Matemáticas UNIDAD 8 MÁS ACERCA DE LAS FRACCIONES SECTOR. Material de apoyo complementario para el docente. Preparado por: Irene Villarroel

Transcripción

1 SECTOR Material de apoyo complementario para el docente UNIDAD 8 MÁS ACERCA DE LAS FRACCIONES SEMESTRE: DURACIÓN: semanas Preparado por: Irene Villarroel Diseño Gráfico por:

2 . Descripción general de la unidad En esta Unidad ampliaremos nuestro estudio de las fracciones. Se trata de que alumnos y alumnas comprendan el significado, la representación, escritura y lectura de fracciones del tipo p/q en que p es menor, igual o mayor que q. Que puedan efectuar comparaciones de fracciones, las representen en la recta numérica, establezcan relaciones entre ellas y los números naturales y resuelvan situaciones problemáticas referidas a los contenidos tratados.. Duración aproximada semanas.. Contenidos UNIDAD 8 MÁS ACERCA DE LAS FRACCIONES Las fracciones de la forma p/q en que p puede ser menor, mayor o igual a q: significado, lectura, escritura y representación gráfica. Representación de fracciones en la recta numérica. Comparación de fracciones. Las fracciones y los números naturales. Resolución de problemas.. Aprendizajes esperados Interpretan, leen, escriben y representan gráficamente fracciones cuyo numerador es distinto de y menor que su denominador. Indicadores: Dada una fracción del tipo p/q en que p es distinto de y menor que q como, por ejemplo, /, /, /0, asociada a un contexto determinado, describen el significado del numerador y del denominador en función de dicho contexto. Leen fracciones del tipo indicado más arriba presente en medios de comunicación o aplicadas a situaciones concretas y comentan su significado. Escriben la fracción correspondiente a una representación gráfica que corresponde a una fracción como las que se están estudiando. Escriben con números una descripción dada referida a una fracción asociada a un determinado contexto. Por ejemplo, en el día de hoy asistieron sólo los dos tercios del curso. Representan gráficamente una fracción dada como las que se están estudiando asociada a un contexto determinado. Por ejemplo, representar ¾ de un chocolate. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

3 Interpretan, leen, escriben y representan gráficamente fracciones cuyo numerador es igual o mayor a su denominador y establecen relaciones entre ellas y los números naturales. Indicadores Dada una representación gráfica de fracciones cuyo numerador es igual al denominador las leen y reconocen que son equivalentes a la unidad. Dada una fracción en que el numerador es igual al denominador la representan gráficamente. Dada una representación gráfica de fracciones en que el numerador es mayor que el denominador, las leen y establecen que ellas representan valores mayores que. Explican con ayuda de ejemplos la equivalencia entre determinadas fracciones y los números naturales. Comparan fracciones. Indicadores Dadas dos fracciones de igual denominador, determinan cuál de ellas es mayor o menor. Dado un conjunto de fracciones de igual denominador las ordenan de menor a mayor o de mayor a menor. Dadas dos fracciones de igual numerador, determinan cuál de ellas es mayor o menor. Dado un conjunto de fracciones de igual numerador las ordenan de menor a mayor o de mayor a menor. Representan fracciones en la recta numérica, utilizan la recta numérica para comparar fracciones, e identifican y caracterizan fracciones equivalentes. Indicadores Determinan el punto que representa una fracción dada en el tramo de 0 a de una recta numérica. Determinan la fracción que ha sido representada en el tramo de 0 a de una recta numérica. Determinan cuál de fracciones representadas en una recta numérica es mayor o menor. Identifican y explican ejemplos de fracciones que se escriben en forma diferente pero que representan el mismo valor. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

4 MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE Referencias al Programa del Mineduc En el Programa del Mineduc para el año básico se sugiere consultar las actividades y 6 (Págs. 80 a 86). Profundización de contenidos Acerca de la representación de fracciones en la recta numérica Al igual que los números naturales también las fracciones pueden representarse en la recta numérica. Como en el caso de los naturales, a cada fracción le corresponde un determinado punto en la recta numérica. Todas las fracciones en que el numerador es menor que el denominador se representan en el tramo de 0 a en la recta numérica. Por ejemplo, si queremos representar en la recta numérica la fracción / dividimos el tramo 0 a en partes iguales (figura ). Ubicamos el primer punto de división, de izquierda a derecha. Ese punto representa la fracción / (figura ). figura 0 figura 0 En forma similar podemos ubicar en una recta numérica el punto que representa las fracciones /, /, /, y otras similares. En general, si queremos representar en la recta numérica la fracción /q, dividimos el tramo 0 a en q partes iguales. El primer punto de división, de izquierda a derecha representa la fracción /q. Supongamos ahora que queremos representar en la recta numérica la fracción /. Nuevamente dividimos el tramo 0 a en partes iguales (porque el denominador es ) y ubicamos el tercer punto de división (porque el numerador es ), siempre contando de izquierda a derecha. Ese punto representa la fracción / (figura ). FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

