LOS NUMEROS ENTEROS. I. Introducción a los Números Enteros
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- Fernando Salas Godoy
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1 LOS NUMEROS ENTEROS I. Introducción a los Números Enteros Hasta ahora hemos visto los números naturales, que comienzan en 0 e incluyen los números mayores que 0, sumando siempre 1 al número anterior. Cuando tienes 10 y debes 15, cuántos tienes? Esta misma pregunta se la hicieron los hombres hace mucho tiempo, y vieron la necesidad de utilizar números negativos. Si debes 5, tienes -5. Los números negativos también se utilizan para representar cosas como: - Las plantas sótano de un edificio (-1, -2, -3 ). - La temperatura: -5º. Ampliamos el conjunto de los números naturales a un nuevo conjunto numérico llamado números enteros, que se denota por Z. Está formado por 3 partes: - Los números enteros positivos, o naturales, que son un subconjunto de los enteros. - Los números enteros negativos. - El 0. Cuanto más a la izquierdaesté un número, menor es. (- 5) < (- 4) porque está más a la izquierda. La idea de números enteros sirve también para contar los siglos, antes y después de Cristo. O para contar los metros de profundidad bajo el nivel del mar. 1
2 Curiosidades Es el 0 un número natural? Para unos sí, para otros no Así que por ahora no debes preocuparte de eso. 1. Valor Absoluto El valor absoluto de un número es sudistancia al 0. La distancia de 2 a 0 es 2, y la distancia de -2 a 0 también es = - 2 = 2 Por eso decimos que el valor absoluto de un número es ese número sin el signo. 2. La Regla de los Signos Para hacer operaciones (multiplicación y división, pero también suma y resta) con números enteros, nos será muy útil esta regla. Utilizaremos esta tabla cuando encontremos: 2 signos seguidos en una suma o resta. 2 números enteros cualesquiera en una multiplicación o división. + + = = = = - 2 n os del mismo signo = + 2 n os de distinto signo = - Suma: (-2) + (-3) = = - 5. (Para + (-3) hemos aplicado + - = - ). Multiplicación:(-4) (-4) = 16. (multiplicamos 4 4, y le ponemos el signo - - = +). División:(-10) : 5 = 2. (Dividimos 10 : 5, y le ponemos el signo - : + = -). Vamos a verlo en detalle para cada operación. 2
3 II. Operaciones con Números Enteros 1. Suma y Resta de Números Enteros Todas las operaciones con números enteros conservan todas las características y propiedades de las operaciones con números naturales. Se les añaden algunas más. A. SUMA Practicamos con algunos ejemplos. (-1) + (-2) = = (-7) = 12 7 = 5. La suma de enteros tiene todas las propiedades de la suma de naturales (operación interna, conmutativa, asociativa y elemento neutro). Pero además tiene 1 propiedad más: Elemento opuesto. a + (-a) = (-3) = 0. 3 es el opuesto de -3, y -3 el opuesto de 3. Son elementos simétricos respecto a 0. Para obtener el opuesto de un número, lo multiplicamos por (- 1). B. RESTA 15 (-3) = = (-3) = 15 3 = 12. Una resta puede ser en realidad una suma! 7 + (-2) = = 6. 3
4 2. Multiplicación y División de Números Enteros A. MULTIPLICACION (-2) (-2) = 4. (-5) 5 = (-4) = -12. (-3) (-3) (-3) = -27. Porque ( = + - = - ). (-3) (-3) (-3) (-3) = 81. Porque ( = + + = + ). B. DIVISION (-28) : 4 = -7. (-28) : (-4) = : (-4) = Potencias de Base Entera y Exponente Natural. Conocemos las potencias como 2 3, donde la base 2 es un natural, o entero positivo. Vamos a estudiar las potencias cuya base es un entero negativo, como (-2) 3. (-2) 2 = (-2) (-2) = 4. (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = (-8). En general decimos que: (-a) par = a par. (-a) impar = (-a) impar. (-3) 3 = (-27). 4
5 (-5) 4 = Raíz Cuadrada de Números Enteros. Un número entero tiene 2 raíces cuadradas posibles: 49 = 7 porque 7 2 = = (-7) porque (-7) 2 = 49. En general a 2 = a. Si a 0, a 2 = a. Si a < 0, a 2 = (-a). todavía!... Curiosidad Cuánto vale (-49)? Tiene solución, pero no necesitamos saberlo 5. Operaciones Combinadas (-7) (- 6-2) = (-8) = = (-15) : ( 8+7) = : 15 = = =5 3 = = 10 2 = = (-10) 2 = (-20). 5
6 TEST 1. Cuál es la relación entre los números naturales y los enteros? a. Los números naturales no son números enteros. b. Todo número entero es también natural. c. Los números naturales son los enteros positivos. d. Los números negativos no son números enteros. 2. Ordena los números de menor a mayor: a. -10 < -36 < -37 < 0 < 5 < 22. b. 37 < - 36 < - 10 < 0 < 5 < 22. c. 0 < 5 < -10 < 22 < -36 < -37. d. 5 < -10 < 22 < -36 < -37 < Cuál es el resultado de esta operación: +4 +[(+2)+(+8) (-6) (-7+6)] a b. 65. c. 9. d Cuál es el resultado de esta operación: +7 + (-5) : ( -7+2) - (+1-6)? a. 2. b. 13. c d Luis está en la planta -6 y sube hasta la 18. Cuántas plantas sube? a. 12. b. 24. c d
7 6. El Teide está a una altitud de metros. La fosa marina de Las Marianas está a metros de profundidad. Cuál es el desnivel entre ambos puntos?. a metros. b metros. c metros. d metros. 7. Cuál es el resultado de: ? a b c d Lucía tenía ayer en el banco 653. Hoy tiene 215. Ha gastado o ha ingresado dinero? Cuánto?. a. Ha gastado 864. b. Ha gastado 438. c. Ha ingresado 868. d. Ha ingresado Calcula (-2) 5 a. 16. b c d Una persona nació en el año 17 antes de Cristo y se casó en el año 15 después de Cristo. Con cuántos años se casó? a. 26. b. 32. c. 22. d
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