(x + 2)(x + 5) x 2 + 5x. Ejemplo:

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1 LECCIÓN 49 ECUACIONES CUADRÁTICAS Multiplicar dos expresiones con dos términos. Vea ahora como la ley conmutativa de la suma y multiplicación puede ser usada para multiplicar dos expresiones con dos términos. Ejemplo: Primer paso: Primero piense que esta conmutando (x + 2) con (x + 5). Usted multiplicará (x + 2) por x, luego (x + 2) por 5 y luego sumará. Segundo paso: Use la ley conmutativa en (x + 2)x y en (x +2) 5. La siguiente forma da el mismo resultado. Multiplique el primer termino en el primer paréntesis por cada uno de los términos en el segundo paréntesis. Escriba el resultado. (x + 2)(x + 5) x 2 + 5x Ahora multiplique el segundo termino en el primer paréntesis por cada termino en el segundo paréntesis y escriba el resultado: (x + 2)(x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 Usted obtiene el mismo resultado como en el paso 2 pero con 5x y 2x escrito en diferente orden. Entonces combinando términos usted obtiene x 2 + 7x + 10 Tercer paso: Simplifique combinando términos iguales. Los únicos términos iguales o semejantes son 2x y 5x. Ya que 2x + 5x = 7x usted obtendrá: Para estar seguros que usted entiende bien esto veamos mas ejemplos. Multiplique (x + 2)(x + 3) El método es el mismo incluso si hay signos negativos en el paréntesis. Solo recuerde usar los signos exactos. Multiplique (x 3) (x + 2) La respuesta final será:

2 1) Multiplique los términos en el segundo paréntesis por la x en el primer paréntesis. 2) Ahora multiplique por el -3 Fíjese que el signo de igualdad no fue escrito hasta que el segundo paso fue completado porque el lado izquierdo todavía no igualaba al derecho hasta el segundo paso. 3) Combine términos iguales. Hasta ahora en su multiplicación de dos expresiones con dos términos usted ha obtenido siempre tres términos en su respuesta final. Es posible finalizar con solo dos términos en la respuesta final. Fíjese como puede pasar esto: Multiplique (x 4)(x + 4) Combinado los primeros pasos usted debe obtener: Esto simplifica x 2-16 porque los dos términos de en medio al sumarse dan cero.

3 Factorizar expresiones con tres términos. En matemáticas por cada operación que usted hace, hay usualmente una manera de deshacerla. Usted hasta ahora ha multiplicado factores para obtener expresiones y ahora usted vera como cambiar ciertas expresiones de regreso a factores. La mejor forma para comenzar es ver por formas de las que usted ya conoce. Hasta ahora usted ha trabajado estas tres formas: Los tres sets de paréntesis tienen los mismos números. Solamente los signos son diferente. Vea cuidadosamente las respuestas y vera tres cosas. a) Si el signo del ultimo termino de la respuesta es + (positivo), los signos en ambos paréntesis son los mismos que los del signo del segundo termino de la respuesta. Vea en los ejemplos 1 y 3. El termino final es +28 en ambos casos (y el signo del segundo termino, +11x en la 1 y -11x en la 3) es el signo en ambos paréntesis. b) Si el signo del ultimo termino es negativo ( - ) como lo es en el ejemplo 2, los signos en el paréntesis son diferentes y el numero mas grande de los dos números en los paréntesis tiene el mismo signo del segundo termino. Estas dos cosas son siempre así si la expresión tiene factores. Con estas dos reglas es fácil conocer que clase de signos habían en los originales paréntesis. Ejemplo: Llene en los espacios en blanco en los paréntesis para mostrar que los factores fueron multiplicados para obtener las expresiones con tres términos. 1) (x 2)(x 4) = x 2-6x + 8 2) (x 4)(x 6) = x 2 +10x ) (x 4) (x 6) = x 2 2x 24 Estos tres ejemplos incluyen todas las posibilidades, así que lea esto cuidadosamente y será capaz de hacer cualquier problema como estos: Ejemplo No. 1 Vea el signo final. Aquí hay uno positivo ( + ), así que usted ya sabe que ambos signos en los paréntesis deben ser los mismos. También ambos deben ser ( - )

