GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 5. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 GUÍAS DE TRABAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº (TRABAJO INDIVIDUAL) REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS ANTERIORES Una longitud de partes iguales. m corresponde a la longitud que resulta cuando metro se divide en De igual forma, se obtiene kg de mantequilla cuando se divide kg de mantequilla en 8 partes iguales. 8 En general, las fracciones con un en el numerador representan la cantidad que resulta cuando se divide la unidad en un cierto número de partes iguales. El denominador indica en cuántas partes se ha dividido la unidad. a. Supongamos que tenemos un jarro con litro de agua y varios vasos iguales. Cómo podríamos obtener litro de agua? b. Con ayuda de una botella de litro, Nicolás logró determinar que en la taza en que toma desayuno cabe un poco más de litro de leche. Cómo crees que llegó a ese resultado? Pamela dividió un rectángulo de papel en partes iguales, como muestra la figura. a. Qué fracción del rectángulo es cada una de las partes que resultaron? b. Ahora Alonso toma una de esas partes del rectángulo y la divide en trozos iguales, como muestra la figura. Qué fracción del rectángulo es cada uno de los trozos que obtuvo Alonso? Explica tu respuesta. Figura Figura a. Sabemos que metro equivale a 00 centímetros. A cuántos centímetros equivale de metro? b. A cuántos gramos equivale de kilogramo? Recuerda que un kilogramo equivale a.000 gramos. 8 c. A cuántos minutos equivale de hora? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

3 Unidad a. De cuántas formas diferentes puedes doblar un cuadrado de papel de modo de obtener cada vez partes iguales? Compara tu respuesta con las de tus compañeras y compañeros. b. A qué fracción del cuadrado corresponde cada una de las partes que resulta? c. Cómo podrías obtener un trozo del cuadrado que fuera igual a del cuadrado inicial? 8 En las actividades anteriores hemos intepretado fracciones cuyo numerador es. Sobre esa base podemos interpretar ahora fracciones que tienen un numerador distinto de. Considera, por ejemplo, la fracción. Esta fracción puede ser interpretada como veces. De igual forma, equivale a veces. a. Elisa partió un chocolate en 6 partes iguales. Le dio trozos a José, un trozo a Isabel y se comió el resto. Qué fracción del chocolate entero recibió José? Qué fracción del chocolate entero recibió Isabel? Qué fracción del chocolate entero se comió Elisa? b. Con ayuda de un mapa determina qué fracción del total de países de América del Sur tiene costa en el Océano Pacífico, qué fracción tiene costa en el Océano Atlántico y qué fracción tiene costa en el Mar Caribe. c. Determina asimismo qué fracción de los países de América del Sur tiene fronteras comunes con Chile. 6 Para el aniversario de la escuela, el curso de Manuel se ha dividido en alianzas: la alianza verde, la alianza azul y la alianza roja. Cada alianza tiene personas. a. Qué fracción del curso está en la alianza verde? Y en la alianza azul? Y en la alianza roja? b. Cuántas alianzas juntas constituyen los del curso? c. Cuántas personas constituyen los del curso? 7 En el curso de Gabriela la profesora afirmó que estudiantes ya cumplieron los años. Gabriela hizo un par de cálculos y llegó a la conclusión que esos estudiantes corresponden a los del curso. a. De acuerdo con estos datos, cuántos estudiantes forman del curso? b. Podrías determinar con estos datos cuántos estudiantes tiene el curso de Gabriela? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

4 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº (TRABAJO INDIVIDUAL) LAS FRACCIONES Y LA DIVISIÓN Normalmente, las fracciones se escriben en forma vertical: el numerador se escribe arriba, el denominador se escribe abajo y una raya de fracción horizontal separa el numerador del denominador. Pero muchas veces resulta más práctico escribir las fracciones en forma horizontal: el numerador se escribe a la izquierda, el denominador se escribe a la derecha y ambos se separan mediante una raya de fracción inclinada. El recuadro muestra las dos formas de escribir la fracción. a. Cuál es el numerador y cuál es el denominador de cada una de las siguientes fracciones? / / / /8 /6 Anteriormente hemos visto una forma de interpretar una fracción cuyo numerador es distinto de. Por ejemplo /, puede interpretarse como veces /. Pero esta no es la única interpretación que podemos dar a fracciones de numerador distinto de. La fracción / también puede interpretarse como el resultado de dividir unidades en partes iguales. a. Supongamos que personas quieren dividir pizza de modo que a todas les toque la misma cantidad de pizza. Cómo podrían hacerlo? b. Mario afirma que si el reparto está bien hecho, cada uno recibirá / de pizza. Tiene razón? Explica tu respuesta. a. Marta afirma que si se dividen horas en intervalos iguales de tiempo, cada uno de estos intervalos tendrá una duración de / de hora. Tiene razón? Explica tu respuesta. b. Encuentra ejemplos que muestren que si se dividen unidades en partes iguales, entonces cada parte será igual a / de la unidad. Lee la afirmación que muestra el recuadro. Estás de acuerdo con ella? Explica tu respuesta y refuérzala con ejemplos concretos. Una fracción puede ser interpretada como el resultado de dividir el numerador por el denominador. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

