La derivada de las funciones trascendentes
|
|
- Bernardo Vega Mendoza
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 La erivaa e las funciones trascenentes Manuel Barahona, Eliseo Martínez Diciembre 205 Muchos fenómenos e la naturaleza son moelaos meiante funciones eponeciales, logarítimicas, trigonométricas y combinaciones e ellas. De esto se esprene la importancia e poer calcular la erivaa e estas funciones, que en lo sucesivo llamaremos funciones trascenentes.. La erivaa e la función logaritmo La función logaritmo natural f() =ln tiene una erivaa sencilla y está basaa en el hecho e que + n = e () n n Formemos el cociente e Newton f(+) f() y usemos las propieaes e los logaritmos, tal como se muestra a continuación f( + ) f() ln( + ) ln() = + + = ln =ln En consecuencia se tiene que f( + ) f() =ln + (2) Efectuano el cambio e variable n =,esecir, = n y al mismo tiempo, = n, y reemplazánolas en la epresión (2) resulta f( + ) f() = 0 ln + n n n = n Utilizano ahora el límite en ), se obtiene f( + ) f() =lne o Aplicano la propiea e los logaritmos resulta que ln e = ln e = ln + n n En efecto, como n =, entonces si 0 es claro que n. Y viceversa.
2 En consecuencia la erivaa e la función logaritmo natural es (ln ) = Ejemplo Calculelaerivaaelafuncióny =3ln Solución. Aplicano la erivaa e un proucto se tiene y =3 +3ln =3(+ln) PAra erivar la función logaritmo natural, cuano el argumento es otra función, se recurre a la regla e la caena. Esto es, si u = u() es una función erivable en, entonces [ln u] = u u Ejemplo 2. Derive la función y =ln 2 +3 Solución. Aplicano la regla e erivación e la función logaritmo natural, se tiene y = = (2) = 2 +3 Con frecuencia conviene, antes e erivar, reescribir la función utilizano las propieaes e los logaritmos. Esto es particularmente útil cuano la función que se quiere erivar es muy complicaa. En relación con el ejemplo anterior, poemos reescribir la función en la forma siguiente y =ln 2 +3 y = 2 ln(2 +3) La erivaa e esta última función es más fácil e realizar. En efecto: y = = (2) = 2 +3 Se puee emostrar, meiante las propieaes e cambio e base e logaritmos, que la erivaa e la función logaritmo, con una base cualquiera, es la siguiente [log a ] =(log a e) Ejemplo 3. Halle la erivaa e la función f() =log a () 5 Solución. Observe que la función f() es un proucto e os funciones. Aplicano la erivaa e un proucto se tiene f () = log a e 5 +log a 5 4 Cuano el argumento el logaritmo es otra función ebemos erivar utilizano la regla 2
3 e la caena. [log a u] = log a e u u Ejemplo 4. Hallar la erivaa e la función f() =log 2 ( ) Solución. Derivano f () =(log 2 e) (2 +2) 2. Derivaa e la función eponencial Para hallar la fórmula e la erivaa e la función y = e escribimos la iguala ln e = y erivamos con respecto a la variable. Usano la regla e la caena se obtiene [ln e ]= [] e [e ]= Despejano la epresión [e ] e la seguna equivalencia, resulta [e ]=e Las erivaas e las otras funciones eponenciales son las siguientes a) e k = ke k b) [a ]=ln(a) a c) [eu ]=e u u ) [eu ]=(lna) a u u Ejemplo 5 Halle las erivaas e las funciones siguientes: a) y = e b)y =2 72 Solución. Aplicano las fórmulas corresponientes, resulta: a) y = e (8) =8 e b) y =(ln2) 2 72 (4) =4(ln 2) 2 72 Ejemplo 6 Derive la función e ensia normal estánar e probabilia 2 n() = 2π e 2 2 Solución. Aplicano la fórmula corresponiente se tiene: n () = e 2 2 ( ) = e 2 2 2π 2π 2 Esta función e ensia es una e las más utilizaas en la moelación e fenómenos naturales, como el movimiento e partículas e polen en un vaso e agua, como el moelamiento para eplicar la valatilia en el precio e las acciones el mercao bursatil, así como encontrar en probabilia partículas subatómicas en la mecánica cuántica, tanto como saber porcentualmente la cantia e jovenes que están en un eterminao rango e estatura. Sin aplicar esta función e ensia, la via practicamente sería teiosa y aburria, y sin progreso. 3
