UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN AUTOR: M. F. ALBERTO DE LA ROSA ELIZALDE MATEMÁTICAS II (CÁLCULO DIFERENCIAL) Clave: 66 Plan: 005 Créditos: 8 Licenciatura: Informática Semestre: Área: Matemáticas Asesoría: h. Requisitos: Ninguno Por semana: h. Tipo de asignatura: Obligatoria () Optativa ( ) Objetivo general de la asignatura Al término del curso, el alumno reunirá habilidades en el manejo del cálculo diferencial e integral para aplicarlo en la interpretación, planeación y resolución de problemas y modelos matemáticos típicos de la informática. Temario oficial (6 horas sugeridas). Funciones 8 h.. Límite 0 h.. Derivada h.. Integral h. 5. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado 0 h. 6. Prácticas en laboratorio de informática 0 h.

2 Introducción El objetivo de los presentes apuntes de Matemáticas II es lograr que el estudiante conozca de una manera cercana los conocimientos más importantes del cálculo diferencial, como son los conceptos función, dominio y rango; y de esta manera poder elaborar software más eficiente y, por otro lado, aportar los conocimientos básicos que se estudian en el cálculo diferencial e integral, además de poder considerarlos como la base de apoyo para otras materias, que por sus características es necesario saber algunos conceptos y procedimientos para optimizar las labores cotidianas. Se ha tratado de eponer todos los temas de la asignatura de una manera clara y sencilla, utilizando un lenguaje simple para que el estudiante encuentre interés en el campo del cálculo diferencial e integral. En el primer tema se verán los conceptos y diferentes tipos de funciones y problemas prácticos. En el segundo tema se verá el concepto de límite, así como los diferentes tipos y técnicas para resolverlos. En el tercer tema se verá el concepto de la derivada y los diferentes tipos de derivada, y su aplicación a los problemas de la vida real. En el cuarto tema se verá el concepto de la integral definida e indefinida, así como los diferentes tipos de integrales y su aplicación a los problemas de la vida real. En el quinto tema se eplicará el concepto de una ecuación diferencial ordinaria de primer grado así como los diferentes tipos eistentes y su aplicación a los problemas que se presentan en la vida real.

3 TEMA. FUNCIONES Objetivo Particular Al terminar este tema, el estudiante identificará cuándo se debe utilizar una función para la solución de un problema, así como hacer los cálculos respectivos para obtener cada concepto. Deberá utilizar las herramientas necesarias para el cálculo de problemas con álgebra que ayuden al empresario a un mejor manejo de sus actividades cotidianas. Temario detallado.. Naturaleza y definición de función matemática... Naturaleza... Función.. Principales tipos de funciones... Función lineal y su representación geométrica... Función cuadrática y su representación geométrica... Función polinomial y su representación geométrica... Función eponencial y su representación geométrica..5. Función logarítmica y su representación geométrica.. Aplicaciones de las funciones Introducción En la presente unidad se muestran los conceptos de función, dominio, contradominio y rango, los cuales son necesarios para abordar las unidades subsecuentes. También se muestran algunos tipos de funciones así como aplicaciones de las funciones.

4 . Naturaleza y definición de función matemática.. Naturaleza El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Cualquier estudio en el que se utilicen las matemáticas para dar solución a problemas prácticos o en el que se requiera el análisis de datos empíricos se emplea este concepto matemático. La función es una cantidad dependiente que está determinada por otra.... Función Una función f() es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento del dominio con un solo elemento f() de un segundo conjunto (con uno y sólo uno) llamado rango o contra dominio de la función, es decir, si es diferente de entonces f() es diferente de f(). Una función consta de tres partes:. Un conjunto A llamado dominio de la función.. Un conjunto B llamado contra dominio de la función.. Una regla de correspondencia f que asocia a todo elemento de A, uno y sólo un elemento del conjunto B. La regla debe tener las siguientes propiedades:. Ningún elemento del dominio puede quedar sin elemento asociado en el contra dominio.

5 . Ningún elemento del dominio puede tener más de un elemento asociado en el contra dominio. Esto no ecluye que varios elementos del dominio tengan al mismo algún elemento asociado en el contra dominio. Si tenemos los conjuntos A y B, y la regla de correspondencia se cumple con las propiedades señaladas, entonces, la terna (A, B, f) es una función cuya notación es: otra forma es: ( ) f : A B Se lee f va de A hacia B f y se lee f de Se emplean por lo regular las letras f(), g() o h() para simbolizar una función. Si () es un elemento de A, entonces el elemento de B asociado a () por medio de la regla de correspondencia se epresa como f() y se le llama la imagen de () bajo (f). La regla de correspondencia de una función puede estar dada por un diagrama, una ecuación, una tabla de valores y una gráfica. Diagrama El diagrama se construye formando dos óvalos y uniendo estos con una flecha que parte del primer óvalo hacia el segundo (dirección de izquierda a derecha). En el interior del primer óvalo se anotan los valores de entrada de la función (dominio), en el segundo se anotan los valores de salida de la función (contra dominio), se une con una flecha el valor de entrada con el valor de salida como se muestra en la siguiente figura: 5

6 La imagen de es 7 La imagen de es 9 La imagen de 5 es 8 La imagen de 6 es Dominio Contra dominio Figura. Diagrama de la regla de correspondencia de una función Ecuación En este caso se requiere plantear una ecuación con dos incógnitas como la que se muestra a continuación: - y + 0. Como primer paso se despeja la variable dependiente (y), y +. A la epresión anterior la presentamos en forma de función f ( ) +, en donde la función ( f ) es el conjunto de todas las parejas ordenadas (, y) tales que y y satisfacen a la ecuación y + 0, y se denota como: f {(, y) / y + } En el dominio de la función, están todos los posibles valores que toma la variable independiente () y los valores etremos; en el contra dominio de la función se encuentran todos los valores posibles que pueden asignarse por el dominio y regla de transformación a la variable dependiente (y). Ejemplo: 6

