P1.- La delicada vida gravitatoria del cometa 67P/Churiumov-Guerasimenko.

Transcripción

1 P.- La elicaa via gravitatoria el cometa 67P/Churiumov-uerasimenko. El cometa 67P, escubierto en 969 por los astrónomos Klim Churiumov y Svetlana uerasimenko, se ha convertio recientemente en una estrella en los meios e comunicación. El motivo ha sio la visita que la gencia Espacial Europea ha realizao con éxito a la superficie e este cometa. La sona Rosetta, lanzaa el e marzo e 004 ese la base e Kourou en la uayana francesa, tras un largo viaje e iez años consiguió entrar en órbita en torno al cometa, y ejó caer el móulo Philae sobre su superficie. Sin embargo el aterrizaje ( cometizaje?) tuvo ificultaes: el móulo no se fijó a la superficie como estaba previsto, y rebotó varias veces hasta quear en reposo en una zona recónita y sombría one los paneles solares apenas poían recargar sus baterías. o obstante, la misión ha proporcionao información científica valiosísima. Tanto es así que la prestigiosa revista Science ha calificao esta misión como el escubrimiento científico más importante el año 04. Dese la sona Rosetta se puo comprobar que 67P tiene una forma irregular, como se muestra en la fotografía e la figura, con os lóbulos esiguales que, en primera aproximación, poemos imaginar como os cuerpos esféricos homogéneos (señalaos con línea e trazos en la figura ), que se mantienen en contacto exclusivamente por la atracción gravitatoria mutua. El cometa está básicamente formao por hielo y polvo suelto y esponjoso, con escasa cohesión interna. En la figura se esquematiza este moelo e os cuerpos esféricos apoyaos uno en otro, con inicaciones e sus centros, raios, etc. El punto inica aproximaamente la situación el móulo Philae sobre la superficie (cráter a la erecha e la figura ), alineao con los centros e las os esferas. C.. O O R R Fig. Fig. emás, el cometa gira con velocia angular en torno a un eje perpenicular al plano e la figura y que pasa por el centro e masas el sistema (C..). eios ese la sona Rosetta, el perioo e rotación y los raios aproximaos e las esferas son T,4 h, R,5 km y R, km. a) Sabieno que la masa total e 67P, meia ese el Rosetta, es,003, etermine analíticamente y calcule la ensia el cometa y las masas y e caa uno e sus lóbulos esféricos. b) Determine y calcule las istancias y entre el centro e masas y los centros O y O e las os esferas. c) Calcule la fuerza e atracción gravitatoria entre los os lóbulos, F. ) Tenieno en cuenta la rotación el sistema, etermine y calcule la fuerza e apoyo normal e caa lóbulo sobre el otro,. Quizá no conozca con etalle el concepto e centro e masas, pues sobrepasa los límites el programa mínimo e Física el Bachillerato español. Para la resolución e este problema es suficiente saber que ebe cumplirse la iguala.

2 e) Determine y calcule el períoo e rotación crítico, T c, por ebajo el cual el cometa se isgregaría, al separarse las os esferas. f) Determine y calcule la aceleración e la gravea en, g 0,. g) Tenieno en cuenta la rotación el cometa, cuál es la gravea aparente en, g? h) El Philae pesaba 3 en la Tierra w T 0. Cuál será su peso (en gramos), w, una vez posao en? i) Imagine un hipotético astronauta que, con su traje espacial y equipo, es capaz e saltar en vertical (sin carrerilla e impulsánose hacia arriba con las piernas) una altura h 0, m en la Tierra. Sin tener en cuenta la rotación el cometa, hasta qué altura saltaría ese el punto e la superficie el cometa? Discuta su resultao. Constante e gravitación universal: 6,670 m. Fuerza e apoyo sobre la superficie por unia e masa. 3 Este peso ebe entenerse en el sentio coloquial que se usa en la via cotiiana, por ejemplo cuano alguien ice que pesa 70 kilos.

3 P. Solución a) La masa total el cometa, supuesto e ensia constante, es 4 R R 3 ; 4, R 3 3 R /m Conocia la ensia, es inmeiato obtener las masas e los os lóbulos. Se obtiene 6,6 0 3,4 0 b) Para eterminar las istancias y e los centros e caa lóbulo al centro e masas el sistema utilizamos la expresión que nos facilita la nota, a pié e página el enunciao () Por otra parte, observano la figura R R () Resolvieno el sistema formao por las ecuaciones () y () se obtiene ( R R) ( R R) 0,9 km,8 km c) La istancia entre los centros e las esferas es R R, por lo que el móulo e la fuerza e atracción gravitatoria entre los os lóbulos es F Operano se obtiene R R F, 08 ) Si consieramos el movimiento e, por ejemplo, el lóbulo, su centro O está escribieno una trayectoria circular e raio con velocia angular / T en torno al C.., y por tanto se mueve con una aceleración centrípeta e móulo constante. Sobre este lóbulo actúan en irección central la fuerza F e atracción el lóbulo y, en sentio opuesto, la fuerza e apoyo sobre este mismo lóbulo, (véase la figura 3). En este caso, la seguna ley e ewton se escribe C.. F O F Por tanto, la fuerza e apoyo entre los lóbulos es 4 Fig. 3 F 4 unque las fuerzas e inercia están proscritas en la Enseñanza meia actual, esta ecuación puee interpretarse e una forma más sencilla y irecta como que la normal es igual a la fuerza e atracción gravitatoria menos la fuerza centrífuga (conición e equilibrio planteaa por un observaor no inercial que gira con el cometa).