4 negativos, ya que el segundo termino de el producto tiene uno negativo (-). esta factorizando, el cual en este caso es un signo menos. ( - ). Escriba los signos dentro de acuerdo a la regla: (x 2) (x 4) es la respuesta. Usted puede chequear la respuesta multiplicando para ver si usted obtiene x 2-6x + 8. Ejemplo No. 2 Cheque el signo final. Otra vez es positivo (+). Ya que el segundo termino en la expresión que esta factorizando tiene un signo + uno positivo debiera ir en ambos paréntesis. Escriba los signos de el segundo termino en los paréntesis. (x + 4) (x + 6) es la respuesta. Usted puede chequear multiplicando, debe obtener x x Ejemplo No. 3 Cheque el signo del ultimo termino. Es uno negativo ( - ). Así que los signos en el paréntesis son diferentes. El numero mas grande tiene el mismo signo que el del segundo termino de la expresión que Paso2 Ponga dentro los signos de acuerdo al paso 1 (x + 4) (x 6) es la respuesta. Puede chequear si esta bien multiplicando. Ahora veamos estos ejemplos: Sea x x + 28, encuentre sus factores. Escriba los dos pares de paréntesis y ponga una x como primer termino en cada uno. (x ) (x ) Trabaje los signos. Aquí el termino final de lo que esta factorizando es + y el signo del segundo termino es + así que signos positivos van en ambos paréntesis. ( x + ) (x + ) Paso 3 Encuentre dos números que cuando multiplicados hagan +28 y cuando se sumen hagan +11. Varios pares de números pueden ser multiplicados para hacer 28 pero solamente hacen 11 y

5 4*7 hacen 28, asi que los números necesitados son 4 y 7. Paso 4 Escríbalos entre los paréntesis. (x + 4) (x + 7) Los números en la expresión final serán (x + 4) (x + 7) Encuentre los factores de x 2 11x ) Inicie los paréntesis con los primeros términos. (x ) (x ) 2) Encuentre que clase de signos van a ser y póngalos adentro de los paréntesis. Aquí usted puede fijarse que el ultimo termino de lo que esta factorizando es +28, así que los dos signos de los dos paréntesis van a ser iguales. El segundo termino de lo que estamos factorizando es 11x por lo tanto los signos que van adentro deberán ser negativos. (x - ) (x - ) 3) Encuentre un par de números que cuando multiplicados den +28 y cuando se sumen de -11. Los signos que ya puso en los paréntesis nos dan la idea de que ambos números son negativos. Los pares que multiplican +28 son los mismos que el ejemplo anterior excepto por los signos: (-1 & -28); (-2 & -14), y (-4 & -7). El ultimo par no solamente multiplicados juntos dan +28 sino que sumados dan 11 así que el ultimo par de números son los que necesitamos. Escriba 4 y 7 en los respectivos paréntesis. (x - 4) (x - 7 ) (x - 4) (x - 7 ) Es la respuesta. Encuentre los factores de x 2 + 3x 28 Escriba los paréntesis y los primeros términos. (x ) (x ) Encuentre la clase de signos que deben tener. He aquí el ultimo termino tiene un signo (negativo) -28. Por lo tanto sabemos que los signos dentro del paréntesis van a ser diferentes los dos. Recuerde que el numero mas grande que vamos a hallar será el que lleve el signo positivo porque el segundo termino es positivo también. (x - ) (x + )

6 Paso 3 Encuentre dos números que multiplicados den 28 y sumados den +3. Hace un rato usted encontró ciertos números que multiplicados dan 28 si tan solo movemos los signos. ( ) (+1, +28) (2, -14) (-14, 2) (+4, -7) y (-4, +7); pero de estos pares de números los únicos que suman +3 es 4 y +7 así que ponga esos dos números en los paréntesis. (x - 4 ) (x + 7 ) Respuesta final: (x - 4 ) (x + 7 )

