4. CÁLCULO INTEGRAL...71

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1 Inice. FUNCIONES..... NATURALEZA Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÀTICA..... PRINCIPALES TIPOS DE FUNCIONES APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.... LÍMITES..... LÌMITE DE UNA FUNCIÒN..... PROPIEDADES DE LOS LÌMITES LÍMITES AL INFINITO PROPIEDADES DE LOS LÌMITES AL INFINITO APLICACIONES DE LOS LÌMITES.... DERIVADAS..... DERIVADA DE UNA FUNCIÒN PROCESO DE LOS CUATRO PASOS PARA DETERMINAR LA DERIVADA USO E IRTEPRTETACIÒN DE LA DERIVADA REGLAS PARA DETERMINAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SEGUNDA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICACIONES DE LA DERIVADA...6. CÁLCULO INTEGRAL ANTIDERIVADAS INTEGRAL INDEFINIDA REGLAS DE INTEGRACIÒN INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÒN INTEGRACIÒN POR PARTES INTEGRAL DEFINIDA INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÒN INTEGRACIÓN POR PARTES APLICACIÓN DE LA INTEGRAL ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER GRADO CONCEPTO DE ECUACIÓN DIFERENCIAL SOLUCIONES GENERAL Y PARTICULAR ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES...89

2 . FUNCIONES OBJETIVOS Entener y eplicar el concepto e función Distinguir y emplear la simbología e funciones Calcular el valor funcional e una función Ientificar la clasificación e las funciones Aplicar en forma aecuaa el álgebra e funciones C O N T E N I D O :. Naturaleza y efinición e función. Principales tipos e funciones. Aplicación e funciones

3 I. FUNCIONES.. Naturaleza y efinición e función matemàtica El concepto e función es una e las ieas funamentales en matemáticas. Cualquier estuio en el que se utilicen las matemáticas para ar solución a problemas prácticos o que se requiera el análisis e atos empíricos emplea este concepto matemático. La función es una iea e que una cantia epeniente o está eterminaa por otra. Por ejemplo: El área e un círculo epene e la longitu e su raio, si se conoce la longitu el raio, poemos eterminar el área El costo e proucir cualquier artículo epene el número e artículos proucios por mes. Función Definición Una función f es una regla e corresponencia que asocia a caa elemento el conjunto llamao ominio, con un sólo elemento f() e un seguno conjunto (con uno y sólo uno) llamao rango ó contraominio e la función. Una función consta e tres partes: Un conjunto A llamao ominio e la función. Un conjunto B llamao contraominio e la función. Una regla e corresponencia f que asocia a too elemento e A, uno y sólo un elemento el conjunto B. La regla ebe tener las siguientes propieaes. Ningún elemento el ominio puee quear sin elemento asociao en el contraominio. Ningún elemento el ominio puee tener más e un elemento asociao en el contraominio. Esto no ecluye que varios elementos el ominio tengan al mismo elemento asociao en el contraominio. Jagish C. Arya/Robin W. Larner, Matemáticas aplicaas a la aministración y a la economía,tercera eición,prentice Hall,Méico, p.6.

4 Si tenemos los conjuntos A y B y la regla e corresponencia se cumple con las propieaes señalaas, entonces la terna (A, B, f) es una función cuya notación es: f : A B Se lee f va e A hacia B otra forma es: f y se lee f e Se emplean por lo regular las letras f, g o h para simbolizar una función. Si es un elemento e A, entonces el elemento e B asociao a por meio e la regla e corresponencia se epresa como f() y se le llama la imagen e bajo f. La regla e corresponencia e un función puee estar aa por un iagrama, una ecuación, una tabla e valores y una gráfica. Diagrama. El iagrama se construye formano os óvalos y unieno estos con una flecha que parte el primer óvalo hacia el seguno (irección e izquiera a erecha). En el primer óvalo en su interior se anotan los valores e entraa e la función (ominio), en el seguno se anotan los valores e salia e la función (contraominio), se une con una flecha el valor e entraa con el valor e salia como se muestra en la figura.. Figura.. Diagrama e la regla e corresponencia e un función 7 La imagen e es 7 8 La imagen e es La imagen e 5 es La imagen e 6 es