4 Con los atos el problema y los resultaos e los apartaos anteriores se obtiene 8,50 7 ótese que se obtenría el mismo resultao si se estuiase el movimiento e la esfera, puesto que se cumple. e) Supuesto que no existe ninguna fuerza e aherencia entre las os esferas, se separarán cuano su trayectoria circular requiera una fuerza centrípeta superior a la e atracción gravitatoria, es ecir cuano F En otras palabras, la velocia angular crítica corresponería a una trayectoria circular como la consieraa en el apartao anterior, pero con = 0. F c,84 04 c ra/s El perioo e revolución crítico sería T c c T c T c 9,5 h F f) La gravea en el punto, g 0,, es la fuerza gravitatoria por unia e masa en ese punto, ebia a la suma e las atracciones gravitatorias e los os lóbulos que constituyen el cometa. g 0, g 4 ( R 0,,9 0 m/s R) R g) La gravea aparente en es la fuerza e apoyo sobre la superficie por unia e masa. El punto escribe una trayectoria circular e raio R en torno al C.., e forma que, con un razonamiento análogo al el apartao (4), se tiene g g0, ( R) g,3 04 m / s h) Cuano el enunciao expresa en el peso el móulo Philae en la Tierra, w T 0, realmente lo está expresano en kilogramos fuerza o kiloponios, que es lo que en la via cotiiana llamamos simplemente kilos. Debemos entener, en un lenguaje estricto, que la masa el Philae es m 0. aturalmente, esta masa es la misma en P67 que en la Tierra. El peso, w, el móulo cuano esté situao en el punto el cometa es w m g w,4 0 Traucieno e nuevo al lenguaje coloquial, un kilogramo fuerza equivale a 9,8, luego Philae en el punto el cometa pesa tan solo w,4 g i) Para que el astronauta, e masa m, realice un salto vertical e altura máxima h 0, m en la superficie e la Tierra, necesita una velocia inicial, v 0, que ebe cumplir mv 0 m g h (3)

5 Para realizar el salto, ebe flexionar las piernas e impulsarse hacia arriba. El trabajo que realizan sus músculos urante este proceso aporta la energía necesaria, aa en (3). La velocia inicial resulta v 0 g h v 0,0 m/s Si el hipotético astronauta realizase el salto vertical en el punto el cometa 67P, sus músculos realizarían el mismo trabajo que en la Tierra, y la velocia inicial v 0 sería por tanto la misma que en la Tierra. Pero, aa la levea el cometa, es eviente que va a alcanzar una altura H mucho mayor que h, probablemente no espreciable frente a las imensiones el cometa. Esta altura máxima H puee obtenerse planteano la conservación e la energía mecánica, con energía cinética nula en el punto más alto, pero empleano la forma general e la energía potencial en el campo gravitatorio e las os esferas, en vez e la típica forma mgh que correspone al campo aproximaamente uniforme en las proximiaes e la superficie. m m m m mv 0 (4) R R R R R H R H De esta ecuación puee espejarse H, aunque es bastante engorroso, pero al realizar cálculos numéricos se llega a resultaos absuros. El problema matemático está en que el seguno miembro e (4) es forzosamente menor o igual que cero, mientras que el primero, con los valores numéricos el problema, es positivo, e forma que la iguala es imposible. Dese el punto e vista físico, una energía mecánica inicial positiva inica que la velocia inicial el astronauta, tras el salto, es superior a la velocia e escape, con lo cual se alejaría inefiniamente el cometa y pasaría a ser un curioso asteroie orbitano en torno al Sol. Para comprobarlo, puee calcularse fácilmente la velocia e escape, planteano que la energía mecánica inicial sea nula, e forma que puea llegar hasta el infinito, one la energía potencial es nula, con energía cinética también nula. m m m vesc 0 R R R / v esc R R R v esc 0,78 m / s Se comprueba que, efectivamente, v0 vesc, e forma que el astronauta saltarín iniciaría un viaje a las chimbambas.

6 P.- Tabla e respuestas partao Resultaos analíticos Resultaos numéricos Puntos a) 4 3 R 3 3 R 4,70 /m 3 6,6 0 3,4 0 (0,5x4) b) ( R R) ( R R) 0,9 km,8 km (0,5x4) c) F, 08 0,5 ) F 8,50 7 0,5+0,5 e) T c T c 9,5 h +0,5 F f) ( R R) R g g 4 0, 0,,9 0 m/s +0,5 g) g g0, ( R) g,3 04 m / s,5+0,5 h) w,4 g 0,75 La velocia inicial el salto vertical e altura h, en la Tierra: v 0 g h v 0,0 m/s i) Velocia e escape en el cometa 67P: / v esc R R R v esc 0,78 m / s Como v0 vesc, el astronauta se alejaría inefiniamente el cometa.