4 Poemos observar que esta erivaa se anula en =0, inicano con esto que la recta tangente al punto (0,n(0)) = (0, 2π ) es paralela al eje horizontal X, y en consecuencia como n() es siempre positiva, se tiene que el punto (0, 2π ) es un punto máimo. 3. La erivaa en el crecimiento eponencial Hemos visto que una cantia Q(t) que crece e acuero con una ley e la forma Q(t) = Q 0 e k t one Q 0 y k son constantes positivas, se ice que eperimenta un crecimiento eponencial. Verenos a continuación que si una cantia crece eponencialmente, su ritmo e crecimiento es proporcional a su tamaño. La razón instantanea e cambio e Q con respecto a t es la erivaa Q (t) =kq 0 e k t (3) Esto nos ice que la razón instantanea e cambio Q (t) es proporcional al tamaño e Q(t), sieno precisamente k la constante e proporcionalia. Observemos que la ecuación (3) se puee escribir como Q (t) =kq(t) (4) one Q(t) =Q 0 e k t. La epresión (4) es una clasica ecuación iferencial one se pie encontrar la función Q(t) que satisfaga esta ecuación. Dicho e otra forma, Cual es la epresión e Q(t) para que ocurra la iguala (4)? La solución es Q(t) =Ce kt En efecto, si erivamos esta epresión obtenemos que se satisface la ecuación (4) 4. La erivaa e las funciones trigonométricas En lo que sigue euciremos la fórmula e la erivaa e la función f() = sen () utilizano la efinición. De acuero a esto se tiene sucesivamente que: f( + ) =sen( + ) =sen cos +cossen() luego f( + ) f() =sen cos +cossen() sen es ecir f( + ) f() =+cossen() sen ( cos ) En consecuencia f( + ) f() sen cos =cos sen por lo tanto f( + ) f() = 0 0 cos sen sen cos 4
5 e lo cual se esprene que f( + ) f() =(cos)() (sen )(0) = cos 0 En consecuencia [sen ] =cos Observe que hemos usao los hechos siguientes: sen cos a) = ; b) =0 0 0 que uste puee perfectamente comprobar meiante el software DERIVE. La obtención e la erivaa el resto e las funciones trigonométricas no varía sustancialmente. Sin embargo puee resultar más sencillo utilizar las ientiaes trigonométricas para llegar al mismo resultao. Así por ejemplo (sen ) 2 +(cos) 2 = entonces erivano esta iguala se tiene que (sen ) 2 +(cos) 2 = [] = 0 ylaerivaaelaprimeraigualaeestaientia,apicanolareglaelacaenayel resultao anterior, es 2(sen )(cos )+2(cos) [cos ] =0 espejano e esta iguala [cos ], obtenemos la fórmula [cos ] = sen Ahora si consieramos la ientia tg = sen cos poemos aplicar la regla para erivar un cosiente y obtener cos sen ( sen ) [tg ] =cos (cos ) 2 = (cos ) 2 =(sec)2 A continuación se a, sin emostración, un resumen e las fórmulas e las erivaas e las funciones trigonométricas. a) [sen ] = cos ; b) [cos ] = sen c) [tg ] = (sec )2 ) [ctg ] = (cosec )2 e) [sec ] = sectg f) [cosec ] = cosec ctg Ejemplos 7. Hallar la erivaa e las funciones siguientes: a) y =cos2 2 b) y = tg 3 2 c) y = 5
6 cosec( 3 ) ) y = e 2 ctg Solución. a) Supongamos que u =2 2. Aplicano la fórmula corresponiente junto a la regla e la caena resulta: y = sen u u = sen 22 4 b) Si hacemos u =2, resulta y =3tg 2 u u =6tg2 2 c) Suponieno que u = 3, resulta y = cosec uctgu u = 3 cosec 3 ctg 3 ) Aplicano la regla e la caena el proucto e os funciones, se tiene y = e 2 ( cosec 2 )+(ctg )(e 2 )(2) = e 2 (cosec 2 +2ctg ) 6
4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Escuela Colombiana e Ingeniería 4.. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Derivaa e y La erivaa e y se puee obtener como: y + Lim 0 Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente
Más detallesDEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe
DERIVADA DEFINICION DE DERIVADA Sea una función efinia en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite eiste Dicho límite, cuano eiste, se llama DERIVADA e f
Más detallesCALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería 5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ( ) f ( x) = a Enunciado. x h x. x h.
