Principio de incertidumbre de Heisenberg

Transcripción

1 Principio e incertiumbre e Heisenberg n un átomo e irógeno, nos se pueen meir simultáneamente la cantia e movimiento mv y la posición e su electrón. a cantia e movimiento e una partícula se enomina momento, o momento lineal e la partícula; pmv as os meias son inepenientes una e otra. l principio e incertiumbre e Heisemberg establece que la ineterminación, ΔX y ΔY con que se pueen meir simultáneamente os magnitues complementarias a X y Y es: ΔX ΔY 4π es la constante e Planck, Js structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4

2 Δ Δt 4π Δ p Δ 4π Cuanto mayor sea la precisión e la meición e una e éstas variables, -cuanto menor sea la ineterminación e su meia-, mayor será la ineterminación e la otra variable. Dualia e ona - partícula Un rayo e luz puee en eterminaas circunstancias, comportarse como un corro e partículas (fotones) con una cantia e movimiento bien efinia. Así, al inciir un rayo e luz sobre la superficie lisa e un metal se esprenen electrones e éste (efecto fotoeléctrico). a energía e los electrones arrancaos al metal epene e la frecuencia e la luz inciente y e la propia naturaleza el metal. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4

3 a ipótesis e De Broglie, ice que caa partícula en movimiento lleva asociaa una ona, e manera que la ualia ona-partícula puee enunciarse e la siguiente forma: una partícula e masa m que se mueva a una velocia v puee, en coniciones eperimentales aecuaas, presentarse y comportarse como una ona, e longitu e ona, λ. a relación entre estas magnitues fue establecia por el físico francés ouis e Broglie. mv p λ cuanto mayor sea la cantia e movimiento (mv) e la partícula menor será la longitu e ona (λ), y mayor la frecuencia (ν) e la ona asociaa. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 3

4 Problema. Calcular la longitu e ona asociaa a un electrón que se mueve a una velocia e 0 6 m/s; y a un coce e 300 Kg e masa que se esplaza a una velocia e 05 Km/. a masa el electrón es Kg. a) para el electrón: p m v Kg m/s b) para el coce p m v 300 Kg 05 Km/ 000/ Kg m/s A partir el resultao, observarse que la menor cantia e movimiento el electrón, comparaa con la el coce, a pesar e su mayor velocia, pero cuya masa es mucísimo más pequeña. n consecuencia, la longitu e ona asociaa al coce es muco más pequeña que la corresponiente al electrón. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 4

5 Problema. Una bola e billar e 00 g e masa se mueve en forma rectilínea a lo largo e la mesa e billar. Si meiante fotografías es posible meir su posición con una precisión el oren e la longitu e ona e la luz (5000 Angstroms), calcular la ineterminación e la meia simultánea e su velocia. ΔX Δ( mv) 4π Δ( mv) Δ4π /4(3.46)( ) kg m/s Δ( mv) Δ v /0. m 5.7 m/s structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 5

6 Comportamiento eterminista Mecánica Cuántica Mecánica Clásica l muno macroscópico se eplica muy bien con layes e la mecánica clásica, con una serie e ipótesis y principios funamentales; F m a Para el muno microscópico, -la naturaleza e los átomos y moléculas- se necesita el uso e la mecánica cuántica. a MC se rige por una serie e postulaos funamentales. FUNCION D ONDA: s una función analítica que escribe el estao mecano Cuántico e un sistema e n-partículas, la cual es una función e 3n variables spaciales, n variables e espín y el tiempo τ. Ψ a representaremos con: structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 6

7 Requisitos para una función e ona a función ebe ser continua a función ebe ser monovaloraa, es ecir para caa valor el argumento la función ebe aquirir un solo valor a función ebe ser cuaráticamente integrable, es ecir: Ψ τ τ a integral corre sobre too el espacio Ψ τ Función e estao lemento e volumen structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 7

8 Densia e probabilia Ψ s el valor absoluto e la función e ona elevao al cuarao, que en forma eplícita tiene la siguiente epresión: Ψ Ψ (, y,, τ ) Ψ (, y, z, τ ) Ψ a estrella nos inica el complejo conjugao e la función. n particular esta función escribe un sistema e una partícula en el espacio triimensional. NOTA: Por la teoría e complejo conjugao tenemos, za + i b i(-) / a y b pertenecen a los números reales R z*(a + i b)* a* + (i b)* z* a + i* b* a + i* b Por lo tanto z* a i b structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 i* - i Por reglas matemáticas a* a a* a; b* b siempre y cuano, a y b pertenezcan a los números reales 8

9 Definición e: Ψ sto nos representa la probabilia e encontrar a la partícula en la región, y +. sta función epene eclusivamente e la variable y el tiempo. a ensia e probabilia nos etermina la posible eistencia e una partícula en algún punto el eje. * Ψ Ψ(, τ ) Ψ(, ) (, τ ) τ Ψ τ Definición e: τ s la suma e las probabiliaes e encontrar a la partícula en el espacio. Cuano la integral es igual a, se ice que la función e ona está normalizaa. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 9