5 figura 0 En forma similar podemos ubicar en una recta numérica las otras fracciones de denominador (/, /, /), las fracciones de denominador (/, /), las fracciones de denominador (/, /, /), y otras similares. En general, si queremos representar en la recta numérica la fracción p/q, dividimos el tramo 0 a en q partes iguales y contamos p puntos de división de izquierda a derecha. El punto al que lleguemos representa la fracción p/q. Acerca de la comparación de fracciones Comparación de fracciones que tienen el mismo denominador Antes de analizar con los estudiantes la comparación de fracciones de igual denominador, conviene repasar lo que han aprendido acerca de cómo interpretar fracciones del tipo p/q. A partir de allí, será fácil establecer que si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor aquella fracción que tiene un mayor numerador. Consideremos, a modo de ejemplo, el reparto de una barra de chocolate en que un niño recibe / de la barra y otro niño recibe / de la barra. De acuerdo con estos datos, la barra se dividió en partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a / de la barra total. El primer niño recibió / de la barra, es decir, recibió porciones de /. El otro niño, en cambio, recibió / de la barra, es decir, porciones de /. Evidentemente, el segundo niño recibió más chocolate que el primero. La figura ilustra esta situación. figura Siguiendo razonamientos similares a este, podemos mostrar, por ejemplo, que / de hora es menor que / de hora, que /6 del curso es menor que /6 del curso, o que 7/9 de un cuadrado es mayor que /9 del cuadrado (figura ), etc. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

6 figura 7 7/9 9 de un cuadrado /9 9 del mismo cuadrado También es posible efectuar comparaciones de fracciones con igual denominador a través de su representación en la recta numérica. En este sentido es importante mostrar que en el caso de las fracciones se conserva la propiedad de la recta numérica referida a las relaciones de orden: el valor correspondiente a cada fracción aumenta de izquierda a derecha. Es decir, para cualquier par de fracciones representadas en la recta numérica, la que queda a la derecha es mayor que la que queda a la izquierda. Se puede verificar, asimismo, que todas las fracciones en las cuales el numerador es menor que el denominador quedan representadas en el tramo de 0 a. Están a la derecha de 0 y a la izquierda de. De modo que estas fracciones son mayores que 0 y menores que. Una porción de / de pizza es más que 0 pizzas, pero menos que pizza entera. Comparación de fracciones que tienen el mismo numerador Aquí se trata de mostrar que si dos fracciones tienen numerador, entonces es mayor la que tiene menor denominador. Es decir, / es mayor que / porque es menor que. Esto se desprende de la interpretación dada a la fracción /q que representa cada una de las partes que resultan cuando algo se divide en q partes iguales. Si q es mayor, estaremos dividiendo el mismo objeto en un mayor número de partes, por lo que cada parte resultará necesariamente más pequeña. Si las fracciones tienen igual numerador, pero este numerador no es, sucede algo muy similar. Comparemos, por ejemplo, / de una pizza con / de la misma pizza. En el primer caso, estamos refiriéndonos a trozos de / de la pizza. En el segundo caso, estamos refiriéndonos a trozos de / de la pizza. Dado que un trozo de / es mayor que un trozo de /, resulta que / debe ser mayor que /. Sobre la base de diversos ejemplos, los estudiantes podrán comprender que si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor aquella que tiene un menor denominador. Al igual que en el caso anterior es posible efectuar estas comparaciones haciendo uso de la recta numérica. Tal como se muestra en el recuadro de la figura 6. figura FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

