Logaritmos. MaTEX. Logaritmos. Logaritmos. Proyecto MaTEX. Tabla de Contenido. Directorio. Fco Javier González Ortiz

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1 Directorio Tabla e Contenio Inicio rtículo Proyecto Fco Javier González Ortiz MTEMTICS º achillerato c 2004 gonzaleof@unican.es 3 e junio e 2004 Versin.00. Introucción Tabla e Contenio 2. Logaritmo e un número 2.. Propieaes Logaritmo e un proucto Logaritmo e un cociente Logaritmo e una potencia Logaritmo e un raical Ejercicios Cambio e base 3. Ecuaciones logarítmicas 4. Unos cuantos acertijos.. 5. plicaciones 5.. La intensia el sonio Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests MTEMTICS º achillerato

2 Sección : Introucción 3. Introucción En los siglos XVI y XVII se vió la necesia e establecer reglas que permitieran simplificar los laboriosos cálculos que tenían que realizar los astrónomos. La invención e los logaritmos al comienzo el siglo XVII trajo consigo un enorme ahorro e tiempo. John Napier, o Neper en latín, presentó las primeras tablas e logaritmos en 64, aunque por no estar en el sistema ecimal no fueron e utilia; riggs las mejoró presentánolas en forma ecimal. Muchas mejoras se hicieron espués e estas tablas, aunque toas contenían como una parte esencial los logaritmos e las funciones goniométricas, como Neper lo hizo. Los logaritmos fueron empleaos urante muchos años en toas las ciencias, pero la stronomía se benefició e ellos más que ninguna otra. La invención e los orenaores ha llevao consigo aumentar el tiempo e via e los últimos astrónomos al no tener que utilizar tampoco las tablas e logaritmos. Pero ellos, los logaritmos, han hecho posibles muchas investigaciones que, por culpa e su inmenso trabajo computacional, no hubieran sio posibles sin su ayua. MTEMTICS º achillerato Sección 2: Logaritmo e un número 4 2. Logaritmo e un número Definición 2. Se enomina logaritmo en base a > 0 el número a n al exponente n e la base a. Se escribe como a n = n Ejemplo 2.. Veamos algunos ejemplos sencillos: log 2 6 = log = 4 log 4 6 = log = 2 log 6 6 = log 6 6 = log 3 9 = log = 2 log 0 00 = log = 2 log 5 25 = log = 3 Es ecir para hallar el logaritmo e un número en base a expresamos el número como una potencia e la base a. Veamos algunos ejemplos más. Para hallar log 2 4 expresamos como una 4 potencia e 2, 4 = (2) 2 log 2 4 = 2 MTEMTICS º achillerato

3 Sección 2: Logaritmo e un número 5 Para hallar log 3 8 expresamos como una potencia e 3, 8 8 = (3) 4 log 3 8 = 4 Ejemplo 2.2. Hallar el logaritmo e en base a. El logaritmo e es cero en cualquier base. = a 0 = 0 Ejemplo 2.3. Hallar el logaritmo e 0 en base a. El logaritmo e 0 no existe, pues 0 no se puee poner como una potencia e a Ejemplo 2.4. Hallar el valor e log 0 5. Como 5 no sabemos expresarlo como potencia e 0, no poemos hacerlo irectamente. En estos casos acuimos a una calculaora. Con su calculaora o la incorporaa en el orenaor poemos hallarla log 0 5 0,69897 MTEMTICS º achillerato Sección 2: Logaritmo e un número 6 Ejemplo 2.5. Expresa el número 6 como un logaritmo en base 2 Por la efinición 6 = log Ejemplo 2.6. Expresa el número 2 como un logaritmo en base 2 Por la efinición 2 = log Ejercicio. Completa en tu cuaerno la tabla siguiente: n log 2 n 8 log /2 n MTEMTICS º achillerato

4 Sección 2: Logaritmo e un número 7 Test. Hallar los siguientes logaritmos:. log 2 32 vale... (a) 5 (b) 6 (c) 4 2. log 4 4 vale... (a) 4 (b) 0 (c) 3. log 2 vale... (a) 2 (b) (c) 0 4. log 25 5 vale... (a) (b) /2 (c) 2 5. log 3 8 vale... (a) 3 (b) 4 (c) 5 6. log 5 5 vale... (a) (b) /2 (c) 7. log vale... (a) 2 (b) 3 (c) 4 MTEMTICS º achillerato Sección 2: Logaritmo e un número Propieaes Logaritmo e un proucto Si comparamos a x + a y = = x + y (a x a y ) = (a x+y )= x + y obtenemos la propiea e que el logaritmo el proucto e os números es la suma e los logaritmos e ichos números. Logaritmo e un cociente Si comparamos (m n) = m + n () a x a y = = x y a x a y =(a x y )= x y obtenemos la propiea e que el logaritmo el cociente e os números es la resta e los logaritmos e ichos números. m n = m n (2) MTEMTICS º achillerato