Escela Colombiana e Ingeniería.. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aplicano la efinición e la erivaa se tiene: f a Ennciao. + f + f a a f ' Lim Lim Aplicano la efinición e la erivaa. 0 0 a a a a ( a f
Más detalles2.5 Derivación implícita
SECCIÓN.5 Derivación implícita 4.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. E X P L O R A C I Ó N Representación gráfica
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS x = x - x y2 = f(x2) y = y - y y = f(x )
Faculta e Contauría Aministración. UNAM Derivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta,
Más detalles2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 119 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar
Más detalles( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )
Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.
Más detalles4. Mecánica en la Medicina Derivar e Integrar
4. Mecánica en la Meicina Derivar e Integrar Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto e Ciencias Físicas y Matemáticas, Universia Austral, Valivia, Chile 17.04.2011 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática
Más detalles3 DERIVADAS ALGEBRAICAS
DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS Entiénase la erivaa como la peniente e la recta tangente a la función en un punto ao, lo anterior implica que la función ebe eistir en ese punto para poer trazar
Más detallesLA DERIVADA POR FÓRMULAS
CAPÍTULO LA DERIVADA POR FÓRMULAS. FÓRMULAS Obtener la erivaa e cualquier función por alguno e los os métoos vistos anteriormente, el e tabulaciones y el e incrementos, resulta una tarea muy engorrosa,
Más detallesTema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación
Matemáticas º Bacillerato CCNN Tema 6: Derivaas, Técnicas e Derivación.- Introucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una unción en un punto..- Derivaas Laterales...- Interpretación geométrica e la
Más detallesINSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS
INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponen a los espacios acaémicos en los que el estuiante el Politécnico Los Alpes puee profunizar y reforzar sus conocimientos en iferentes temas e cara al eamen
Más detallesInformación importante
Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT01) 1 er Semestre e 010 Semana 1: Lunes 07 viernes 11 e Junio Información importante Durante esta semana se publicarán las notas el Certamen en
Más detalles3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN
.. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La erivaa y ' f ' es la primera erivaa e y con respecto a, pero igualmente es posible realizar la erivaa e la erivaa, y y '' f ''. Lo que se conoce como la seguna erivaa e
Más detallesRegla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x.
74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees
Más detallesDERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
Universia Metropolitana Dpto. e Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI0) Proesora Aia Montezuma Revisión: Proesora Ana María Roríguez Semestre 08-09A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS
Más detallesFUNCIONES IMPLÍCITAS. y= e tanx cos x. ln x. y= x x CAPÍTULO 10. 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)
CAPÍTULO 10 FUNCIONES IMPLÍCITAS 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 3) En el curso e Precálculo el 4º semestre se vieron iferentes clasificaciones e las funciones, entre ellas las funciones eplícitas
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CAPÍTULO 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, y ) Las funciones trascenentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letras que lo
Más detallesDERIVADAS (1) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Sol: Sol: Sol: Sol: Derivada de una función potencial: Forma simple
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos
Más detalles(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)
Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesEjercicios de derivadas e integrales
Ejercicios e erivaas e integrales Este material puee escargarse ese http://wwwuves/~montes/biologia/matceropf Departament Estaística i Investigació Operativa Universitat e València Derivaas Reglas e erivación
Más detallesColegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial COLEGIO SAN PATRICIO - 0 - Prof. Celia R. Sánchez MATEMÁTICA - TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 AÑO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA - ECUACIONES POTENCIACIÓN: Ejercicio
Más detallesReglas de derivación (continuación)
Derivaas Reglas e erivación Suma [f() + g()] = f () + g () Proucto Cociente [kf()] = kf () [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() Regla e la caena {f[g()]} = f [g()]g () {f(g[h()])}
Más detallesLa regla de la constante. DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(x) c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso de límite, se deduce que.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la
Más detalles2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 119.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar la erivaa
Más detalles4. CÁLCULO INTEGRAL...71
Inice. FUNCIONES..... NATURALEZA Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÀTICA..... PRINCIPALES TIPOS DE FUNCIONES...9.. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.... LÍMITES..... LÌMITE DE UNA FUNCIÒN..... PROPIEDADES DE LOS
Más detallesECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación
Más detalles, pero lím. 1 x3 1. (x 1) x(x + 1) = x = x 1 1 x 3 = que es una forma indeterminada. (x + 2) (1 + x + x 2 ) = 3
Ana María Albornoz R. Ejercicios resueltos. Calcular los siguientes ites algebraicos + + 5 + + + 0 0 + pero + 0 0 0, pero 0 + + + 4 que es una forma indeterminada. Pero + + + + + + + + + + + + + + + +
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detalles1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
CAPÍTULO 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 7. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una fnción eponencial es aqella en la qe la variable está en el eponente. Ejemplos e fnciones eponenciales son
Más detallesLogaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1)
Logaritmo Natural Si n 6= ya sabemos que R x t n t = n+ xn+ + C, con C una constante. De nición. La regla e corresponencia ln(x) = Z x t t = Z x I e ne una función con ominio D ln = (0; ): A esta función
Más detallesRazones trigonométricas
Medida de ángulos Ejercicio nº.- a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 0 70 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad 6,5 rad Ejercicio nº.- Completa la siguiente tabla: Ejercicio nº.- a) Epresaen grados
Más detallesTEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial
TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detalles0ºK= -273ºC (inicio de la escala absoluta de temperatura)
LÍMITE: muchos fenómenos de la naturaleza tienen un punto límite, que no es posible traspasar con los conocimientos actuales. uno de estos puntos es el cero absoluto de la temperatura. 0ºK= -273ºC (inicio
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1. FUNCIONES EXPONENCIALES. Una función se llama eponencial si es de la forma y = a, donde la base a es un número real cualquiera
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesMatemática II Clase Nº 14-15
LA DERIVADA La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa con las funciones, permite resolver numerosos problemas de Geometría, Economía, Física otras disciplinas. En matemáticas,
Más detallesTEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IES IGNACIO ALDECOA 19 TEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Medida de ángulos. Equivalencias. Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
Más detalles7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Más detallesLa siguiente tabla presenta las medidas en radianes y en grados de varios ángulos frecuentes, junto con los valores de seno, coseno, y tangente.
Solución. En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante: En el tercer cuadrante: En el cuarto cuadrante: cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan
Más detallesReglas de derivación
CAPÍTULO 6 Reglas e erivación 6. Regla e la caena En las reglas básicas e erivación se aplican fórmulas apropiaas para calcular las erivaas e las funciones f C g (suma), f g (iferencia), fg (proucto) y
Más detalles9 Funciones elementales
Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(
Más detallesDERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:
Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesmatemáticas 4º ESO exponenciales y logaritmos
coleio martín códa departamento de matemáticas matemáticas º ESO eponenciales logaritmos eponenciales una eponencial es cualquier epresión de la forma: a donde a (que se denomina base) es un número distinto
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello
Más detallesDERIVADAS (1) Derivada de una constante. LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Derivada de una función potencial: Forma simple.
DERIVADAS (1) Derivada de una constante f ( ) K K F ( ) 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº 1) nº ) nº 3) nº 4) nº 5) nº 6) Derivada de una función potencial: Forma simple r f ( ) r f ( ) r. r 1
Más detallesUCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)
PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato UCLM - Pruebas e Acceso a Enseñanzas Universitarias Oiciales e Grao (PAEG) Matemáticas aplicaas a las Ciencias Sociales II Junio
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 7 INTRODUCCIÓN El propósito e este tema es introucir a los alumnos en la terminología básica e las Ecuaciones Diferenciales eaminar brevemente como se
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas
Álgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detalles= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
Más detallesTema 7.0. Repaso de números reales y de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números
Más detallesDerivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente
Más detallesAnálisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 4: Derivadas. Primer cuatrimestre de 2009
Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 2009 Práctica 4: Derivadas Notaciones: Dada una función f : R R, un punto a R y un número R que llamaremos incremento en, se define
Más detalles48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU
48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS LOGARITMOS
LOGARITMOS Introducción El empleo de los logaritmos es de gran utilidad para entender muchos de los desarrollos que se analizan en la Matemática, y para explicar una variedad muy extensa de problemas que
Más detallesVELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.
VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)
Más detallesFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Unia os Geometría Trigonometría 8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es ecir con cocientes e
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas
Más detalles= + = 1+ Cuarta relación fundamental
1.- Determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, relacionándolos con algunos ángulos notables (0º, 0º,, 60º, 90º, 180º, 70º, 60º), indicando en qué cuadrante se encuentran: a) 40º b)
Más detallesMateria: Matemáticas de 4to año. Tema: Logaritmos naturales y base 10. Marco Teórico
Materia: Matemáticas de 4to año Tema: Logaritmos naturales y base 10 Marco Teórico Aunque una función de registro puede tener cualquier número positivo como base, en realidad sólo hay dos bases que se
Más detallesLogaritmos. MaTEX. Logaritmos. Logaritmos. Proyecto MaTEX. Tabla de Contenido. Directorio. Fco Javier González Ortiz
Directorio Tabla e Contenio Inicio rtículo Proyecto Fco Javier González Ortiz MTEMTICS º achillerato c 2004 gonzaleof@unican.es 3 e junio e 2004 Versin.00. Introucción Tabla e Contenio 2. Logaritmo e un
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detalles(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial se refiere a la determinación
Más detallesFunciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Más detallesFunciones Exponenciales y Logarítmicas
Funciones Exponenciales y Logarítmicas 0.1 Funciones exponenciales Comencemos por analizar la función f definida por f(x) = x. Enumerando coordenadas de varios puntos racionales, esto es de la forma m,
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detallesUNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.
UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades
Más detallesFunción logarítmica (parte 1)
Semana 2 2 Empecemos! Esta semana estudiaremos los logaritmos y sus propiedades más importantes. Discutiremos acerca del concepto de logaritmo y varias formas de calcularlo, además de buscar la solución
Más detalles1. Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones.
. Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones. a) + ; b) + 9 + 6 + ; c) + + ; d) = + + ; e) + = 0; f) 5 < + ; g) + > ; h) < < ; i) + < ; j) + ; b) < ó c) 05 9 05 9 ó < ó > 0
Más detallesAPLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II
APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0
Más detallesCálculo de derivadas
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa
Más detallesIntroducción a Ecuaciones Diferenciales
Introducción a Ecuaciones Diferenciales Temas Ecuaciones diferenciales que se resuelven directamente aplicando integración. Problemas con condiciones iniciales y soluciones particulares. Problemas aplicados.
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Ingeniería en Sistemas de Información 01 FUNCIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS La función eponencial FUNCIONES EXPONENCIALES La función eponencial es de la forma, siendo a un número real positivo. El dominio
Más detallesXXII OLIMPIADA NACIONAL DE FÍSICA Guadalajara, Jal de noviembre de 2011 Prueba teórica
XXII OLIMPI NIONL E FÍSI Guaalajara, Jal. 0-4 e noviembre e 011 Prueba teórica 1. PROLEM olisión e pieras (8 puntos) Una piera esférica se eja caer ese un eificio alto e altura h (ese la calle) al tiempo
Más detalles1. Funciones y sus gráficas
FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detalleslím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 =
LÍMITES LECCIÓN 7 Índice: Cálculo de ites en un punto. Epresión indeterminada L/0. Epresión indeterminada 0/0. Algunos ites de funciones irracionales. Otras técnicas básicas para el cálculo de ites. Problemas..-
Más detallesElectromagnetismo Pedagogía en Física R. Lagos. PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS RESUELTOS. Un capacitor e lleno e aire está compuesto e os placas paralela, caa una con un área e 7 6 [ 2 ], separaas por una istancia e,8 [mm]. Si se aplica una iferencia e potencial e 20 [V]
Más detallesANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS
ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El
Más detalles4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved.
4.3 Función Logarítmica Copyright Cengage Learning. All rights reserved. Función Logarítmica La función que es inversa de la exponencial f (x) = b x es la función logarítmica. Introducimos el vocabulario
Más detallesRazones trigonométricas DE un ángulo agudo de un triángulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Calcula razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Demuestra identidades trigonométricas elementales Demuestra identidades
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES
UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 1. Crecimiento exponencial. La función exponencial. 1.1 La Función Exponencial. Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:,,. Donde es una constante
Más detallesLímites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim
Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim
Más detallesÁreas entre curvas. Ejercicios resueltos
Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detalles