GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 2. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 GUÍAS DE TRABAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 2 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 Guía de Trabajo N 1 REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS ACERCA DE FRACCIONES 1 a. En el cumpleaños de Diego, el papá dividió la torta en 12 trozos iguales. Qué fracción de la torta es cada uno de los trozos? b. Como era el festejado, a Diego le dieron 2 trozos de torta. Qué fracción de la torta recibió Diego? c. En la fracción 2/12, qué representa el denominador en este caso? Y el numerador? 2 a. Un metro tiene 100 centímetros. Qué fracción de metro es 1 centímetro? b. A cuántos centímetros equivale 1/10 de metro? Y 10/10 de metro? c. A cuántos centímetros equivalen 15/10 de metro? El hermanito de Pedro está convencido que 15/15 debe ser igual a 15. Qué le dirías tú? 4 a. Qué se puede afirmar de una fracción cuyo numerador es igual a su denominador? b. Qué se puede afirmar de una fracción cuyo numerador es mayor que su denominador? 5 a. Cuántas tazas de 1/4 litro se necesitan para completar 1 litro? Y para completar litros? Y para completar 8 litros? b. Menciona algunas fracciones que son equivalentes a 4. 6 a. Escribe dos fracciones de denominador 10 que estén entre 0 y 1. b. Escribe dos fracciones de denominador 10 que estén entre 2 y. c. Escribe dos fracciones de denominador 10 que estén entre 5 y 6. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 7 a. Cuánto jugo recibe cada niño o niña si se reparten litros de jugo entre 8 niños y niñas? De acuerdo con lo anterior, cuánto es : 8? b. La división 2 : no tiene solución exacta en el ámbito de los números naturales. Esa división, tiene solución en el ámbito de las fracciones? Explica tu respuesta. c. Escribe el resultado de las siguientes divisiones. : 4 1 : 2 8 : 5 5 : 8 d. Escribe una división cuyo resultado sea 4/5. 8 a. A cuánto es igual la fracción 5/1? Y la fracción 0/5? b. Qué se puede decir acerca de la fracción 5/0? 9 a. Qué fracción se obtiene si en la fracción 2/ se multiplica el numerador por 5? b. Y si en la fracción 2/ se multiplica el denominador por 5? c. Y si en la fracción 2/ se multiplica por 5 tanto el numerador como el denominador? d. De las tres fracciones que acabas de escribir, hay alguna que represente el mismo valor que la fracción 2/? 10 a. Qué fracción se obtiene si se simplifica por la fracción 12/15? La fracción que resulta, es igual, mayor o menor que 12/15? b. Amplifica la fracción 2/ de modo de obtener una fracción de denominador 9. c. Las fracciones 1/2 y /4 tienen distinto denominador. Es posible amplificar una de ellas de modo de obtener dos fracciones de igual denominador? d. Las fracciones 2/ y 1/5 tienen distinto denominador. Es posible amplificarlas de modo de obtener dos fracciones de igual denominador? 11 a. Francisco afirma que las dos sumas que muestra el recuadro tienen el mismo resultado. Tiene razón? b. De acuerdo con esto, cuánto es 1/2 más 1/? c. Encuentra el resultado de las siguientes sumas y restas FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 Guía de Trabajo N 2 CÓMO MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL 1 Para obtener el resultado de la multiplicación 4 2/, podemos expresar esta multiplicación como una adición de sumando iguales y luego aplicar lo que sabemos acerca de la suma de fracciones. a. Hazlo y encuentra el resultado de esa multiplicación. b. Muestra que se obtiene al mismo resultado si se multiplica el número natural por el numerador de la fracción y se conerva el denominador. 2 Don Óscar tiene que viajar en su camioneta de Copiapó a Santiago. La distancia entre ambas ciudades es de 800 kilómetros. Para evitar el cansancio, piensa tomarse un descanso cuando haya recorrido 1/4 del trayecto. a. Cuánto es 1/4 de 800? b. Multiplica 1/4 800 de acuerdo con el procedimiento para multiplicar una fracción por un número natural. c. Obtienes el mismo resultado con ambos procedimientos? Fabián afirma que cuando hablamos de fracciones la palabra de indica multiplicación Tiene razón? Explica tu respuesta e ilústrala con ejemplos. 4 Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea posible a. Calcula de dos formas diferentes los 40/100 de b. Calcula de dos formas diferentes los 9/10 de 90. c. Calcula de dos formas diferentes los /4 de 60. d. Simplifica tanto como puedas las fracciones que obtienes. Son equivalentes los dos resultados obtenidos en cada caso? 6 a. Explica con tus palabras cómo multiplicar una fracción por un número natural. b. Ilustra tu explicación con ejemplos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