10 s ecir: Ψ τ τ Conición e normalización sta integral nos representa la certeza e encontrar a la partícula el elemento etenio sobre too el espacio. τ Definición e un operaor: s un símbolo que contiene un conjunto e reglas matemáticas bien efinias que actúan sobre una función situaa a su ereca. Frecuentemente ica función se omite, no olviar que la función está implícita. jemplos: 4 4 e structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 A e e B C ln + C 0

11 Done, A B C y son operaores s un circumplejo Qué nos inica? Nos inica que ay que multiplicar por X a lo que se encuentra a la ereca. y y z z structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4

12 a teoría e la mecánica cuántica no relativista postula que la energía e un sistema, se puee obtener a partir e la función e ona asociaa al sistema, por meio e la ecuación e Scröinger inepeniente el tiempo. Ψ H Ψ Ψ one H es un operaor iferencial e seguno oren que actúa sobre la función ona y es la energía total el sistema, (nergía cinética + nergía potencial) Una vez resuelta la ecuación e Scröinger y conocieno las funciones e ona, que son su solución, se pueen obtener, la cantia e movimiento, la energía, cualquier magnitu física. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4

13 PARTÍCUA N UNA CAJA Y V V 0 V a ecuación e ona para una partícula en una caja uniimensional es: 8π m Ψ Ψ one H es el operaor Hamiltoniano que actúa sobre la función e ona. H 8 π m Ψ structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 3

14 a resolución e esta ecuación iferencial e valores propios y e seguno oren genera los valores e las energías permitias para la partícula contenia en la caja, valores propios e la ecuación y las funciones e ona corresponientes (funciones propias e la ecuación). ntonces, la energía es; n ( n) y la función e ona es: 8m Ψ( n) sen nπ n las epresiones anteriores aparece n, que es un numero cuántico y puee tener cualquier valor entero positivo, mayor que cero, pero jamás cero. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 4

15 Una partícula e masa m se mueve a lo largo e una caja uniimensional e longitu está asociaa a una ona e longitu λ (ualia). a relación y es: p mv λ p λ Y a partícula esta confinaa e 0 a, la ona asociaa ebe anularse en los etremos e la trayectoria. ebe ser igual a un numero entero positivo. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 5

16 6 structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 ntonces: λ n λ n y n λ a energía cinética se efine como: mv mv o como: p m ntonces sustituyueno la epresiones anteriores en la ecuación e la energía cinética e momento lineal, tenemos; n n m m m 4 λ

17 Finalmente nos quea: n 8m ( n) one n es un número positivo (mayor que cero), enominao numero cuántico. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 7

18 os valores e la energía representan los posibles niveles e energía el sistema. os niveles e energía estan cuantizaos y son iscretos. sta es una característica e los sistemas confinaos. l número n es llamao número cuántico a eclusión e 0 es una consecuencia e la mecánica cuántica. a incertiumbre en la posición e la partícula entro e la caja implica que structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 8

19 Hasta aora, en el problema e la partícula en una caja emos establecio que la única energía que esta presenta es la energía cinética, porque la energía potencial es nula. Para eterminar la velocia permitia e una partícula en una caja, p y sustituyeno en: p m m n 8m n 8m ( n) p mv ( mv) m υ n m Δ υ n+ n m structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 9

20 Problema. Calcular las iferencias entre las velociaes permitias, en os niveles energéticos consecutivos, e un electrón confinao en una caja uniimensional e un raio e Bor; y e una bola e billar e m e longitu perpenicularmente a las os banas opuestas mas alejaas. Para el electrón: Δ υ n+ n m /( )( ) m/s Km/ Para la bola e billar: /(0.)() m/s m/s km/ km/ structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 0

21 Transiciones e estao a iferencia energía entre os niveles consecutivos: Δ Δ ( n + ) 8m n+ n n+ n ν Solo una raiación electromagnética, cuyo fotón tenga energía v, eactamente igual a Δ es capaz e interaccionar con la partícula y ceerle su energía, ese un estao inicial asta un estao final. structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4

22 Problema. a) Calcular la iferencia e energía entre los os primeros niveles corresponientes a un electrón confinao en una caja uniimensional e un raio e Bor e longitu. b) Cuál será la frecuencia e la raiación capaz e ecitar al electrón ese el primer nivel al seguno. a) Aplicano la ecuación: Δ Δ Δ ( n + ) 8m n+ n n+ n ( () + ) 8m ( ) ( 30)( 0) ( () + ) Δ 3 structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 ( ) ( 30)( )

23 Δ J ν ν b) Aplicano Δ ν Δ s structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 3

24 4 structura e la Materia, FQ UNAM Semestre 007-II, Grupo 4 Partícula en un caja triimensional Para este caso la ecuación e Scröinger es: Ψ Ψ Ψ Ψ + + z y m 8π y las funciones e ona son: sen n π ) Ψ ( y sen n y y π ) Ψ( z sen nz z π ) Ψ ( z y ( ) n n n m z y y los niveles energéticos son: