MATEMÁTICA 7 BÁSICO MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE EMPLEO DE ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Transcripción

1 MATEMÁTICA 7 BÁSICO EMPLEO DE ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Material elaborado por: Héctor Muñoz Adaptación: Ernesto Alabarce V.

2 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD El documento trabaja los siguientes temas: Traducción de expresiones de lenguaje cotidiano a simbólico y viceversa; resolución de ecuaciones usando las propiedades de las operaciones y propiedades de la igualdad y la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS Ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes tanto enteros. Ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes fraccionarios positivos y negativos. 4. OBJETIVO DE APRENDIZAJE Modelar y resolver problemas diversos de la vida diaria y de otras asignaturas, que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales de la forma: x ax = b; = b, a, b, c ; a 0 a 2

3 1. Profundización de contenidos MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE Representación de situaciones mediante ecuaciones Entre las expresiones algebraicas de mayor significado trabajadas en este nivel se encuentran las ecuaciones de primer grado con una incógnita que representan una situación problemática dada. En este contexto es importante que los estudiantes establezcan a qué representa la incógnita y cada una de los valores que aparecen en la ecuación, es decir, que comprendan la relación que existe entre la ecuación y la situación representada por ella. Una habilidad central en el empleo de ecuaciones en la resolución de problemas es la formulación ecuaciones que representen adecuadamente una situación problemática y interpretación de dichas ecuaciones en términos de la situación. De la misma manera, los estudiantes deben proponer situaciones problemáticas que pueden ser representadas por una ecuación dada. Lo anterior puede visualizarse como la acción inversa del trabajo anterior y refuerza la relación existente entre una situación problemática y la ecuación que la representa. Por último se enfatiza la solución obtenida de la ecuación y su relación con la pregunta de la situación problemática representada por la ecuación. Convenciones en relación con las expresiones algebraicas Entre las convenciones que rigen en las expresiones algebraicas es importante que los estudiantes asimilen las siguientes: Representación de la multiplicación y la división Por razones prácticas conviene evitar el empleo de una cruz (x) para indicar multiplicación, ya que puede confundirse fácilmente con la letra x que se suele utilizar para designar una cantidad desconocida. De acuerdo con esto, la multiplicación de dos números se designa por un punto(por ejemplo, 2 3). Si uno de los factores de la multiplicación es una letra, se puede omitir el punto de multiplicación. Así, por ejemplo, el producto de a por b puede escribirse como a b o como ab, y el producto de2 por x puede escribirse como 2 x o como 2x. De acuerdo con la equivalencia que existe entre las fracciones y la operación de división, una división puede expresarse mediante los habituales dos puntos (por ejemplo, x :4) o utilizando la notación de fracciones (por ejemplo, 4 x ). En el lenguaje algebraico se prefiere esta última notación para la división. 3

4 Convenciones relativas a la prioridad de las operaciones Una expresión que incluye más de una operación debe interpretarse de acuerdo con las siguientes convenciones: Potencias y raíces tienen prioridad sobre las demás operaciones. Multiplicaciones y divisiones tienen prioridad sobre adiciones y sustracciones. Las operaciones que se encuentran encerradas en paréntesis tienen prioridad sobre las que están fuera de los paréntesis. Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual Es común que muchos estudiantes consideren el signo = como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia. Así, por ejemplo, interpretan la expresión = x + 3 en términos similares a los siguientes: A 5 se le suma 8 y al resultado se le suma 3. Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así: = x + 3 = 16 Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual(en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10. Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tiene su origen en este error conceptual. Ecuaciones como modelo que representa una situación problemática En la resolución de problemas, las ecuaciones que se planteen constituyen una expresión comprimida de las relaciones cuantitativas que existen entre las diferentes cantidades que intervienen. Supongamos, a modo de ejemplo, que se quiere resolver el siguiente problema: Las entradas al circo del Tony Pirata cuestan $4.000 para mayores de 10 años y $2.500 para menores de 10 años. En la primera función, el cajero informó que se habían vendido 210 entradas con una recaudación total de $ Pero no sabía cuántas de estas 210 entradas eran entradas de $2.500y cuántas eran de $ Podrías ayudarlo a salir de su duda? Si representamos por x el número de espectadores mayores de 10 años, podemos plantear la ecuación: x (210 x) = En esta ecuación, no se considera que estemos hablando de un circo o de espectadores de más de 10 años o de menos de 10 años. Solo se toman en cuenta las relaciones cuantitativas entre los diferentes datos del problema. Es muy importante que, antes de tratar de resolver 4

5 la ecuación, nos aseguremos que los estudiantes entiendan qué representa cada número y cada letra en esta ecuación y por qué se establecen las operaciones que allí aparecen. Por ejemplo: Qué representa la letra x? A qué corresponde el número 4.000? Por qué se multiplica por x? Qué representa ese producto? Por qué se multiplica por (210 x)?, etc. Sólo después de tener claro qué representa la ecuación y cómo ella expresa la situación en estudio podemos buscar formas de resolver la ecuación. Y una vez resuelta la ecuación, es decir, una vez que hemos encontrado el valor que debe tener x para que se cumpla la igualdad, será necesario interpretar esa solución en términos de la situación problemática inicial. Y establecer, asimismo, si esta solución responde a lo que se quiere averiguar y si la respuesta es razonable. Las propiedades de la igualdad en la resolución de ecuaciones En la resolución de ecuaciones se utiliza con frecuencia la idea de pasar términos o cantidades de un lado al otro de la igualdad. Esta operación no está definida en matemáticas y suele inducir a errores o indeterminaciones. Por ejemplo, en la ecuación: x 3 = 8 no está claro cómo debe pasarse la incógnita x y si paso x al segundo miembro cómo queda el 3? Es preferible apoyarse en las propiedades de la igualdad: Si a los dos lados de la igualdad se suma o resta una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Si los dos lados de la igualdad se multiplican por una misma cantidad, la igualdad se mantiene. Si los dos lados de la igualdad se dividen por una misma cantidad distinta de 0, la igualdad se mantiene. La primera propiedad suele ilustrarse utilizando la metáfora de la balanza. Si dos cantidades están en equilibrio en una balanza, el equilibrio se mantendrá si agrego o quito la misma cantidad en ambos lados de la balanza. Esta metáfora es muy comprensible para los estudiantes. 2. Sugerencias metodológicas Antes de iniciar el trabajo con las guías propuestas se sugiere que el docente verifique que los estudiantes poseen algunos aprendizajes claves para la comprensión de los conceptos. Las actividades se enfocan en la resolución de situaciones que pueden ser resueltas por medio de ecuaciones y no en la resolución de ecuaciones en sí. Sin embargo lo anterior no quiere decir que los estudiantes no dominen las diversas técnicas y procedimientos para la resolución de una ecuación. Por el contrario, se propone ir más allá, además de resolver ecuaciones en forma mecánica y 5

6 algorítmica se requiere plantear una ecuación que represente una ecuación, resolver dicha ecuación y posteriormente interpretar la solución en el contexto del problema inicial a fin de responder la o las preguntas. Por lo anterior será necesario poner atención en los niveles de comprensión lectora de los estudiantes, especialmente en el vocabulario usado en los planteamientos; en el manejo de los algoritmos de adición y sustracción de números enteros; en la operatoria con números racionales y en los procedimientos de resoluciones ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6

7 MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL). EMPLEO DE LETRAS PARA REPRESENTAR CANTIDADES En esta guía se muestran ejemplos de uso de letras para representar números. En especial, se destaca el uso de letras para representar propiedades de las operaciones, el uso de letras en fórmulas para el cálculo de magnitudes geométricas y el uso de letras para representar cantidades desconocidas. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL). SIGNIFICADO Y PROPIEDADES DE LA IGUALDAD En esta guía se analizan algunas situaciones que suelen originar errores en los estudiantes en relación con el significado del signo igual. En especial se considera el error mencionado anteriormente. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL). CONVENCIONES EN EL LENGUAJE ALGEBRAICO En esta guía se ejercitan algunas convenciones relevantes en el lenguaje algebraico. En especial, se menciona la forma de escribir una multiplicación cuando uno o más de los factores son letras, y las convenciones relativas a la prioridad de las operaciones en expresiones que incluyen más de una operación. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL). REPRESENTACIÓN DE SITUACIONES MEDIANTE ECUACIONES Esta guía pone el énfasis en la representación de una situación problemática mediante una ecuación en que la cantidad desconocida se designa mediante una letra. Las distintas actividades propuestas buscan hacer claridad sobre la relación que existe entre la ecuación y la situación representada por esa ecuación. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN En esta guía se introduce la noción de solución para una ecuación. Asimismo se llama la atención a que una ecuación de primer grado tiene en general 1 solución, pero en casos excepcionales puede tener infinitas soluciones o ninguna solución. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL). PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (I) En esta guía se ven algunos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. En especial se muestra la aplicación del carácter inverso de las operaciones y, con un poco de mayor detalle, la aplicación de la invariancia de la igualdad si se suma o se resta a ambos lados de ella una misma cantidad. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL). PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (II) En esta guía se ven nuevos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. Esta vez se muestra la aplicación de la invariancia de la igualdad si se multiplican o se dividen ambos lados de ella por una misma cantidad. La guía se inicia con un breve repaso de conocimientos acerca de la multiplicación y división de fracciones en casos atingentes al contenido que se está estudiando. 7

8 GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE ECUACIONES En esta guía se formulan algunas situaciones problemáticas y se espera que el estudiante las pueda resolver utilizando ecuaciones. Las preguntas que se plantean en cada caso apuntan a aclarar la relación que existe entre la ecuación y la situación problemática, así como la relación que existe entre la solución de la ecuación y la pregunta del problema. 8