5 Ecuación. En este caso se requiere plantear una ecuación con os incógnitas como la que se muestra a continuación: - y + = 0. Como primer paso se espeja a la variable epeniente (y), y = +. A la epresión anterior la presentamos en forma e función f ( ), en one la función ( f ) es el conjunto e toas las parejas orenaas (, y) tales que y y satisfacen a la ecuación y + = 0, y se enota como: f = {(, y) / y = + } En el ominio e la función están toos los posibles valores que toma la variable inepeniente () también los valores etremos y en el contraominio e la función se encuentran toos los valores posibles que pueen asignarse por el ominio y regla e transformación a la variable epeniente (y). Ejemplo: Sea la función f cuya regla es f ( ) El ominio es: {-, -, -, 0,,, }, Los valores etremos son: - y El contraominio es {, 6, 7,, 7, 6, } y está eterminao por el ominio y la regla e transformación. Una función que va e los reales a los reales se epresa con la notación: f : R R Los valores etremos en este caso no están eterminaos (no eisten) en el ominio, porque éste contiene a toos los números reales, el contraominio está formao por toos los números reales y la regla e corresponencia está aa por una ecuación. En los casos en que no se inica o se especifica el ominio e la función, entonces se ebe e entener que el ominio incluye a toos los números reales (o también llamao ominio natural).

6 Ejemplo e funciones: Si f ( ) El ominio son toos los reales f { R} y el contraominio también esta formao por toos los números reales. Para este tipo e funciones polinomiales el ominio siempre será el conjunto e los números R. Sí f ( ) Solución: f ( ) operación no et erminaa 0 El ominio son toos los reales ecepto el, ya que la ivisión entre cero no está eterminaa, f { R / }. El contraominio está formao por toos los números reales positivos ecepto el cero, D = {y R + / (0 < < )} Para este tipo e funciones racionales el ominio siempre será el conjunto e los números reales ecepto los que hacen cero el enominaor e la función.. Si f ( ) 5 Solución: El subraical se epresa e la siguiente forma: 5 + 0, El signo ebe ser, porque no eisten raíces cuaraas e números negativos. Se espeja el valor e e la inecuación El ominio e F { R / / 5} 5 Para este tipo e función con raical y el ínice par, el ominio siempre será formao por toos los números que hagan al subraical igual o mayor a cero.

7 Casos en el que una epresión no cumple con ser una función: La epresión y > no efine una función puesto que hay muchos valores e y para caa valor e. La epresión = y no efine una función puesto que hay os valores e y para caa valor positivo e. + y = 9 no efine una función, porque para caa valor positivo e hay os e y. Tabla e valores Se selecciona primero la epresión que se va analizar, posteriormente se construye una tabla la cual ebe e incluir a la variable inepeniente () y la variable epeniente (y) Dentro e esta tabla se anotan los valores que va a tomar la variable inepeniente (valores e entraa) y se registran toos los valores que toma la variable epeniente (valores e salia). Ejemplo: Sea la función f ( ) Solución: Utilizano la tabulación, se registran los valores que toma para encontrar los valores e y (también se registran en la tabla). Los puntos etremos el ominio son y Tabla.. Tabulación e la función f ( ) Dominio y Contraominio Gráfica Para trazar la gráfica e una función es necesario tomar un conjunto e pares orenaos (,y) e números reales (puntos), y estos puntos se trazan en el plano cartesiano ano como resultao una gráfica e puntos, al unir toos los puntos con una línea recta representa la gráfica e la función en estuio. Es importante aclarar que se pueen unir los puntos con una línea recta si la variable es continua.