7 Sea la función ( ) f cuya regla es f ( ) + El dominio es: {-, -, -, 0,,, }, Los valores etremos son: - y El contra dominio es {, 6, 7,, 7, 6, } y está determinado por el dominio y la regla de transformación. Una función que va de los reales a los reales se epresa con la notación: f : R R Los valores etremos en este caso no están determinados (no eisten) en el dominio, porque éste contiene todos los números reales, el contra dominio está formado por todos los números R y la regla de correspondencia está dada por una ecuación. En los casos en que no se indica o se especifica el dominio de la función, entonces, se debe entender que el dominio incluye todos los números reales (o también llamado dominio natural). Ejemplo de funciones:. Si f ( ) + + El dominio es todos los números reales R f { R} y el contra dominio también está formado por todos los R. Para este tipo de funciones polinomiales el dominio siempre será el conjunto de los números reales R.. Sí f ( ) Solución: f ( ) operación no det erminada 0 El dominio son todos los reales ecepto el, ya que la división entre cero no está determinada, f { R / }. 7

8 El contra dominio está formado por todos los números reales positivos ecepto el cero, D {y R + / (0 < < )} Para este tipo de funciones racionales el dominio siempre será el conjunto de los números reales ecepto los que hacen cero el denominador de la función.. Si f ( ) 5 + Solución: El subradical se epresa de la siguiente forma: 5 + 0, El signo debe ser, porque no eisten raíces cuadradas de números negativos. Se despeja el valor de de la inecuación El dominio de F { R / / 5} 5 Para este tipo de función con radical y el índice par, el dominio siempre será formado por todos los números que hagan al subradical igual o mayor a cero. Casos en el que una epresión no cumple con ser una función: a. La epresión y > no define una función puesto que hay muchos valores de y para cada valor de. b. La epresión y no define una función puesto que hay dos valores de y para cada valor positivo de. c. + y 9 no define una función, porque para cada valor positivo de () hay dos de (y). 8

9 Tabla de valores Primero se selecciona la epresión que se va analizar, posteriormente se construye una tabla que debe incluir la variable independiente () y la variable dependiente (y) dentro de esta tabla se anotan los valores que va a tomar la variable independiente (valores de entrada) y se registran todos los valores que toma la variable dependiente (valores de salida). Ejemplo: Sea la función f ( ) + Solución: Utilizando la tabulación, se registran los valores que toma () para encontrar los valores de y (también se registran en la tabla). Los puntos etremos del dominio son y Dominio y Contra dominio Tabla. Tabulación de la función f ( ) +.. Principales tipos de funciones Función lineal y su representación geométrica Una función lineal tiene la forma: A + By + C 0 con A 0 y B 0, (A, B, C son constantes) Es la ecuación general de la línea recta y su representación gráfica es una línea recta. 9

10 En particular f() a + b es una función de primer grado o función lineal. Cuando se epresa en la forma y m + b se le llama a la ecuación pendiente-ordenada al origen. (m) representa la pendiente, (b) es el punto donde corta al eje de las ordenadas (y). La pendiente se puede calcular si se conocen dos puntos por donde pase la recta P (,y ) y P (,y ), entonces: m y y Conociendo la pendiente y un punto se puede encontrar la ecuación de la línea recta con la ecuación punto-pendiente: y y y y ( ).. Función cuadrática y su representación geométrica La función cuadrática tiene la forma: A + B + C 0 con A 0 Es la ecuación general de segundo grado, su representación grafica es una parábola. La ecuación de una parábola es: y a + b + c Para realizar la gráfica son necesarios tres pasos: ) Para determinar hacia dónde abre la parábola, es necesario conocer cuál es el signo del coeficiente de...) Si es positivo, la parábola abre hacia arriba, a > 0...) Si el signo es negativo, la parábola abre hacia abajo, a < 0. 0

11 ) El vértice de la parábola es el punto máimo o mínimo de la parábola, se encuentra utilizando las siguientes epresiones: V b a vértice en ; Vy ac b a vértice en y ) La parábola siempre corta el eje de las ordenadas, para determinar en dónde lo corta se realizan los siguientes pasos:..) Hacer 0..) Sustituir éste en la ecuación: y a(0) + b(0) + c c, entonces la parábola corta el eje de las ordenadas en el punto (0,c). Ejemplo: Y + La parábola abre hacia arriba porque a > 0. El vértice se encuentra en el punto (-, -). La parábola corta los ejes en los puntos (0, 0) y (-, 0)... Función polinomial y su representación geométrica Cualquier función que pueda obtenerse a partir de la función constante y de la función identidad mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación se llama función polinomial, es decir f es de la forma: f() a n n + a n- n a + a 0 En donde los valores de a n, a n-,... a 0 son constantes (números reales) y a n 0. n es un entero no negativo y también indica el grado de la función polinomial.... Función eponencial y su representación geométrica La función eponencial se epresa como:

12 f() b ; si b > 0 y b en donde: b es la base de una función eponencial. es el eponente de la función eponencial. El dominio está formado por todos los números reales D f {R} Ejemplo:. f() f() Figura. Función eponencial de base. f() (/) f() ( / ) X X Figura. Función eponencial de base /

13 Propiedades de la función eponencial Si a > 0, b > 0 y (), (y) elementos de los reales (R) entonces: Teorema y.. ( a a a ) y y.. a a a b a b a y.. a y a a a.5. b b + y.. ( ) Teorema. Si a >, a a > < cuando cuando > 0 < 0. Si a <, a a <, >, cuando cuando > 0 < 0 Las leyes de los eponentes facilitan los cálculos de estas funciones. También dentro de esta función se define la función eponencial natural que tiene como base el número (e) y es de la forma: y e..5 Función logarítmica y su representación geométrica La función logarítmica: Si b > 0 y b 0, entonces: y log b s i y sólo si b y ; > 0 Con el dominio de la función D f {R + }. y log b se lee logaritmo de base (b) de () igual a (y)

14 Los cálculos en funciones logarítmicas se facilitan con las leyes de los logaritmos. Dentro de esta función se define la función logaritmo natural que tiene como base al número (e) y es de la forma: y ln y Y ln X 5 X Figura.5 Función logarítmica Propiedades de los logaritmos Los logaritmos comunes o de base 0 (Briggs) se denotan como log, la base 0 no se escribe. El logaritmo natural (neperiano) de base e (e.78888) se denota como: ln. LOGARITMO Epresión Nombre log a a Logaritmo de la base log log a loga Cambio de base Log (a b) log a + log b Producto log ( a b) loga logb Cociente log a n n loga Potencia n log a loga n Raíz Estas propiedades se cumplen para logaritmos con cualquier base. n log a n loga n log Nota: ( ) a