7 Comparación de fracciones de distinto numerador y distinto denominador Hemos visto que resulta fácil comparar fracciones cuando tienen igual denominador o igual numerador. Pero si tanto los numeradores como los denominadores son diferentes, entonces la situación se complica un poco. Una posibilidad consiste en acudir a la recta numérica. En la figura 7 se han representado en una misma recta numérica las fracciones / y /. Para mayor claridad, se ha representado una fracción a un lado de la recta numérica y la otra fracción al otro lado. figura 7 0 Como la fracción / está a la derecha de la fracción /, podemos afirmar que / es mayor que /. Fracciones equivalentes. Al representar fracciones en la recta numérica se presenta una situación que no se daba con los números naturales: un mismo punto representa diversas fracciones. Así, por ejemplo, la fracción / se representa en la recta numérica en el mismo punto en que se representa la fracción /, tal como se muestra en la figura 8. figura 8 0 La fracción / no está a la derecha ni a la izquierda de /. Por lo tanto, no es mayor ni menor que /. Debemos concluir, por lo tanto, que ambas fracciones representan el mismo valor. Las figuras 9 y 0 muestran que efectivamente, las fracciones / y / de un cuadrado representan la misma porción del cuadrado. En la figura se han coloreado los / de un cuadrado. En la figura se ha coloreado / del mismo cuadrado. Y se ve que la parte coloreada en la figura 6 es exactamente igual a la parte coloreada en la figura 7. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6

8 figura 9 figura 0 / del cuadrado / del cuadrado Aplicando lo que sabemos acerca de las fracciones, podemos mostrar, por ejemplo, que / de un curso de estudiantes es igual a / del curso, o que porciones de / de pizza equivalen a / de la pizza. También se puede mostrar que las fracciones /6, /8, /0 se representan todas en el mismo punto de la recta numérica y simbolizan la misma cantidad de un objeto, de una figura o de un conjunto. Se acostumbra dar el nombre de fracciones equivalentes a las fracciones que se escriben distinto pero tienen el mismo valor, es decir, representan la misma cantidad. Así, las fracciones /, /, /6, /8, /0 son todas equivalentes entre sí. Fracciones iguales a la unidad Hasta ahora hemos trabajado con fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. Cabe preguntarse si podemos evitar esta restricción y hablar de fracciones en que el numerador es igual al denominador o de fracciones en que el numerador es mayor que el denominador. Supongamos que un curso de 0 estudiantes se divide en 6 grupos iguales, de estudiantes cada uno. Cada uno de estos grupos representa /6 del curso entero. Dos de estos grupos corresponden a /6 del curso. Pero a qué correspondería la fracción 6/6 del curso? De acuerdo a la forma en que hemos interpretado las fracciones, la fracción 6/6 del curso debe corresponder a 6 grupos de /6 del curso. Y esto es justamente el curso entero. Es decir, la fracción 6/6 del curso corresponde al curso completo. Podemos mencionar un gran número de ejemplos en que se presenta una situación similar: trozos de / pizza equivalen a la pizza entera, períodos de / de hora equivalen a hora, si pintamos 8/8 de un círculo habremos pintado todo el círculo, etc. En general, si dividimos un objeto, una figura, un conjunto, una unidad de medida en q partes iguales, cada parte representa /q del total. Tomar q de estas partes equivale a tomar todas las partes en que se dividió el entero inicial. Por lo tanto, la fracción q/q representa efectivamente a todo el objeto, la figura, el conjunto o la unidad de medida que habíamos dividido. En otras palabras, toda fracción cuyo numerador es igual a su denominador equivale a la unidad, al entero. Así, por ejemplo, / de kilo equivalen a kilo, 0/0 de centímetro equivalen a centímetro, 7/7 de semana equivalen a semana, etc. Simbólicamente, podemos escribir: / = / = / =, etc. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 7

9 Fracciones mayores que la unidad Supongamos, por ejemplo, que dividimos un conjunto de fichas en grupos iguales. Cada grupo corresponde a / del total. La fracción / corresponde a de estos grupos. La fracción /, como acabamos de ver, corresponde a los grupos. La fracción / debería corresponder a de estos grupos. Pero sólo hay grupos disponibles. En este caso concreto, por lo tanto, no podemos hablar de la fracción / del total. Sin embargo, en otros casos sí existe una posible interpretación. Sabemos, por ejemplo, que / de hora equivale a minutos. Por su parte, / de hora equivalen a 0 minutos, / de hora equivalen a minutos, / de hora equivalen a 60 minutos, es decir, a hora. Qué significado podemos dar a la fracción / de hora? Como / equivalen a minutos, / equivalen a veces / de hora, es decir, equivalen a 7 minutos. O sea, equivalen a hora y / de hora. Vemos que en este caso existe una interpretación muy razonable para la fracción /. Vemos, asimismo, que esta fracción resulta mayor que la unidad (en nuestro ejemplo, mayor que hora). Sigue siendo válida la idea inicial: la fracción p/q corresponde a p veces la fracción /q. Si p es mayor que q, entonces, la fracción p/q representa una cantidad que es mayor que la unidad. En forma similar: / kilo de carne molida equivale a porciones de / kilo (es decir, a kilo y medio) /0 de centímetros equivalen a veces /0 de centímetro (es decir, a milímetros) 8/ de pizza equivalen a 8 trozos de / de pizza (es decir, a pizzas enteras y trozos de /) En la figura se han representado en la recta numérica varias fracciones de denominador, incluyendo algunas cuyo numerador es mayor que su denominador. figura 0 FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 8