5 Sección 2: Logaritmo e un número 9 Logaritmo e una potencia De la expresión n veces { }} { (M) n = ( M M M M) = M + M + + M =n M regla el proucto obtenemos la propiea e que el logaritmo e una potencia es el exponente por el logaritmo e la base. Logaritmo e un raical La expresión anterior se aplica a los raicales M n = n M (3) n M = (M) /n raical = n M potencia obtenemos la propiea e que el logaritmo e una raiz es el ínice por el logaritmo el raicano. n M = n M (4) MTEMTICS º achillerato Sección 2: Logaritmo e un número 0 Propieaes el Logaritmo MTEMTICS º achillerato log(m n) = log(m) + log (n) Proucto log m n = log(m) log (n) Cociente log m n = n log m Potencia Ejemplo 2.7. partir e log 0 5 0,69897 calcular log 0 25 log 0 25 = log = 3log 0 5 = 3 0, ,0969

6 Sección 2: Logaritmo e un número Ejemplo 2.8. partir e log 0 5 0,69897 calcular log log = log 0 5 /3 = 3 log 0 5 = 0, ,233 3 Ejemplo 2.9. Desarrollar la expresión x 2 3y x 2 3y = x y = 2 x y Ejemplo 2.0. Desarrollar la expresión 4 x y 2 4 x y = 4 x y 2 = 4 + x y 2 = 4 + x 2 y MTEMTICS º achillerato Sección 2: Logaritmo e un número 2 Ejemplo 2.. Desarrollar la expresión x 3 3y z x 3 3y z = (x 3 3y) z = x 3 + 3y z = 3 x y 2 z Ejemplo 2.2. grupa en un solo logaritmo la expresión b + 2 c b + 2 c = b + c 2 = b c 2 Ejemplo 2.3. La siguiente fórmula expresa el capital final C obtenio en un banco a partir el capital inicial c 0 a un interés i en un tiempo t.despejar la incógnita t aplicano logaritmos. C = c o ( + i) t MTEMTICS º achillerato

7 Sección 2: Logaritmo e un número 3 log C = log c o ( + i) t log C = log c o + t log( + i) log C log c o = t log( + i) log C log c o log( + i) = t Ejemplo 2.4. Resuelve la ecuación siguiente 2 x = 5 plicamos logaritmos log 2 x = log 5 xlog 2 = log 5 x = log 5 log 2 = 2,329 Ejemplo 2.5. Resuelve la ecuación siguiente 3 x = 7 plicamos logaritmos log 3 x = log 7 xlog 3 = log 7 x = log 7 log 3 =,772 MTEMTICS º achillerato Sección 2: Logaritmo e un número 4 Ejercicios Ejercicio 2. Desarrolla los siguientes logaritmos: a) log m n b) log c2 p n 3 c) log x 3 y 2 Ejercicio 3. Desarrolla los siguientes logaritmos: a) log 3 af 2 b) log 62 8 x c) log m + n p Ejercicio 4. grupar los siguientes logaritmos: a) log x log y + log z b) log 4 3 log x + 2 log 5 c) 3 4 log b Ejercicio 5. grupar los siguientes logaritmos: a) 5 x + 3 y 2 z b) log b log c c) 2 3 log y MTEMTICS º achillerato

8 Sección 2: Logaritmo e un número 5 Cambio e base Si se conoce el logaritmo e un número en la base a, la pregunta es saber cuánto vale el el logaritmo el número en otra base b, es ecir: Como N = n = log b N = x b x = N = b x = N = x b = N = x = log b N = N b log b N = N b Es útil, pues en tu calculaora tienes el logaritmo en base 0. Si queremos calcular el logaritmo e 35 en base 3, proceemos e la forma: log 3 35 = log 0 35 log 0 3 =,544 0,477 3,2362 (5) MTEMTICS º achillerato Ejercicio 6. plica la expresión (5) para hallar con la calculaora: log log log log Sección 3: Ecuaciones logarítmicas 6 3. Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella en la que aparece el logaritmo e la incógnita, o e una expresión e ella. Por ejemplo log x = log 7 = x = 7 unicia La propiea e la unicia inica que os números números istintos no pueen tener el mismo logaritmo, es ecir Si log = log = = unicia Para resolver ecuaciones, como técnica general, se agrupa para obtener un solo logaritmo en caa miembro y se eliminan los logaritmos por la propiea e unicia. Veamos unos ejemplos. Ejemplo 3.. Resolver la ecuación log 2x + log 5 = grupamos en ambos miembros, tenieno en cuenta que = log 0 log 2x + log 5 = log 2x + log 5 =log 0 log(2x 5) =log 0 0x =0 x = efinición proucto unicia MTEMTICS º achillerato