15 .. Aplicaciones de las funciones Ejemplo de funciones lineales Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $50 y los costos fijos son de $ 0000 al día, si vende cada reloj a $00, cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio? Solución: Sea () el número de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir () relojes es y c costos variables + costos fijos Dado que cada reloj se vende a $00, el ingreso (I) obtenido por vender () relojes es I 00 El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir: Obtenemos que ó 00. Se deben de producir y vender al día 00 relojes para garantizar que no haya ni utilidades ni pérdidas. Punto de equilibrio de mercado La demanda para los bienes producidos por una industria está dada por la ecuación p + 69, en donde (p) es el precio y () es la cantidad de demanda. La oferta está dada por p + 7 Cuál es el precio y la cantidad del punto de equilibrio? Solución: 5

16 El precio y la cantidad del punto de equilibrio son los valores positivos de (p) y () que satisfacen a la vez las ecuaciones de la oferta y la demanda. p + 69 () p + 7 () Sustituyendo el valor de (p) de la ecuación () en la ecuación () y simplificando: ( + 7) Factorizando encontramos que: ( + )( 5) 0 Lo cual da - ó 5. El valor negativo de es inadmisible, de modo que 5 es el correcto. Sustituyendo 5 en la ecuación (), se tiene: P En consecuencia el precio de equilibrio es y la cantidad de equilibrio es 5. Modelo de costo lineal El costo de procesar un kilo de granos de café es de $0.50 y los costos fijos por día son de $00. a). Encuentra la ecuación de costo lineal y dibuja su gráfica. b). Determina el costo de procesar 000 kilos de granos de café en un día. Solución: Si y c representa el costo de procesar () kilos de granos de café por día, entonces se emplea la siguiente epresión: Modelo lineal Costo total costo variable total + costos fijos y c m + b () 6

17 La ecuación () es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable por unidad y cuyo costo fijo es la ordenada al origen. En este caso m $0.50 y b $ 00, por tanto: y c () Para dibujar la gráfica primero encontramos dos puntos sobre ella. Haciendo 0 en la ecuación (), tenemos que y 00, haciendo 00 en la ecuación (), tenemos que y c 0.5(00) De modo que dos puntos que satisfacen la ecuación () de costo son (0,00) y (00,00). Graficando estos puntos y uniéndolos mediante una línea recta, obtendremos la gráfica que aparece en la gráfica... b) Sustituyendo 000 en la ecuación (), obtendremos y c 0.5(000) En consecuencia el costo de procesar l000 kilogramos de café al día será de $800. y c Gráfica.. Modelo de costo lineal El costo de fabricar 0 máquinas de escribir al día es de $5000, mientras que cuesta $60000 producir 0 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total y c de producir () máquinas de escribir al día y dibuje su gráfica. 7

18 Solución: Se nos dan los puntos (0,5000) y (0,60000) que están sobre la gráfica del modelo lineal, la pendiente de la línea que une estos dos puntos es: m Empleando la fórmula de punto-pendiente: y y ( ) m yc ( 0) y c X 0 y c Tabla.. La gráfica de la ecuación () no es una línea recta continua porque () no puede tomar valores fraccionarios al representar el número de máquinas de escribir producidas. La variable () sólo puede tomar valores enteros 0,,,,... y c (máquinas) Gráfica.. 8

19 5. Depreciación Lineal Una empresa compra maquinaria por $50 000; se espera que la vida útil de la maquinaria sea de años con valor de desecho de cero. Determina la cantidad de depreciación por año y una fórmula para el valor depreciado después de () años. Solución: Tasa de depreciación (por año) (Valor inicial - Valor de desecho) (vida útil en años) Depreciación por año (precio de adquisición inicial) (vida útil en años) $ años $ 500 Valor después de años (valor inicial) (depreciación por año)(número de años) y $ ($ 500 por año)( años) y $ Y (Valor $) (años) Gráfica..5 9

20 6. Demanda Un comerciante puede vender 0 paquetes de rastrillos al día al precio de $5 cada uno, pero puede vender 0 si les fija un precio de $0 a cada paquete. Determinar la ecuación de demanda. Solución: y la cantidad de demanda el precio p por unidad 0, p 5 y 0, p 0 La pendiente de la línea recta de demanda es: m La ecuación de la demanda se encuentra a partir de la ecuación general de la línea recta y y m ( ) si m -0.5 p 5-0.5(-0) la ecuación de demanda es: p P ($) (paquetes) Gráfica..5 0

21 7. Interés El licenciado Álvarez cuenta con un capital de $ Parte de este dinero lo invierte en una cuenta de ahorro que le paga el 8% de interés simple y el dinero restante lo invierte en un negocio que produce el % de interés simple. Qué cantidad debe invertir en cada caso para obtener una ganancia del % sobre su dinero después de un año? Solución: Sea () la cantidad invertida en la cuenta de ahorros al 8% y $5 000 la cantidad de dinero invertido en el negocio al %. El interés obtenido por la cuenta bancaria es: I Cnt (0.08)() 0.08 () El interés obtenido por la inversión en el negocio es: I Cnt (5000 )(0.)() 0.(5000 ) () El interés recibido por las dos al % (el total) es: I 0. (5000) () Sumando la ecuación y e igualando el resultado de estas con la ecuación se tiene: ( ) 0.(5000) () Despejando La interpretación de este resultado es el siguiente: en la cuenta de ahorros se depositan $8750. De la ecuación tenemos: Despejando 650 La interpretación de este resultado es: La inversión en el negocio es de $6 50.

22 Conclusión Considerando un mundo dinámico y lleno de tecnología es importante que el licenciado en informática tenga un buen conocimiento del concepto de función, porque de ello depende poder crear software, que necesita ser validado mediante los conocimientos desarrollados en la presente unidad. Tales como: el concepto de función matemática y algunas de las funciones más utilizadas en la vida real, requeridas para el cálculo de punto de equilibrio, depreciación y otras aplicaciones útiles para nuestros días. Bibliografía del tema Apostol T., Calculus, vol. I, ª ed., Barcelona, Reverter, 98, 8 pp. Weber, Jean E., Matemáticas para Administración y Economía, (ª ed.), Méico, Harla, 987, 689 pp. Actividades de aprendizaje A... Resuelve dos ejercicios del er y º libro de la bibliografía. A... Resuelve al menos 0 ejercicios bajándolos de la red de Internet de páginas en español. A... Investiga en Internet al menos cinco páginas de Internet que contengan ejemplos de aplicación, e indique su dirección. A... Resolver los ejercicios pares de las páginas y del libro LEITHOLD, L. Cálculo para ciencias administrativas, biológicas y sociales, Méico, Alfaomega, 00, 67 páginas. Cuestionario de autoevaluación. Define el concepto de función.