5 Guía de Trabajo N CÓMO DIVIDIR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL 1 Sabemos que para multiplicar una fracción por un número natural basta multiplicar el numerador de la fracción por el número natural y conservar el denominador. Veamos ahora cómo podemos dividir una fracción por un número natural. Supongamos que se quiere dividir 1/2 :. La figura 1 muestra un rectángulo dividido en 2 partes iguales de modo que cada parte equivale a 1/2 del rectángulo. En la figura 2 se ha dividido cada parte en trozos iguales. a. Qué fracción del rectángulo representa cada uno de estos trozos? 1 2 b. De acuerdo con la figura, qué fracción resulta si 1/2 del rectángulo se divide en trozos iguales? c. Por lo tanto, cuánto es 1/2 :? 2 En la figura se ha dividido un rectángulo en partes iguales y se han sombreado 2 de estas partes. a. Qué fracción del rectángulo original representa la parte sombreada? b. En la figura 4 se ha dividido en 5 trozos iguales cada una de las partes del rectángulo. c. Utiliza la figura 4 para encontrar el resultado de la división 1/ : 5. 4 d. Utiliza la figura 4 para encontrar el resultado de la división 2/ : 5. a. Compara los resultados obtenidos en las dos actividades anteriores. Podrías sugerir un procedimiento para dividir una fracción por un número natural? b. Discute tu opinión con tus compañeros y compañeras. c. Utiliza tu procedimiento para determinar el resultado de las siguientes divisiones. Simplifica cuando sea posible. 2 : 4 : 2 4 : : FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 Guía de Trabajo N 4 CÓMO MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR OTRA 1 Utilizando lo aprendido en las actividades anteriores podemos establecer un procedimiento general para multiplicar una fracción por otra. Consideremos a modo de ejemplo la multiplicación 2/ 5/4. a. Observa la forma en que se ha efectuado esta multiplicación en el recuadro. Los paréntesis no son necesarios, pero se han colocado para mayor claridad. b. Explica cada uno de los pasos que se han seguido. c. Observando el recuadro, Natalia llegó a la conclusión que el resulado se obtiene multiplicando los numeradores y los denominadores entre sí. Estás de acuerdo con ella? Explica tu respuesta = (5 4 ) = ( 2 5) = 10 = a. Siguiendo pasos similares a los del recuadro de la actividad 1, encuentra el resultado de la miltiplicación /4 5/2. b. Se observa tambien aquí que el numerador del resultado se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y que el denominador del resultado se obtiene multiplicando los denominadores de los factores? c. Podrías proponer un procedimiento general para la multiplicación de dos fracciones? Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones Qué diferencias encuentras entre el procedimiento de cálculo de la suma de fracciones y el procedimiento de cálculo de la multiplicación de fracciones. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 Guía de Trabajo N 5 EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE UN NÚMERO 1 a. Es posible multiplicar 5 por un número natural de modo que el resultado sea 1? b. Es posible multiplicar 5 por una fracción de modo que el resultado sea 1? 2 Un número es el inverso multiplicativo de otro si el producto de ambos es igual a 1. a. De acuerdo con esto, cuál es el inverso multiplicativo de 5? Y el inverso multiplicativo de 1/5? b. Cuál es el inverso multiplicativo de 1/8? c. Cuál es el inverso multiplicativo de 1? a. Cuánto es 2/ multiplicado por /2? Simplifica el resultado si es posible. b. Por cuánto hay que multiplicar /5 para que el resultado sea 1? c. Cuál es el inverso multiplicativo de 2/? d. Cuál es el inverso multiplicativo de /5? 4 a. Cuál es el inverso multiplicativo de una fracción cualquiera? b. Cuál es el inverso multiplicativo de un número natural? c. El 0 tiene inverso multiplicativo? 5 a. Cómo resumirías lo que hemos visto acerca del inverso multiplicativo de una fracción? b. Y acerca del inverso multiplicativo de un número natural? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6

8 Guía de Trabajo N 6 UN PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR POR UNA FRACCIÓN 1 El inverso multiplicativo tiene una interesante propiedad que es muy útil en los casos en que tenemos que dividir por una fracción. Ya hemos visto que dividir por 4 es equivalente a multiplicar por 1/4. Y sabemos que 1/4 es el inverso multiplicativo de 4. De modo que en este caso, dividir por un número es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo. Esto es válido para cualquier número: dividir por un número es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo. De aquí surge un procedimiento para dividir por una fracción. Simplemente transformamos la división en una multiplicación, reemplazando el divisor por su inverso multiplicativo. Ya sabemos que esta multiplicación tendrá el mismo resultado que la división inicial. a. Cómo se puede transformar la división 5 : 1/ en una multiplicación que tenga el mismo resultado? b. De acuerdo con esto, cuánto será el resultado de la división 5 : 1/? 2 a. Transforma la división 2/5 : 1/4 en una multiplicación que tenga el mismo resultado y determina así el cuociente de esa división. b. Aplica este procedimiento a la división 5/6 : 2 y verifica si se obtiene el mismo resultado que con el procedimiento que vimos es la Guía nº. a. Cuánto es 8 : 1/4? b. Cuánto es 1/4 : 8? c. Cuánto es 2/ : 2/? Te sorprende el resultado? d. Cuánto es 2/ : /2? 4 Encuentra el resultado de las siguientes divisiones. 1 2 : : 4 : : 1 : 8 : FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 7