5 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº (TRABAJO INDIVIDUAL) FRACCIONES EQUIVALENTES Existen varias diferencias importantes entre los números naturales y las fracciones. Una de estas diferencias es el hecho que puede haber fracciones que tienen distinto numerador y distinto denominador y sin embargo representan la misma cantidad. Observa, por ejemplo, las figuras, y en que un mismo rectángulo se ha dividido en, en 6 y en 9 partes. a. Qué fracción del rectángulo se ha coloreado en cada caso? Figura b. Cuál de estas fracciones representa una parte mayor del rectángulo? O representan partes iguales? c. Podrías mencionar otra fracción que represente una parte igual del rectángulo que en el caso de las figuras, y? Compara tu respuesta con la de tus compañeros y compañeras. Figura Figura a. En el curso de Matías hay 0 estudiantes. A cuántos estudiantes corresponden los / del curso de Matías? b. A cuántos estudiantes corresponden los /0 del curso de Matías? Y los 6/ del curso? Y los /0 del curso? c. Cuál de estas fracciones representan una mayor cantidad de estudiantes? O representan la misma cantidad? a. A cuántos centímetros corresponde / metro? Y / de metro? Y 0/0 de metro? b. Qué otras fracciones de metro representan la misma longitud que / metro? Llamamos fracciones equivalentes a fracciones que tienen distinto numerador y distinto denominador pero que representan un mismo valor. a. Qué ejemplos de fracciones equivalentes vimos en las actividades anteriores? b. Podrías mencionar otros ejemplos de fracciones equivalentes? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

6 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº (TRABAJO INDIVIDUAL) AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES En esta guía conoceremos dos formas muy simples de obtener fracciones equivalentes a una fracción dada: la amplificación y la simplificación. a. Supongamos que se tiene pizza para ser repartida entre personas. Qué fracción de pizza le toca a cada persona? b. Qué fracción de pizza tocaría a cada persona si se aumenta al doble el número de pizzas y se aumenta también al doble la cantidad de personas? Es decir, qué fracción de pizza tocaría a cada persona si se reparten pizzas entre personas? c. Aumentemos al triple la cantidad de pizzas que teníamos al principio. Y aumentemos también al triple la cantidad de personas. Ahora cada persona recibe más o recibe menos que en el primer caso? d. Norma afirma que las preguntas anteriores muestran que las fracciones /, / y /6 representan la misma cantidad de pizza. Tiene razón? Explica tu respuesta. e. Utilizando un razonamiento similar, muestra que las fracciones /8 y /0 también representan la misma cantidad de pizza que la fracción /. Los ejemplos de la actividad anterior muestran que si en la fracción / multiplico tanto el numerador como el denominador por, por, por o por, las fracciones que se obtienen son todas equivalentes a /. Sucederá lo mismo si se multiplica el numerador y el denominador de la fracción / por otro número cualquiera? Explica tu respuesta y refuérzala con ejemplos. a. A cuántos centímetros equivalen / de metro? Y /0 de metro? Y 0/0 de metro? Y 0/00 de metro? b. Podemos afirmar que las fracciones /, /0, 0/0 y 0/00 son equivalentes entre sí? Explica tu respuesta. c. Rolando dice que las fracciones /0, 0/0 y 0/00 se obtienen a partir de la fracción / multiplicando su numerador y su denominador por, por 0 y por 0 respectivamente. Tiene razón? a. Sabemos que / de hora equivalen a minutos. Se obtiene la misma cantidad de minutos si se multiplica por el numerador y el denominador de esa fracción? b. Y si se multiplica por el numerador y el denominador de la fracción /? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