8 Figura.. Gráfica e la función f ( ) f() = Valor funcional e una función. El valor funcional e una función se refiere a asignar valores a la variable o que la variable tome valores, para eterminar el valor e f(). Ejemplo: Sea f() = encontrar el valor funcional para los siguientes casos: si = f() = () () = 6-8 = 8 si = + h f( + h) = ( + h) (+h) = 6 + 8h + h 8 h = 8 + 6h + h Si g() = ( ) + encontrar el valor funcional para los siguientes casos: si g() = ( ) + = () + = 5 si g(-) = (--) + = (-) + = -6 + = -60 si g(c) = (c ) +

9 Ejercicios. Cuáles e las siguientes epresiones eterminan una función f con fórmula f()? Para los que lo hagan, etermina f(). Despeja la variable y en términos e (una y única para caa ). + y = y + y + = = (y + ) / = y / (y +) Para g(u) = encuentra el valor funcional para caa uno e los siguientes casos y llevarlos u hasta su mínima epresión. g() g( + h) g(+h) g() (g(+h) g ())/h Encuentra el ominio natural ( f : R R ) f() = ( + ) / g() = ( 9) / f(t) = ( - t )/(t t 6).. Principales tipos e funciones Las funciones se clasifican en algebraicas y trascenentes De las funciones algebraicas estacan las lineales, polinomiales (en particular la cuarática), las racionales y las raicales De las funciones trascenentes estacan la eponencial y la logarítmica a). Función lineal e la forma: A + By + C = 0 con A 0 y B 0, (A, B, C son constantes) Es la ecuación general e la línea recta y su representación gráfica es una línea recta. En particular f() = a + b es una función e primer grao o función lineal. Cuano se epresa en la forma y = m + b se le llama a la ecuación peniente-orenaa al origen. m representa la peniente, b es el punto one corta al eje e las orenaas (y).

10 La peniente se puee calcular si se conocen os puntos por one pase la recta P (,y ) y P (,y ) entonces: y m y Conocieno la peniente y un punto se puee encontrar la ecuación e la línea recta con la ecuación punto-peniente: y y y y ( ) Casos especiales e funciones lineales Función constante: f() = k, Done k es una constante (número real). Su gráfica es una línea horizontal, con peniente m = 0 f() f() = 0 X

11 Función ientia: f() =. Su gráfica es una recta que pasa por el origen e los ejes coorenaas, con peniente m =. f() 0 f() = X A partir e éstas funciones simples se pueen construir muchas e las funciones importantes en cálculo. Función polinomial: cualquier función que puea obtenerse a partir e la función constante y e la función ientia meiante las operaciones e aición, sustracción y multiplicación se llama función polinomial, es ecir f es e la forma: f() = a n n + a n- n a + a 0 En one los valores e a n, a n-,... a 0 son constantes (números reales) y a n 0. n es un entero no negativo y también inica el grao e la función polinomial. Como un caso importante e la función polinomial estaca la función cuarática e la forma: A + B + Cy +D = 0 con A 0 y C 0 Es la ecuación general e seguno grao su representación grafica es una parábola. La ecuación e una parábola es: y a b c Para realizar la gráfica son necesarios tres pasos: ). Para eterminar hacia one abre la parábola, es necesario conocer cual es el signo el coeficiente e..). Si es positivo la parábola abre hacia arriba, a > 0..). Si el signo es negativo la parábola abre hacia abajo, a < 0. ). El vértice e la parábola, es el punto máimo o mínimo e la parábola, se encuentra utilizano las siguientes epresiones:

12 V b a vértice en ; ac b Vy a vértice en y ). La parábola siempre corta el eje e las orenaas, para eterminar en one lo corta se realizan los siguientes pasos:.). Hacer = 0.) Sustituir éste en la ecuación: y = a(0) + b(0) + c = c, entonces la parábola corta el eje e las orenaas en el punto (0,c).

