Z = {...,3,2,1,0,1,2,3,...

Transcripción

1 NÚMEROS ENTEROS Los números enteros conforman el conjunto: Z = {...,3,2,1,0,1,2,3,... } 1. Operatoria en Z 1.1 Adición: Sean a y b dos números enteros, entonces la adición se expresa por ab Sustracción: Sean a y b dos números enteros, entonces la sustracción se expresa por ab. 1.3 Multiplicación: Sean a y b dos números enteros, entonces la multiplicación se expresa por ab. Es necesario mencionar los casos siguientes: - Si se multiplican dos números de igual signo el resultado siempre es positivo. - Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado siempre es negativo. 1.4 División: Sean a y b dos números enteros, entonces la división se expresa por ab :. Observación: La división respeta las reglas de los signos de la multiplicación. 1

2 Prioridad en las operaciones Al operar con distintas operaciones se debe respetar el siguiente orden: - Resolver paréntesis. - Realizar potencias. - Multiplicación y división, de izquierda a derecha. - Adición y sustracción (10(513))(12): Calcular paréntesis interior (513)8 += 2. Calcular paréntesis exterior (108)2 += 3. Calcular la división (12):34 = 4. Calcular la sustracción = 2(3)1 5. Resultado 1 Definiciones: - Valor absoluto de un número. El valor absoluto de un número es posible interpretarlo como la distancia del número al cero. Por lo tanto, es siempre positivo o de valor cero. x xx, si 0 = < xx, si 0 Ejemplos: = = = 2

3 - Sea n un número entero, entonces El sucesor de n es (n+1). El antecesor de n es (n-1). 2n es un número par. 2n-1 es un número impar. El cuadrado de n es n 2. Reglas de divisibilidad - Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es divisible por dos. 568:2 - Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es divisible por == - Un número es divisible por 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de = - Un número es divisible por 5 si la última cifra es 0 o = 3

4 - Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y = == - Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de == - Un número es divisible por 8 cuando el número formado por las tres últimas cifras es divisible por = - Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de =++= Números primos: Son los enteros positivos que tienen solo dos divisores, el 1 y el mismo número. 2,3,5,7,11,13,17,19,

5 Números compuestos: son los enteros positivos mayores que uno que no son primos. 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20... Observación: Todo número compuesto se puede expresar de manera única como producto de números primos. Ejercicios: (-15)= a) -25 b) 25 c) 15 d) 5 e) (-3)(3)(-3)(-3)(-3) a) 81 b) -81 c) 243 d) -243 e) Si al triple de -3 se le resta -2 a) -11 b) 11 c) 7 d) -7 e) 3 5

6 :-6 a) 2 b) 0 c) -14 d) -12 e) De cúal de los siguientes números, 105 es multiplo? I) 15 II) 21 III) 25 a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguno = 42 a) -8 b) -4 c) 0 d) 4 e) 8 6

7 Problemas de Planteo 1. Resuelve: a. El nivel de la presa ha descendido 15 cm diarios durante 6 días y seguidamente ha subido 12 cm durante 3 días, cuál es la relación con el nivel inicial, si esté era de 2mt? b.. La modificación del número de habitantes de una ciudad, durante el mes pasado, fue: 189 nacimientos, 143 defunciones; 187 inmigraciones; 253 emigraciones y su estado inicial era de habitantes Cuál es el estado actual? c. Un día determinado, la temperatura fue de -9 C a las 7 de la mañana y la máxima fue de 15 C a las tres de la tarde. Cuál fue la variación de temperatura ese día? d. Si a = 5 y b = 3, entonces el valor de la expresión a + b es: e. Cuál de las siguientes frases no se relaciona con el número -32? A) Ese matemático nació el año 32 antes de Cristo. B) La temperatura es 32º C. bajo cero. C) El termómetro marca 32º C. D) Un submarino está 32 metros bajo el nivel del mar. f. Pitágoras nació el año 572 a.c. Cuántos años han pasado desde su nacimiento hasta el año 2.009? 7

8 g. Cuál es el opuesto de ? h. Cuál es el antecesor par de -14? i. Qué número sumado con 24 da como resultado -20? j. El valor de : 4 (4 1) + 1 es: k. En un juego, Pamela tiene 120 puntos a favor (+120) y 150 puntos en contra (-150). Qué puntaje tiene Pamela en el juego? 2. Escribe el entero que representa las siguientes situaciones: a) La temperatura máxima de hoy fue de 28,6º C. b) El estado de cuenta de la señora Flores indica que debe pesos. c) El descubrimiento de América fue el año 1492 de la era cristiana. d) La ciudad capital más alta del mundo es La Paz y se encuentra a m sobre el nivel del mar e) La temperatura en Loncoche fue de 3 grados bajo cero f) Mario bucea a 25 metros de profundidad g) Soledad vive a 60 metros a la derecha de la escuela h) La invención de la escritura data del año 3000 AC. 8

9 3. En la siguiente línea de tiempo ubica cada uno de los acontecimientos que se indican a continuación. a) El año 1492 corresponde al año del descubrimiento de América y al comienzo de los tiempos modernos. b) La invención de la escritura data del año 3000 AC. c) El año 476 DC marca el fin de la Edad Antigua. d) En el año 1789 se produjo la Revolución Francesa. e) La Segunda Guerra Mundial finalizó el año f) Los primeros desarrollos de la agricultura están fechados aproximadamente en el 8000 AC. g) Los primeros útiles de greda datan del año AC Nota: AC: antes de Cristo DC: después de Cristo 9

10 4. Contesta estas preguntas, según la información dada: a) De los hitos históricos presentados, cuál es el más reciente y cuál el menos reciente? b) Considerando las fechas anteriores al nacimiento de Cristo, cuál sería la menos reciente? Cuál es el orden de estos hechos históricos? c) Considerando las fechas posteriores al nacimiento de Cristo, cuál sería la menos reciente y la más reciente? d) Qué lugar ocupa la fecha en que se produjo la Revolución Francesa?, cuál es el orden de estos hechos históricos? e) Qué hecho representaría el año cero? 5. Escribe el signo > < ó = según corresponda:

11 6. Resuelve las siguientes adiciones: = = = = = = = = = = = = 7. Anota el número de la columna A que corresponda en la B : A B 1) = 5 Conmutativa 2) = Asociativa 3) = 0 Neutro aditivo 4) (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2) Inverso aditivo (opuesto) 8. Resuelve estos problemas a) Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. Cuántas láminas has perdido en total? b) Un equipo de fútbol tiene 8 goles a favor y en otro partido hizo 5 goles más Cuántas goles tiene en total? c) Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. A qué profundidad se encuentra? 11

12 d) Santiago tuvo ayer una temperatura de 3 bajo cero, en la mañana y en la tarde subió 18 C. Cuál fue la temperatura alcanzada? e) Una sustancia química que está a 5 bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12 sobre cero. Cuántos grados subió? f) María deposita el día lunes, en su libreta de ahorros, cuyo capital ascendía a $ , la cantidad de $ El día miércoles por una urgencia, realiza un giro de $ Cuál es el nuevo capital que posee? Escribe la operación utilizando números enteros. g) En invierno en cierto lugar del sur de Chile la temperatura a las 16 horas fue de 12 C. A las 3 de la mañana hubo un descenso de 17 C. Cuál fue la temperatura registrada a esa hora? h) Euclides, geómetra griego, nació en el año 306 AC y murió en el año 283 A C. Qué edad tenía cuando murió? 12