Prueba experimental. Difracción de luz en un hilo.

Transcripción

1 Prueba experimental. Difracción e luz en un hilo. Introucción; objetivo. El año 214 ha sio eclarao Año Internacional e la Cristalografía por las Naciones Unias, para conmemorar el centenario el escubrimiento e la ifracción e rayos X por Max von Laue (1912) y el enunciao e la ecuación e Bragg (1913). A lo largo e estos 1 años la ifracción e rayos X ha tenio, y tiene toavía, un papel esencial en el estuio y eterminación e estructuras cristalinas. La ifracción en una estructura triimensional es compleja. Posiblemente esté más familiarizao con la ifracción e la luz en obstáculos más sencillos, como la oble renija el experimento e Young: la luz que se ifracta en os renijas próximas y paralelas interfiere sobre una pantalla proucieno franjas luminosas alternaas con otras oscuras (franjas e Young). En esta prueba experimental se va a observar la ifracción e luz monocromática (láser) en un hilo elgao. El objetivo e la prueba es eterminar el iámetro el hilo. Material. - Puntero láser rojo, e longitu e ona λ = 65 nm. - Hilo e cobre, montao en un soporte e cartulina (Atención: ebe manejarse con cuiao para evitar que se oble). - Metro e papel. - Soporte e aluminio. - Escala e meia, e papel milimetrao. - Hoja e cartulina. - Pinzas e ropa. - Cinta ahesiva y tijeras. Moelo teórico. Cuano un haz colimao e luz monocromática incie sobre un hilo cilínrico, con sección circular, sobre una pantalla alejaa se observa una serie e máximos e interferencias/ifracción, separaos por mínimos nulos, como se esquematiza en la figura 1. El máximo central tiene una anchura oble que los laterales, y su intensia es mucho mayor. Puntero láser α 4 Pantalla m = + 4 m = + 3 m = + 2 m = + 1 y 4 Y 4 Hilo m = 4 x Fig. 1

2 Si la longitu e ona e la luz es λ y el iámetro el hilo es, se emuestra que el m-simo mínimo e intensia luminosa en la pantalla se encuentra en la posición angular (véase la figura 1) aa por λ sen α m = m, con m = ±1, ±2, ±3 En nuestro experimento, los valores e los ángulos α m para los primeros mínimos son suficientemente pequeños para que se cumpla bien la aproximación y sen α m m tanα m = x one x es la istancia entre el hilo y la pantalla, e y m es la istancia el m-simo mínimo al centro e la figura e ifracción. Con la aproximación anterior, es inmeiato eucir que la istancia entre los mínimos simétricos m y m, uno a caa lao el eje el sistema, es λ Ym = 2 y m = 2m x (1) En esta prueba se va a eterminar el valor e a partir e las meias e Ym en función e x. Proceimiento experimental Avertencias previas: Esta prueba requiere el uso e un puntero láser. Debe evitar que el haz láser entre irectamente en un ojo, suyo o e sus compañeros, pues poría causar una lesión en la retina. La uración e las pilas el puntero láser es muy limitaa. Por tanto, sólo eberá encenerse al principio e la prueba, para verificar que funciona correctamente, y urante la toma e atos. El hilo e cobre montao en el soporte e cartulina es muy elgao y frágil. El soporte ebe manejarse con cuiao y en ningún caso ebe tocarse el hilo con los eos. Construcción el montaje (figura 2): 1.- Extiena el metro e papel sobre la mesa y fíjelo con cinta ahesiva. 2.- Construya la pantalla fijano con cinta ahesiva la escala e papel milimetrao al soporte e aluminio. 3.- Coloque la pantalla e papel milimetrao coinciieno con la marca e cm el metro e papel, y en posición transversal. 4.- El puntero láser tiene os pulsaores: uno es para que funcione como linterna e luz blanca y otro para el láser propiamente icho. Sujete el puntero con ayua e os pinzas. Una e las pinzas ebe oprimir el pulsaor el láser, para mantenerlo encenio. Esta última pinza sólo ebe ponerse inmeiatamente antes e comenzar las meias para evitar el agotamiento e las pilas. Las pinzas eben ajustarse para que el haz e luz sea aproximaamente paralelo a la mesa. Fig Sitúe el puntero sobre el metro e papel, a unos 8 cm e la pantalla, e moo que el haz e luz incia sobre la línea negra central e la escala milimetraa e la pantalla. Esta línea negra sirve para evitar el eslumbramiento por el máximo central e ifracción y mejorar la visibilia e los otros máximos, que son mucho menos intensos.