13 Ejemplo: Y = + La parábola abre hacia arriba porque a = > 0. El vértice se encuentra en el punto (-, -). La parábola corta los ejes en los puntos (0, 0) y (-, 0). Función racional: los cocientes e funciones polinomiales se llaman funciones racionales, por lo tanto, f es una función racional si tiene la forma: g( ) f ( ) h( ) an b n n n a b n n n n... a a... b b 0 0 Ejemplo: f ( ) Cuano los valores son granes e, positivos o negativos, los valores e y son pequeños. Para valores e cercanos a, los valores e y son muy granes, positivos o negativos. Cuano toma el valor e cuatro no eiste valor e salia (valor funcional) para y. Función Raíz Una función raíz cuaraa e, se representa como: f ( ) esta función tiene como ominio toos los números positivos 0 Tabla e valores X 0 Y 0..7 Gráfica e la función y Y 0

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15 Funciones trascenentes. Función eponencial: La función eponencial se epresa como: f() = b ; si b > 0 y b en one: b es la base e una función eponencial. es el eponente e la función eponencial El ominio esta formao por toos los números reales D f = { R}

16 Ejemplo:. f() = f() = f() = (/) f() = ( / ) X X

17 Propieaes e la función eponencial Si a > 0, b > 0 y, y elementos e los reales (R) entonces: Teorema y.. a a a a y a.. y a b y.... a a y a a a b b a b y.5. Teorema. Si a, a a cuano cuano 0 0. Si a, a a,, cuano cuano 0 0 Las leyes e los eponentes facilitan los cálculos e estas funciones. También entro e esta función se efine la función eponencial natural que tiene como base el número e y es e la forma: y = e PROBLEMAS PROPUESTOS Ejemplo: Se invierten pesos a un interés compuesto el % anual, calcular El monto espués e os años, si la capitalización es trimestral. i M C n 0. M 5000 M pesos nt ()()

18 . Una máquina se eprecia con el uso, al transcurso e los años la ecuación que representa esta epreciación es la siguiente: D( t) 8000e 0.05 t a). Encontrar el valor e esecho espués e 0 años. Solución: D( t) 8000e 0.05(0) D( t(,68. pesos b). Cuál era el valor original e la máquina. Solución: Para t 0 D(0) 8000e D(0) (0) Función logarítmica La función logarítmica: S i b > 0 y b 0, entonces: y = l o g b s i y s ó l o s i = b y ; > 0 con el ominio e la función D f = { R + }. y = log b se lee logaritmo e base b e igual a y Los cálculos en funciones logarítmicas se facilitan con las leyes e los logaritmos. Dentro e esta función se efine la función logaritmo natural que tiene como base al número e y es e la forma: y = ln

19 y Y = ln X 5 X Propieaes e los logaritmos Logaritmos comunes o e base 0 (briggs), se enotan como log, la base 0 no se escribe. El logaritmo natural (neperiano) e base e (e =.78888) se enota como: ln. LOGARITMO Epresión Nombre Logaritmo e la base loga a log loga Cambio e base log a Log (a b) = log a + log b log a b log a log b Proucto Cociente loga n n log a Potencia n log a log a n Raíz Estas propieaes se cumplen para logaritmos con cualquier base. n n Nota: log a log alog a n

20 Ejemplo: Se cuenta un capital e 000 pesos invertios a un interés compuesto anual el %. En cuánto tiempo se triplica el capital? Solución: M C i. log t log. 0 t t 8 años log t log t aplicano log en ambos laos y simplificano : log 0 t por la propiea el logaritmo Problemas propuestos. Clasifica caa una e las siguientes funciones: Función f() = / + f() = + - f() = g() = h() = ( + 5) / f() = - g() = log Respuesta raíz racional constante racional racional eponencial logarítmica Aplicaciones e ecuaciones lineales. Un comerciante e ganao compró 000 reses a $50.00 caa una. Venió 00 e ellas obtenieno una ganancia e 5%. A qué precio eberá vener las restantes 600, sí la utilia promeio el lote completo ha e ser el 0%? La ganancia es e: (50) (0.5) = $ 7.50 La ganancia total es e: ($ 7.50) (00) = $5000 Sea el precio e venta e la 600 reses restantes, entonces 50 es la utilia por res, la ganancia por las 600 reses es 600 ( 50 ) La ganancia total por la venta completa es: ( 50 ) La ganancia eberá ser el 0% el precio que pagó por la 000 reses, esto es = 5000, entonces:

21 ( 50) = = = = 00 El comerciante ebe vener las reses restantes a $00.00 caa una para lograr una ganancia el 0%. Una persona va a invertir $ Esta persona esea recibir un ingreso mensual e $5000. Puee invertir sus fonos en bonos el gobierno a un 6% o con un riesgo mayor al 8.5% e los bonos hipotecarios. Cómo eberá invertir su inero e tal moo que minimice los riesgos y obtenga $ 5000? Sea cantia invertia en bonos el gobierno. Sea (70000 ) cantia invertia en bonos hipotecarios. El ingreso percibio por los bonos el gobierno es El ingreso percibio por los bonos hipotecarios es 0.085(70000 ). Entonces: (70000 )= = = La persona eberá invertir $8000 en bonos el gobierno y $ 000 en bonos hipotecarios.

22 ..Aplicaciones e las funciones Lineales Resuelve las siguientes ecuaciones: ( - ) = ( - ) - [-( + )] = ( - 5) 7 Respuestas: X = 7/ 5 X = -0 X = -9/ 7 Un comerciante e autos usaos compra automóviles en $ Vene uno con una ganancia e 0% y el otro perieno 5% y aún obtuvo una ganancia e $ 85 por la transacción completa. Encuentra el costo e caa automóvil. R. $0 000 y $70 000

23 . LÍMITES OBJETIVOS Comprener los conceptos básicos Distinguir y emplear la simbología Calcular la operaciones básicas e los límites Ientificar y aplicar las propieaes algebraicas e los límites Desarrollar el proucto cartesiano y presentarlo gráficamente CONTENIDO:. Límite e una función. Propiea e los límites. Límites al infinito. Propiea e los límites al infinito.5 Aplicación e los límites

24 .. Lìmite e una funciòn Definición Sea f() una función que esta efinia en toos los valores cercanos a, con la ecepción e si mismo. Se ice que L es el límite e f() cuano tiene a a, si la iferencia entre f() y L puee hacerse tan pequeña como se esea, con sólo restringir a estar lo suficientemente cerca e a. Queano entonces representao como: a Ejemplos: Consierano la función f Lím f() = L efinia por la ecuación f ( ) ( )( ) f está efinia para toos los valores e ecepto cuano =. Aemás, si:, el numeraor y el enominaor pueen ser iviios entre ( ) para obtener : f ( ) ; Como se muestra a continuación: toma los valores, 0, 0.5, 0.50, , 0.99, y así sucesivamente. Entonces toma valores caa vez más cercanos a uno pero nunca toma el valor e uno, en otras palabras, la variable se aproima por la izquiera a a través e valores que son números menores muy cercanos a éste. Ahora si analizamos a la variable cuano se aproima por el lao erecho a, a través e valores mayores que éste, esto hace por ejemplo que tome valores e,.75,.50,.5,.0,.0,.00,.000,.0000, y así sucesivamente, pero nunca toma el valor e uno. Acercánonos a por la izquiera: Tabla... X f() = Pero

25 Acercánonos a por la erecha: Tabla... X f () = Pero Se observa en ambas tablas a meia que se aproima caa vez más a, f() también se aproima caa vez a 5 y entre más cerca esté e, más cerca f () a 5, en consecuencia, cuano se aproima a por abajo o por arriba, f()=+ se acerca a 5. Se inica que el límite e f() cuano tiene a es igual a 5, esto se representa así: Encontrar el límite e lím lím (+)=5 ( )( ) lím ( ) 5 Conclusión f() no esta efinia en =, sin embargo lím f() eiste cuano. Encontrar el límite e la función lím 9 Sustituyeno el valor e tres one se encuentra la se tiene: lím () operación no eterminaa conclusión f() no esta efinia en =, sin embargo, escribir como: lím f ( ) eiste, por que la poemos lím ( )( ) lím 6 Por lo tanto, el límite e la función eiste y es igual a 6 ; el punto crítico es: (,6) no pertenece a la gráfica.