10 En la figura se han representado en la recta numérica fracciones de denominador, incluyendo aquellas que son mayores que. figura 0 Acerca de las fracciones y los números naturales Ya hemos visto que las fracciones cuyo numerador es igual a su denominador, como /, /, 8/8, etc., son iguales a. Es decir, el número puede representarse como el dígito que ya conocíamos o como una fracción cuyo numerador es igual a su denominador. Tanto ese dígito como estas fracciones representan el mismo valor. Habrá alguna fracción que sea equivalente a? Consideremos un ejemplo. La figura muestra vasos que contienen / de litro de jugo cada uno. Como vimos anteriormente, con estos vasos de / de litro se completa justamente litro. 7 figura vasos de / de litro equivalen a litro Litro Si ahora tenemos 0 vasos de / de litro de jugo cada uno, podemos formar grupos de vasos. Cada uno de estos grupos equivale a litro de jugo. Por lo tanto, los 0 vasos equivalen a litros. En otras palabras, la fracción 0/ de litro equivale a litros, tal como ilustra la figura. figura 0 vasos de / de litro equivalen a litro. Litro Litro FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 9

11 Continuando este ejemplo podemos concluir que: 0 0 etc. de litro = litro de litro = litros de litro = litros de litro = litros Haciendo un análisis similar se puede llegar a las conclusiones como las siguientes: de hora = hora 8 de hora = horas de hora = horas 6 de hora = horas etc. Como vemos, hay fracciones que son equivalentes a los distintos números naturales. La siguiente tabla muestra algunas fracciones equivalentes a los primeros números naturales. Número natural Fracciones que son equivalentes a ese número natural 6 7 8,,,,,,, etc ,,,,,,, etc ,,,,,,, etc ,,,,,,, etc ,,,,,,, etc Observando la tabla podemos ver que, con excepción de la línea correspondiente a, en todos los demás casos el numerador es mayor que el denominador. Lo que es de esperar pues estamos hablando de números mayores que. Además, se verifica que: En las fracciones equivalentes a el numerador es veces el denominador, en las fracciones equivalentes a el numerador es veces el denominador, en las fracciones equivalentes a el numerador es veces el del denominador, etc. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 0

12 EJERCICIOS DE EVALUACIÓN. En el cumpleaños de Ana, el papá ha partido la torta en trozos iguales. Cuántos de estos trozos tendría que comerse Ana si quiere comerse de la torta? A trozo C trozos B trozos D trozos. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta en relación con la facción de hora? A de hora es menos que hora C de hora es igual a hora B de hora es más que hora D No se puede hablar de fracciones en que el numerador es mayor que el denominador 0. de metro equivale a centímetro. A cuánto equivalen de metro? A A 0 metros C A más de metro pero menos de metros B A 00 metros D A menos de metro. Cuál de los siguientes procedimientos te permite obtener 8 de litro de jugo? A Repartir litro de jugo en partes iguales B Repartir litro de jugo en 8 partes iguales C Llenar 8 vasos que contienen de litro cada uno D Llenar vasos que contienen de litro cada uno 8. En un jardín infantil se reparte leche en vasos de modo que cada vaso contiene de litro de leche. Juana afirma que en los vasos hay en total de litro de leche. Luis afirma que en los vasos hay en total litros de leche. Quién tiene razón? A Solo Juana C Juana y Luis B Solo Luis D Ninguno de ellos 6. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta en relación con fracciones que son iguales a? A No existe ninguna fracción que C La fracción es igual a sea igual a B La fracción es igual a D La fracción es igual a 0 FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 0