Al concluir con las producciones, invitarles a la pizarra para que resuelvan los problemas y expliquen a sus compañeros los pasos que siguieron. Felicitar a sus estudiantes y evaluar si se lograron los objetivos perseguidos al inicio de estas actividades. Si observas, trata Si observas Que algún estudiante tiene dificultad para efectuar operaciones que involucren operaciones de suma y resta. Que algún estudiante tiene dificultad para resolver problemas de la cotidianidad que se resuelvan con operaciones con números enteros. Trata Preparar ejercicios de reforzamiento para el cuaderno y la pizarra. Solicitar la cooperación de los padres. Si es posible, recurrir a las salas de tareas. Utilizar los recursos anexos 1, 2 y 3. Preparar ejercicios de reforzamiento para el cuaderno y la pizarra. Utilizar los recursos anexos 1, 2 y 3. Si existen las posibilidades, utilizar los recursos digitales, especialmente la actividad 3. 8

9 5. Recursos didácticos para el docente y el estudiante Anexo 1: Multiplicación de números enteros Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos: 2 5 = 10 ( 2) ( 5) = 10 2 ( 5) = 10 ( 2) 5 = 10 División de números enteros La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. 10 : 5 = 2 ( 10) : ( 5) = 2 10 : ( 5) = 2 ( 10) : 5 = 2 9

10 Propiedades de la suma de números enteros 1. Interna: a + b 3 + ( 5) 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)] 5 5 = 2 + ( 2) 0 = 0 3. Conmutativa: a + b = b + a 2 + ( 5) = ( 5) = 3 4. Elemento neutro: a + 0 = a ( 5) + 0 = 5 5. Elemento opuesto: a + (-a) = ( 5) = 0 ( 5) = 5 10

11 Propiedades de la resta de números enteros 1. Interna: a b 10 ( 5) 2. No es Conmutativa: a - b b - a Propiedad de la multiplicación de números enteros 1. Interna: a b 2 ( 5) 2. Asociativa: (a b) c = a (b c) (2 3) ( 5) = 2 [(3 ( 5)] 6 ( 5) = 2 ( 15) -30 = Distributiva: a (b + c) = a b + a c ( 2) (3 + 5) = ( 2) 3 + ( 2) 5 ( 2) 8 = = Sacar factor común: a b + a c = a (b + c) ( 2) 3 + ( 2) 5 = ( 2) (3 + 5) 3. Conmutativa: a b = b a 4. Elemento neutro: a 1 = a ( 5) 1 = ( 5) 11

12 Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna: ( 2) : 6 2. No es Conmutativo: a : b b : a 6 : ( 2) ( 2) : 6 Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades a 0 = 1 a 1 = a a m a n = a m+n ( 2)5 ( 2)2 = ( 2)5+2 = ( 2)7 = 128 a m : a n = a m - n ( 2)5 : ( 2)2 = ( 2)5-2 = ( 2)3 = 8 (am) n = a m n [( 2)3]2 = ( 2)6 = 64 a n b n = (a b) n ( 2)3 (3)3 = ( 6) 3 = 216 a n : b n = (a : b) n ( 6)3 : 3 3 = ( 2)3 = 8 12

13 Potencias de exponente entero negativo Anexo 2:: Suma de números enteros Vamos a distinguir tres casos: a) Si todos los números son positivos, se suman y el resultado es positivo: = 15 b) Si todos los números son negativos, se suman y el resultado es negativo: (-3) + (-4) + (-8) = -15 c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan: 3 + (-4) (-7) Por un lado sumamos los números positivos: = 8. Por otro lado sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11. Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta: 8-11 = -3 Cómo a 8 le podemos restar 11? Ponemos como minuendo la cifra mayor (11) y como sustraendo la menor (8), pero el resultado toma como signo el de la cifra mayor (en este ejemplo toma el signo - porque 11 es negativo) 11-8 = 3 Pero le ponemos el signo -, luego el resultado es -3 13

14 2.- Resta de números enteros Una resta de números enteros se puede resolver como si se tratara de una suma, pero con una particularidad: El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue, por lo que: Si el número que se resta es positivo, lo convierte en negativo. Si el número que se resta es negativo, lo convierte en positivo. Vamos a ver a continuación cuatro posibles casos: a) A un número positivo le restamos otro número positivo: 3-2 Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (2) le tenemos que cambiar el signo: = 3 + (-2) Por un lado sumamos los números positivos: 3. Por otro lado sumamos los números negativos: (-2). Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta: 3-2 = 1 b) A un número positivo le restamos un número negativo: 3 - (-4) Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo Se trataría ya de una suma normal: = 3 + (4) = 7 = 3 + (4) 14

15 c) A un número negativo le restamos otro número negativo: (-3) - (-4) Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo: = (-3) + (4) Por un lado sumamos los números positivos: 4. Por otro lado sumamos los números negativos: (-3). Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta: Ejercicio 1. Resuelve las siguientes operaciones: (-2) + (-3) = [1] 2 + (-2) (-6) = [-5] (-2) + (-1) = [7] 8 + (-1) (-5) = [11] (-8) + 9 = [14] 9 + (-8) (- 8) = [2] (-4) + (-1) = [10] (-7) + (- 6) = [-5] 4 + (-1) (- 2) = [5] 2 + (-9) + (-2) + 8 = [-1] 4-3 = 1 15

16 Anexo 3:: 16

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