26 Tabla... Gráfica... y (, 6 ) 5 6 (no pertenece) 5 Función iscontinua en (, 6 ) DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD lím f ( ) Una función f() es continua en = a si: la función f(a) como el eisten y son a iguales. Analizamos funciones continua y iscontinua con mayor etalle en la sección..

27 .. Propieaes e los lìmites Las propieaes básicas e las operaciones con límites e una función son: Sean f y g os funciones tales que lím f() = L y lím g() = M, si los os límites eisten a a Entonces:. lím a k f ( ) k lím f ( ) kl a... lím a lím a lím a f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M a a f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M a a f ( ) g ( ) lím f ( ) lím g( ) L M, M 0 a a 5. lím a n a n Si k es una constante lím k k a 7. Si m, b, y c son tres constantes, entonces lím c ( m + b ) = mc + b De acuero al análisis e las propieaes e límites se porá observar que el valor límite e una función se puee obtener con la simple sustitución el valor e límite e en la función aa. Este métoo e sustitución siempre nos lleva a una respuesta correcta si la función es continua en el límite que se ésta evaluano. Toos los polinomios son funciones continuas y cualquier función racional es continua, ecepto en los puntos en que el enominaor se hace cero, ano como resultao el cálculo e un límite que la operación no este eterminaa y se concluye que el límite no eiste ( 0 / 0 ó una constante ivia entre cero /0).

28 Ejemplos:. Calcular el límite e la siguiente función, cuano ) ( f hacieno = - en la fórmula vália para f ( ), tenemos erminaa esta no operación la f et 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( Factorizano lím ) ( ) )( ( ) )( ( f lím entonces ) ( :. Determine lím Racionalizano se tiene: lím )( ( )( ( ) )( (. Determine 5 5 lím 5 (5) 5 5 lím 5 5 lím Ejercicios propuestos

29 .. lím R. t R t t t lím.. lím t Cero R t t 6. : R lím 7.. lím Cero R

30 .. Límites al infinito. Determine lím lím. Lím 5 R 5. lím ( 6) 8 ( ) R.. Propieaes e los lìmites al infinito. Si k es una constante entonces y. Si n es un número natural par entonces y. Si n es un número natural impar entonces y. Si m es un número natural par entonces 5. Si m es un número natural impar entonces y

31 6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario entonces y siempre que k esté efinio..5. Aplicaciones e los lìmites Límites e funciones continuas y iscontinuas Se efine función continua como aquella, cuya gráfica es una curva que es continua, la cual no tiene huecos (vacíos) o que este segmentaa. Se ice que una función es continua para un valor en = a, si cumple con: a. f(a) esta efinia b. lím a f ( ) eiste c. lím f ( ) f ( a) a Para que un límite eista la función ebe aproimarse al mismo punto = a por ambos laos Ejemplos:. La función f() = es continua en =? a. f() = está efinia b. lím ()() 9 c. Valor funcional f () () lím 9 f () 9 9 Es continua para =. ( ) f es continua en =? a. b. f ( ) está efinia

32 lím c. f ( ) lím lím f ( ) f ( a) = Es continua en = Función Discontinua Cuano no se cumplen las coniciones e continuia e una función, a ésta se le llama Discontinua. Ejemplos:. a. 5 ( ) f es iscontinua para =? 5 ( ) f es iscontinua para = b. 5 lím 5 0 no eiste el limite c. 5 5 f ( ) 0 La función es iscontinua en =. = la operación no esta efinia

33 . a. b. f ( ) es continua en = 0? f ( ) es iscontinua en = 0? lím no eiste el límite 0 c. f ( 0) 0 no esta efinia la operación La función es iscontinua en = 0, pero la función es continua en 0. Una función f() es continua en un intervalo abierto a < < b, si es continua en caa el intervalo. En un intervalo cerrao a b si f() es continua en el intervalo abierto a < < b y f() se aproima a f(a) a meia que se acerca al valor e a por la erecha (para a < ) y f() se aproima a f(b) a meia que tiene al valor b por la izquiera (para < b).