7 Unidad Llamaremos amplificar una fracción a la operación de multiplicar su numerador y su denominador por un mismo número. Los ejemplos vistos en las actividades anteriores muestran que la amplificación tiene una importante propiedad: al amplificar una fracción, no varía el valor representado por la fracción. En otras palabras, si amplificamos una fracción obtenemos una fracción que es equivalente a ella. DEFINICIÓN Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y su denominador por un mismo número. UNA POPIEDAD DE LA AMPLIFICACIÓN Al amplificar una fracción, no varía el valor representado por ella. a. Si amplificamos por la fracción / se obtiene la fracción 0/. Se modificó el numerador de la fracción / al amplificarla? Se modificó su denominador? Se modificó el valor representado por la fracción? b. Un amigo de Rafael dice que si amplificamos por 0 la fracción / se obtiene una fracción que es mucho mayor que /. Tiene razón? Explica tu respuesta. 6 a. Amplifica por la fracción /. b. Amplifica ahora por la fracción que acabas de obtener. c. La última fracción que obtuviste es mayor, menor o igual a /? Explica tu respuesta. 7 Simplificar una fracción es la operación inversa de la amplificación. El recuadro muestra la definición de esta operación. A su vez, en el recuadro se enuncia una importante propiedad de la simplificación. a. Qué fracciones puedes obtener simplificando la fracción 8/? b. Estas nuevas fracciones son mayores, menores o iguales que 8/? DEFINICIÓN Simplificar una fracción es dividir su numerador y su denominador por un mismo número. UNA POPIEDAD DE LA SIMPLIFICACIÓN Al simplificar una fracción, no varía el valor representado por ella. 8 a. Amplifica las siguientes fracciones de modo que tengan denominador 00. / / / 9/0 b. Mediante amplificación o simplificación, transforma las siguientes fracciones de modo que todas tengan el mismo denominador. / 8/ / /6 FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

8 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº (TRABAJO GRUPAL) FRACCIONES DE NUMERADOR IGUAL O MAYOR QUE EL DENOMINADOR En las guías anteriores hemos trabajado con fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. En ese tramo vimos posibles interpretaciones para una fracción como /. a. Cómo podemos interpretar la fracción / de litro? b. Formula dos interpretaciones distintas para la fracción / de litro. Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras. c. Obtienes un resultado similar para el caso de la fracción / de pizza? d. En general, a cuánto equivale una fracción cuyo numerador es igual a su denominador? El siguiente ejemplo muestra que también podemos hablar de fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador. a. Supongamos que dispones de un vaso en que cabe / litro. Qué puedes hacer para tener medio litro de agua en un jarro de mayor tamaño? b. Qué puedes hacer para tener / litro de agua en el jarro? Y para tener / litro? c. Sería posible tener / litro de agua en el jarro? Esto es más o es menos de litro? d. Podrías tener litro y medio de agua en el jarro? Cómo? A qué fracción de litro equivale litro y medio? e. Cuántos litros de agua tendrás en el jarro si viertes en él 8 vasos? Qué puedes decir acerca de la fracción 8/ litro? f. Si divides 8 litros en partes iguales, cuánta agua queda en cada una de estas partes? Concuerda esto con tu respuesta a la pregunta anterior? a. Laura dice que si el numerador de una fracción es mayor que su denominador, entonces la fracción representa un valor mayor que la unidad. Estás de acuerdo con ella? Refuerza tu respuesta con ejemplos. b. Laura dice también que si en una fracción el numerador es divisible por el denominador, entonces la fracción es equivalente a un número natural. Estás de acuerdo con ella? Refuerza tu respuesta con ejemplos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

9 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) FRACCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA Al igual que los números naturales, las fracciones también pueden representarse en la recta numérica. Para representar la fracción /, dividimos el tramo de 0 a en partes iguales. El punto en que termina la primera parte representa la fracción /. De igual forma, el punto en que termina la segunda parte representa la fracción /, y así sucesivamente. a. En la siguiente recta numérica, anota las fracciones representadas por las distintas marcas. 0 b. Qué fracciones quedaron entre 0 y? Y entre y? Y a la derecha de? a. En esta recta numérica el tramo de 0 a se ha dividido en 8 partes iguales. Anota las fracciones representadas por cada marca. 0 b. Dónde ubicarías en esta recta numérica la fracción /? Qué equivalencia de fracciones queda ilustrada con este ejemplo? c. Dónde ubicarías las fracciones /, / y /? Qué equivalencias de fracciones quedan ilustradas con este ejemplo? d. Qué habría que hacer para representar en esta recta numérica las fracciones 9/8 y 0/8? e. Qué fracciones de denominador 8 están ubicadas entre y? Y entre y? a. Si en una misma recta numérica representaras las fracciones /, / y /, cuál de ellas quedaría más cerca del 0? Explica tu respuesta. b. Si representaras en una recta numérica las fracciones de denominador, cuál de ellas quedaría inmediatamente a la derecha de? Cuál de ellas quedaría inmediatamente a la izquierda de? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