9 Guía de Trabajo N 7 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DE LA DIVISIÓN DE FRACCIONES 1 a. Basándote en el procedimiento de multiplicación de fracciones y en la conmutatividad de la multiplicación de números naturales, propón razones que muestren que la multiplicación de fracciones debe necesariamente ser también conmutativa. b. Muestra asimismo que la división de fracciones no es una operación conmutativa. 2 Encuentra el resultado de las siguientes operaciones que se refieren a multiplicaciones y divisiones que incluyen al 0. Si alguna de ellas no está permitida en, indícalo. 0 : 0 2 : Considera la multiplicación de dos números naturales. En la mayor parte de los casos, el resultado es mayor que cada uno de los factores. Pero hay un par de excepciones. a. En qué caso el resultado de una multiplicación es igual a uno de los factores? b. En qué único caso el resultado es menor que uno de los factores? c. En qué casos el resultado es mayor que los dos factores? d. Refuerza tus respuestas con ejemplos concretos. 4 Considera ahora la multiplicación de dos fracciones. a. Presenta ejemplos en que el resultado de la multiplicación de dos fracciones es igual a uno de los factores. b. Presenta ejemplos en que el resultado de la multiplicación de dos fracciones es mayor que uno de los factores. c. Presenta ejemplos en que el resultado de la multiplicación de dos fracciones es menor que los dos factores. d. Qué diferencias hay, en este sentido, entre la multiplicación de números naturales y la mutiplicación de fracciones? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 8

10 5 Considera la división de dos números naturales. En la mayor parte de los casos, el cuociente es menor que el dividendo. Pero hay excepciones. a. En qué caso el cuociente es igual al dividendo? b. Hay algún caso en que el cuociente sea mayor que el dividendo? c. En qué casos el resultado es menor que el dividendo? d. Refuerza tus respuestas con ejemplos concretos. 6 Considera ahora la división de dos fracciones. a. Presenta ejemplos en que el resultado de la división de dos fracciones es igual al dividendo. b. Presenta ejemplos en que el resultado de la división de dos fracciones es menor que el dividendo. c. Presenta ejemplos en que el resultado de la división de dos fracciones es mayor que el dividendo. d. Qué diferencias hay, en este sentido, entre la división de números naturales y la división de fracciones? 7 Sabemos que cualquier número natural puede ser escrito como una fracción de denominador 1. a. En la multiplicación 5, reemplaza cada factor por la correspondiente fracción de denominador 1. b. Aplica el procedimiento que hemos visto para la multiplicación de fracciones. Se obtiene el mismo resultado que si multiplicas directamente 5? 8 En la guía nº 2 vimos un procedimiento para multiplicar una fracción por un número natural. a. Encuentra el resultado de la multiplicación 4 2/ utilizando ese procedimiento. b. Ahora reemplaza el número natural por una fracción de denominador 1 y aplica el procedimiento para multiplicar una fracción por otra. Obtienes en ambos casos el mismo resultado? 9 a. Verifica, con el ejemplo dado en el recuadro, si en el campo de fracciones la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. 2 ( ) b. Inventa otros ejemplos similares y verifica si en ellos también se cumple esta propiedad de la multiplicación. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 9

11 Guía de Trabajo N 8 APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON FRACCIONES 1 El papá reparte una barra de chocolate en partes iguales y le da una parte a cada una de sus hijas. La menor de ellas divide su parte en 2 trozos iguales, se come uno hoy y deja el otro trozo para mañana. a. Qué fracción de la barra recibió cada una de las hemanas? b. Qué fracción de la barra se comió hoy la menor? c. Qué fracción de la barra dejó para mañana? 2 Mario es arquero en el equipo de fútbol de su ciudad. Está muy contento porque ha completado 6 horas sin ningún gol en contra. Si cada tiempo en un partido dura /4 de hora, cuántos tiempos ha permanecido su valla invicta? En la carnicería, don Pedro molió 4 kilos de carne y ahora está haciendo paquetes de 1/4 kilo cada uno. a. Cuántos paquetes alcanza a hacer con los 4 kilos de carne molida? b. Cuánta carne necesitaría moler si quiere tener 20 paquetes de 1/4 kilo? 4 Sonia y sus amigas se reúnen a estudiar para un examen. Para comer algo, deciden pedir unas pizzas. Sonia opina que cada una podría comer 1/ de pizza. Cuántas pizzas deberá encargar si ella y sus amigas son en total 8 personas? 5 a. Por cuánto habría que multiplicar la fracción 5/8 para que el resultado sea un número natural? Hay más de una posibilidad? b. Por cuánto habría que dividir la fracción 5/8 para que el resultado sea un número natural? Hay más de una posibilidad? c. Por cuánto habría que multiplicar la fracción 5/8 para que el resultado sea 1? d. Por cuánto habría que multiplicar la fracción 5/8 para que el resultado sea 8/5? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 10