34 . DERIVADAS OBJETIVOS Comprener la interpretación geométrica e la erivaa Calcular erivaas e funciones por los métoos e la primera y seguna erivaa Ientificar y aplicar las propieaes e las erivaas Ientificar los valores máimos y mínimos e funciones Desarrollar aplicaciones e la erivaa CONTENIDO:. Derivaa e una función.. Proceso e los cuatro pasos para eterminar la erivaa.. Uso e interpretación e la erivaa.. Reglas para eterminar la erivaa e una funciòn.5. Seguna erivaa.6. Máimos y mìnimos.7 Aplicaciones con la primera erivaa

35 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. El cálculo iferencial estuia el cambio que le ocurre a una variable cuano eisten variaciones en otra variable e la cual epene la variable original. Los investigaores el área económica-aministrativa se interesan por las razones e cambio promeio e instantáneo y están particularmente interesaos en las tasas marginales e cambio, tales como: el costo marginal, el ingreso marginal, la utilia marginal, el proucto marginal, toos los cuales se mien utilizano matemáticamente la erivaa. Para llegar a un concepto claro e erivaa, esta sección efine lo que se conoce como cambio o incremento e una variable. DEFINICIÓN DE INCREMENTO DE UNA VARIABLE. Sea y = f() una función, con y, un par e valores en el ominio e f, e tal forma que f( ) = y y f( ) = y, entonces: El cambio en el valor e al pasar e a, ao por, se enomina incremento e y se representa por, one =.

36 El cambio en el valor e Y al pasar e y a y, ao por y y, se enomina incremento e y, se representa por Y, one: Y = Y Y = f(x ) - f(x ) TASA DE CAMBIO. Para entener el comportamiento geométrico e la erivaa, se efine la tasa e cambio e una Y función f(), entre y +, al cociente X Muchos e los problemas importantes el cálculo epenen e encontrar la recta tangente a una curva aa en un punto especifico e la curva. Si la curva es una circunferencia, sabemos e la geometría plana que la recta tangente en un punto P e la circunferencia se efine como la recta que intersecta a la circunferencia únicamente en el punto P. Esta efinición no es suficiente para cualquier curva en general. Por ejemplo, en la gráfica... en one la línea es la recta tangente a la curva en el punto P, la cual intersecta a la curva en el punto P. Gráfica.. Y P X Para llegar a una efinición aecuaa e la recta tangente a la grafica e la función, se comienza por consierar como se efiniría la peniente e la recta tangente en un punto, si conocemos la peniente e una recta y un punto sobre la misma, la recta está eterminaa. (punto- peniente). Sea la función f, continua en. Se efine la peniente e la recta tangente a la gráfica e la función f en P (, f( )). Sea Q (, f( )) otro punto sobre la gráfica e la función f. Figura..

37 f() Q (X,f(X )) f( )-f( )= y (X,f(X )) P X X X Cualquier recta que pase por os puntos e una curva se llama secante; por lo tanto, la recta a través e P y Q es una recta secante. En la figura.. está a la erecha e P. Sin embargo Q puee estar ya sea a la erecha o a la izquiera e P. Denotemos la iferencia e las abscisas e Q y P por tal que: = puee ser positivo o negativo. La peniente e la recta secante PQ está efinia por: M pq = f( ) f( ) Ya que X = X +, poemos escribir la ecuación anterior como: M pq = f ( + ) f ( ) X Ahora el punto P está fijo, si movemos el punto Q a lo largo e la curva hacia P; entonces Q se aproima a P. Esto es equivalente a establecer que tiene a cero. Como esto sucee, la recta secante gira sobre el punto fijo P. Si esta recta secante tiene un punto límite, a esta posición límite, común e la recta secante se le efine como la recta tangente a la curva en P. Así se querría que la peniente e la recta tangente a la gráfica en P sea el límite e M pq cuano se aproima a cero, y el límite eiste. Esto conuce a la siguiente efinición: PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE La peniente e la recta tangente en la gráfica e la función f en el punto P (, f()) esta aa por:

38 m ( ) lím 0 f ( ) f ( ) si el límite eiste. El límite que mie la peniente e la recta tangente a la gráfica e Y = f() en el punto P (, f()) recibe el nombre especial e erivaa e f en... Derivaa e una funciòn La erivaa e una función f con respecto e es la función f (que se lee f prima e ), efinia por: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) Done el ominio e f es el conjunto e toas las one eiste límite... Proceso e los cuatro pasos para eterminar la erivaa La operación e calcular la erivaa e una función se enomina iferenciación. Si la erivaa e una función eiste en un punto a, se ice que f es iferenciable en este punto. EJEMPLO: Encontrar la peniente e la recta tangente a la curva Y= + en el punto (,y ) Si: f() = +, entonces: f( ) = + y f ( +) = ( + ) - ( +) + e la efinición (i) tenemos: m( ) lím 0 f ( ) f ( ) lím 0 (( ) ( ) ) ( ) lím 0

39 lím 0 Ya que 0 poemos factorizar en el numeraor ( ) lím 0 En one: Por sustitución: m( ) lím 0 m ( ) = Nota: Cuano se obtiene como resultao el cálculo e un límite 0 / 0 o constante / 0, se concluye que el límite no eiste. Problemas propuestos Calcular el límite e la siguiente función f() = ( + + ) / (-), cuano - Calcular la erivaa aplicano límites f() = R. Calcular la erivaa aplicano límites f() = / R. / Calcular la erivaa aplicano límites f() = + R. Calcular la erivaa aplicano límites f() = - R. -.. Uso e irteprtetaciòn e la erivaa Al utilizar la efinición aa anteriormente para calcular la erivaa e algunas funciones no siempre es sencillo, lleva tiempo y cuiao; por ello, es necesario conocer reglas que faciliten este proceimiento. Estas reglas forman lo que se enomina el álgebra e erivaas. La notación representa un sólo símbolo y no eberá interpretarse como el cociente e las cantiaes e y y, y inica la erivaa y con respecto a si y es una función e la variable inepeniente, la erivaa también se enota por las siguientes representaciones: f ( y),, y', Dy, Df, ( f ). y.. Reglas para eterminar la erivaa e una función. Derivaa e una constante es igual acero, si: y = c

40 y ( c) 0 Ejemplos: a. ( 6) 0 b. ( b) 0 Problemas:. (8). ( b ) R. 0 R. 0. Derivaa e una variable es igual a uno, si: y = y ( ) Ejemplos: t a. ( t) r b (r) Problemas: y (m m. ( y). ) R. R.

41 . La erivaa e la potencia n-ésima e una variable es el proucto el eponente n y la potencia el eponente n- e la variable, si: y= n y ( Ejemplos: n ) n n a. ( ) b. ( 8 ) Problemas:. ( ) R.. ( 5 ) R Derivaa el proucto e una constante y una función. Si: y =cu en one u= f(). y ( cu) c Ejemplos: u a. ( 0) 0 ( ) 0 b. 8 ( ) ( ) Problemas:. ( ) R.. (6 ) R. 8 /

42 5. Derivaa e la suma e un número infinito e funciones. Si: Y = u + v en one u = f() y v = g() y ( u) ( v) Ejemplos: a. ( ) ( ) ( ) () ( ) 0 6 b. ( 6 0) ( ) 6 ( ) ( 0) Problemas:. ( ) R. 7. (6 7 ) R. 8 / Derivaa el proucto e os funciones. ( uv) u ( v) v ( u) Ejemplo: a. f() = ( +)(+) Sea: u=( +) y v=(+) 7 5 ( uv) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 b. f ( ) Sea: u y v = + f () =

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