23 . Define el concepto de dominio.. Define el concepto de rango.. Da un ejemplo de función cuadrática. 5. Da un ejemplo de función eponencial. 6. Da un ejemplo de una función polinómica y define su contra dominio. 7. Define una función cuadrática y de su dominio y rango. 8. Define una función eponencial y Define su dominio y rango. 9. Define las propiedades de la función logarítmica. 0 Define las propiedades de la función eponencial. Eamen de autoevaluación. La ecuación de la oferta es p 0.0q +, donde p es el precio por unidad y q representa el número de unidades producidas y vendidas, y la ecuación de demanda es p q +. Entonces el punto de equilibrio es: a) p, q 00 b) p 7, q 00 c) p, q 00 d) p, q,000 e) p 5, q 00. Al resolver el sistema de ecuaciones: + y + y Se obtiene: a) solución única, y b) solución única, y 0 c) No tiene solución. d) No se puede saber. e) Infinidad de soluciones.. Al resolver el sistema de ecuaciones: + y + y Se obtiene: a) solución única, y b) solución única, y 0 c) No tiene solución.

24 d) No se puede saber. e) Infinidad de soluciones.. Un fabricante vende un producto a $8 por unidad, y vende todo lo que fabrica. Los costos fijos son de $5,000 y los costos variables por unidad de dólares. 9 Determinar la producción q y los ingresos totales I, en el punto de equilibrio: a) q 9,000, I 7,000 b) q 90, I 70 c) q 900, I 7,00 d) q 7,00, I 900 e) No eiste punto de equilibrio. 5. En el problema anterior la cantidad de producción requerida para obtener utilidades de $0,000 es: a) 900 b) 9000 c) 70 d),700 e) 7, Al resolver el sistema de ecuaciones con dos incógnitas: Se obtiene: a) No tiene solución. b) No se puede saber. c) Infinidad de soluciones. d) Solución única con e) Solución única con 7. Un fabricante está en equilibrio (no obtiene ni pérdidas ni utilidades) con un volumen de ventas de $00,000. Los costos fijos son de $0,000 y cada unidad se vende en $5, entonces el costo variable por unidad es: a) $ b) $ c) $6

25 d) $0 e) $0 8. Una compañía fabrica calculadoras y tiene dos plantas, ubicadas en el D.F. y en Guadalajara. En la planta D.F., los costos fijos son de $70,000 al mes y el costo de fabricar cada calculadora es $ En la planta Guadalajara, los costos fijos son de $88,000 mensuales y se requieren $60.00 para fabricar cada unidad. En el siguiente mes, la compañía debe fabricar,500 calculadoras. Cuántas deben fabricarse en cada planta para que sean iguales los costos totales? (Plantear q Número de calculadoras en D.F. y q Número de calculadoras en Guadalajara). a) q 600, q 900 b) q 900, q 600 c) q 500, q 000 d) q 000, q 500 e) q 800, q Una compañía paga a sus vendedores con base en cierto porcentaje de los primeros $00,000 de ventas, más otro porcentaje sobre el ecedente de los $00,000 de ventas. Si un vendedor ganó $8,500 en ventas de $75,000 y otro vendedor, $,800 en ventas de $80,000. Entonces los dos porcentajes X Porcentaje de los primeros $00,000 y X Porcentaje sobre ecedente de $00,000 están entre los valores: a) 5 X 7, 5 X 7 b) X, X 5 c).5 X.5, X 5 d) X, 5 X 7 e).5 X.5, 5 X 7 0. El precio promedio de compra de dos acciones en el último año, así como la ganancia estimada para el siguiente año (momento de venta) son: Emisora Precio Compra Ganancia estimada A $5 $.5 B $50 $.5 5

26 La empresa B es más riesgosa, así que se decide destinar 60% de nuestro dinero para A y 0% para B. Cuántas acciones de A y B deben comprarse para tener ganancias por $0,000? Si X # acciones de A y X # acciones de B., entonces X y X están entre: a) 0,000 X,000,,00 X,900 b) 0,000 X,000,,000 X 5,000 c) 5,000 X 7,000,,000 X,000 d) 5,000 X 7,000,,000 X 5,000 e) 5,000 X 7,000, 5,00 X 5,00 6

27 TEMA. LÍMITE Objetivo particular Al terminar la unidad el estudiante identificará cuándo se debe utilizar el límite de una función y sus propiedades para la solución de un problema. Deberá utilizar las herramientas necesarias para el cálculo de problemas con funciones que ayuden al empresario a un mejor manejo de sus actividades cotidianas. Temario detallado.. Límite de una función.. Propiedades de los límites.. Límites al infinito.. Propiedades de los límites al infinito.5. Aplicaciones de los límites Introducción En la presente unidad se muestran el concepto de límite así como sus propiedades. También se muestran las diferentes metodologías para resolver los límites y definir si estos tienen límite o no... Límite de una función Definición Sea f() una función que está definida en todos los valores cercanos a (a), con la ecepción de sí mismo. Se dice que L es el límite de f() cuando () tiende a (a), si la diferencia entre f() y (L) puede hacerse tan pequeña como se desee, con sólo restringir () a estar lo suficientemente cerca de (a). Quedando entonces representado como: 7

28 Lím f() L a Ejemplos:. Considerando la función (f) definida por la ecuación f ( ) ( + )( ) (f) está definida para todos los valores de () ecepto cuando. Además, si, el numerador y el denominador pueden ser divididos entre ( ) para obtener : f ( ) + ; Como se muestra a continuación: toma los valores, 0, 0.5, 0.50, , 0.99, y así sucesivamente. Entonces () toma valores cada vez más cercanos a, pero () nunca toma el valor de, en otras palabras, la variable () se aproima por la izquierda a a través de valores que son números menores muy cercanos a éste. Ahora si analizamos a la variable () cuando se aproima por el lado derecho a, a través de valores mayores que éste, esto hace, por ejemplo, que () tome valores de,.75,.50,.5,.0,.0,.00,.000,.0000, y así sucesivamente, pero nunca toma el valor de. Acercándonos a por la izquierda: f() Tabla. Límite por la izquierda Pero Acercándonos a por la derecha: X f () Tabla. Límite por la derecha 8