7 DIFERENCIA DE CUADRADOS Asustado o asustada? De seguro si ha seguido todo el camino desde el inicio hasta este momento usted nunca se imagino lo que era capaz de hacer, en donde se dice que uno no puede saber de Ecuaciones Cuadráticas? Dentro de unos pocos días estará en la cima del conocimiento matemático, y Ud. podrá ingresar a la universidad o al instituto sin ningún problema. Diferencia de dos cuadrados Hasta ahora ha visto casos envolviendo solo dos términos cuando aprendió a multiplicar entre paréntesis. Fijémonos en unos dos para revisar porque esto ocurre así. En la expresión de arriba todo se reduce a x 2-36 porque los términos de en medio se anulan entre si, estos es al realizarlos dan 0 y por lo tanto no hay que ponerlos. Usted siempre se queda con dos términos cuando los términos del medio siempre son los mismos excepto que llevan signos diferentes. Fíjese también que x 2 es un cuadrado e igual lo son los números 9, 25 y 36. En la expresión de la derecha de la pagina anterior esa es una diferencia de dos cuadrados. Para factorizar una expresión de dos términos que tiene diferencia de dos cuadrados, solamente ponga la raíz del cuadrado de cada termino en ambos pares de paréntesis y escriba signos opuestos. Ejemplo: Cuales son los factores de n 2-100? n es una diferencia de dos cuadrados porque n 2 en si es un cuadrado de n y 100 es el cuadrado de 10. Así que escriba sus raíces dentro de ambos paréntesis con signos opuestos. (n + 10) (n 10) Pan comido. Un caso especial que confunde algunas personas es x 2-1. Esta es una diferencia de cuadrados porque los términos son x * x y 1 * 1. Por lo tanto los factores de esta expresión son (x + 1) (x 1). Recuerde que es la única un poco confusa.

8 Resolver ecuaciones con cuadrados Usted ya sabe que cualquier numero multiplicado por 0 da como resultado 0. 3 X 0 = 0 5 X 0 = 0 Ahora eche un vistazo a esta ecuación: ab = 0 Si a = 0 o b = 0 la ecuación tiene que ser verdadera. De hecho, ese es el único camino para que ab pueda ser igual a 0. Si el producto de dos factores es 0 entonces uno o ambos factores deben también ser 0. Utilizando este razonamiento vea estas dos ecuaciones. los factores equivale a 0 la ecuación será verdadera. Si x + 4 = 0 entonces x = -4. Así que x = -4 es una raíz. Si x 7 = 0 entonces x = +7. Por lo tanto x = +7 es otra raíz. De nuevo hay dos posibles raíces para solucionar el problema. Si usted pone ya sea 4 o +7 en el lugar de la x en la expresión (x + 4) (x 7) = 0 la ecuación numérica resultante es verdadera. Ahora usted sabe que si (x + 4) (x 7) = 0, x = +7. Usted puede multiplicar los paréntesis de la misma forma como lo ha hecho en las lecciones anteriores. En los primeros dos factores x y (x + 3) multiplicados juntos hacen 0. Si cualquiera de los factores equivale a cero la ecuación es verdadera. Así que aquí hay dos chances: x = 0 o x + 3 = 0 y en este caso ultimo x debiera ser igual a 3. La ecuación tiene dos raíces, x = 0 y x = - 3, cualquiera de las dos hace la ecuación verdadera. En la segunda ecuación también hay dos factores, (x + 4 ) y (x 7) que se multiplican para hacer 0. Si cualquiera de Para resolver ecuaciones que contienen x 2 o cualquier otro cuadrado desconocido usted necesita solamente encontrar los factores, hacer que cada factor equivalga a cero y entonces encontrar que valor o valores de las incógnitas hacen la ecuación verdadera. Ejemplo: Encuentre las raíces de la ecuación x 2 8x + 15 = 0. Para resolver factorice el lado izquierdo, haga que cada factor equivalga a cero y resuelva la x.

9 Escriba los paréntesis con la incógnita en cada uno. ( x ) (x ) = 0 Determine que signos irán dentro de los paréntesis. Aquí el termino final es +15 por lo tanto ambos signos serán los mismos. Ya que el segundo termino es 8x ambos signos deben ser negativos. ( - ). Póngalos dentro. (x - ) (x - ) = 0 usted debió descubrir que x = -3 y que x = -9, esos son las dos raíces. Algunas ecuaciones con una raíz desconocida tienen solamente una raíz. Considere (x 4) (x 4) = 0. Cuando usted pone los factores a 0 y resuelve la x, usted obtiene x = 4 en ambos factores. La ecuación tiene solamente una raíz, x = 4. Paso 3 Determine los números. Usted necesitará dos números que multiplicados den +15 y sumados den -8. La ley de la prueba y error dicen que esos dos números son -5 y -3. Este arroz ya se coció. Paso 4 Ponga cada factor igual a 0 y resuelva las ecuaciones. Si x 3 = 0 entonces x = +3 Si x 5 = 0 entonces x = +5 Las respuestas son x = +3 y x = +5 Hágalo usted Encuentre la raíz de x x + 27 = 0 Si su respuesta es (x + 3) (x + 9) = 0, cuando puso cada factor a igual cero