Variables Aleatorias Discretas: Una introducción

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Trinidad Quintero Macías
hace 6 años
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1 Variables Aleatorias Discretas: Una introducción Unicatólica 7 de agosto de 2016

2 Técnicas de Conteo Factorial de un Número Número Factorial El factorial de un número NATURAL es el producto consecutivo de todos los números enteros, desde el uno hasta el número dado n, inclusive. Se denota como: n! = (n 2) (n 1) n. Dado que (n 1)! = (n 2) (n 1), y utilizando la propiedad asociativa de la multiplicación podemos escribir el factorial de un numero como: n! = n (n 1)!. Nota : Para evitar inconvenientes futuros definimos el factorial de cero como 0! = 1.

3 Factorial de un Número Realice las siguientes operaciones: 6! = = 720 7! 3! = ! = = 840 3! 5! 2!3! = 5 4 3! = 5 4 (2 1)3! 2 1 = 10

4 Número Combinatorio Número Combinatorio El número combinatorio de dos números NATURALES se define con base en la definición de número factorial de la siguiente manera: Cn r n! = r!(n r)! siempre y cuando n r.

5 Número Combinatorio Realice las siguientes operaciones: C0 0 = 0! 0!(0 0)! = = 1 C n n = n! n!(n n)! = n! n! 0! = n! n! = 1 C10 4 = 10! 4!(10 4)! = 10! ! = 4!(6)! ( )6! = = 210 C n 1 n = = n! (n 1)!(n (n 1))! = n! (n 1)! 1! n (n 1)! = n (n 1)!

6 Combinaciones Combinaciones Dado un conjunto de n elementos, llamaremos combinación de de orden r a cada subconjunto que puede formarse tomando r elementos diferentes entre los n dados. C r n = n! r!(n r)! Ej: En una clase con 30 estudiantes, cuántos grupos distintos con 5 estudiantes pueden formarse? grupos diferentes. C 5 30 = 30! = 142, 506 5!(30 5)!

7 Principio Fundamental del Conteo (Multiplicativo) Principio Fundamental del Conteo Sea un proceso que involucra r pasos, siendo n 1, n 2, n 3,..., n r, el número de resultados posibles de cada paso. Entonces, el número total de resultados, es igual al producto, entre los nḿueros de posibles resultados de cada paso: n 1 n 2 n 3... n r. Ej: El número de posibles menús que se pueden hacer para una cena si se disponen de 4 platos de entrada, 2 platos fuertes, 10 tipos de postres y 5 bebidas distintas, son: = 40

8 Principio aditivo Principio aditivo Si una acción puede realizarse de n 1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n 2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n 1 o n 2 pueden realizarse alternativamente de n 1 + n 2 maneras diferentes. Ej: Para viajar de Cali a Barranquilla se puede optar por avión, autobús o tren; existen siete rutas para el avión, cuatro para el autobsús y dos para el tren. Cuántas rutas hay para viajar? Los tres medios alternativos de transporte son disyuntivas a elegir; al optar por una de ellas, las otras dos quedan excluidas; por lo tanto es aplicable el principio aditivo. El número de maneras diferentes en que podemos viajar de Cali a Barranquilla son: = 13

9 Permutaciones) Permutaciones Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. P n = n (n 1) (n 2) = n! Ej: Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física, De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero? P 15 = 15! = 1, 307, 674, 368, 000 maneras diferentes.

10 Permutaciones De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos? El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras en que se pueden permutar estos 3 objetos es P 3 = 3! = 6. Los 6 libros de matematicas se pueden permutar de P 6 = 6! = 720 maneras. Los 4 libros de química se pueden permutar de P 4 = 4! = 24 maneras; y los 5 libros de física se pueden permutar de P 5 = 5! = 120 maneras. Por el principio multiplicativo, el número que se pueden colocar los 15 libros en el librero son maneras. P 3 (P 6 P 4 P 5 ) = 3!6!4!5! = 12, 441, 600

11 Permutaciones Circulares Permutaciones Circulares Se llaman permutaciones circulares de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden colocar esos n objetos alrededor de un círculo P C n = P n n = n! = (n 1)! n

12 Permutaciones Circulares Ej: De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 6 personas, para una junta de comité? En fila: P 6 = 6! = 720 maneras. En fila si, dos personas deben estar juntas: P 5 P 2 = 5!2! = 240 maneras. Alrededor de una mesa redonda: P C 6 = (6 1)! = 5! = 120 maneras. Alrededor de una mesa redonda, si dos personas deben quedar siempre juntas: P C 5 P 2 = (5 1)!2! = 48 maneras.

13 Permutaciones con Repetición Permutaciones con Repetición Se llaman permutaciones de n objetos, con r grupos de objetos iguales a las diferentes maneras distinguibles en que se pueden ordenar esos n objetos, de manera que los n 1 objetos iguales entre sí, los n 2 objetos iguales entre sã,..., y los n r objetos iguales entre sí, al permutarse entre ellos por grupo, no pueden distinguirse unos de otros P n 1,n 2,...,n r n = n! n 1!n 2!...n r!

14 Permutaciones con Repetición Si para fijar una placa se cuenta con 7 tornillos: 2 son de acero al carbón, 3 son de acero inoxidable y 2 son de bronce. De cuántas maneras diferentes se pueden colocar tales tornillos, si se distingue el material del que están hechos? maneras. P 2,3,2 7 = 7! 2!3!2! = = 210

15 Variaciones Variaciones Se llaman Variaciones de n objetos de orden r a las diferentes maneras de escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo que cada una de las ordenaciones es distinta de las demás, si difiere en alguno de sus objetos o en el orden de ellos. Vn r n! = (n r)!, r n Nota: Si r = n se tiene que V n n = n! (n n)! = n! 0! = n! = P n

16 Variaciones Ej: De cuántas maneras diferentes se pueden sentar los 32 alumnos del grupo de estadística II en un salón que dispone de 60 pupitres? V = maneras. 60! ! = = 2, (60 32)! 28!

17 Variaciones Variaciones con repeticiones Se llama ordenaciones con repetición de n objetos, de orden r a las diferentes maneras de efectuar secuencialmente r acciones, cada una de las cuales se puede presentar de n distintas maneras V R r n = n r Ej: Se lanza un dado tres veces. Cuántos resultados diferentes pueden obtenerse? V R 3 6 = 63 = 256 maneras.

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