29 Pero Se observa en ambas tablas a medida que () se aproima cada vez más a, f() también se aproima cada vez a 5 y entre más cerca esté () de, más cerca f () a 5, en consecuencia, cuando () se aproima a por la izquierda o por la derecha, f()+ se acerca a 5. Se indica que el límite de f() cuando () tiende a es igual a 5, esto se representa así: lím (+)5 Encontrar el límite de lím ( + )( ) ( ) lím 5 Conclusión f() no está definida en, sin embargo, lím f() eiste cuando. EJERCICIO. Encontrar el límite de la función lím 9 Sustituyendo el valor de tres, donde se encuentra la (), se tiene: lím () operación no det erminada Conclusión f() no está definida en, sin embargo, la podemos escribir como: lím f ( ) eiste porque 9

30 lím ( + )( ) lím Una función f() es continua en a si la función f(a) como el eisten y son iguales. lím a f ( ).. Propiedades de los límites Las propiedades básicas de las operaciones con límites de una función son: Sean (f) y (g) dos funciones tales que lím f() L y lím g() M, si los dos límites eisten a a Entonces:. lím k [ f ( ) ] a a k lím f ( ) kl... lím a lím a lím a f ( ) ± g( ) lím f ( ) ± lím g( ) L ± M a a f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M a a f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M, M 0 a a 5. lím a n a n 6. Si k es una constante lím k a k 7. Si m, b, y c son tres constantes, entonces lím ( m + b ) mc + b c De acuerdo con el análisis de las propiedades de límites se podrá observar que el valor límite de una función se puede obtener con la simple sustitución del valor de 0

31 límite de () en la función dada. Este método de sustitución siempre nos lleva a una respuesta correcta, si la función es continua en el límite que se está evaluando. Todos los polinomios son funciones continuas y cualquier función racional es continua, ecepto en los puntos en que el denominador se hace cero, dando como resultado del cálculo de un límite que la operación no esté determinada y se concluye que el límite no eiste ( 0 / 0 ó una constante divida entre cero d /0). Ejemplos:. Calcular el límite de la siguiente función, cuando f ( ) + + Haciendo - en la fórmula válida para f (), tenemos f ( ) + ( ) + ) ( ) ( Factorizando 0 0 la operación no esta det erminada + + ( + )( + ) + + lím ( )( + ) ( ) entonces : lím f ( ). Determine lím

32 Racionalizando se tiene: ( )( lím ( )( + ) + ) ( )( + ) + +. Determine lím 5 5 ( 5 5) ( 5 5) lím lím (5) 5. Límites al infinito En ocasiones eisten límites que su solución no se puede obtener directamente y en este caso la utilización de la metodología de límites al infinito es una técnica que consiste en transcribir el límite en términos de / en lugar del término, de esta forma se logra que el término / cuando tiende al infinito, el límite tiende a cero. Una propiedad de un límite al infinito es la siguiente: lím 0 Determine lím lím

33 .. Propiedades de los límites al infinito A continuación se mencionarán las propiedades de los límites al infinito: lím 0 lím 0 Si se tienen dos polinomios g()a n n + a n- n- +.+ a y h()c n n + c n- n- +.+ c, entonces el siguiente límite cuando tiende a infinito es: g( ) lím h( ) Una importante propiedad es que los polinomios en el límite se reducen al término con un mayor eponente, es decir: an lím cn n n a c Ejemplo. lím lim.5. Aplicaciones de los límites Funciones continuas Para poder resolver problemas de la vida real muchas veces se acude a funciones matemáticas, las cuales deben ser capaces de dar un valor para la función de cada uno de los valores de, y a lo largo de su trayecto.

34 Se define función continua como aquella cuya gráfica es una curva continua, la cual no tiene huecos (vacíos) ni está segmentada. Se dice que una función es continua para un valor en a, si cumple con: a. f(a) está definida lím b. a f ( ) eiste c. lím f ( ) f ( a) a Para que en un límite eista la función debe aproimarse al mismo punto a por ambos lados Ejemplos:. La función f() es continua en? a. f() está definida b. lím ()() 9 c. Valor funcional f () () lím 9 f () 9 9 Es continua para. + f ( ) es continua en? + f ( ) a. está definida

35 + lím b. c. + lím lím f ( ) f ( a) Es continua en Función discontinua Cuando no se cumplen las condiciones de continuidad de una función, a ésta se le llama discontinua. Ejemplos: 5 f ( ). es discontinua para? 5 a. f ( ) es discontinua para b. lím no eiste el limite c. 5 5 f ( ) la operación no está definida 0 La función es discontinua en. 5

36 f ( ). es continua en 0? a. f ( ) es discontinua en 0? b. lím 0 no eiste el límite c. f ( 0) no esta definida la operación 0 La función es discontinua en 0, pero la función es continua en 0. Una función f() es continua en un intervalo abierto a < < b, si es continua en cada del intervalo. En un intervalo cerrado a b si f() es continua en el intervalo abierto a < < b y f() se aproima a f(a) a medida que () se acerca al valor de (a) por la derecha (para a < ) y f() se aproima a f(b) a medida que () tiende al valor (b) por la izquierda (para < b). Bibliografía del tema Apostol T., Calculus, vol. I, ª ed., Barcelona, Reverter, 98, 8 pp. Weber, Jean E., Matemáticas para Administración y Economía, ª ed., Méico, Harla, 987, 689 pp. Actividades de aprendizaje A... Resuelve dos ejercicios del er y º libro de la bibliografía. A... Resuelve al menos 0 ejercicios bajándolos de la red de Internet de páginas en español. A... Investiga en Internet al menos cinco páginas de Internet que contengan ejemplos de aplicación de las determinantes, e indique su dirección. 6

37 A... Resolver los ejercicios pares de las páginas a la del libro LEITHOLD, L. Cálculo para ciencias administrativas, biológicas y sociales, Méico, Alfaomega, 00, 67 páginas. Cuestionario de autoevaluación. Define el concepto de límite.. Define el concepto de límite por la izquierda.. Define el concepto de límite por la derecha.. De un ejemplo de función cuadrática y calcule su límite. 5. De un ejemplo de un límite por la izquierda. 6. De un ejemplo de un límite por la derecha. 7. Define una función y diga si es continua. 8. Define una función y diga si su rango es continuo. 9. Define las propiedades de la continuidad. 0. Define en qué casos una función no es continua atizando sus propiedades. Eamen de autoevaluación. Encontrar: límite de (X - 7) / (X ) cuando X. a. b. c. d. e. 7. Encontrar: límite de X / (- 7X + ) cuando X. a. /7 b. 7 c. /7 d. 7/ 7