10 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) COMPARACIÓN, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES Los conocimientos que hemos adquirido en las guías anteriores nos permiten establecer procedimientos de comparación, adición y sustracción de fracciones. Aquí conviene distinguir dos situaciones. La primera se refiere a los casos en que las fracciones tienen el mismo denominador, y la segunda se refiera a los casos en que las fracciones tienen distinto denominador. Como veremos, el primer caso es bastante simple. a. Sonia y Miriam se reparten una pizza. Sonia recibió /8 de la pizza y Miriam recibió /8 de la pizza. Quién de ellas recibió una mayor cantidad de pizza? b. Un intervalo de / de hora es mayor o menor que un intervalo de / de hora? c. En general, si dos fracciones tienen igual denominador pero distinto numerador, cuál de ellas es mayor? Explica tu respuesta y refuérzala con ejemplos. a. Josefina compra leche con sabor que viene en cajas de / litro. Cuántas de estas cajas necesita para completar / litro de leche? b. Y para completar / litro? c. Cuánta leche tendrá Josefina si reúne las cajas correspondientes a / litro más las cajas correspondientes a / litro? d. De acuerdo con esto, cuánto es / + /? e. Podrías generalizar y formular un procedimiento para sumar dos fracciones que tienen igual denominador? Ilustra tu procedimiento con ejemplos. e. Podrías generalizar y formular un procedimiento para restar dos fracciones que tienen igual denominador? Ilustra tu procedimiento con ejemplos. a. Completa las siguientes comparaciones escribiendo el signo < o > según corresponda. /6 /6 /8 7/ / 6/ 0/ b. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones. / + / + / / 7/8 6/8 FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

11 Unidad Hemos aprendido a comparar, sumar y restar fracciones que tienen igual denominador. A partir de allí, podemos encontrar procedimientos para comparar, sumar y restar fracciones que tienen distinto denominador. Consideremos el ejemplo que muestra el recuadro. Se trata de una suma de fracciones de distinto denominador. a. Amplifica por la fracción /. Sigues teniendo una suma de fracciones de distinto denominador? Puedes resolver la suma que tienes ahora? b. Podemos afirmar que el resultado recién obtenido es también el resultado de la suma del recuadro? Explica tu respuesta. + Al amplificar la fracción / hemos logrado que las fracciones del recuadro tengan el mismo denominador. Podemos aplicar este mismo procedimiento en la comparación y en la sustracción de fracciones de distinto denominador. a. Cuál de las dos fracciones del recuadro es mayor? b. Cuánto es / /? 6 En el caso del recuadro fue suficiente con amplificar una de las fracciones. A veces necesitamos amplificar las dos fracciones que intervienen. a. En el recuadro, amplifica las dos fracciones de modo que ambas tengan denominador 6. Puedes ahora efectuar la resta? - b. En la suma del recuadro necesitamos que ambas fracciones tengan el mismo denominador. Cuál podría ser ese denominador? c. Efectúa las amplificaciones necesarias y encuentra el resultado de la operación del recuadro a. Ordena de menor a mayor las fracciones /, /8, /, /. b. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones: / + /0 + / / / / / / + / / - / / / / / FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

12 Unidad GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL) FRACCIONES EN DIVERSAS SITUACIONES En 960, aproximadamente / de la población chilena tenía menos de años. Actualmente, el número de personas menores de años corresponde aproximadamente a / del total. a. De acuerdo con estos datos, la fracción de personas menores de años ha aumentado o ha disminuido? b. A qué atribuirías tú esta variación en la fracción de personas menores de años? a. Si se multiplica por el numerador de la fracción / se obtiene la fracción 6/. Esta fracción es igual, mayor o menor que la fracción /? b. Si se multiplica por el denominador de la fracción / se obtiene la fracción /9. Esta fracción es igual, mayor o menor que la fracción /? c. Si se multiplica por tanto el numerador como el denominador de la fracción / se obtiene la fracción 6/9. Esta fracción es igual, mayor o menor que la fracción /? Natacha y Magdalena quedaron de juntarse para ir al cine. Natacha sabe que Magdalena tiene la mala costumbre de llegar siempre atrasada. Por eso, ella llegó media hora más tarde de lo convenido. Pero de todas maneras tuvo que esperar todavía un cuarto de hora para que llegara su amiga. Cuando entraron al cine la película ya había comenzado. Con qué retraso llegó Magdalena a juntarse con Natacha? Rodrigo y Sergio quieren transformar la fracción /0. Rodrigo la simplificó por y obtuvo la fracción /. Por su parte, Sergio la amplificó por y obtuvo la fracción 7/00. La fracción que obtuvo Sergio es igual, mayor o menor que la que obtuvo Rodrigo? El lunes en el curso de Rosa faltó / de los estudiantes a consecuencias de una epidemia de gripe. Al día siguiente faltaron los / del curso. a. Qué fracción del curso asistió a clases el lunes? Y el martes? b. En cuál de estos dos días hubo más estudiantes en clases? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.