Lección 1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Objetivos: 1.- Deducir las operaciones básicas de los números con signo.

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1 Lección 1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Objetivos: 1.- Deducir las operaciones básicas de los números con signo. 2.- Inferir las leyes de los signos. Introducción: Los matemáticos tuvieron que pasar muchas vicisitudes desde el uso del rudimentario ábaco, hasta las más modernas representaciones de las operaciones aritméticas. El empleo de la simbología viene de los textos árabes. En la matemática los signos más ( + ) y menos ( - ) tienen su significado corriente que indica suma y resta; pero sirven también para distinguir las

2 clases contrarias de números, positivos ( + ) y negativos ( - ). Como se vio en la lección 1.1, en una operación como = 0, el signo menos quiere decir que el menos 10 se opera con el más 10 lo que da como resultado cero. Análogamente, podemos decir también que = - 20 expresa que la combinación + 10 y - 30 da como resultado - 20 ( que es el contrario de 20 ) Suma algebraica: Supongamos que ocurre un aumento de la temperatura de 20 grados cuando la lectura en el termómetro es ya de + 10 grados, entonces leeríamos en el termómetro + 30 grados y esto se escribiría como: = + 30 es decir, un aumento es una variación positiva. Por lo tanto una disminución debe ser una variación negativa porque representa un cambio en sentido opuesto al del aumento. Si se registrase un descenso de 20 grados cuando la lectura es de + 10 grados, entonces tendríamos: = - 10 que significa que -20 combinado con + 10 da -10 como resultado y no que 20 se ha restado de 10. La misma palabra se puede emplear para el caso de = + 30

3 Vemos que + 20 combinado con + 10 da un número mayor de la misma clase; es decir, Conservando el mismo punto de vista, como + 10 y - 20 son de sentidos opuestos, la combinación de los dos dará un resultado en el que + 10 anula a -10 de los -20, por decirlo así, dejando -10 del -20 original. Del mismo modo, si la lectura es de + 10 y hay un descenso de 10 grados; esto es, -10 de variación, el resultado es cero y se puede escribir: = 0 Por lo tanto, se puede decir que un 10 positivo combinado con un 10 negativo da como resultado cero o que -10 sumado a +10 da una suma igual a cero o también 10 restado de 10 da un resto igual a cero. Se obtendría el mismo resultado si ocurriese un aumento de 10 grados cuando la lectura fuese de 10 grados. El resultado se escribe: = 0 Esto sucede combinando dos números de igual valor, pero de sentido opuesto, o sumado un número positivo a uno negativo de la misma magnitud. Análogamente, si la lectura es de 10 grados y la temperatura sube 20 grados, la nueva lectura será + 10; o será: = + 10

4 NOTA: Sí se escribe un número sin signo, se entiende que es positivo ( + ). Producto y cociente: La expresión 4 x 5 = 20 expresa: =20 es decir, que si se combinan cuatro veces 5, todos positivos, da como resultado 20 positivo. Análogamente, de lo visto anteriormente, = -20 Como la suma de cuatro 5 positivos es lo mismo que: 4 x (+5) = +20 entonces, la suma de cuatro 5 negativos, es lo mismo que: 4 X (-5) = -20 o de otro modo, puesto que 4 se sobre entiende positivo tenemos: (+4) x(+5) = +20 (+4) x (-5) = -20 Como el orden de los factores no altera el producto, podemos escribir: ( +4 ) x ( -5 ) o

5 ( -5 ) x ( +4 ) De estos ejemplos deducimos la siguiente consecuencia: El producto de dos números positivos es positivo Y El producto de un número positivo y uno negativo es negativo Inmediatamente surge la cuestión de lo que pasara con el producto de dos negativos. La contestación se deduce de las consideraciones siguientes: Hemos dicho que los números negativos son de sentido opuesto al de los números positivos y, por lo tanto, si el producto de un número positivo por un número positivo da como resultado un producto positivo, entonces un positivo por uno negativo dará el resultado opuesto; es decir, un producto negativo. Por lo tanto, como el producto de un negativo por un positivo da un producto negativo, la multiplicación de un negativo por un negativo debe dar un resultado opuesto; es decir, un producto positivo. ( +4) x ( -5 ) = -20 el opuesto será: [ + 4 ( 5) ] = [ 20]

6 esto es: ( -4 ) x ( -5 ) = +20 Así tenemos que: El producto de dos números negativos es positivo Teniendo en cuenta que el cociente es la operación inversa del producto y utilizando los ejemplos anteriores tenemos: ( + 4) ( + 5) = + 20 entonces = + 5 ( + 4) ( 5) = 20 entonces = 5 ( 4) ( 5) = + 20 entonces = 5 Leyes de los signos: Las reglas que hemos expuesto aquí son las siguientes: Ley 1: El producto de dos números cualesquiera del mismo signo es positivo Y El producto de dos números cualesquiera de signos contrarios es negativo

7 Ley 2: El cociente de dos números cualesquiera del mismo signo es positivo Y El cociente de dos números cualesquiera de signos contrarios es negativo