38 e. 7. Encuentre el límite de la función definida por la epresión f() ( + - ) / ( -) cuando () tiende a. a. b. 5 c..5 d. 6 e Encuentre el límite de la función definida por la epresión f() ( + - )/( -) cuando () tiende a. a. - b. - c. 0 d. e. 5. Determine el límite de la función f() - + cuando () tiende a infinito.. a. 0 b. c. - d. e. infinito 6. Calcular el límite de la función f() ( -6 +9)/(+5) cuando () tiende a infinito: a. 0 b. c. -6 d. 9 8

39 e. infinito 7. Calcular el límite de la función f() (+6)/(5-7 +9) cuando () tiende a infinito: a. -7 b. 0 c. d. 5 e. infinito 8. Calcular el límite de la función f() ( )/( - ) cuando () tiende a infinito a. b. c. cero d. infinito e Calcular el límite de f() (5t + 7)/ t cuando tiende a a. b..5 c. d..5 e Encontrar la solución de la función (+)(+)/(+) cuando () tiende a - a. b. c. - d. 0 e. - 9

40 TEMA. DERIVADA Objetivo Particular Al terminar la unidad, el estudiante comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial, aplicará las herramientas correspondientes para encontrar la derivada de distintas funciones. Podrá resolver problemas de la vida real aplicando la técnica de optimización con máimos o mínimos, que permitan resolver problemas en una empresa cualquiera. Temario detallado.. Derivada de una función.. Proceso de cuatro pasos para determinar una derivada.. Uso e interpretación de la derivada.. Reglas para determinar la derivada de una función.5. Segunda derivada.6. Máimos y mínimos.7. Aplicaciones de la derivada Introducción En la presente unidad se muestra el concepto de derivada así como sus propiedades. De igual manera se muestra el método de los cuatro pasos que es la base para la obtención de las fórmulas de las diferentes derivadas. Y por último la aplicación de máimos, mínimos y puntos de infleión para la solución de problemas que permiten optimizar los recursos de todo tipo... Derivada de una función Interpretación geométrica de la derivada 0

41 El cálculo diferencial estudia el cambio que le ocurre a una variable cuando eisten variaciones en otra variable de la cual depende la variable original. Los investigadores del área económica-administrativa se interesan por las razones de cambio promedio e instantáneo y están particularmente interesados en las tasas marginales de cambio, tales como: el costo marginal, el ingreso marginal, la utilidad marginal, el producto marginal, todos los cuales se miden utilizando matemáticamente la derivada. Para llegar a un concepto claro de derivada, esta sección define lo que se conoce como cambio o incremento de una variable. Definición de incremento de una variable Sea y f() una función, con y, un par de valores en el dominio de (f), de tal forma que f( ) y y f( ) y, entonces:. El cambio en el valor de al pasar de a, dado por, se denomina incremento de y se representa por, donde.. El cambio en el valor de Y al pasar de y a y, dado por y y, se denomina incremento de y, se representa por Y, donde: Y Y Y f(x ) - f(x ) Tasa de cambio Para entender el comportamiento geométrico de la derivada, se define la tasa de cambio de una función f(), entre y +, al cociente Y X

42 Muchos de los problemas importantes del cálculo dependen de encontrar la recta tangente a una curva dada en un punto específico de la curva. Si la curva es una circunferencia, sabemos de la geometría plana que la recta tangente en un punto P de la circunferencia se define como la recta que intercepta a la circunferencia únicamente en el punto P. Esta definición no es suficiente para cualquier curva en general. Por ejemplo, en la figura.. Donde la línea es la recta tangente a la curva en el punto P, la cual intersecta a la curva en el punto P. Y P X Figura. Recta tangente a la curva en el punto P Para llegar a una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de la función, se comienza por considerar cómo se definiría la pendiente de la recta tangente en un punto, si conocemos la pendiente de una recta y un punto sobre la misma, la recta está determinada (punto-pendiente). Sea la función (f) continua en. Se define la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función (f) en P (, f( )).

43 Sea Q (, f( )) otro punto sobre la gráfica de la función f. f() Q (X,f(X )) y f( )-f( ) (X,f(X )) P X X X Figura. Pendiente de la recta tangente Cualquier recta que pase por dos puntos de una curva se llama secante; por lo tanto, la recta a través de P y Q es una recta secante. En la figura. está a la derecha de P. Sin embargo Q puede estar a la derecha o a la izquierda de P. Denotemos la diferencia de las abscisas de Q y P por tal que: puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta secante PQ está definida por: M pq f( ) f( ) Ya que X X +, podemos escribir la ecuación anterior como:

44 M pq f ( + ) f ( ) X Ahora el punto P está fijo, si movemos el punto Q a lo largo de la curva hacia P; entonces Q se aproima a P. Esto es equivalente a establecer que tiende a cero. Como esto sucede, la recta secante gira sobre el punto fijo P. Si esta recta secante tiene un punto límite, a esta posición límite, común de la recta secante se le define como la recta tangente a la curva en P. Así se querría que la pendiente de la recta tangente a la gráfica en P sea el límite de M pq cuando se aproima a cero, y el límite eiste. Esto conduce al proceso de los cuatro pasos:.. Proceso de cuatro pasos para determinar la derivada Pendiente de una recta tangente La pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función f en el punto P (, f()) está dada por: m( ) lím 0 f ( + ) f ( ) Si el límite eiste. El límite que mide la pendiente de la recta tangente a la gráfica de Y f() en el punto P (, f()) recibe el nombre especial de derivada de (f) en (). La derivada de una función (f) con respecto de () es la función (f) (que se lee f prima de ), definida por: f '( ) lim 0 f ( + ) f ( ) Donde el dominio de f es el conjunto de todas las () donde eiste límite.