3 6.- Es conveniente colocar la pantalla e observación bajo una visera hecha con cartulina negra, para evitar que la luz ambiente ificulte la observación e la figura e ifracción. Para ello, basta realizar os cortes en la cartulina y oblarla como se muestra en la figura Sujete la cartulina soporte el hilo con una pinza, e moo que el hilo quee vertical. 8.- Coloque inicialmente el hilo a 65 cm e la pantalla (x = 65 cm), e moo que la luz incia sobre el alambre y se observe la figura e ifracción en la pantalla (Figuras 1 y 2). Ajuste cuiaosamente la posición el hilo en el haz e luz hasta conseguir una figura e ifracción bien contrastaa y simétrica respecto al centro. Cortar Doblar Fig. 3 Meias y preguntas: 1) Mia en la pantalla la istancia Y m entre los mínimos simétricos +m y m, empleano el m más alto posible, es ecir, empleano los os mínimos simétricos más alejaos el centro que observe con nitiez. Repita la meia el mismo Y m colocano el hilo a istancias ecrecientes e la pantalla, hasta x min = 3 cm. Anote los valores e x e Y m en una tabla, inicano claramente el valor e m empleao. 2) Represente gráficamente en una hoja e papel milimetrao los valores e Y m, en orenaas, frente a los e x, en abscisas. 3) Determine la peniente, p, e la recta que mejor se ajusta a estos puntos. 4) Deuzca el valor el iámetro el hilo,. 5) Haga una estimación e la incertiumbre e la peniente, Δp, e la recta Y m (x). 6) Tenieno en cuenta el resultao anterior, y aemás que, según atos el fabricante, la longitu e ona el láser es λ = (65 ± 1) nm, haga una estimación e la incertiumbre el iámetro el hilo, Δ.

4 Solución 1) En la siguiente tabla se presentan las meias e Y 4, istancia entre los mínimos +4 y -4, en función e la istancia x entre el hilo y la pantalla. La incertiumbre e estas meias es el oren e ±,5 mm. x (cm) Y 4 (cm) 3, 1,85 35, 2,1 4, 2,45 45, 2,75 5, 3,1 55, 3,4 6, 3,75 65, 4,5 2) Se presenta a continuación la gráfica peia, con un aspecto similar al que tenría ibujaa en papel milimetrao, junto con la recta que más aproximaamente pasa por los puntos experimentales y por el origen, ya que, según la ecuación (1) el enunciao, se espera una orenaa en el origen nula. 5 Y 4 ( cm) A x (cm) 3) Como los puntos están bien alineaos, la peniente e la recta, p, puee obtenerse con buena precisión a partir e las coorenaas e un punto e la recta, alejao el origen, como el punto A inicao en la figura Y4, A 4, 3 p = = =, 619 x A 69, 5 Un ajuste por mínimos cuaraos conuce a un resultao muy similar, con p =,618.

5 4) Según la expresión (1) el enunciao, la peniente e la recta Y 4 (x) es Resulta 2mλ 8λ 8λ p = = = p = 8, m=84, μm 5) Para estimar la incertiumbre e la peniente se trazan las rectas e máxima y mínima peniente que se ajustan razonablemente a los puntos experimentales, tenieno en cuenta su ispersión respecto a la mejor recta y el margen e incertiumbre e los puntos experimentales (barras e error). En nuestro caso, la incertiumbre e las meias puee estimarse en ΔY 4,5 mm, que se correspone con el raio e los círculos ibujaos. Las rectas con penientes máxima y mínima se presentan en la siguiente gráfica 5 Y 4 ( cm) A 4 A x (cm) A partir e las coorenaas e los puntos A y A se obtienen unas penientes 4,35 p max = =,626 69,5 4,25 p min = =,612 69,5 Y, por tanto, una incertiumbre para la peniente 1 p max p Δ p = min Δp =, Un cálculo estaístico más avanzao permite obtener que la incertiumbre e la peniente, con un nivel e confianza el 95%, es Δ p =,6. Como es habitual, el métoo e trazar las rectas e penientes máxima y mínima tiene a sobrevalorar Δ p.

6 6) Como el iámetro el hilo es irectamente proporcional a λ e inversamente proporcional a p, se transmiten sus respectivas incertiumbres relativas, como puee comprobarse analítica o numéricamente, es ecir Δ p Δ p = p Δ p =1, μm Δ λ Δλ = λ Δ λ =1,3μm La incertiumbre total el iámetro el hilo poría estimarse sumano estas os contribuciones, pero, como son fuentes e error inepenientes, es más correcto consierar = Δ 2 2 p + Δ λ Δ Δ =1,6 μm Por tanto, el resultao el experimento, con una estimación e su incertiumbre, sería = (84, ± 1,6) μm