45 Diferenciación La operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación. Si la derivada de una función eiste en un punto (a), se dice que (f) es diferenciable en este punto. Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva Y en el punto (, y ) Si: f(), entonces: f( ) y f ( + ) ( + ) de la definición (i) tenemos: Primer paso m( ) lím 0 Segundo paso f ( + ) f ( ) lím 0 ( + ) Tercer paso lím

46 lím 0 + Ya que 0 podemos factorizar en el numerador Cuarto paso ( + lím 0 ) + En donde: m( ) lím( 0 + ) m ( ) Nota: Cuando se obtiene como resultado del cálculo de un límite 0 / 0 ó constante / 0, se concluye que el límite no eiste... Uso e interpretación de la derivada El cálculo diferencial estudia el cambio que le ocurre a una variable cuando eisten variaciones en otra variable de la cual depende la variable original. Los investigadores del área económica-administrativa se interesan por las razones de cambio promedio e instantáneo y están particularmente interesados en las tasas marginales de cambio, tales como: el costo marginal, el ingreso marginal, la utilidad marginal, el producto marginal, todos los cuales se miden utilizando matemáticamente la derivada. Para llegar a un concepto claro de derivada, esta sección define lo que se conoce como cambio o incremento de una variable. 6

47 Definición de incremento de una variable Sea y f() una función, con y, un par de valores en el dominio de (f), de tal forma que f( ) y y f( ) y, entonces: El cambio en el valor de al pasar de a, dado por, se denomina incremento de y se representa por, donde. El cambio en el valor de Y al pasar de y a y, dado por y y, se denomina incremento de Y, se representa por Y, donde: Y Y Y f(x ) - f(x ).. Reglas para determinar la derivada de una función No siempre es sencillo utilizar la definición dada anteriormente para calcular la derivada de algunas funciones, lleva tiempo y cuidado; por ello, es necesario conocer reglas que faciliten este procedimiento. Estas reglas forman lo que se dy denomina el álgebra de derivadas. La notación representa un sólo símbolo d y no deberá interpretarse como el cociente de las cantidades de dy y d, dy indica la derivada dy con respecto a () si Y es una función de la variable d independiente (), la derivada también se denota por las siguientes representaciones: d df d ( y),, y', Dy, Df, ( f ). d d d Las principales derivadas algebraicas:. Derivada de una constante es igual a cero, si: y c dy d d ( c) 0 d 7

48 Ejemplos: a. d ( 6) 0 d b. d ( b) 0 d Problemas: a. d (8) d b. d ( b) d R. 0 R. 0. Derivada de una variable es igual a, si: y dy d d ( ) d Ejemplos: a. b. d dt d dr ( t) (r) Problemas: a. d dy (y) R. d b. (m) dm R. 8

49 . La derivada de la potencia n-ésima de una variable es el producto del dy d eponente (n) y la potencia del eponente n- de la variable, si: yn d d ( n ) n n a. b. d d d d ( ) ( 8 ) Problemas: a. d d ( ) R. b. d d ( 5 ) R Derivada del producto de una constante y una función. Si: y cu en donde u f(). dy d d ( cu) d du c d Ejemplos: a. b. d d d d d ( 0) 0 ( ) 0 d d 8 ( ) ( ) d 9

50 Problemas: a. d d ( ) R. d 8 b. (6 ) R. / d 5. Derivada de la suma de un número infinito de funciones. Si: Y u + v en donde u f() y v g() dy d d d d ( u) + ( v) d Ejemplos: a. d d ( d d d + + ) ( ) + ( ) + () () d d d d d d d b. ( 6 + 0) ( ) 6 ( ) + (0) + d d d d Problemas: a.. d d 7 5 ( ) R. + 7 b.. d d ( ) R. 8 / Derivada del producto de dos funciones. d d d d ( uv) u ( v) + v ( u) d d 50

51 Ejemplo: a. f() (X +)(+) d d Sea: u(+) y v(+) d d ( uv) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + 6 d d b. f ( ) ( + )( + ) Sea: u + y v + + f() ( )( ) ( ) Ejemplo: a. f ( ) 6 d d ( 6 ) d 6 d 6 f ( ) b. + dy 6 08 d + ( + ) Ejemplos: f ( ) + a. ( ) d d ( + ) ( + ) () 6( + ) d d + ( + ) b. f ( ) ( + ) / ( ) / 5

52 Derivadas de las funciones eponenciales y logarítmicas. Derivada de una constante elevada a una función. u Si: f ( ) a en donde u f() es una función derivable con respecto a. dy d d d u ( a ) a u Lna du d Ejemplo: a. f ( ) d d d ( ) Ln() ( ) Ln() d b. f ( ) 0 d 0 d 0 ln0( ) Ejemplo: e f ( ) a. d d e d d d ( e ) e ( ) d e ( ) b. f ( ) 0e + d d 0 d d + ( + ) 0e 5

53 Ejemplos: a. f ( ) log + d d loge d loge loge ( ) + d ( + ) + b. f ( ) log d d ( ) log loge log.5. Segunda derivada Derivadas de las funciones de orden superior En ocasiones es necesario derivar una función una o más veces. Al resultado de dos o más derivadas en forma consecutiva de una función, se le conoce como derivada de orden superior y se representa de la siguiente forma: n d y n d ; f n ( ) ; y n Ejemplo: a. f ( ) + Solución: dy 6 d d y 6 6 d d y 6 d d y 0 d 5

54 Las derivadas de orden superior son también iguales a cero. b. f ( t) t + Solución: dt dy d t dy d t dy t( t ( t + ) + ) t( t + ) 5 Funciones creciente y decreciente Este tipo de funciones es también muy importante pues en la vida real una creciente representará los ingresos y ventas que una empresa desea obtener en el presente y futuro así como las decrecientes los gastos y costos. Función creciente Se dice que la función es creciente en un intervalo (I), si para cualesquiera y dentro del intervalo, < implica que f( ) < f( ). Si la primera derivada de (f) es positiva en todo un intervalo entonces la pendiente será positiva y (f) será una función creciente en el intervalo. Función decreciente Se dice que la función es decreciente en un intervalo (I), si para cualesquiera y dentro del intervalo, < implica que f ( ) > f( ). Si la primera derivada de (f) es negativa en todo un intervalo, entonces la pendiente será negativa y (f) será una función decreciente en el intervalo. Ejemplos: 5

55 . En f ( ) determinar los intervalos en que f puede describirse como: a. Función creciente. b. Función decreciente. c. La función no es creciente ni decreciente. Encontrar la primera derivada: f ( ) f `( ) 0 0 a. (f) será creciente cuando f`()>0 o cuando: 0 0 > 0 0 > 0 > 0 0 > b. (f) será decreciente cuando f`()<0 o cuando: 0 0 < 0 0 < 0 < c. (f) no será creciente ni decreciente cuando f`() 0 o cuando:. En como: f ( ) + 0 a. Función creciente. b. Función decreciente. determinar los intervalos en que f puede describirse c. La función no es creciente ni decreciente. d. Encontrar la primera derivada: 55

56 f ( ) f `( ) + 0 a. f será creciente cuando f`()>0 o cuando: > 0 > > 0 0 / b. f será decreciente cuando f`()<0 o cuando: < 0 < < 0 0 / c. f no será creciente ni decreciente cuando f`() 0 o cuando: 0 0. En f ( ) determinar los intervalos en que (f) puede describirse como: a. Función creciente. b. Función decreciente. c. La función no es creciente ni decreciente. d. Encontrar la primera derivada: f ( ) f `( ) f `( ) ( + ) + 5 a. (f) será creciente cuando f`()>0 y cuando f()< - : > 0 > 0 cuando : < 56

57 b. (f) será decreciente cuando - < f () <0 o cuando: < 0 < 0 cuando : > c. (f) no será creciente ni decreciente cuando f () 0 y cuando f() -: Máimos y mínimos Valores máimos y mínimos utilizando el método de la primera derivada Criterio de la primera derivada para determinar los máimos y mínimos de una función:. Encontrar la primera derivada de la función y factorizarla hasta obtener los factores de primer grado.. Los factores encontrados en el punto anterior se igualan a cero (cada uno) y se resuelve la ecuación hasta obtener sus raíces, que vienen a ser los valores críticos de la variable o abscisa de un máimo o mínimo.. Se realiza un cuadro en el que se toma como base los valores críticos de la variable, se le dan valores menores y mayores, pero vecinos para cada valor crítico de la variable, los cuales se sustituyen en la ecuación importante de la segunda operación, si el cambio de signo es de más (+) a menos (-) hay un máimo, pero si es de menos (-) a más (+) es un mínimo, si no hay cambio de signo entonces se tiene un punto estacionario.. Los valores críticos de la variable se sustituyen en la función, obteniéndose las ordenadas de los máimos y mínimos. 57

58 Los puntos anteriores son utilizados como un procedimiento para localizar los máimos y mínimos que ocurren en los valores de para los cuales f() y f () son continuas. Ejemplos: A.. f ( ) f ``( ) f ``( ) ( ). Valores críticos ( - ) - (-)(-) + 0 Máimo (+)(-) - (+)(-) - Mínimo 5 (+)(+) +. a) Ordenada del máimo f (0) (0) 6(0) + 6 f (0) 6 b) Ordenada del mínimo f () () f () 6 6()

59 5. Punto del máimo P(0,6) Punto del mínimo P(,-6) B.. f ( ) f `( ) ( ). Valores críticos ( - ) - (+)(-) - 0 Punto estacionario No hay signo 0 (+)(-) - Mínimo (+)(+) +. a) Ordenada del máimo f (0) (0) (0) f (0) 0 b) Ordenada del mínimo 59

60 f () () f () () 5. Punto estacionario P(0,0) Punto del mínimo P(,-) C.. f ( ) f `( ) ( ). Valores críticos y -. 6 ( - ) 0 (-) Mínimo (+) - (+) - Máimo 0 (-). a) Ordenada del mínimo f () () f () 6()

61 b) Ordenada del máimo f ( ) ( ) f ( ) 9 6( ) Punto del máimo P(-,9) Punto del mínimo P(,) Resumen. Si la función tiene un máimo relativo o un mínimo relativo en un valor a, para el que la primera derivada es continuo, entonces f `(a) 0, si y sólo si.. Si f `(a) 0 no necesariamente debe de ser un máimo relativo o un mínimo relativo en a, puede ser un punto estacionario con tangencia horizontal, pero f() y f `( ) son continuas en a entonces f `(a) 0.. Las condiciones necesarias para que eista un máimo o un mínimo son: a. f `(a) 0 o bien b. f `(a) no está definida Valores máimos y mínimos utilizando el método de la segunda derivada La segunda derivada se emplea para determinar en dónde una función tiene una concavidad hacia arriba o hacia abajo. La segunda derivada f (a) es la pendiente de la gráfica de f`() en el punto 0. a. La segunda derivada f``(a) de una función y f () es positiva, se afirma que la curva que representa es cóncava hacia arriba y f`() es una función de creciente en a. 6

62 b. La segunda derivada f``(a) de una función y f() es negativa, se afirma que la curva que representa es cóncava hacia abajo (convea) y f`() es una función de decreciente en a. Si una función f() en un valor a para el cual f() y f`() son continuas. a. Geométricamente si f`(a) 0 y f() es cóncava hacia abajo en a, entonces f() tiene un máimo en a. b. Geométricamente si f`(a) 0 y f() es cóncava hacia arriba en a, entonces f() tiene un mínimo en a. Si f() y f`() son continuas en a y f`(a) 0, entonces: Mínimo Máimo La prueba no es aplicable En a, f``(a) > 0 En a, f``(a) < 0 F``(a) 0 Criterio de la segunda derivada para calcular máimos y mínimos.. Obtener la primera derivada y encontrar los factores de primer orden.. Igualar a cero los factores de primer orden y obtener los valores críticos.. Obtener la segunda derivada y sustituir en ellos los valores críticos de la variable y ver si el valor numérico obtenido es positivo ( > 0) eiste un mínimo, si el valor es negativo ( < 0) eiste un máimo, cuando el valor obtenido es cero ( 0), el criterio no se aplica y se tiene que regresar al criterio de la primera derivada. Ejemplos: A. Encontrar los máimos o mínimos y determinar la concavidad.. f ( ) f `( ) 6 f `( ) 6( 6 ) f `( ) 6( + )( )

63 . f `( ) 6 f ``( ) 6 6 Para - f ``( ) ( ) 6 8 Eiste un Máimo. Para f ``( ) () 6 8 Eiste un Mínimo Es cóncava hacia abajo en -. Es cóncava hacia arriba en. B. Determinar la concavidad de la función en el punto -. f ( ) f `( ) + +. f `( ) + f ``( ) 6 Para - f ``( ) 6( ) 6 f ``( ) < 0 Eiste un Máimo. Para f ``( ) 6() Eiste un Mínimo Es cóncava hacia abajo en - Es cóncava hacia arriba en C. Obtener los máimos o mínimos y determinar la concavidad. 6

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